книги из ГПНТБ / Основы технической эксплуатации ЭЦВМ

затем 'Полученное произведение разделить на Р(х) И остаток от деления G(x)xr на Р(х) сложить по модулю 2 с произведением G(x)xr.

Умножение G(x) на хг соответствует сдвигу информа­ ционной кодовой комбинации на г разрядов (в сторону старших разрядов). Операцию деления на основании рас­ смотренного выше примера деления многочленов, коэф­ фициенты которых являются нулем или единицей, молено свести к последовательному суммированию по модулю 2

Рис. 3-9. Структурная схема кодирующего устройства (в цикли­ ческом коде) для многочлена Р(х) = х ' + х + 1.

делителя со старшими разрядами делимого, а затем с оче­ редными суммами. Суммирование производится до тех пор, пока очередная сумма не будет иметь порядок ни­ же порядка делителя.

Описанная схема формирования циклического кода может быть реализована с помощью регистра с обрат­ ными связями, представляющего собой сдвигающий ре­ гистр и ряд сумматоров по модулю 2. Количество раз­ рядов сдвигающего регистра выбирается равным степени многочлена Р(х). Сумматоры в количестве, на единицу меньшем числа ненулевых членов многочлена Р{х), вклю­ чаются на входы тех разрядов регистра (начиная с ■младшего), которым соответствуют ненулевые члены многочлена Р(х).

На рис. 3-9 показана структурная схема устройства кодирования в циклическом коде для многочлена Р(х) = = х і +х+-1. Для простоты пояснения клапаны Кі и /<2 по­ казаны в виде обыкновенных выключателя и переключа­ теля. Схема работает следующим образом. К моменту начала кодирования ключ Кг находится в положении 1, а ключ Кі—в положении включено. Последовательность импульсов обыкновенного кода G(x) поступает, начинал со старшего разряда, одновременно в канал передачи и

120

на вход сумматора 1. Первые г сдвигов соответствуют умножению многочлена G(x) на' хт. За m + r тактов в схеме сдвигающего регистра с обратными связями на­ капливается г контрольных разрядов, являющихся остат­

выключено, а ключ Кг на (т + г+ 1 )-м такте устанавли­ вается'в положение 2. За последующие г тактов с выхода старшего разряда регистра в канал передачи последова­ тельно поступят г контрольных разрядов. В результате описанной процедуры будет сформирован циклический код, соответствующий многочлену F(x).

Проиллюстрируем работу схемы на примере кодиро­ вания двоичного числа 101011001. В табл. 3-5 во втором вертикальном столбце показано потактовое поступление информации на вход сдвигающего регистра с обратными связями, а в третьем, четвертом, пятом и шестом — опе­ рации вычитания (сложения по модулю 2), происходя­ щие в регистре в процессе проведения деления.

Сравнивая циклический код, полученный для числа 101011001 в кодирующем устройстве, с многочленом 3-9, образованным путем последовательного деления много­ члена G(x)xr— xiZ+ x i0+x8+x1+x!i на Р(х) — хі + х + 1, можно сказать, что в обоих случаях получены идентич­ ные результаты.

Структурная схема (рис. 3-10), предназначенная для декодирования циклического кода с целью обнаружения и .исправления ошибок, состоит из приемного, информа­ ционного и декодирующего регистров и дешифратора коррекции одиночной ошибки. Декодирующий регистр представляет собой точно такой же сдвиговый регистр с обратными связями, который применяется в кодиру­ ющем устройстве. Это объясняется тем, что при кодиро­ вании и декодировании выполняются аналогичные опе­ рации деления многочлена G(x)xr на Р(х) в первом случае и Н(х) или Р(х) на Р(х) во втором.

На структурной схеме изображен сдвиговый регистр для многочлена Р ( х ) — х'1+ х + 1.

Работа схемы происходит следующим образом. Цик­ лический код поступает, начиная со старшего разряда, одновременно на входы приемного и декодирующего ре­ гистров. Спустя m+ r тактов приемный регистр оказыва­ ется полностью заполненным принятой кодовой комбина­ цией, За эти же m + r тактов в схеме декодирующего

. 1?!

123

X О X О

C°L ЯI

*8

вінві douoH

123

регистра накапливается г контрольных разрядов, являю­ щихся остатком от деления многочлена Н(х) на Р(х). На ( т + л+1)-м такте ключи Кі — /С4 устанавливаются в положение включено и полученный остаток поступает на дешифратор коррекций. Если кодовая комбинация

Рис. 3-10. Структурная схема декодирующего устройства в цикли­ ческом коде для многочлена Р( х) =х4-fcjt+I.

пришла без ошибок (остаток равен нулю), производится перепись многочлена G(x) из приемного регистра в ин­ формационный и установка в нулевое состояние разря­ дов контрольных кодов приемного регистра. Если кодо­ вая комбинация пришла с ошибкой, то в декодирующем регистре сформируется код, отличный от нуля. Деши­ фратор коррекции выполнен таким образом, что каждо­ му остатку соответствует одна вполне определенная возбужденная шина на его выходе, которая связана

124

с .соответствующим разрядом приемного регистра. Таким образом, с дешифратора коррекции на счетный вход триггера разряда, в котором произошла ошибка, подает­ ся сигнал, исправляющий ошибку. После исправления ошибки многочлен G(x) переписывается из приемного на информационный регистр. При ' появлении двойной ошибки в кодовой комбинации с выхода дешифратора подается сигнал останова.

Рассмотренные выше помехоустойчивые коды приме­ няются обычно для проверки правильности передачи чисел. Для контроля правильности выполнения арифме­ тических операций использовать их не представляется возможным в силу того, что по известным контрольным разрядам двух чисел в любом из .помехоустойчивых ко­ дов нельзя образовать контрольные разряды суммы, раз­ ности, произведения или частного этих чисел.

Широкое распространение в последние годы получил контроль по модулю, именуемый иногда контролем по остаткам или наименьшим вычетам. Такой вид контроля позволяет проверить правильность выполнения операций над числами и правильность их передачи.

Код с контролем по .модулю строится путем добавле­ ния к информационным разрядам г контрольных, пред­ ставляющих собой остаток от деления контролируемого числа на некоторое заранее заданное целое число q, име­ нуемое модулем.

Правомерность использования остатка в качестве контрольной информации объясняется тем, что любое

*число М сравнимо с остатком гт, полученным в резуль­ тате деления контролируемого числа М на модуль q.

Сказанное можно записать в виде тождества

системе счисления. Так, число 11 в десятичной системе счисления при модуле 3 будет тождественно числу 2,

т.е. 11 з=2 mod 3.

Вдвоичной системе счисления запись будет иметь вид 1011s 10 mod 11.

125

ІІз теории чисел известно, что результаты арифмети­ ческих операции над числами сравнимы по модулю с ре­ зультатами соответствующих операций над их остатка­ ми, т. е. сумма (произведение) чисел тождественна сум­ ме (произведению) остатков этих же чисел по какомулибо модулю:

кк

N] Мі = £ /„mod?; і'= I i~1

ПЛ/^ П ч шосІ9-

i=l 1=1

Эти свойства позволяют выполнить арифметические действия над числами, записанными в виде тождеств.

Контроль арифметических операций производится по следующим формулам:

1) сложение и вычитание

Таким образом, для обнаружения ошибок при прове­ дении арифметических операций необходимо выполнить одновременно операции над контролируемыми числами и остатками, а затем, вычислив остаток от деления ре­ зультата операции над контролируемыми числами на выбранный модуль, сравнить его с результатом опера­ ции над остатками.

Для обнаружения ошибок при пересылке чисел не­ обходимо передать число вместе с остатком от деления его на выбранный модуль и затем сравнить принятый

126

остаток с остатком, .полученным в результате деления принятого числа на выбранный .модуль.

В случае несравненна остатков фиксируется ошибка. Различают два вида контроля по модулю: числовой

нцифровой. При числовом контроле остатки получаются

врезультате деления на выбранный модуль контролируе­

мого числа, а при цифровом контроле — в результате деления на выбранный модуль специальной функции от числа М, представляющей собой сумму цифр данного числа.

При организации контроля по модулю важное значе­ ние имеет выбор величины модуля. Дело в том, что до­ стоверность контроля арифметических операций и пере­ дач чисел тем выше, чем больше величина модуля. Од­ нако с ростом величины модуля возрастает сложность контрольной аппаратуры.

Остановимся на выборе величины модуля и способах формирования остатков более подробно. Одним из спо­ собов получения остатка является выполнение операции деления контролируемого числа или суммы его цифр на выбранный модуль. Молено получить остаток, не приме­ няя операции деления. Для пояснения этого запишем «-разрядное число М в р-й системе счисления:

Рассмотрим три -возможных случая выбора модуля (q<p, q= p и q>p) применительно к двоичной системе счисления.

При q<p модуль получается равным единице. Оста­ ток от деления контролируемого числа в этом случае всегда будет равен самому числу. Поэтому рассматри­

значительный эффект так же невозможно, так как в этом случае контролироваться будет только последний разряд числа. Все сбои в старших разрядах числа выявляться не будут. Убедиться в этом нетрудно, взглянув на выра­ жение (3-12). Все члены этого выражения будут кратны модулю q, кроме последнего слагаемого (і= 0 ).

127

При цифровом контроле по модулю q = p = 2 можно обнаруживать одиночные и групповые с нечетной крат­ ностью (3; 5 и т. д.) ошибки. Такой вид контроля полу­ чил широкое распространение в ЭЦВМ. Он именуется контролем по четности и был рассмотрен нами выше.

При q>p можно записать: p = q—у, где у — целое положительное число.

•Подставляя значение/?в выражение (3-12), получаем:

Из выражения (3-14) следует, что все члены его, кро­ ме последнего, кратны q, поэтому остаток от деления числа М на модуль q будет иметь вид:

<=О

Из выражения (3-16) следует, что для нахождения остатка от деления двоичного числа М на модуль 3 необ­ ходимо просуммировать цифры разрядов числа М с уче­ том знаков четных и нечетных разрядов.

На основании сказанного нетрудно показать, что, раз­ бив двоичное число на пары двоичных разрядов, начи­ ная с младшего, и просуммировав полученные двузнач­ ные числа по модулю 3, можно получить остаток от деления любого двоичного числа на 3.

Для получения остатка от деления двоичного числа на 7 необходимо разбить это число на тройки двоичных разрядов, начиная с младшего, и просуммировать полу­ ченные трехзначные числа по модулю 7.

138