книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

Обратные преобразования Фурье (7.12) и (7.13) дают импульсные функции, которые имеют затухающие осцилляторные члены, сдви­ нутые по фазе на 90°.

Исключение дрейфа. Дрейф можно рассматривать как состав­ ляющую, содержащую очень низкочастотные компоненты. Следо­ вательно, для устранения этих компонент необходимо установить

приемлема для исключения дрейфа, состоящего из частот ниже час­ тоты среза сос. Более острые срезы могут быть получены при использо­ вании передаточных функций более высокого порядка, таких, как квадрат или куб передаточной функции, определяемой уравнением

Рис. 7.8. Схема высокочастотного фильтра вто­ рого порядка.

(7.14). Рассмотрим, например, передаточную функцию второго по­ рядка, которая является квадратом выражения (7.14), т. е.

.(s + Mc)J

которая реализуется на аналоговой вычислительной машине по схе­ ме, показанной на рис. 7.8. Эта процедура существенно улучшается путем усовершенствований и использования более сложных схем и методик.

§ 7.3. Измерение плотности вероятности

Метод измерения. Для получения лучшего представления о плот­ ности вероятности и ее физической сущности рассмотрим случай­ ную переменную х (t). Из флуктуаций переменной, показанных на рис. 7.9, видно, что переменная некоторое время находится в ин­ тервале амплитуд между х и х + Ах .. Этот интервал определя­ ет отрезок кривой, и в общем случае проекция этого отрезка на

180

временную ось дает временной интервал. Для каждого значения х временные интервалы, в пределах которых переменная х находится в диапазоне Ах, суммируются, и отношение суммы этих временных интервалов к полному времени Т представляет собой вероятность сигналу находиться в интервале Ах при значении х. Эта вероятность

события в малом интервале в общем случае пропорциональна вели­ чине этого интервала. Поэтому разумно предположить, что когда интервал очень мал, то делением на интервал Ах можно получить величину, которая больше не зависит от этого интервала, а зависит только от амплитуды. Эта величина определяется как плотность вероятности. К сожалению, она зависит от длительности наблюде­ ния флуктуирующей переменной, но по мере увеличения длитель­ ности наблюдения становится более независимой от Т. Из выраже­ ния (7.16) вероятность должна быть всегда меньше единицы. Однако плотность вероятности, которая может быть получена более точно как

принимает положительное или нулевое значение. Можно сделать плотность вероятности безразмерной величиной умножением ее на бесконечно малую величину dx и заменой суммы интегралом, т. е.

181

В результате плотность вероятности будет всегда меньше или равна)- единице.

Строгое измерение плотности вероятности требует, чтобы Ах становилась бесконечно малой величиной, а временной интервал Т и диапазон значений х бесконечно большими. Следовательно, из­ мерение плотности вероятности является оценкой временной вели­ чины. В общем случае эта оценка дает ответ на вопрос, каково от­ личие от истинного значения из-за конечной длительности реали­ зации и конечного интервала Ах. Эта разница является ошибкой, которую нужно минимизировать в практических измерениях.

Применение многоканального амплитудного анализатора для измерений плотности вероятности. Другой метод измерения рас-

Рнс. 7.10. Структурная схема измерения плотности вероят­ ности.

пределения плотности вероятности, предложенный в работе [5], за­ ключается в применении многоканального амплитудного анализато­ ра, имеющегося во многих ядерных лабораториях. Структурная схе­ ма измерений с помощью такого анализатора показана на рис. 7.10. Процедура измерений заключается в том, что флуктуирующая пере­ менная х (t) подается на сравнивающее входное устройство многока­ нального амплитудного импульсного анализатора и затем на обыч­ ный импульсный пороговый вход подключается импульсный гене­ ратор. Импульсы генератора должны иметь одну и ту же высоту, а их ширина согласоваться с характеристиками анализатора. По­ скольку показание канала, в котором регистрируются импульсы, зависит от разницы напряжений входа сравнивающего устройства и импульсного входа, таким способом эффективно выбираются зна­ чения флуктуирующей переменной х (t), причем в каждый момент

флуктуирующей переменной. Следует отметить, что может оказаться необходимым суммировать флуктуирующее напряжение с напряже­ нием смещения и выбрать коэффициент усиления суммирующего усилителя для согласования напряжения на входе сравнивающего устройства с характеристиками многоканального анализатора.

182

§ 7.4. Измерение корреляционных функций

Измерение корреляционной и взаимной корреляционной функций аналоговыми приборами проводится относительно прямыми спосо­ бами. Процесс измерения корреляции включает три существенные стадии: временное смещение одной переменной относительно другой

.(наиболее трудная стадия), умножение этих двух переменных и ус­ реднение за достаточно длинный период времени. Обычно время за­ паздывания изменяется дискретным образом для получения достаточ­ ного количества точек кривой корреляционной функции. Можно изменять сдвиг непрерывно, если ЭТО делается Сравнительно медлен-

flxfli? в

0—

В ы хо д В

Направляющий шхий

- В ы ход С В хо д Аii- ■В ы хо д А

Ш Гоп о д т за п иси

B xo d с

ШИГоловка В осп ро изве­ дения

Рис. 7.11. Устройство магнитной записи для измере­ ния корреляции.

но, чтобы время усреднения, в то время как т изменяется в узком диапазоне, было сравнительно велико. Возникающая здесь пробле­ ма аналогична проблеме изменения средней частоты полосового фильтра при спектральном анализе, которая обсуждается ниже. Су­ ществует множество способов умножения и усреднения, и может быть получена любая желаемая точность этих операций, если выбрана соответствующая аппаратура. Однако проблема создания временной

.задержки более сложна. Если задержка не слишком длинна или мак­ симальная частота слишком высока, иногда используется схема Паде, показанная на рис. 7.5, но применение этой схемы ограничено соот­ ношением (7.9). Более общим методом создания задержки является запись на магнитную ленту с последующим воспроизведением. Та­ кое типичное устройство показано на рис. 7.11. Обычное устройство магнитной записи видоизменено таким образом, чтобы магнитная лента сматывалась с барабана 1, проходила мимо головки записи и воспроизведения А, вокруг направляющего шкива, мимо головки записи и воспроизведения В и наматывалась на барабан 2. Сущест-

183

вуют несколько способов, которые часто используются для создания запаздывания. Один из них заключается в записи переменной х (() с головки А на одной дорожке и снятии сигнала с головки В, при этом создается запаздывание

с которой лента движется мимо этих головок. Имеются определенные ограничения такого типа записи, одним из которых является мини­ мальная величина сдвига, который может быть получен, так как длина ленты, проходящей вокруг направляющего шкива, конечна, и нет возможности приблизить шкив как угодно близко к головкам. Эту трудность можно преодолеть установкой третьей подвижной головки записи и воспроизведения С, следовательно, запаздывание становится ограниченным со стороны нулевого значения только раз­ мерами головок записи и воспроизведения и скоростями ленты.

Другая широко используемая процедура записи, когда т мало, заключается в записи данных на две дорожки магнитной ленты с по­ мощью двух отдельных головок записи А и В. Пусть с головки А ведется запись на дорожку 1, а с головки В — на дорожку 2. Если данные вначале записывались при расположении направляющего шкива в середине диапазона своего перемещения, то движение шкива в одном направлении будет давать положительные временные сдви­ ги, тогда как движение в другом направлении — отрицательные временные сдвиги. Данные могут быть записаны при минимальной длине ленты между головками А и В, и затем отрицательные вре­ менные сдвиги могут быть получены воспроизведением записи на дорожке 1 через головку В и записи на дорожке 2 через головку А . Здесь минимально возможный отрицательный временной сдвиг равен

Умножив и затем усреднив выходной сигнал с головки А, запи­ санной на дорожку 1, с выходным сигналом с головки В, записан­ ным на дорожку 2, и выходной сигнал, записанный на дорожке 2 с головки А, с выходным сигналом, записанным на дорожке 1 с го­ ловки В, можно определить взаимную корреляцию двух перемен­ ных (которые являются одинаковыми для автокорреляции), запи­ санных на две дорожки. Значения для обоих сдвигов + т и —т из­ меряются одновременно. Размещение нескольких головок вдоль маг­ нитной ленты позволяет измерять несколько точек одновременно. Однако из-за высокой стоимости устройства с несколькими голов­ ками используются в корреляционных измерениях редко.

Магнитная память также может быть очень эффективным уст­ ройством задержки при наличии соответствующих аналого-цифро­ вых и цифро-аналоговых преобразований. Такие устройства обык­ новенно используются в лабораториях, оборудованных гибридны­ ми вычислительными машинами. Входной аналоговый сигнал кван­ туется со скоростью, соответствующей частотному содержанию сиг-

184

нала, оцифровывается и вводится в магнитную память. Величина задержки определяется числом точек, накопленных в памяти, преж­ де чем она будет приведена в исходное состояние, скоростью цифроаналогового преобразователя и обращением к корреляционной системе. Рассмотрим, например, сигнал, у которого верхняя частота ограничена 20 гц. Приемлемая скорость квантования может быть 50 точек в секунду; таким образом, накопление 10 точек в магнитной памяти будет давать задержку, равную 1/5 сек, накопление 200 точек обеспечивает задержку 4 сек и т. д.

§ 7.5. Измерения спектральной плотности

Существуют в основном две методики оценки спектральной и взаимной спектральной плотности. Первая из них заключается в измерении автокорреляционной или взаимной корреляционной функции и последующем преобразовании Фурье корреляционных функций. В этой классической методике для расчетов используются ЦВМ. Другая методика заключается в фильтрации: сигнал или сиг­ налы пропускаются через полосовой фильтр и выделяется доля сиг­ нала в данном частотном диапазоне. В случае измерения спектраль­ ной плотности мощности сигнал возводится в квадрат и затем делит­ ся на ширину полосы частот для получения среднего квадрата вели­ чины на единицу частоты, который по определению является спек­ тральной плотностью мощности. В случае измерения взаимной спектральной плотности два сигнала после фильтрации перемножа­ ются и усредняются, затем делятся на ширину полосы пропускания фильтра для получения действительной составляющей. Та же самая процедура используется для получения мнимой составляющей, за исключением того, что один из сигналов после фильтрации сдви­ гается на 90° по фазе. Амплитуда взаимной спектральной плотности является корнем квадратным из суммы квадратов действительной и мнимой составляющих, а фазовый угол — арктангенсом отноше­ ния мнимой составляющей к действительной.

Чтобы вывести эти соотношения, рассмотрим определение авто­

Автокорреляционная функция есть также обратное преобразо­ вание Фурье спектральной плотности мощности, т. е.

185

Если теперь пропустить переменную х (t) через идеальный фильтр, который пропускает частоты только в диапазоне Дм, то соотношение (7.23) превратится в соотношение

где мс — центральная частота полосы пропускания. В очень узкой полосе частот Дм не будет существенных изменений спектральной плотности мощности Gxx (м), и, таким образом, она может быть вы-

Рис. 7.12. Структурная схема измерения спектральной плотно­ сти мощности.

Спектральная плотность мощностибез труда может быть измере­ на путем выполнения соотношения (7.27). Переменная х (t) про­ пускается через полосовой фильтр с центральной частотой / с и ши­ риной полосы Д/. Отфильтрованный сигнал затем возводится в квад­ рат, усредняется и делится на Д/, чтобы получить спектральную плот­ ность мощности. Структурная схема таких измерений показана на рис. 7.12. Для практического применения этой схемы необходимо ввести фильтры высокой частоты перед и после полосового фильтра, чтобы удалить постоянные составляющие. Высшая частота среза двух высокочастотных фильтров определяет самую низкую частоту, при которой может быть измерена спектральная плотность мощности.

Процедура измерения взаимной спектральной плотности во многих отношениях аналогична, но более сложна из-за комплексности ве­ личин. Рассмотрим определение взаимной корреляционной функции

186

крху (т) величин х (/) и у (t) (которое является обратным преобразо­ ванием Фурье взаимной спектральной плотности):

плотностью Gxy (со) и ее действительной и мнимой составляющими

Сху (со) и Qxv (со):

так как двусторонняя спектральная плотность содержит компонен­ ты в отрицательном частотном диапазоне, которые физически не могут быть измерены. Уравнение (4.126) дает связь Сху (со) и Qxy (со) с корреляционной функцией cp^j, (т) в вид

Если мы пропустим переменные х (t) и у (t) через идентичные идеальные фильтры с полосой пропускания Дсо, то в результате по­ лучим

о ) „ + ( Д с о / 2 )

187

Если х (t) и у (t) пропустить через идентичные идеальные фильтры с полосой пропускания Дсо, то в результате будем иметь соотноше­ ние

Рис. 7.13. Структурная схема измерения взаимной спектральной плот­ ности.

соответствует фазовому сдвигу на 90° при центральной частоте озс. Поскольку переменные сигналы пропускаются через узкополосные

Структурная схема измерения взаимной спектральной плот­ ности показана на рис. 7.13. Применяемые приборы и методы под­ робно обсуждаются в следующих двух параграфах.

188

Схему, показанную на рис. 7.13, можно применить,для измерения спектральной плотности при подаче одного и того же сигнала на оба входа. В этом случае мнимая компонента Qxu (со) должна быть равна нулю (этот факт используется для контроля при соответствующей калибровке системы). Однако более удобно в этом случае приме­ нять один полосовой фильтр. Тогда по схеме, изображенной на рис. 7.12, измеряется все, что необходимо.

§ 7.6. Методы фильтрации при измерениях спектральной плотности

Существуют три различных метода фильтрации, которые исполь­ зуются при измерениях спектральных плотностей. Первый из них заключается в применении группы фильтров со смежными полосами пропускания. Преимуществом метода является возможность одно­ временного измерения на многих частотах. Если диапазоны фильт­ ров выбраны надлежащим образом, можно получить измерения спектральной плотности мощности в режиме on-line. Второй метод заключается в применении настроенного полосового фильтра, подоб­ ного рассмотренному в §7.7, в котором для фильтрации используются активные и пассивные цепочки. Принципиальный недостаток обоих методов в том, что такие фильтры не обладают прямоугольными час­ тотными характеристиками, которые необходимы для реализации соотношений, полученных в § 7.5. В таком фильтре амплитуда вход­ ных сигналов ослабляется на 24 или самое большее на 36 дб на октаву. Через фильтр этого типа может проходить сигнал гораздо большей мощности, чем через фильтр с идеальными характеристи­ ками. Серьезным недостатком такого фильтра является тот факт, что с ростом частоты он все больше отличается от идеального. Сле­ довательно, если входной сигнал является шумом, измерение мощ­ ности в диапазоне от 8 до 12 гц должно было бы давать тот же резуль­ тат, что и измерение мощности в диапазоне от 48 до 52 гц. К сожале­ нию, это не выполняется и может привести к очень серьезным по­ грешностям в измерениях спектральной плотности, как видно из рис. 7.14 и 7.15. На рис. 7.14 показаны частотные характфистики идеального и обычного фильтров, имеющие наклон 24 дб нц октаву для двух диапазонов от 8 до 12 гц и от 48 до 52 гц. Площадь под кри­ вой представляет собой корень квадратный из мощности сигнала, пропускаемого фильтром. Площадь под кривой в правой части рис. 7.15 примерно в 3,1 раза больше площади под кривой в левой части рисунка, поэтому измерение спектральной плотности мощности при помощи фильтра в правой части дает результат, примерно в 10 раз превышающий результат измерения при помощи фильтра в ле­ вой части, хотя результаты должны быть одинаковыми. Ясно, что эффективная полоса пропускания правого фильтра больше, чем левого, и больше полосы 4 гц идеального фильтра.

При корректных измерениях, в которых применяется этот тип фильтра, необходимо, чтобы эффективная ширина полосы пропуска-

189