книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

Пусть теперь точка х принадлежит М, т. е. и(х) = 0. Для этой точки имеем

ѵ(х) = (х\ Юи Ш — °>

поскольку (лг|£) = 0 (ортогональность | к М).

Пусть, наконец, х — произвольная точка из Е. Множество М, будучи векторным подпространством пространства Е, замкнуто в силу непрерывности формы и, и поэтому, по теореме о разло­ жении (там же) имеем: х = х0-{- z, где ХоеМ и где z ортого­ нально M. Но g ортогонально М; значит, z = ocg, где а действи­ тельно. Имеем, следовательно, х = Xq-f- ag, и

и{х) — и (х0) + аи (g) = аи (g),

откуда

а = и(х)/и (g).

После этого для х = х с о Ч - cc^ с || 11| — 1 и a(g) = 0 имеем

ѵ(х) = ѵ (хо + ag) = (дго + а |||) и (g) =

= (х0\ g) и ( і ) + all g ff и (g) = (хо ІЮU(!) + U (х) = и {х).

Таким образом, ѵ(х) = и(х) для любого х е £ , и значит, ѵ — и.

§ 3. Теорема Банаха— Штейнгауза

Предыдущие параграфы касались свойств одного линейного отображения векторного пространства в векторное пространство. Теорема Банаха — Штейнгауза имеет дело с последовательно­ стями непрерывных линейных отображений. Речь идет здесь о свойствах пространства непрерывных линейных отображений од­ ного топологического векторного пространства в другое.

Т е о р е м а 1. Пусть (fn) — последовательность непрерывных линейных отображений нормированного пространства Е в нор­ мированное пространство F. Если множество норм || fn || ограни­ чено, то семейство функций fn равностепенно непрерывно.

В самом деле, имеем

II fn(х) — fn(хо) II = II fn(х — л:0) | | < МIIX — лг0 II,

где

Af = sup||/„J|.

П

нейных отображений нормированного пространства Е в банахо­ во пространство F сходится просто на подмножестве А, плотном в шаре В, и если последовательность норм || fn II ограничена, то последовательность (fn) сходится при любом * е £ , и ее пре­ дельное линейное отображение непрерывно.

Пусть хо е В и хп е А таковы, что хп-*х0. Имеем

чем устанавливается сходимость последовательности fn(x0) в F, поскольку F полно.

Если теперь х — произвольная точка из Е, а *о— центр шара В, то, выбрав надлежащим образом действительное а, получим

то отсюда вытекает сходимость последовательности f„(x).

Так как нормы ||Jn|| ограничены, то семейство функций fn

линейных отображений банахова пространства Е в нормирован­ ное пространство F и если для любого х

lim II f„(x) ||< + оо,

то последовательность норм || f„ || ограничена.

352 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

и их верхняя оболочка конечна. Следовательно, существует не­

и (/„) равномерно мажорированы некоторым числомЛ^на шаре ßi радиуса г с центром в 0.

Но

ность (fn) непрерывных линейных отображений банахова про­ странства Е в нормированное пространство F сходится просто, то ее пределом является непрерывное линейное отображение.

Действительно, если для любого х последовательность значе­ ний fn(x) сходится в F, то ||fn(*)ll сходится к конечному значе­ нию, и следовательно,

l i m Иfn(x) II < + о о ;

а в силу теоремы 3 нормы || /„ || ограничены, и значит, семейство fn равностепенно непрерывно; стало быть, отображение f= lim fn непрерывно.

§ 4. Примеры

Примеры, которые последуют ниже, представляют собой при­ меры пространств последовательностей действительных чисел, иллюстрирующие эту и предыдущую главы.

1. Пространство последовательностей действительных чисел.

Пусть 'S —действительное векторное пространство всех

354 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

можно сказать, что сходимость последовательности элементов из S влечет покоординатную сходимость этих элементов.

Рассмотрим теперь элементы е,- = ( е г и, ), где е,, і =1, и е ,а , — = 0, если і ф- k. Эти элементы порождают векторное простран­ ство Е над R, причем элемент а е £ определяется формулой

т

О-— 2 аіеі<

«=і

где а і — действительные числа и т — целое число. Такой эле­ мент а представляет собой последовательность действительных чисел, равных нулю начиная с некоторого номера т , и называет­ ся конечной последовательностью. Для любых двух элементов а

а затем, взяв достаточно большое р и зафиксировав т. полу­ чаем

Отсюда вытекает, что d(ap,bp)<_ e, и утверждение доказано. Такой способ рассуждения будет использоваться в теории

интегрирования.

З а м е ч а н и я . 1) Напомним еще раз, что последовательность есть функция переменного k е N. Предыдущее пространство есть не что иное, как пространство числовых функций, определенных на N.

2) Построение S пополнением подчеркивает существование счетного семейства (ег) элементов из 5, конечные линейные ком­

своей целью лишь проиллюстрировать на примере содержание настоящей главы.

Укажем схему доказательства того, что это — банаховы про­ странства. '

далее, имеем

откуда следует, что сумма

ограничена, и значит, что

L1(N) и что

ОО

І

определяет непрерывную линейную форму на Lp{N)\ кроме того,

З а м е ч а н и я . 1) Если р = +оо, то результат не имеет ме­ ста: не всякая непрерывная линейная форма на L°°(N) записы­

вается в виде /(х) = 2 | йОа» где а — (ак) <= L1(N).

2) Топологическое сопряженное пространство (пространство

рят, что Lp(N) рефлексивно (если 1 < р <. ^-_оо).