книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

более точными, но требуют чрезвычайно много машинного времени. Зона с малым значением L2B2 плохо аппроксимируется пространст­ венно независимой составляющей.

Все расчеты, представленные для кубического реактора без от­ ражателя, выполнены в предположении точечного детектора. Для отдельно рассмотренного случая было отмечено, что реакторы с боль­ шим В2 проявляют более сильное изменение спектральной плот­ ности, чем реакторы с малой величиной В2. Это условие может не выполняться при рассмотрении детектора конечных размеров. В этом случае меньший (по размерам) реактор будет, вероятно, более

спектральной плотности. Как указывалось выше, влияние конечных размеров детектора, размещаемого в бесконечной среде, приводит к тому, что спектральная плотность приближается к результату, получаемому для реактора с сосредоточенными параметрами. Мож­ но показать, что эффект незначителен для детекторов малых разме­ ров порядка нескольких диффузионных длин или меньше. Однако на практике детекторы часто имеют значительно большие размеры, по крайней мере в одном измерении. Следовательно, детектор конеч­ ных размеров в кубическом реакторе без отражателя должен иметь спектральную плотность, описываемую лучше всего основной со­ ставляющей (собственной функцией).

§ 5.8. Заключение

Расчеты, сделанные Шеффом и Альбрехтом, иллюстрируют не­ сколько интересных аспектов, касающихся явлений реакторного шу­ ма, которые проявляются, только когда используется пространствен­ но зависимая теория. Среди них наиболее важны следующие:

1. Обычно применяемая точечная модель реактора эквивалентна размещению бесконечного однородного детектора в бесконечной раз­ множающей среде. Точечный детектор в бесконечной среде не дает согласия с результатами для точечного реактора.

2. Функции взаимной корреляции и спектральной плотности в бесконечной среде были получены в явном виде, и были установле­ ны свойства, зависящие как от расстояния между детекторами в дли­ нах диффузии, так и от времени или частоты.

3.Эффект приближения детектора к границе состоит в том, что спектр смещается в сторону белого шума. Этот вывод согласуется с влиянием эффективности детектора в пространственно независимой теории.

4.Размер детекторов, когда детектор становится большим, при­ водит к результатам пространственно независимой или точечной мо­ дели.

5.В прямоугольном параллелепипеде без отражателя взаимная корреляционная функция в общем случае не является четной функ-

140

ГЛАВА 6. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ШУМОВ

§ 6.1. Введение

Измерения шумов проводятся в ядерных реакторных системах

вкритическом и подкритическом состояниях. Шумы были измерены также в реакторах в надкритическом состоянии, но ограничения вре­ мени таких измерений очевидны. Для поддержания нейтронного по­ тока на квазистатическом уровне в подкритической реакторной си­ стеме необходим искусственный источник нейтронов. Этим внешним источником может быть смесь Ри — Be или Р о — Be, которая ис­ пускает нейтроны в случайные интервалы времени при радиоактив­ ном а-распаде плутония или полония. Такие нейтроны получаются

врезультате (а, /г)-реакции а-частиц с бериллием. Внешние нейт­ роны могут быть обусловлены также (у, п)-реакцией высокоэнер­ гетических у-квантов, испускаемых продуктами деления, распреде­ ленными по активной зоне, причем реакция происходит на бериллии или дейтерии в активной зоне или отражателе. Третьей возмож­ ностью производства внешних нейтронов является спонтанное деле­ ние 238U или Ри.

Предположим, что ядерные параметры подкритической системы не зависят от времени, а флуктуации параметров на выходе обуслов­ лены флуктуациями на входе. В этом случае реакторную систему можно описать соотношениями, полученными в гл. 4. Обычным мето­ дом является измерение спектральной плотности мощности входного

ивыходного процессов или взаимной спектральной плотности меж­ ду входом и выходом, из которых может быть получена передаточная функция реакторной системы. Параметры системы затем опреде­ ляются из передаточной функции.

Особые проблемы возникают в подкритических системах, в кото­ рых нейтронная плотность довольно низка. Последнее означает, что требуются высокоэффективные детекторы. Получить полезную ин­ формацию из флуктуаций нейтронной плотности трудно, так как мно­ гие приборы очень инерционны при работе на нижних диапазонах. Методы преодоления этих трудностей обсуждаются в следующих па­ раграфах.

Присутствие внешнего нейтронного источника в близкой к кри­ тическому состоянию системе создает нежелательный высокий фон,

142

который может вызвать искажение измеряемой величины. В крити­ ческом реакторе, но на нулевом уровне мощности нейтронная плот­ ность существенно флуктуирует относительно средней величины. Однако при увеличении мощности эти флуктуации становятся больше по абсолютной величине, но они незначительны по сравне­ нию со средним уровнем нейтронной плотности. Эти флуктуации обусловлены статистической природой процесса деления (т. е. числа нейтронов, возникающих в одном акте деления), геометрическим распределением различных материалов в сборке, их сечениями, энергией отдельных нейтронов в зависимости от координат и дру­ гих параметров. Когда мощность увеличивается, наиболее сущест­ венные флуктуации вызываются возмущениями реактивности, воз­ никающими в результате движения регулирующего стержня или изменения положения отражателя. Иногда такие возмущения реак­ тивности могут быть вызваны флуктуациями скорости теплоносите­ ля, вибрацией и т. д. В других случаях, чтобы провести измерения шумов, необходимо умышленно ввести в систему возмущение.

Методы измерений и тип детектирующей системы очень тесно связаны с уровнем мощности. В подкритическую и почти критиче­ скую системы наиболее целесообразно помещать импульсные детекто­ ры и проводить импульсные измерения, описанные в гл. 3.

Когда мощность реактора становится значительной, для измере­ ний шумов чаще всего в качестве первичной величины используется ток ионизационной камеры. В этом случае применимы стандартные методики корреляционного и спектрального анализа. Когда мощ­ ность достигает уровня, на котором наблюдаются существенные теп­ ловые эффекты, шумовые методы могут использоваться для детекти­ рования нестабильностей потока теплоносителя, вибрации компо­ нент активной зоны, а также значительных объемов пара. Некото­ рыми экспериментаторами сообщалось о детектировании шумовыми методами начала кипения в активной зоне, однако публиковались также сообщения об отсутствии возможности такого детектирования.

Методика получения параметров из шумовых измерений заклю­ чается в определении передаточной функции или импульсной функ­ ции системы. Передаточная функция критического реактора нулевой мощности имеет верхнюю частоту излома, равную р//, и нижние ча­ стоты излома, зависящие от постоянных распада и долей запазды­ вающих нейтронов Р;. Поскольку постоянные распада и доли за­ паздывающих нейтронов изменяются в зависимости от содержания плутония и урана в топливе, путем измерения нижних частот излома передаточной функции можно оценить величину выгорания в реак­ торе.

Одним из наиболее важных измерений в подкритических систе­ мах является измерение степени подкритичности, или реактивности. В действительности реактивность в ядерной системе не может быть измерена непосредственно; легче определять p/р, рН или другие ве­ личины, которые являются комбинацией р£, р и /. Обычно для опре­ деления реактивности измеряется росси-альфа-постоянная.

143

Серьезной проблемой, связанной с измерениями в подкритиче­ ских системах, является требование высокой эффективности детек­ тора. Однако недавние эксперименты с взаимной корреляцией сиг­ налов двух детекторов показали преимущества метода и возможность использования менее эффективной детектирующей системы. Это по­ зволяет располагать во многих случаях детектор вне активной зоны и, следовательно, поместить детектор вне корпуса энергетического реактора. Двухдетекторный метод подробно обсуждается в настоя­ щей главе.

§6.2. Корреляционные измерения

Вгл. 4 были описаны основные соотношения теории случайных шумов. Применяя эти соотношения к реакторным системам, можно

получить большое количество информации об этих системах при усло­ вии, что имеется адекватная модель (передаточная функция или им­ пульсная функция) реакторной системы.

Основные уравнения во временной области, приведенные в гл. 4:

00 оо

полезны только при определенных условиях. Некоторые из этих условий обсуждаются ниже.

Белый шум на входе. Если входной сигнал может быть представ­ лен белым шумом, то автокорреляционная функция входного сиг­ нала пропорциональна дельта-функции Дирака 6 (т) и уравнение (6.1) имеет вид

оооо

где А — постоянная пропорциональности. Если мы заменим пере­ менные

и используем тот факт, что функция 6 (т — р) не равна нулю только при т = р и интеграл от дельта-функции равен единице, то получим

.144

Соотношение (6.5) полезно только в некоторых случаях, когда 1г (() представляет собой простую функцию. Например, если к (t) являет­ ся экспоненциальной функцией, то (p/lh (т) также будет экспонен­ циальной функцией, и коэффициент ослабления системы оценивается в соответствии с соотношением (4.90).

Детектирование периодических компонент. Одним из наиболее полезных аспектов измерения автокорреляционной функции яв­ ляется обнаружение существования периодических компонент на выходе системы. Когда функция имеет периодическую компоненту, ее автокорреляционная функция (исключая область вблизи нуля) также является периодической функцией с тем же самым периодом. Если периодическая компонента теряется в случайных шумах, не­ обходимо провести автокорреляционный анализ для больших времен­ ных сдвигов, пока не обнаружится периодическая компонента. Если периодический характер автокорреляционной функции совершенно ясен, то для идентификации наиболее существенных частотных ком­ понент можно использовать фурье-анализ. В некоторых случаях час­ тотные компоненты связаны с физическими явлениями в реактор­ ной системе. Очевидно, что эти частотные компоненты находятся путем спектрального анализа, если сигнал не искажен другими флуктуациями. Автокорреляционная функция очень эффективна для определения периодических компонент в присутствии больших фо­ новых шумов.

Взаимные корреляционные функции. Соотношение между взаим­ ной корреляционной функцией входа и выхода линейной системы (6.2) может быть упрощено, если сигнал на входе является белым шумом. Тогда автокорреляционная функция входного сигнала про­ порциональна дельта-функции Дирака и уравнение (6.2) принимает вид:

оо

ф*в С 0= \ h(K)A6(x— K)dK= Ah(x) J 6(x—K)dX= Ah(T). (6.6)

— оо

Следовательно, взаимная корреляционная функция входного и вы­ ходного сигналов пропорциональна импульсной переходной функ­ ции. Это соотношение особенно удобно применять в тех случаях, когда спектральная плотность мощности входного сигнала постоян­ на в интересующем нас диапазоне частот. Соотношение (6.2) между срж!/ (т) и фа-* (т) полезно также, если функция сржк (т) из­ вестна или может быть измерена.

Автокорреляция корреляционной функции. Извлечение информа­ ции изданных, неточных из-за присутствия шумов, часто проводится путем подгонки экспериментальных данных методом наименьших квадратов к выбранной модели. В работе [ 1 ] использовался другой ме­ тод, заключающийся в оценке импульсной переходной функции взаимным корреляционным методом [соотношение (6.2)]. Вместо оценки действительных ошибок взаимной корреляционной функции Фи (т) исключалось, насколько это возможно, их влияние путем

145

флуктуаций. Другими словами, определялась автокорреляция взаимной корреляционной функции.

Эта методика применима как для автокорреляционной функции, так и для взаимной корреляционной функции. Пусть измеренная кор­ реляционная функция состоит из истинной корреляционной функции <р (т) и функции ошибок е (т):

Автокорреляционная функция ф (т) есть

Фф$ М = £ [ф ('г)ф('г + 1-1')] =£{[ф(тО + е(?)] [ф(^ + Р-)+ е(т + р)]} =

Если ошибка случайная, последний член в (6.8) является дель­ та-функцией Дирака. Даже если ошибка не случайна, этот член быстро стремится к нулю. Взаимные корреляционные члены ффс (ц) и фСф (ц) равны нулю, так как нет корреляции между функцией оши­ бок и истинной корреляционной функцией. Следовательно, преоб­ ладает первый член ффф (р). Для важного случая, когда корреляцион­ ная функция экспоненциальна, ффф (р) также является экспонен­ циальной функцией. В работе [1] показано, что эта методика умень­ шает вариацию ординат измеренной взаимной корреляционной функ­ ции в два раза, а вероятность данной ошибки — в шесть раз, если импульсная переходная функция (которая пропорциональна взаим­ ной корреляционной функции при входном сигнале в виде белого шума) была экспоненциальной. Предполагалось, что импульсы де­ тектора, собираемые в каждом канале временного анализатора, под­ чиняются распределению Пуассона и что скорости счета в соседних каналах отличаются незначительно.

§ 6.3. Измерения спектральной плотности

Соотношения (4.93) и (4.100) между спектральными плотностями, важные для измерений в ядерных реакторах, запишем как

а аналогичные соотношения, включающие односторонние спектраль­ ные плотности, в виде

146

Спектральные плотности мощности процесса можно рассматривать как линейные функции и записать в соответствии с уравнением

(4.29) как

Применение этих соотношений к ядерным реакторам будет проде­ монстрировано ниже.

п(0

Рис. 6.1. Структурная схема системы детектирования нейтронов в реакторе.

На измерения нейтронной плотности или потока в ядерном реак­ торе оказывают влияние шумы детектора, так как детектирование нейтронов происходит в результате возникающих взаимодействий поглощения или рассеяния отдельных нейтронов. Обычно выход си­ стемы детектирования нейтронов состоит из двух компонент: одной— обусловленной флуктуациями в системе, другой — обусловленной

В общем случае шумы детектора можно рассматривать как белый шум в интересующем нас диапазоне частот, и, следовательно, Gnn (со) считать постоянной величиной.

Если функция х (/) по своей природе случайна (например, вход есть эквивалентный источник шума) или может быть сделана слу­

147

чайной (например, возмущением реактивности), GxX ( со) будет потоянной величиной. Следовательно, (6.16) примет вид:

Это соотношение, показанное на рис. 6.2, удобно для измерения вели­ чины росси-альфа подкритической и критической ядерных систем. Основной проблемой в этой методике является малое отношение кор­ релированных шумов к некоррелированным шумам (А1а?)/В. Это отношение, которое можно рассматривать как отношение сигнал/шум, очень мало для низкоэффективных детекторов даже в слу­ чае высокой скорости счета. Два асимптотических уровня в .соот­ ношении (6.2) становятся почти равными, и оценка постоянной а из этих измерений бывает затруднительной. Для успешных измере­ ний требуется эффективность детектора около 10-4, т. е. один нейт­ рон детектируется на каждые 10 000.

Из рис. 6.1 видно, что измерительную аппаратуру можно рас­ сматривать как систему с двумя входами, т. е. входами измеритель­ ной аппаратуры являются шумы детектора п (t) и выход реактора z (t). Как показано соотношением (4.206), когда два входа независи­ мы, взаимная спектральная плотность между одним входом и выхо­ дом не подвержена влиянию другого входа. Следовательно,

148

Однако для наблюдения доступны только х (/) и у (/). Поэтому, преобразовав систему, как показано на рис. 6.3, и применив урав­ нение (4.201), получим

Рис. 6.3. Альтернативная структурная схема де­ тектирования нейтронов в реакторе.

Так как Н1 (со) определяется путем калибровки аппаратуры, Я (со) находится из соотношения

Для случая, когда функция Gxx (со) неизвестна и не может быть из­ мерена, ниже описан метод взаимной корреляции двух детекторов.

§ 6.4. Измерения передаточных функций

Существуют несколько методов измерения передаточной функции ядерной системы. В общем случае измеряется реакция системы на введение известного входного сигнала (периодического, переходного и меняющегося случайно). Сигналы, изменяющиеся случайным образом, либо специально подаются на вход системы, либо возни­ кают в результате внешних возмущений, не контролируемых ис­ следователем. Необходимо быть уверенным в том, что частотное со­ держание случайных сигналов находится в интересующем нас диа­ пазоне и их амплитуда достаточно велика для проведения измерений.

Переходные и периодические сигналы являются по своей приро­ де детерминированными, поэтому с их помощью можно получить не­ обходимые амплитудные и частотные характеристики. В общем слу­ чае периодические сигналы более удобны, хотя иногда переходные сигналы имеют определенное преимущество [2]. В качестве перио­ дических могут применяться сигналы синусоидальные и прямоуголь­ ной формы, сигналы, содержащие много частот, ряды импульсов и большое многообразие волн сложных форм. Использование чисто синусоидального сигнала имеет некоторое преимущество по сравне­ нию с другими периодическими сигналами, заключающееся в том, что вся мощность такого сигнала сконцентрирована на одной частоте и, следовательно, частотная реакция системы может быть определена

149