книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

§4.9. Соотношения между входными

ивыходными сигналами

Временная область— автокорреляционные функции. Для уста­ новления отношения между шумовыми характеристиками входного и выходного сигналов линейной динамической системы рассмотрим линейную систему, имеющую импульсную характеристику h (t) и получающую входной сигнал х (t). Выходной сигнал системы у (t) определяется интегралом свертки:

— со

где | — переменная интегрирования по времени для второго инте­ грала. Математическое ожидание дает среднее значение только в отношении переменной t, следовательно, уравнение (4.81) может быть преобразовано:

Это выражение показывает связь между автокорреляционной функ­ цией входного сигнала х и выходного сигнала у. Хотя это соотно­ шение представляется сложным, в некоторых ситуациях оно может быть очень полезно.

Рассмотрим тот особый случай, представляющий значительный интерес, когда подкритическая система имеет следующую импульс­

80

Подстановка уравнения (4.85) в (4.84) дает:

Нижний предел интегралов равен нулю, поскольку импульсная ха­ рактеристика равна нулю при отрицательном времени. Введя за­ мену переменной

и исключив | из уравнения (4.86), получим:

Если на входе системы действует белый шум, автокорреляционная функция этого входного сигнала пропорциональна дельта-функции Дирака, т. е.

Поскольку дельта-функция Дирака равна нулю везде, кроме точки т, равного р, можно заменить член ехр (—ар) на выражение ехр (—ат) и вынести его за знак интеграла, т. е.

А 2 к

поскольку интеграл в выражении (4.90) равен единице по определе­ нию дельта-функции Дирака (К' — коэффициент пропорциональ­ ности). Это выражение показывает, что автокорреляционная функ­ ция выходного сигнала системы, имеющей экспоненциальную им­ пульсную характеристику, пропорциональна ехр (—ат), из которой легко определить величину а.

Частотная область — спектральные плотности мощности. При рассмотрении связи вход — выход в частотной области, применив

81

к уравнению (4.84) интегральное преобразование Фурье, можно получить много полезных выражений:

которое весьма удобно при рассмотрении широкого круга проблем. Из уравнения (4.93) следует, что связь между Ф ^ (со) и Фиу (со) зависит только от амплитуды передаточной функции Я (со) реактора и что никакой информации относительно фазового угла получить нельзя.

Если входной сигнал можно рассматривать как белый шум, т. е. имеющий спектральную плотность мощности, равную постоянной К во всем интервале интересующей нас частотной области, то урав­ нение (4.93) можно переписать в виде

Временная область — взаимные корреляционные функции. Рас­ смотрим взаимную корреляционную функцию между входным сиг­ налом х (() и выходным сигналом у (t) системы, имеющей импульсную характеристику h (t). Подставив интеграл свертки, определяемый уравнением (4.79), для у (t), получим

<Pxv (*) = Е lx а — т )уш =

— оо

82

Поскольку усреднение по времени, определяемое оператором математического ожидания, производится только по переменной t, уравнение (4.95) может быть преобразовано к виду

—ОО

Видно, что уравнение (4.96) представляет собой интеграл типа ин­ теграла свертки, т. е. взаимная корреляция между входным и вы­ ходным сигналом динамической системы определяется как свертка импульсной характеристики и автокорреляции входного канала.

Интересно отметить, что если переменная на входе х (t) представ­ ляет собой белый шум, автокорреляционная функция которого про­ порциональна дельта-функции Дирака с коэффициентом пропорцио­ нальности К, то, применив подход, использованный при выводе уравнения (4.90), получим:

т. е. взаимная корреляция между входным и выходным сигналом динамической системы, когда выходной сигнал представляет собой белый шум, пропорциональна импульсной характеристике.

Частотная область— взаимные спектральные плотности. Взаим­ ная спектральная плотность между входным и выходным сигналом динамической системы может быть получена с помощью преобразо­ вания Фурье уравнения (4.96):

т. е. взаимная спектральная плотность между входным и выходным сигналами равна передаточной функции, умноженной на спектраль­ ную плотность мощности входного сигнала.

83

§ 4.10. Практическое рассмотрение

Теория случайных шумов, представленная в предыдущих пара­ графах этой главы, дает математический аппарат для анализа дан­ ных, получаемых в экспериментах самого широкого профиля. Од­ нако, в большинстве практических случаев приходится принимать в расчет поведение физически реализуемой системы. Например, спектральные плотности мощности и взаимные спектральные плот­ ности предполагаются существующими во всем диапазоне частот от

— оо до + оо. В физически реализуемых системах можно измерить эти спектральные плотности в диапазоне частот от нуля до опреде­ ленной граничной частоты со0. Практический выход из этого огра­ ничения состоит в том, что должен быть введен видоизмененный тип спектральных плотностей, называемых односторонними спектраль­ ными плотностями.

В предыдущих параграфах все интегралы, включающие свертку переменной и импульсной характеристики, имели пределы от — оо до + оо. Однако реализуемая импульсная характеристика по не­ обходимости должна быть равной нулю для t < 0, поскольку си­ стема не может реагировать на импульс до его прихода. Следова­ тельно, нижний предел этих интегралов должен быть равен нулю. И верхний предел, равный бесконечности, как для интегралов сверт­ ки, так и для преобразования Фурье, не достижим в физически реализуемых условиях, поэтому интегрирование должно быть ог­ раничено конечным временем. Если к этому времени интегрируе­ мые величины стремятся к нулю, то полученные выше соотноше­ ния являются хорошим приближением. В противном случае при обработке экспериментов, длящихся ограниченное время, возни­ кают погрешности. Значения этих погрешностей рассматриваются ниже.

Интегрированию по диапазонам частот присущи те же ограниче­ ния, т. е. существует реальный верхний предел частоты, до кото­ рой могут быть измерены спектральная плотность мощности и вза­ имная спектральная плотность. Если эти спектральные плотности не стремятся к нулю при верхней частоте а>0, то из-за отсутствия из­ мерений за пределами частоты со0 в результаты могут быть внесены ошибки. Из математических преобразований очевидно, что при об­ работке экспериментов как во временной, так и частотной области может быть получена одна и та же информация, т. е. проведение об­ ратного преобразования Фурье не дает какого-либо пути изменить количество информации, которое теоретически может быть извлече­ но из данного эксперимента. Однако существует множество ситуаций, при которых более удобно проводить измерение в какой-либо одной области, чем в другой, вследствие приспособленности специального оборудования или устройства обработки данных. Кроме того, про­ стота входных-выходных связей линейных систем в частотной об­ ласти дает возможность исследователю лучше «чувствовать», что

84

происходит в системе. Это особенно справедливо в том случае, если исследователь имеет дело с измерениями в частотной области, что является обычным для большинства инженеров и многих научных работников.

§4.11. Односторонняя спектральная плотность

Выше было установлено, что спектральная плотность мощности и взаимная спектральная плотность связаны соответственно с авто­ корреляционной и взаимной корреляционной функциями преобра­ зованиями Фурье. Можно легко измерить корреляционные функции и провести обратное преобразование Фурье, если необходимо по­ лучить двусторонние спектральные плотности (т. е. спектральные плотности, которые существуют во всем диапазоне частот от — оо до + оо). Это несложно, так как можно измерить корреляционные функции как для положительных, так и для отрицательных значе­ ний т. Действительно, значения автокорреляционной функции для положительных и отрицательных т одни и те же, так как она яв­ ляется четной и, следовательно, симметричной.

Спектральная плотность мощности и взаимная спектральная плот­ ность могут быть также измерены при использовании узкополосной фильтрующей системы, которая подробно обсуждается ниже. Оче­ видно, что измерения частотного типа можно проводить только для положительных частот, так как отрицательные частоты не имеют смысла в физически реализуемой системе.

Односторонняя спектральная плотность мощности. Чтобы по- • казать связь между односторонней (охватывающей диапазон от О до + оо ) и двусторонней (охватывающей диапазон частот от — оо до + оо) спектральными плотностями, рассмотрим сначала спект­ ральную плотность мощности, которая является более простой из этих двух функций. Ранее было определено, что двусторонняя спектральная плотность мощности является преобразованием Фурье автокорреляционной функции. Легко видеть, что спектральная плот­ ность мощности является также симметричной функцией относи­ тельно нулевой частоты, как показано на рис. 4.11. Определим те­

85

Эта связь показана на рис. 4.11. Физически реализуемая односторон­ няя спектральная плотность мощности Gxx (со) может быть измерена прямыми методами, использующими прием фильтра, т. е. такими методами, которые применяются в электротехнике много лет, то­ гда как двусторонняя спектральная плотность мощности (со) получается с помощью математических преобразований автокорре­ ляционной функции, которая может быть либо измерена, либо рас­ считана.

Рис. 4.11. Односторонняя [Gxx (со)] и двусто­ ронняя [Ф** (со)] спектральные плотности мощности.

Проводя преобразование Фурье, комплексный экспоненциальный член можно представить в виде синуса и косинуса, используя соот­ ношение Эйлера:

а односторонняя спектральная плотность мощности теперь выражается следующим образом:

Обратным преобразованием уравнения (4.106) можно получить, что

86

Следовательно, уравнения (4.106) и (4.107) можно рассматривать как пару .преобразований, которая во многих отношениях подоб­ на паре преобразований Лапласа, в которых переменная s замене­ на на j со.

Особая ситуация может возникнуть, когда переменные содержат постоянные составляющие, приводящие к появлению дельта-функ­ ции односторонней спектральной плотности в начале координат. В этом случае необходимо приближаться к нижнему пределу интег­ рирования—нулю — снизу, чтобы учитывать влияние этой дельта­ функции. __

Односторонняя взаимная спектральная плотность. Определение функции односторонней взаимной спектральной плотности Gxy (со), где со меняется только от 0 до + оо, более сложно, поскольку взаим­ ная корреляционная функция несимметрична. Используя подход, аналогичный примененному при выводе уравнения (4.102), опреде­ лим физически реализуемые функции односторонней взаимной спект­ ральной плотности Gxy (со) и Gyx (со) следующим образом:

оо

И

Отметим, что Gxy (со), Gyx (со), Фху (со) и Ф ух (м) являются комплекс­ ными величинами, поскольку взаимная корреляционная функция

где Сху (со) и СуХ (со) — действительные части, Qxy (со) и Qyx (со) — мнимые части соответственно.

\Подставив уравнение»(4.110) в (4.108), получим:

оо

87

Поскольку т — переменная интегрирования, то, введя замену в пер­ вом интеграле

и меняя пределы интегрирования в первом интеграле, можно по­ лучить, что

Подстановка соотношения Эйлера для комплексной экспоненты

из которого могут быть выделены действительная и мнимая части:

Из этих выражений видно, что Сху (со) — действительная четная функция частоты, в то время как Qxy (со) — действительная нечет­ ная функция частоты. Следовательно,

88

Поскольку функция GX1J (со) комплексна, она может быть записана в полярных координатах:

выражены через мнимую и вещественную составляющие, а именно:

В практике используются два приема для измерения взаимной спектральной плотности. Первый заключается в измерении взаим­ ных корреляционных функций срЛ.у (т) и (рух (т), расчете действитель­ ной и мнимой составляющих по уравнениям (4.118), (4.119) и опре­ делении взаимного спектра и его фазового угла по уравнениям (4.123) и (4.124). Другой метод заключается в непосредственном из­ мерении вещественной и мнимой составляющих с помощью частотно­ полосного оборудования и определении амплитуды и фазы взаим­ ного спектра по уравнениям (4.123) и (4.124).

Взаимные корреляционные функции могут быть рассчитаны по

89