книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Этот оператор линеен и непрерывен в слабой * тополо­ гии Loo (поскольку все функции Я,(-) принадлежат Li). Поэтому множество PW выпукло и замкнуто. Мы по­ кажем, что множество значений меры т совпадает с множеством PW. Поскольку множество значений меры

пуклого замкнутого множества при линейном и непре­ рывном отображении, множество Wx выпукло и слабо *

т. е. х принадлежит множеству значений векторной меры т и (поскольку элемент х произволен) последнее содержит множество PW.

Итак, пусть а ( - ) — крайняя точка множества Wx. Предположим, что на множестве положительной меры a(t) принимает значения, отличные от нуля и единицы. Тогда для некоторого е > О мера множества

Д = ( / е Г ] е < « ( / К 1 — е}

положительна.

Рассмотрим пространство Li(A) и в нем подпро­ странство М, порожденное ограничениями функций Xi(-), i = 1, ... , п, на А. Подпространство М конечно­ мерно и, значит, замкнуто. В силу следствия 2 из тео­ ремы Хана — Банаха аннулятор подпространства М

352 ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

содержит ненулевой элемент, т. е. существует опреде­

ленная на Д измеримая и ограниченная функция Р(0 такая, что

быть крайней точкой множества Wx, вопреки предполо­ жению. Теорема доказана.

8.2.3. Доказательство теоремы 1. Первая часть тео­

U{хг(0 ). мы сразу получаем утверждение первой.

Всвою очередь вторая часть теоремы вытекает из

следующих двух предложений.

и F — нормальное многозначное отображение из Т в Rn.

сечения отображения F,

354 ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

n+ 1 раз

Fn+1— нормальное многозначное отображение из Т

в(Rn)n+1. Положим далее

Ф(/) = {а е= S, (*„ . . . . хп+1) <=

непусты. С другой стороны, в силу теоремы 3 из § 8.1 многозначное отображение Ф нормально. По теореме 1 существует измеримое сечение отображения Ф, т. е.

2Oi (0 xt (t) = x ( t ) .

i= 1

как при доказательстве предложения 1, можно пока­

Пусть х е J (conv F(t)) dy,. Тогда х = J" x{t)d\i, где x(t)

в силу (4) можно представить в виде

X (0 = У (0 + а (/) (#i (/) — у (/)).

Докажем обратное неравенство. Коль скоро Ja(/)efp<oo,

г

a (/) < оо почти всюду. Пусть

Г„ = 11еГ|а(0 = - Ч

Зададимся произвольными е > 0 и Л/ <; 0. В силу пред­ ложения 9 из § 8.1 существует измеримая вектор-функ­ ция Jt0(0 такая, что

Пусть, с другой стороны, хх(•) е dom 9f, р, т. е. суще­ ствует суммируемая действительная функция аД /), та­

Тогда фу — измеримый интегрант в силу предложения 7

многозначное отображение из Т в Rn. Тогда всякое мно­ жество

Qp= { x ( - ) ^ L p \ x ( t ) < = F ( t ) почти всюду}

ма. Пусть f — интегрант на Т X Rn- Конволюционным интегралом интегранта f по мере р, или конволюцион­ ным интегралом функций ft, называется функция на R",

обозначаемая ^ f t dp и определенная равенством

(конечный или бесконечный) имеет смысл, то, как сле­ дует из определения, при всяком x g R" значение конволюционного интеграла функций ft совпадает со зна­ чением задачи

называется непрерывной суммой, или интегралом функ­ ций ft и обозначается J ft dp, или J f(t, •) dp. Если для

гг

всякого x e R " функции t -*f( t, х) измеримы и инте­

гралы J f(t, х) dp имеют смысл, то очевидно

тI т

Связь конволюционного интеграла и непрерывной суммы с интегральными функционалами совершенно прозрачна. Именно,

тождественно постоянных функций. Эти утверждения допускают следующую эквивалентную формулировку.

показывает, что эти операторы сопряжены. С помощью операторов Р и Q отмеченную выше связь между конволюционным интегралом и непрерывной суммой, с од­ ной стороны, и интегральными функционалами, с дру­ гой, можно описать следующим образом.

^ftdpj = { К dp.

Если же, кроме того, мера р непрерывна, то

выпуклая функция и

f ft dp. = ^ ft* dp.

тт

Если же мера p непрерывна, то по теореме 1 из § 8.2

пуклая функция. Наконец, согласно следствию 2 из теоремы Фенхеля — Моро

8.3.3. Функционал У,, „ . В заключение мы более по дробно изучим интегральные функционалы на простран­

стве Ll,(T, 2, р). Мы рассмотрим условия, обеспечи­ вающие их непрерывность в сильной топологии про­

странства Li,, и вычислим их субднфференциалы.

П р е д л о ж е н и е 4. Пусть f — нормальный выпук­ лый интегрант на Т X Rn, и в некоторой точке * o ( - ) e