книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

где а' > а, за исключением случая быстрых реакторов с замедля­ ющим отражателем. Этот случай широко рассматривался в работе [19], но полностью удовлетворительного объяснения в ней не было дано. Наблюдаются также некоторые пространственные эффекты, хотя они недостаточно хорошо изучены.

Соотношение между а и р , описываемое уравнением (3.1), и оп­ ределение а не являются справедливыми для быстрых сборок с от­ ражателем. Коэн [20] высказал предположение, что это связано с фи­ зическим смыслом а и а '. Ясно, что модель с сосредоточенными па­ раметрами непригодна для систем с отражателем, особенно когда отражатель значительно отличается по составу от активной зоны.

§3.4. Метод, использующий отношение дисперсии

ксреднему (метод Фейнмана)

Теоретическое рассмотрение. Другим статистическим методом, близким к методу росси-альфа, является метод Фейнмана [2], в ко­ тором определяется отношение дисперсии к среднему числу отсче­ тов, производимых за фиксированный временной интервал. При неоднократном измерении числа отсчетов, происходящих в ядерной системе за данный временной интервал, можно связать параметры ядерной системы с отношением дисперсии к среднему числу отсче­ тов s*/c, т. е.

где с — среднее число отсчетов за интервал времени Т. Число пар отсчетов за этот интервал дается выражением

так как число двойных комбинаций из ряда с событий равно с!/2!(с—2)!. Следовательно, среднее число пар отсчетов в интер­ вале Т равно

dtx и dt2. Использовав дифференциальную форму уравнения (3.17) для p(tlt 4 ), получим:

40

аТ

и рр является «мгновенной реактивностью»*, определяемой как

(3.35)

Уравнение (3.33) приводится к виду

где sfj — дисперсия распределения Пуассона. Следовательно, зна­ чение Y может быть интерпретировано как разность между относи­

тельной (или приведенной) дисперсией s2/c переменной, связанной по цепочке, и пуассоновской случайной переменной. Поскольку для случайных пуассоновских флуктуаций Y равно нулю, оно является мерой дополнительных флуктуаций (превышающих чисто случай­

Если известны эффективность счетчика и коэффициент размножения

на мгновенных нейтронах, может быть вычислено.

Во многих реакторных экспериментах пренебрежение запазды­ вающими нейтронами обеспечивает хорошее приближение, посколь: ку они фактически дают постоянный вклад для тех временных интер­ валов, в течение которых ведется эксперимент. Однако для тепловых и промежуточных систем необходимо учитывать влияние запаздыва­ ющих нейтронов. Беннет [21] получил выражение, учитывающее

* Мгновенная реактивность рр — термин, определяемый аналогично реактивности р. Эти две реактивности связаны между соотношением рр =

41

запаздывающие нейтроны. В этом случае уравнение (3.33) прини­ мает вид:

реактора. Эти значения приведены в табл. 3.2. Запаздывающие ней­ троны вносят другой нежелательный эффект. Как отметил Пал [8 ], последующие временные интервалы измерений являются коррели­ рованными (взаимозависимыми) и уравнение (3.33) должно быть исправлено также с учетом этой корреляции. Пал предложил ввести время выдержки 0 между последующими временными интервалами измерений для уменьшения этой зависимости, но не дал какойлибо корректирующей формулы. Бабала [5] указал, что эффект та­ кой корреляции становится малым при увеличении числа наблю­ дений. Пачилио [22], однако, отметил, что экспериментально он не обнаружил этой корреляции.

Экспериментальные методики. Эксперимент для определения от­ ношения дисперсии к среднему достаточно прост: измеряется число отсчетов достаточно много раз в течение временного интервала и рассчитывается дисперсия. Измерения повторяются для других временных интервалов Т различной продолжительности. Из графика, представляющего зависимость дисперсии от Т, можно определить а, используя метод наименьших квадратов и уравнение (3.33).

Обычно для счета событий, детектируемых в течение временного интервала Т, применяется пересчетная схема с блоком пропускания, управляемая точным таймером; выходной сигнал печатается на лен­ те или пробивается на картах. Операция вывода данных обычно пре­ рывает эксперимент и вводит мертвое время между последователь­ ными наблюдениями. Погрешность из-за мертвого времени может быть уменьшена при использовании усовершенствованного много­ канального анализаторам качестве универсальной пересчетной схе­ мы, имеющей от 1000 до 4000 каналов. Мертвое время в такой схеме не превышает 10—20 мксек. Хотя для одновременного накапливания и запоминания данных и тем самым исключения мертвого времени должно создаваться специальное оборудование, различные методы, описываемые ниже, являются наиболее общими в настоящее время.

42

Помимо проблемы мертвого времени предшествующие методы связаны с накоплением большого количества данных. В методе, впервые предложенном Стегеманом [23], используется многоканаль­ ный анализатор, в котором детектируемые импульсы поочередно рас­ пределяются по каналам. По окончании интервала Т в память ана­ лизатора дополнительно подается единичный импульс, направля­ емый в очередной адрес и одновременно в канал, возвращающий систему в исходное положение. (Например, если за интервал Т де­ тектируется 341 событие, единичный отсчет (импульс) направляется в 342 ячейку памяти. Последний адрес всегда на единицу больше числа отсчетов, так как адрес отсчета, возвращающего схему в исход­ ное положение, является первым адресом.) Этот метод дает дискрет­ ную функцию вероятности, и, модифицируя уравнения (2.38, 2.39), можно рассчитать среднее и среднеквадратическое значения и, сле­ довательно, дисперсию и отношение дисперсии к среднему:

м

So-ч

где 714 — число запоминающих каналов (ячеек памяти) в анализа­ торе; N t—число отсчетов, накопленных в i-м канале. Должны быть приняты меры предосторожности для того, чтобы число отсчетов.за временной интервал не превышало числа каналов, имеющихся в ана­ лизаторе или специальном оборудовании, таком, например, как вспо­ могательная цифропечатающая система.

Оба приема имеют существенные недостатки, связываемые со стационарностью изучаемой системы. Поэтому существует общий прием записи в течение достаточно длительного времени выходного сигнала детектора на магнитную ленту и повторной обработки это­ го временного сигнала до получения необходимой информации (см. [24, 25]). Такие записи позволяют также сравнивать между собой результаты, получаемые различными методами. Следующий метод, примененный Турканом и Драгтом [26], заключается в исполь­ зовании очень короткого базового временного интервала, так что последующие испытания могут быть сложены для того, чтобы

образовать более длительные временные интервалы, ' кратные базовому.

Измерения параметров. Из уравнений (3.33) и (3.37) видно, что имеется несколько параметров, которые можно вычислить при измет

43

рениях отношения дисперсии к среднему (например, константа спа­ да мгновенных нейтронов а, дисперсия числа нейтронов, испуска­ емых при делении, реактивность подкритической системы, уровень мощности критической системы). Очевидно, не все из них вычисля­ ются независимо. Кроме того, тип изучаемой системы (быстрая, промежуточная или тепловая) также определяет, какие параметры могут быть вычислены. Пачилио [27] выразил ограничения для ис­ пользования уравнения (3.33) в терминах а {Г: оно применимо до тех пор, пока справедливо неравенство

Физически это значит, что интервал Т должен быть достаточно коротким, чтобы эффект запаздывающих нейтронов был незначитель­ ным, т. е. Г С 50 мксек для критических или околокритических си­ стем. Однако влияние запаздывающих нейтронов становится ме­ нее важным, если реактор становится более подкритическим.

Пачилио [28] установил, что число счетных интервалов N влияет на точность измерений, хотя они не входят в уравнения (3.33) или (3.37) в явном виде. Он также вывел отношение для относительного стандартного отклонения, где последующие события рассматрива­ ются как некоррелированные:

где У определяется уравнением (3.34). Он провел параметрическое изучение уравнений (3.37) и (3.42) и заключил, что:

1) большое число коротких временных интервалов в опытах пред­ почтительнее малого числа длительных интервалов;

2)зависимость У от а возникает для аТ < 1, но затем исчезает при возрастании Т ;

3)измерение отношения дисперсии к среднему по Фейнману требует: а) очень низкой мощности; б) высокой эффективности детек­

Условия (3.43) могут не удовлетворяться в графитовых и тяжеловод­ ных системах. Но даже в этом случае выражения (3.43), (3.44) ис­

44

пользовались Фейнманом идр. [2] и Курусина [29] для измерения Dv, Мак-Каллохом [30] для измерения р в плутониевой системе и Линдеманом. и Руби [31] для измерения подкритичности. Подкри­ тические измерения основываются на отношении

(3.46)

Этот метод не требует постоянства времени генерации для измене­ ний реактивности, но требует, чтобы эффективность детектора оста­ валась постоянной. Представленные результаты хорошо согласу­ ются с экспериментами с импульсным нейтронным источником вплоть до подкритичности, равной 3,5 долл [32]. Эффективность е может быть рассчитана по уравнению (3.28), если реактивность оп­ ределяется из измерений а и а с, а р из расчета. Абсолютная ско­ рость деления в системе определяется так:

где А — средняя скорость счета в эксперименте.

§ 3.5. Метод дисперсии Беннета

При достижении критичности на запаздывающих нейтронах приведенная дисперсия, рассчитываемая по уравнению (3.37), рас­ ходится (а7 стремится к 0, поскольку а 7 = — р/11,6). Чтобы из­ бежать этой трудности, Беннет [21] предложил альтернативный ме­ тод, который не дает расхождения при достижении критичности на запаздывающих нейтронах, а именно: измерение второго момента разности отсчетов для последовательных интервалов времени (диф­ ференциальный метод). С точки зрения нейтронной статистики, реактор в таком случае ведет себя как подкритическая система. Беннет вывел соотношение

где ck — число отсчетов в k-м временном интервале продолжитель­ ностью Т , другие символы имеют свой прежний смысл. Серия усред­ нений выполняется по N временным интервалам. Если выполняется условие а 2Т 1, уравнение (3.48) приближенно может быть пред­ ставлено выражением:

<(Cft+l —Cft)2) _ 2 <cft>

_ J | £Ду^1 _ 3 /2 + 1/2 exp (—2aT)—2 exp (—aT) j ^ ^ ^

45

где

По аналогии со значением величины Y в эксперименте Фейн­ мана по определению отношения дисперсии к среднему W представ­ ляет увеличение флуктуаций вследствие зависимости (коррелирован­ ное™) появления нейтронных цепочек по отношению к флуктуа­ циям, которые имелись бы, если бы они были полностью случай­ ными. Однако меньшее значение по сравнению с Y показывает, что коррелируемое™ между разностями в числе отсчетов для после­ дующих интервалов меньше, чем коррелируемое™ между числом отсчетов. При малых Т как W, так и Y стремятся к нулю, при увели­ чении Т W и Y стремятся асимптотически к величине eDvl р£, но не одинаковым образом.

В этих экспериментах могут быть использованы те же пропуска­ ющие схемы, что и для экспериментов по методу Фейнмана, но про­ цедура анализа данных должна быть другой. Мертвое время между циклами, особенно для очень коротких интервалов, так же сущест­ венно, как и для метода Фейнмана. Вероятностный анализатор Стегемана, применяемый для экспериментов Фейнмана, не может быть использован в этом методе. Следовательно, необходимо иметь дело с большим количеством данных и экспериментальная погрешность будет большей, чем в дисперсионных измерениях.

§ 3.6. Методы определения вероятности

Существует несколько методов измерения параметров реактор­ ных систем, которые основаны на определении pt (Д), вероятности счета i импульсов за временной интервал А. Когда имеются связанные

ции, которые происходят при наличии связанных по цепочке собы­ тий. Для некоррелированных случайных событий pt (А) является

распределением вероятности. Полученные таким образом вероят­ ности затем используются для определения отношения дисперсии

к среднему, из которого могут быть определены параметры системы

спомощью метода Фейнмана, т. е. с помощью уравнения (3.33). И, наоборот, вероятность pt (А) может быть выражена через пара­ метры ядерной системы.

Метод нулевой вероятности (метод Могильнера). Метод .нулевой вероятности был впервые предложен Могильнером и Золотухиным

[3] в 1961 г. Для серии испытаний, в которых А варьируется в широ-

46

ком диапазоне, измеряется средняя доля пустых каналов (т. е. ка­ налов с нулевыми отсчетами за интервал Д) при использовании М каналов анализатора. Могильнер и Золотухин применили вероят­ ностные производящие функции для расчета распределения вероят­ ности дискретной случайной переменной, определяемого уравне­ нием (2.47), в связи с легкостью расчетов вероятностей и моментов. Однако их первоначальное решение было основано на предполагае­ мом отрицательном биномиальном распределении отсчетов нейт­ ронов

за интервал времени Д и Y — корреляционный параметр, определя­ емый уравнением (3.34). Если число отсчетов i = 0, вспомогатель­ ная переменная стремится к — оо , и нулевая вероятность опре­ деляется как

где

(3.55)

а все другие величины определены выше в этой главе.

Пал [33] отметил, что первые два члена разложения уравне­ ния (3.54) в степенной ряд по eDv/p£ дают то же выражение для 1пр0 (Д), что и уравнение (3.52). Такое разложение в степенной ряд возможно только для s D j Рр < 1, что означает, что дисперсия от­ счетов едва ли отличается от распределения Пуассона. Однако а намного легче определяется для случая, когда eDv/pj; > 1, т. е. когда дисперсия отсчетов совершенно отлична от распределения Пу­ ассона. Пал рекомендует пользоваться более точным уравнением (3.54), поскольку его работа показала, что приближения, использо­ ванные Могильнером, справедливы для Д < 3 мксек.

47

Бабала [5] вывел уравнение (3.54), применив трехинтервальную производящую функцию вероятности, и разделяет рекомендации Пала*. Однако Пачилио считает, что экспериментальное согласие между результатами, полученными с помощью уравнений (3.53) и (3.54), распространяется на диапазон, более широкий, чем ожи­ дается.

Для эксперимента такого типа используется вероятностный ана­ лизатор, описанный в § 3.4, который в качестве выходного сигнала дает дискретные вероятности pt (А). Необходимыми для этих экспе­

риментов являются только значения р0 (А) и с, причем

где N0— число отсчетов в первом канале (нулевые отсчеты в течение времени А) и JV — полное число отсчетов по всем каналам. Среднее

число отсчетов с может быть получено мониторным счетчиком. При­ менение метода наименьших квадратов при определении р0 (А) в за­ висимости от А дает значения а и еД,/р2. Пачилио [34] использовал этот метод для измерения абсолютного уровня мощности, а Линдеман и Руби [31] для измерения подкритической реактивности.

Метод нулевой вероятности обычно применяется на тепловых реакторах при очень низком уровне мощности, так как должно быть значительное число интервалов с отсутствием отсчетов, чтобы этот метод был пригоден.

Метод модели Пойя. Метод модели Пойя представляет собой раз­ витие метода Могильнера, в котором все величины p-t (А), аппрок­

является нулевой вероятностью в методе Могильнера.

Для определения частотного распределения отсчетов для различ­ ных значений временного интервала А в эксперименте используется вероятностный анализатор. Проблема мертвого времени для корот­ ких временных интервалов остается столь же существенной, как и

* Еще раньше формула (3.54) была получена в работе [42]. — Прим. ред.

48

для метода Фейнмана. Для получения оптимальных значений вели­

чин!: и Y применяется метод наименьших квадратов. Приближение,, предложенное Могильнером и Золотухиным [3], включает миними­ зацию величины

где ci — действительное число отсчетов, накопленное в t-м канале, и ср. — ожидаемое число отсчетов, получаемое из теоретических

отношений распределения вероятности по уравнениям (3.57) и (3.58). Пачилио 134] предложил другой метод, в котором минимизи­ руется величина

Если величина с определяется монитором, то можно показать, что отношение дисперсии к среднему будет описываться выражением

где М — число значений i, используемых в суммах. Этот метод об­ работки данных дает хорошее согласие с методом дисперсии Фейн­ мана.

§ 3.7. Метод распределения интервалов (метод Бабала)

Работа Бабала [5], использующая распределение длин интерва­ лов между отсчетами, по-видимому, имеет ряд преимуществ по срав­ нению с другими методами счета. В случае последовательности некор­ релированных отсчетов, распределение интервалов определяется вероятностью отсутствия счета во временном интервале t, умножен­

49