книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

§ 2.3. Вероятностные распределения при радиоактивном распаде

Биномиальное распределение. Явление радиоактивного рас­ пада можно проанализировать с помощью элементарной теории вероятностей. К тому же радиоактивный распад позволяет наглядно показать вероятностные распределения: биномиальное, Пуассона и Гаусса (нормальное) [1].

Если имеется большое число N0 радиоактивных атомов с вероят­ ностью распада р, то может быть оценена вероятность распада т атомов за время t. Рассмотрим в данный момент только т атомов из N 0. Вероятность того, что первый из этих т атомов распадается, равна р; что распадается первый и второй—ра; что распадается пер­ вый, второй н третий — р3 и т.д. Вероятность того, что распадутся все т атомов, равно р'п. Если ровно т атомов распадаются, то остав­ шиеся (N0— т) атомов не должны распасться. Вероятность этого равна (1 — p)N°~m, так как вероятность избежать распада равна 1 — р. Следовательно, для данной группы из т атомов вероятность точного распада т атомов за время t равна р'п • (1 — p)N«~m. Од­ нако именно эта группа из т атомов является не единственной груп­ пой атомов, которая может распадаться. Первым из распадающихся атомов, входящих в число т атомов, может быть любой из N 0 ато­

дает общее число схем, по которым могут распасться т атомов из N0 за время t. Поскольку произведение включает также порядок выбора т атомов, необходимо его разделить на число перестановок из т атомов, равное т\ Следовательно, вероятность р (т) того, что т атомов из N0 распадутся за время t, равна

Это выражение для р (т) обычно называют биномиальным распре­ делением вероятности, так как коэффициент в квадратных скоб­ ках является коэффициентом перед величиной хт в биномиальном разложении (1 + х)ык Вероятность 1 — р того, что атом не распа­ дается за время t, определяется отношением числа нераспавшихся атомов N к начальному числу атомов N0:

где р — вероятность того, что атом не распадается за время t.

20

При рассмотрении времен, коротких по сравнению с периодом полураспада радиоактивного материала, применимо приближение

тогда

(2.28)

При рассмотрении времен, больших, чем одна сотая периода полураспада, должно использоваться уравнение (2.26).

б. Среднеквадратическое отклонение измерений скорости счет

Среднеквадратическое отклонение и дисперсия числа распадов за время t могут быть получены из биномиального разложения урав­ нения (2.23) путем определения второй производной по х:

т. е. среднеквадратическое отклонение числа распадов за время i рав­ но корню квадратному из среднего числа распадов, которые про­ исходят за данный интервал времени.

22

Распределение Пуассона. Биномиальное распределение, опи­ сываемое уравнением (2.21), упрощается при наложении следующих ограничений:

|У" e—

p (m) — — —j— . (2.44) m\

известное как распределение Пуассона, которое справедливо для N0, больших 200, и U, меньших 0,01. Это распределение почти сим­ метрично вблизи цт , если исключить значения т , удаленные от рт, и становится все более симметричным при возрастании рт . Основное преимущество распределения Пуассона состоит в том, что оно пол­ ностью определяется с помощью единственного параметра рпг

Гауссово, или нормальное, распределение. Если наложить до­ полнительные ограничения

уравнение (2.44), описывающее распределение Пуассона, сведется к

Это распределение называется нормальным распределением, или распределением Гаусса, и является симметричным относительно среднего значения рт .

а. Центральная предельная теорема. Важность нормального распределения для большинства физических задач непосредственно связанас использованием центральной предельной теоремы, которая гласит, что сумма независимых случайных переменных при доста­ точно общих условиях подчиняется примерно нормальному распре-

23

делению независимо от исходных распределений переменных. По­ скольку многие наблюдаемые физические явления—результат вза­ имодействия многочисленных переменных, нормальное распреде­ ление представляет хорошее приближение для многих обычно встре­ чающихся функций распределения. Эта теорема бывает весьма по­ лезной во многих практических случаях. Например, в ядерном ре­ акторе результирующая плотность нейтронов в данной точке может обусловливаться нейтронами, которые родились в результате цепо­ чек распадов, фактически не коррелируемых.

Рис. 2.1. Гауссово (нормальное) распределение вероятности.

б. Среднеквадратическое отклонение. Для больших значений цт среднеквадратическое отклонение определяется по формуле, анало­ гичной уравнению (2.36) для биномиального распределения:

Подстановка уравнения (2.49) в (2.48) дает наиболее привычную форму записи нормального распределения:

Кривая нормального распределения полностью определяется сред­ ним значением рт и среднеквадратическим отклонением от слу­ чайной переменной т. Кривые распределения по нормальному за­ кону для больших и малых значений дисперсии представлены на рис. 2.1. Надо иметь в виду, что площадь под кривой функции плот­ ности вероятности равна единице независимо от величины диспер­ сии. Если среднее значение рт равно нулю, кривые нормального рас­ пределения (см. рис.’ 2.1) симметричны относительно точки т = 0. Интегрирование функции плотности вероятности от рт — а до цт + + а дает вероятность того, что т будет лежать вблизи рт на рассто-

24

янии в пределах |а |. На рис. 2.1 интеграл представлен заштрихо­ ванной площадью. Величина а, при которой интеграл

равен 1/2, называется вероятной ошибкой, т. е. половина экспери­ ментальных данных будет попадать в интервал около среднего зна­ чения плюс или минус вероятная ошибка. Можно показать, что для нормального распределения вероятная ошибка и среднеквадрати­ ческое отклонение связаны между собой соотношением

и что с вероятностью 68,27% экспериментальные данные будут по­ падать в интервал ± <зт возле среднего значения р.т.

Интеграл от р (т), определяющий функцию распределения ве­ роятности Р (т) для нормального распределения, не вычисляется аналитически. Однако подстановкой

§ 2.4. Корреляционные функции

Корреляция—одно из важнейших понятий в анализе случайных шумов. Корреляция устанавливает количественное и (или) качест­ венное отношение переменной к самой себе, к другой переменной или нескольким переменным в зависимости от времени или с изме­ нением времени. Чтобы показать статистическую основу этого поня­ тия, оно будет введено здесь с использованием некоторых статисти­ ческих отношений, полученных ранее в этой главе.

Рассмотрим степень зависимости между двумя действительными случайными переменными х и у. Если построить диаграмму рассея­

квадратов, провести по данным точкам прямую. Если все точки по­ падут на эту прямую, можно сказать, что случайные переменные х и у являются линейно зависимыми или полностью коррелирован­ ными. Если точки так широко рассеяны, что они не выделяют ка­ кую-либо отдельную прямую, переменные х и у, вероятно, являются' независимыми или некоррелированными. Для случая, представлен­

25

ного на рис. 2.2, где данные, по-видимому, выделяют прямую, не­ смотря на большое количество разбросов, х и у являются частично зависимыми или частично коррелированными.

Воспользуемся методом наименьших квадратов для определения по данным точкам прямой:

где ур — предсказываемое значение у, а и Ь — постоянные пересе­ чения и наклона прямой соответственно.

Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния для случайных пе­ ременных X и у.

Дифференцирование по а и b и приравнивание результатов

Уравнение (2.55) использовалось для получения линии регрес­ сии у от х. Столь же обоснованно рассмотреть линию регрессии х от у путем подгонки точек к прямой

26

где хр — предсказываемая величина и а' и Ь' являются соответст­ венно пересечением оси х и наклоном (по отношению к оси у). Кон­ станты а' и Ь' определяются из уравнений:

Если х и у полностью коррелированы, регрессии, полученные при подгонке прямой х от у и у от х, должны быть идентичными, т. е. две линии на рис. 2.2 должны совпадать. Отсюда получаются отно­ шения:

Нормированный коэффициент корреляции. Если х и у не пол­ ностью коррелированы, можно определить степень корреляции по отклонению от уравнения (2.65). Нормированный коэффициент кор­ реляции определяется как корень квадратный из произведения двух коэффициентов наклона Ь и Ь'\

В случае, когда х и у некоррелированны (линейно независимы), слу­ чайные переменные

и, следовательно, р = 0. Из этих уравнений видно, что абсолют­ ное значение нормированного коэффициента корреляции меняется от нуля для некоррелированных переменных до единицы для пол­ ностью коррелированных переменных, т. е.

Ковариационная функция. Определим ковариацию Сху между х и у как числитель уравнения (2.66):

Алгебраические преобразования уравнения (2.70) дают

27

Понятия линейно независимые переменные и некоррелирован­ ные переменные не идентичны. Независимые случайные перемен­ ные некоррелированны. Обратное утверждение, т. е. что некор­ релированные переменные независимы, не справедливо в общем случае, так как при Сху и рху равных нулю переменные х и у могут быть связаны нелинейной зависимостью.

В общем случае средние значения отдельных случайных пере­ менных х и у не остаются постоянными во времени и должны опре­ деляться в различные моменты времени. В моменты tx и t2, где tx — t,

Сравнение уравнений (2.74) и (2.73) показывает, что ковариация является частным случаем взаимнокорреляционных функций, из которых вычитаются средние значения. Для стационарных процес­ сов уравнение (2.73) записывается

Для одной переменной, когда х = у , получаем автокорреляционную функцию

Корреляционные функции выражаются через функции плотности совместной вероятности как

28