книги из ГПНТБ / Дмитриев, В. Н. Основы пневмоавтоматики
.pdf
|
|
|
|
Таблица |
1 |
|
|
||
|
Расчетные данные для построения |
|
|
|
|||||
|
|
переходного процесса |
|
|
|
|
|||
|
д |
- д |
С4! |
и |
~ Д |
|
|
|
|
і, |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
с |
Л |
ю |
к с |
- - к " - |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
° *3 |
|
|
о | |
с |
|
|
|
|
|
|
|
«_ |
S |
|
|
|
0 |
|
|
ис |
|
|
|
|
||
|
0,800 |
0,200 |
=6,72 |
0,800 |
0,125 |
|
|
||
1,13 |
0,700 |
0,175 |
7.25 |
0,815 |
0,123 |
|
|
||
2,76 |
0,600 |
0,150 |
7,84 |
0,830 |
0,120 |
Рис. 50. |
Экспериментальная |
||
3,91 |
0,550 |
0,137 |
8,94 |
0,850 |
0,118 |
кривая |
переходного процес |
||
^ =6,72 |
0,500 |
0,125 |
12.25 |
0,877 |
0,114 |
са в междроссслыюн камере |
Динамика пневматических камер, содержащих ламинарные дроссели. При выводе дифференциального уравнения (40) про точной камеры не было сделано никаких предположений отно сительно зависимости расхода воздуха через дроссели камеры от их геометрических п термодинамических параметров. Поэтому уравнение (40) и выражения для его коэффициентов могут быть использованы также и для камеры, содержащей ламинарные дроссели. Так как в формулы для расхода воздуха ламинарных дросселей площади проходных сечений не входят, то вместо них могут быть взяты проводимости дросселей а. При изменении перепадов давлений в широком диапазоне следует принять, что массовые расходы воздуха через.дроссели проточ ной камеры равны
G{ = си (р'І— р\), Go= а', (pi— pi),
где для капилляра
256|Хд/ЯГ ’
для щелевого цилиндрического дросселя „ _ пОб3
~ 24,ЦдIRT '
Уравнение (40) действительно и для случая включения различных (смешанных) дросселей, например, турбулентного и ламинарного. При этом необходимо окончательный вывод выражений коэффициентов дифференциального уравнения де лать с учетом соответствующей формулы для разности расходов G.
В устройствах пневмоавтоматики проточные камеры с лами нарными дросселями чаще всего используют в качестве точных
100
апериодических звеньев в таких приборах, как интеграторы и дифференциаторы. Поэтому они содержат или постоянные, пли регулируемые дроссели, проводимости которых остаются постоянными в переходном процессе, а также имеют междрос сельные камеры с неизменным объемом V. Кроме того, благо даря выбору соответствующего диапазона изменения рабочих давлений и геометрических параметров обеспечиваются такие условия работы ламинарных дросселей, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь и считать, что расход линейно зави сит от перепада давлений. С учетом этого для вывода диффе ренциального уравнения проточной камеры с ламинарными
Рис. 51. К расчету глухой камеры:
а — схема камеры; 6 |
— переходная |
функция |
при опорожнении; |
в — переходная |
|
функция при |
наполнении камеры |
|
|
дросселями за исходную модель примем камеру, |
представлен- |
|||
ную на рис. 44, а, |
и будем считать, |
что расход воздуха через |
дроссель линейно зависит от перепала давления. Поэтому здесь
нет необходимости в линеаризации и анализе |
отклонений |
от |
|||||||||
параметров на исходном статическом режиме. |
|
камеры, |
со |
||||||||
Выведем уравнение проточной |
пневматической |
||||||||||
держащей |
линейные дроссели. |
Для |
этого в выражение |
(45) |
|||||||
вместо |
Gi |
и G2 подставим |
Gt = |
сц(р0— Ді), |
G2 = |
a2(P\ — р2). |
|||||
После соответствующих преобразований получим |
|
||||||||||
|
|
|
Тп — ту— |
Ь Р\ — |
Ѵ о |
+ |
k2p2, |
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Тп = |
———- |
— постоянная |
времени |
апериодического |
|||||||
звена; |
k2 = ---- —— |
и k0 = ----—-------- коэффициенты усиления, |
|||||||||
|
|
U1“ЬО.П |
|
СI -f* Ctg |
|
|
|
|
|
||
меньшие единицы (k0 = 1 — k\)- |
|
|
|
а2 = |
0, |
то уравнение |
|||||
Если проводимость второго дросселя |
|||||||||||
проточной камеры вырождается |
|
в уравнение |
глухой камеры |
||||||||
(рис. 51, а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г, |
dp1 |
+ Р1 — Ро, |
|
|
(50) |
|||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
101
где
V'
Т,
R T a t
Примем давление р0 за постоянный уровень отсчета, а дав ление, отсчитанное от этого уровня, отметим чертой— р {*.
Тогда
Разделяя переменные и интегрируя, получим
1прі = — / + С, |
(51) |
где С — постоянная пнгегрировання.
Для определения постоянной интегрирования обозначим
давление при / = 0 через /;*. Тогда |
из выражения (51)_'следует, |
||
что |
|
|
|
|
С = Тп\прь. |
|
|
И окончательно для рассматриваемого процесса |
получим |
||
- |
- - т - |
(52) |
|
Рі=Рбе |
"• |
|
Таким образом, падение давления в камере происходит по экспоненциальному закону (рис. 51,6). Время, в течение кото
рого давление в камере упадет от рь до р„:
tba = - T nl n ^ . |
(53) |
Pb
Формулы (52) и (53) были выведены для случая опорожне ния камеры, когда р\ > р0. Если же р0 > р\, то будет происхо дить наполнение камеры. Дифференциальное уравнение при этом будет иметь вид
Тп Р' ■+ Рі —ро- |
(54) |
dt
Здесь давления рі и ро отсчитывают от начального значения давления р\, которое принимают за нулевой уровень отсчета.
Пусть входное давление в момент t — 0 претерпевает скач
кообразное изменение от 0 до ро. Решение неоднородного диф ференциального уравнения (54), как известно, будет состоять из суммы двух решений: решения однородного уравнения, соответ ствующего уравнению (54), и частного решения. Так как правая
* Принимается, что в момент t = 0 давление изменяется скачком от рь до 0.
102
часть уравнения — величина |
постоянная, то |
|
частное |
|
решение |
||||
может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
и = В, |
|
|
|
|
|
|
где В — константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя В в уравнение (54) вместо р\, |
|
находим В — р0. |
|||||||
Корень характеристического |
уравнения |
г = |
—1/Та и, следова |
||||||
тельно, решение уравнения |
(54) |
|
|
|
|
|
|
||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рі |
|
|
l'ü ~— |
|
' Рг |
|
Р1= А ■е |
+ Ра, |
|
|
— |
—*>- |
||||
вия, что при t = 0 р\ = 0. |
|
|
]ЛАЛ/.. |
X |
і |
||||
где А = — ро — произвольная по |
Л --- |
|
Я |
|
|
||||
стоянная, определяемая |
из |
усло |
|
|
|
|
|||
Таким образом |
|
|
Рис. |
52. Схема |
пневматического |
||||
|
|
|
|
конденсатора |
|
||||
Р\ = Ро\1—е |
|
|
(55) |
|
|
|
|
|
|
График функции |
(55) |
представлен на рис. 51, в. Постоянную |
времени определяют по графику переходной функции как проек
цию касательной на линию установившегося значения р\ = ро. Диаметр капилляра d, при котором реализуется заданное
значение постоянной времени глухой камеры (рис. 51,а) Тп для заданных объема V и длины I, определяют по формуле
d V/ 128IXлГ/
лр0Т„
полученной подстановкой в выражение для Тп значения
а
І28;хд//?Г'
Пневматический конденсатор. Схема пневматического кон денсатора представлена на рис. 52. Вместо сильфона может быть использован любой другой упругий элемент, характеризуе мый линейной зависимостью между объемом и перепадом дав лений, а также сообщающиеся сосуды типа жидкостного U-образного дифференциального манометра с одинаковым и неизменными диаметрами.
При отсутствии упора под действием перепада давлений
р1 — р2 перемещение сильфона
*= — (Рі—Рг) = — Ар,
с\ с,
где F — эффективная площадь сильфона; щ — жесткость сильфона.
103
Площадь поршневого действия сильфона примем равной эффективной площади Тогда масса воздуха, находящегося в сильфоне:
М = Ѵ0р + xFp,
где Vo — начальный объем; р — плотность.
Дифференцируя последнее равенство по времени при
допущении, что давление рі постоянное12, |
получим выражение |
|||
для расхода воздуха в сильфон: |
|
|
||
Исключая X, получим |
|
|
|
|
|
Q __ F2p |
d&p _ |
Q d'Xp |
(56) |
|
с, |
dt |
dt |
|
|
|
|||
„ |
Яр |
|
|
|
где С = |
—— — пневматическая емкость, |
|
||
|
с, |
|
|
|
Учитывая, что массовый расход G есть аналог тока /, а пере |
||||
пад давлений Ар — аналог напряжения U, |
и принимая во вни |
мание зависимость, имеющую место в электротехнике:
■- С —
~~dt ’
приходим к заключению, что пневматический конденсатор является полным аналогом электрического конденсатора.
3. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОММУНИКАЦИОННЫХ КАНАЛОВ СИСТЕМ ПНЕВМОАВТОМАТИКИ
В системах пневмоавтоматики различают два вида кана лов— короткие коммуникационные каналы, необходимые для соединения струйных или иных элементов в блоках пневмати ческих устройств, и длинные трубопроводы млн каналы связи отдельных блоков, агрегатов между собой.
При установившихся режимах работы пневмоканалов глав ное внимание при построении пневматических приборов уделяют определению потерь давления на сопротивлениях и расчету расходов разветвленной цепи. Потери давления обусловлены либо местными сопротивлениями на входе, выходе и изгибах канала, либо силами вязкого трения, распределенными по дли не канала. Обычно потери давления стремятся свести к мини муму. Для этого выбирают соответствующим образом конструк-
1 Произведение площади поршневого действия на перемещение донышка сильфона дает приращение объема.
2 Именно при таких условиях работают пневматические конденсаторы в некоторых пневматических вычислительных устройствах.
104
цшо канала, сочетание сечений последовательно включенных коммуникационных каналов и т. д. [25].
Рассмотрим местные потери и потери по длине в коммуника ционных пневматических каналах.
Потери, или падение давления в коммуникационном канале, складываются из двух составляющих: потерь по длине, возни кающих в результате действия сил вязкого трения, и местных потерь. Потери по длине и местные потери учитываются соот ветственно коэффициентом сопротивления трения стр и коэф фициентом местного сопротивления £. Эти коэффициенты зави сят соответственно при ламинарном и переходном режимах течения от числа Рейнольдса и геометрии канала или местного сопротивления, а при турбулентном течении — только от гео метрии. Кроме того, при турбулентном и переходном режимах упомянутые коэффициенты зависят также и от шероховатости стенок.
Потери по длине каналов определяют по известной формуле
|
tnP |
|
|
|
(57) |
|
|
Стр |
9 |
|
|
|
|
где £тр — коэффициент |
сопротивления |
|
трения; |
р — плотность |
||
воздуха; ѵ — средняя скорость течения потока; |
/ — длина кана |
|||||
ла; X— коэффициент трения, |
зависящий |
от режима |
течения, |
|||
формы сечения и относительной шероховатости; |
сіг — гидравли |
|||||
ческий диаметр, который находят как |
отношение учетверенной |
|||||
площади поперечного |
сечения канала |
к |
периметру, |
т. е. dr = |
= 4[/П.
Напомним, что гидравлический радиус Rr = сіг/4. Для лами нарного режима течения (Re ^ 2300) в канале круглого сече ния коэффициент трения X = 64/Re. При неразвитом турбулент ном режиме течения этот коэффициент определяют по формуле Блазиуса: Â = 0,316 Re-,< . В общем случае для труб круглого сечения для всех режимов течения X определяют по
графику Никурадзе [9]. Если форма сечения канала отлична от круглой, то X зависит не только от Re, но и от отношения Іі/Ь, т. е. X = f(h/b, Re), где /і и b — соответственно высота и ширина канала.
Вычислим число Рейнольдса для наиболее часто встречаю щихся каналов — прямоугольного и круглого сечений. Если известна средняя скорость течения потока ѵ, то нетрудно найти числа Re, соответствующие разным формам коммуникационных каналов. Считая, что число Re = vdr/v, можно найти:
для канала прямоугольного сечения
п |
2иЫі |
2Q |
Re = ---------- = ------ -— , |
||
|
v (ö + /i) |
v { b + h) |
где и = Q/bh\ Q — объемный расход,
105
для канала круглого сечения |
|
|
п |
ѵс! |
4Q |
Re = — |
vnd ' |
|
|
V |
где
V= 4Q/nd2.
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КОММУТАЦИОННЫХ КАНАЛОВ
Динамические характеристики пневматической системы оп ределяются динамическими характеристиками отдельных ее звеньев, а именно, пневматических элементов и коммуникацион ных каналов связи. На практике при построении пневматиче ских управляющих систем бывает так, что система, имеющая вполне удовлетворительные статические характеристики, оказы вается неработоспособной в динамическом режиме. Причина часто заключается в неучете динамических характеристик пнев матических каналов.
В струпных управляющих системах пневматические элемен ты соединяют между собой коммуникационными каналами, как правило, небольших сечений и длин, для которых отношение l/dr < 10. Такие каналы называют короткими. В системах мем бранной или струйно-мембранной пневмоавтоматики сравни тельно малого быстродействия для этих целей используют более длинные каналы. Наконец, передача пневмосигиалов от дат чиков к системе управления и от последней к приводам осу ществляется по каналам большой длины, которые иногда называют длинными линиями.
Процессы, происходящие в каналах, зависят от многих факторов и крайне сложны [25]. При передаче пневматических сигналов по каналам имеет место сочетание двух процессов — процесса разгона массы среды и волновых явлений. Учет этих факторов весьма сложен, поскольку еще не выяснены до конца причины, обусловливающие преобладание каждого из них. Поэтому на практике пользуются приближенными инженерны ми методами расчета характеристик коммуникационных кана лов, а также проводят большое число экспериментальных работ по оценке погрешности приближенных методов расчета и уста навливают поправочные коэффициенты.
При обработке экспериментальных данных было условно принято, что коммуникационный канал представляет собой последовательное соединение звена чистого запаздывания и апериодического звена, т. е. что выходное давление р і связано с давлением на входе в канал ро следующими уравнениями:
Тп— у - + Pt = kps, dt
p') =Po(t —Ф,
106
где -г — время чистого запаздывания; р 0 — промежуточное
давление (рис. 53).
•На основании опытных данных для величины т принято сле дующее выражение:
I т = Ц— -
а
где / — длина канала; а — скорость звука в воздухе; р — коэф фициент пропорциональности, равный 1,2, согласно опытным
данным для канала сечением 1,5 X 1,5 мм.
Опыты показали также, что для каналов указанного выше сечения при наличии на их концах дроссельных сопротивлений,
Рис. 53. Упрошенная структурная схема для расчета коммуникацион ного канала
определяемых размерами сечении входного и выходного кана
лов струйных элементов, постоянная |
времени апериодического |
|||
звена Тп = 15,5 ■ІО-101с. |
для |
каналов |
длиной |
/ = |
•Это соотношение было получено |
||||
= 100 -ь- 900 мм. |
Ті |
передачи |
сигнала |
по |
При оценке суммарного времени |
коммуникационному каналу было принято, что
Г, = Тп+ т.
5. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ ДЛИННЫЕ ЛИНИИ
Как известно, процесс распространения волны пневматиче ского сигнала аналогичен процессу распространения волн в электрической линии и описывается системой уравнений в част ных производных [24, 25]. В общем виде уравнения распростра нения волны пневматического сигнала имеют вид:
|
- ^ |
+ KQ + Z- — |
= 0; |
|
|
дх |
|
dt |
(59) |
|
|
+ |
= 0, |
|
|
дх |
|
||
|
|
dt |
|
|
где |
|
|
|
f — площадь поперечно |
го сечения канала; |
рд — динамический |
коэффициент вязкости |
||
воздуха; р — плотность воздуха; а — скорость звука. |
||||
Уравнения (59) |
получены в предположении, что изменение |
давления в линии мало по сравнению с давлением при исходном
107
статическом режиме и, следовательно, газ можно считать не сжимаемым. Кроме того, было принято, что потери на трение определяются так же, как при ламинарном установившемся течении газа пли жидкости по трубопроводу.
Систему (59) можно привести к одному уравнению 2-го порядка в частных производных относительно объемного рас хода Q или давления р\
, ö2Q |
+ R |
3Q |
1 |
d-Q |
= 0 |
dt2 |
dt |
С ÖA-2 |
|||
d2p |
-LC -д2р |
RC |
др |
- 0 |
|
дх2 |
|
ді2 |
|
dt |
|
Методам интегрирования уравнения (59) и (60) при различ ных значениях R, L и С посвящено много работ в области элек тротехники, акустики, гидродинамики, теории упругости и т. д.
Приведем результаты решения уравнений (59), |
полученные |
с применением методов операционного исчислений [24]. |
|
Методы операционного исчисления удобны в |
тех случаях, |
когда переход от изображения к оригиналу можно осуществить с использованием табличных изображений. Применительно к каналам пневматических приборов результаты решения уравне ний (59) и (60) методами операционного исчисления приведем для нескольких частных случаев.
Рассмотрим решение уравнений (59) длинной линии при скачкообразном изменении возмущения на входе, которое мало по сравнению с давлением в линии на исходном статическом режиме. К выходу линии присоединена ппевмокамера.
Вобщем виде уравнение, связывающее объемный расход Q
иизменение давления в пневмокамере, имеет вид
О —С
Q - L « dt ■
Для глухой камеры с постоянным объемом
С„.= V
Ро
а для глухой камеры с переменным объемом
'-'К — I >
ро с
где V — постоянный объем камеры; К0 и р0— объем камеры и давление на исходном статическом режиме; F •— площадь пор шневого действия; с — жесткость сильфона или пружины, ко торой нагружена мембрана, поршень или другой элемент, изменяющий объем.
108
Рассмотрим |
процесс изменения |
давления |
|
в трубопроводе |
|||||||||||
для |
двух |
частных |
случаев, |
наиболее |
распространенных |
на |
|||||||||
практике. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Допустим, что к концу длинной линии присоединена пнев |
||||||||||||||
мокамера с малым объемом, тогда приближенно можно считать, |
|||||||||||||||
что Ск = 0. Давление на входе изменяется |
скачком |
в |
момент |
||||||||||||
/ = 0 от исходного значения, |
условно принимаемого за р = 0, |
||||||||||||||
до значения рх=0, которое сохраняется затем постоянным. Опу |
|||||||||||||||
ская |
промежуточные выкладки, |
приведем |
решение |
уравнений |
|||||||||||
(59), |
полученное |
методами |
операционного |
исчисления |
[24]. |
||||||||||
Давление в трубе на расстоянии х в некоторый |
момент |
време |
|||||||||||||
ни t |
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
-,y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e I |
|
|
e |
|
|
|||
р{х, t) = Px=о |
( - п ' |
|
|
|
|
' |
|
|
|||||||
1 + PLC £ |
— а + ß/ |
|
—a—ß/ |
X |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2/ + 1)я |
Z = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
2j + 1 I — X |
Я |
|
/ = |
0, |
1, |
2, ..., |
|
(61) |
|||||
|
' |
C O S |
|
|
|
||||||||||
где |
|
,2ß/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
4L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß/ = |
|
1 |
2/+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
(62) |
|
|
|
|
|
LC |
21 |
Я |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная значения R, L и С, по формулам (62) можно рассчи тать а и ßj при j = 0, 1,2, ... и для постоянного х вычислить чле ны ряда для различных t и, наоборот, при постоянном t вычислить члены ряда для различных х в выражении (61) для давления р(х, t). В первом случае найдем изменение давления во времени в каком-то определенном сечении трубы, а во вто ром — изменение давления вдоль трубы в какой-то определен ный момент времени. Число членов ряда выбирают исходя из требуемой точности.
2. Рассмотрим случай, когда к трубопроводу присоединена пневмокамера, а отношение длины трубопровода к его диаметру невелико. При этом условии можно пренебречь влиянием вяз кого трения и принять R = 0. Давление на входе в трубопровод изменяется скачком при t = 0 на величину рх=о и затем остает ся постоянным. Решение уравнений (59), полученное с помощью методов операционного исчисления, имеет следующий вид [24]:
|
|
|
СО |
sin ß/ ■I |
|
|
|
|
р(х, 1) = рх = с |
1—4 |
и |
ß/__ - 1 . |
(63) |
||||
- C O S |
||||||||
|
|
|
2ßy- + sin 2ß;- |
/ V LC |
|
|
||
|
|
|
.1=1 |
|
|
|
|
|
Значение |
коэффициентов |
ßj, определяемых |
уравнением |
|||||
dg ßy = ßz |
находят по специальным графикам |
н |
табли |
цам [24].
109