книги из ГПНТБ / Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов

должно оставаться значительно более медленным, чтобы гаранти­ ровать применимость приближения о непрерывной плотности нейт­ ронов. Свертка включает интегрирование как по объему, так и по времени и имеет вид:

оо

О г '

где h (г', г, т) — функция Грина. Как у (г, t), так и х (г, t) флук­ туируют и связаны друг с другом выражением

Когда оператор Г (r, t) является функцией дифференциальных опера­ торов одной переменной, уравнение (5.33) называется уравнением Ланжевена.

Уравнения кинетики реактора, включающие временные и про­ странственные эффекты, для средних значений (средний входной сигнал равен нулю) записываются в следующем виде:

средние значения величин, которые в действительности флуктуи­ руют стохастическим образом, т. е.

Проведем конкретный расчет взаимной корреляционной функции

120

Уравнение (5.38) усредняется по ансамблю сигналов или, в пред­ положении эргодичности процесса, по времени. Взаимная корреля­ ционная функция выходного сигнала определяется как

т

где сделана подстановка t2 — tx + т. Взаимная корреляционная функция входного сигнала выражается подобным же образом. При таких определениях усреднение по времени уравнения (5.38) дает взаимную корреляционную функцию выходного сигнала для левой части уравнения (5.38). Изменяя порядок интегрирования, легко показать, что правая часть содержит взаимную корреляционную функцию входного сигнала. Результатом этого является:

Уравнение (5.40) является общим, поскольку еще не ограничивается физическими условиями, которые будут введены в дальнейшем. Од­ нако прежде чем получить нужные результаты на основании уравне­ ния (5.40), необходимо знать корреляционную функцию входного сигнала. Часто ее значение не бывает точно известно, но точно из­ вестно ее значение при т = 0. В этом случае чаще всего предпола­ гается, что она соответствует белому шуму, т. е. корреляция вход­ ного сигнала принимается пропорциональной дельта-функции Дира­ ка. Это предположение ограничивает обоснованность (достоверность) корреляционной функции выходного сигнала значительно больше по сравнению с действительной «шириной» пика корреляционной функции входного сигнала. Часто предположение о белом шуме делается тогда, когда известна автокорреляционная функция вход­ ного сигнала и когда его использование оправдывается упрощением решения и соответствующими требованиями для получения резуль­ тата. Взаимная корреляционная функция входного сигнала, имею­ щего характер белого шума, в общем случае описывается следую­ щим образом:

ф*»*, 0ч, г;, Т + Т х — т2) = Л (г;)б(г; —г ') б ( т + Т х — т2). (5.41)

Уравнение (5.41) указывает на то, что корреляция существует толь­ ко для идентичных точек по объему и при т = т2 — тх. Часто вели-

121

чина корреляции является функцией пространственных перемен­ ных. Подстановка уравнения (5.41) в (5.40) дает:

4W , (П. г2, т) =

Эти ограничения вызваны тем, что функция Грина при отрицатель­ ном аргументе равна нулю. Автокорреляционная функция получит­

ключение содержит в себе предположение, что процесс накладывает­ ся на среднюю нейтронную плотность. Таким образом, автокорре­ ляционная функция содержит подлежащий вычитанию квадрат сред­ него значения, а взаимная корреляционная функция — подлежащее вычитанию произведение двух средних значений. Более правильно эти функции называть авто- и взаимными ковариационными функ­ циями.

б. Функция взаимной спектральной плотности. Важно рассмо реть и другую форму уравнения (5.42) в зависимости от функций взаимной спектральной плотности, поскольку этот результат в неко­ торых случаях будет более удобен. Коэффициент во взаимной'корре­ ляционной функции белого шума А (г) так же, как и обоснование и ограничения, связанные с предположением белого шума, может быть более легко получен при изучении поведения функции спект­ ральной плотности.

Преобразование Фурье уравнения (5.40) приводит к следующему

где Н (r[, Г!, jco) — частотная характеристика для единичного то­ чечного источника, расположенного в точке rj, которая получается преобразованием Лапласа функции Грина с заменой s на jco. По от­ ношению к переменной Лапласа s она является передаточной функ­ цией. Отметим, что по отношению к пространственным переменным она остается функцией Грина и что она может быть также использо­ вана для получения передаточных функций для более сложных рас­ пределений источников. Звездочка указывает на комплексно, со­ пряженную переменную.

122

Преобразование Фурье взаимной корреляционной функции бело­ го шума, описываемой уравнением (5.41), приводит к выражению

Таким образом, функция взаимной спектральной плотности имеет вид

определяемой передаточной функцией источника в точке г', т. е. представляет собой отношение преобразования Лапласа плотности нейтронов в точке гх к преобразованию Лапласа единичного источника в точке г(. Отметим, что Я (г[, rx, s) является функцией

де чем применять уравнение- (5.42), нужно найти выражение для А (г2). Это может быть сделано для одной из нескольких возможных моделей, которые описывают реакторную систему. Использование хорошо известной пространственно независимой модели, включая запаздывающие нейтроны, дает лишь приближенно правильные ре­ зультаты.-Неточность является прямым следствием предположения о том, что источник шума имеет характер белого шума, но в единицах частоты погрешность незначительна из-за малого объема области источника шума.

Выражение для А (гх) выводится ниже с помощью обобщения пространственно независимого метода, предложенного Коэном [1]. Величина А (гх) представляет собой входную или эквивалентную спектральную плотность мощности источника на единицу объема около точки Гз. Как результат предположения о белом шуме она яв­ ляется постоянной по отношению к частоте со. Затем для вычисления этого постоянного спектра используется формула Шотки [2]. Гово­ ря более точно, поскольку формула Шотки аппроксимирует реаль­ ный спектр его значением при нулевой частоте, приближение спра­ ведливо вплоть до частот порядка обратной величины среднего вре­ мени корреляции (т. е. среднего времени, в течение которого реаль­ ный процесс сильно коррелирован). Коэн отметил, что для простран­ ственно независимого случая это среднее время должно быть поряд­ ка времени, требуемого для перехода нейтрона из связанного в не­ связанное квантовое состояние, которое меньше, чем Ю-20 сек. Такая оценка полностью приемлема здесь..

123

Для расчета коэффициента источника шума или, иначе, спект­ ральной плотности мощности реакторного источника эквивалент­ ного шума, формула Шотки записывается в следующем виде:

где А (г) имеет размерность нейтрон2/(см3■сек); qt — полное число

нейтронов, образующихся при одной ядерной реакции типа £, >щ — среднее число реакций типа £, происходящих в кубическом санти­ метре. Неявно эта формула предполагает, что все реакции незави­ симы. Различные реакции, приравниваемые к эквивалентному ис­ точнику, приводятся в табл. 5.2. Здесь р (vp) — вероятность испус-

кания при данном делении vp мгновенных нейтронов; 2 П/ — макроскопическое сечение поглощения без деления; I — время жизни теплового нейтрона, равное 1/оЕа; остальные обозначения имеют свой обычный смысл. Применение уравнения (5.47) к про­ цессам, перечисленным в табл. 5.2, приводит к следующему выра­ жению для А (г):

124

где в зонах, в которых k = v 2 у/2 а равно нулю, сг (г), конечно, тоже равны нулю и

Необходимо найти выражение для среднего квадрата числа мгновен­ ных нейтронов, которое может быть получено несколькими путями. Предположим на мгновение, что Р — константа, а не средняя флук­ туирующая величина, т. е. Р — условная вероятность того, что если нейтрон испускается, то он с вероятностью р будет запаздывающим нейтроном, а (1 — Р) — условная вероятность испускания мгновен­

+ 5 ( г )- - -V * „ (r ) = ^ k l - P ) ^ = ^ - +

Найдем также соотношение между п (г) и S (г) для подкритического, случая, которое для несложного распределения источников является очень простым. Например, для бесконечного гомогенного реактора с равномерным распределением источников средняя нейтронная плотность связана с плотностью источника соотношением

В этом случае уравнение (5.53) имеет вид:

Предположение о постоянстве р можно легко исключить, но сна­ чала надо оценить предположение о том, что источник шума имеет характер белого шума. Использование предположения о белом шуме в случае пространственно независимой модели, включая запазды­ вающие нейтроны, несколько не согласуется с тем, что было получена Беннетом и др. [13]. Различия имеют величину порядка р. Действи­ тельно, величина несоответствия достаточно мала, так что этим почти всегда-можно пренебречь.

125

Приложение к скорости счета детектора. Для анализа результа­ тов экспериментальных измерений проведем некоторую модифика­ цию предшествующих результатов, связанных с нейтронной плот­ ностью. Скорость счета детектора определяется как

где — макроскопическое сечение детектирования. Это значение является математическим пределом скорости счета, измеряемой на интервале Т, когда Т 0. Исторически величина A была заме-, йена на еЕ/ или е02 а, где е и е0 представляют эффективности детек­ тора (т. е. отношение числа отсчетов в детекторе либо к скорости де­ ления в единице объема, либо к скорости поглощения в единице объема). Хотя флуктуации скорости счета пропорциональны флук­ туациям нейтронной плотности, если величина v (AV2d) постоянна, из этого не следует, что автокорреляционная или взаимная корреля­ ционная функция скорости счета пропорциональна нейтройной плотности. Это различие объясняется тем, что счетчик при детекти­ ровании нейтронов поглощает их. Таким образом, корреляция в ней­ тронной плотности, которая будет следствием присутствия одного нейтрона в системе в начальный момент времени t и присутствия того же нейтрона или дочерного в конечный момент времени t + т, долж­ на быть исключена из корреляционной функции скорости счета. Од­ нако корреляция единичного нейтрона вносит вклад в автокорреля­ ционную функцию при т = 0 или в дисперсию скорости счета.

§5.5. Пространственно-зависимый шум

вбесконечной среде

Взаимная корреляция в бесконечной среде. Для получения взаим­ ной корреляционной функции нейтронной плотности между двумя точками наблюдения гх и г2 в однородной гомогенной бесконечной среде Шефф и Альбрехт [3, 4] использовали функцию Грина в общем уравнении (5.42):

Ф*. и, (ri- г’- ' т) =

* гг

Сделав эту подстановку, отметив, что коэффициент входного шума А — константа, и выполнив указанное интегрирование, получим взаимную корреляционную функцию:

126

и и (t—а) является единичной ступенчатой функцией. Выражение для автокорреляционной функции для выбранной точки наблю­ дения можно легко получить из уравнения (5.58), приравняв г2 к г2:

00

Подстановка значения константы А, определяемой уравнением (5.55), в соотношения (5.58) и (5.60) дает взаимную-и автокорреля­ ционную функции соответственно для нейтронной плотности. Одна­ ко корреляционные функции скорости счета отличаются от корреля­ ционных функций нейтронной плотности, так как детектор при ре­ гистрации поглощает нейтрон. Поскольку измеряется именно ско­ рость счета, детекторная корреляция является наиболее интересной. Шефф и Альбрехт [3,4] получили автокорреляционную функцию ско­ рости счета:

Детектор имеет объем ДУ, сечение 2 d, среднюю скорость счета с — = vAVhdn. Следовательно, размерность корреляционной функции скорости счета сект2. Автокорреляционная функция, описываемая уравнением (5.61), является пространственно-независимой, но она существенно отличается от функции для модели реактора с сосредо­ точенными параметрами, которая представляет собой простую экспо­ ненту:

Автокорреляционная функция в точке для бесконечного реактора отличается от. корреляции для реактора с сосредоточенными пара-

127

метрами из-за того, что все деления в точечном реакторе имеют рав­ ную вероятность регистрации, в то время как в системе конечных размеров большую вероятность регистрации имеют деления, про­ исходящие ближе к детектору.

Существенное различие между корреляцией в точке для беско­ нечной среды и корреляционной функцией реактора с сосредоточен-

Рис. 5.1. Сравнение пространственно-независимой автокорреляционной функции и автокор­ реляционной функции скорости счета то­ чечного детектора, размещенного в бес­ конечном гомогенном реакторе [4];

-------- —пространственно независимая, нор­

ными параметрами показано на рис. 5.1.Верхняя кривая соответст­ вует уравнению (5.62). Нижняя группа кривых соответствует урав­ нению (5.61) для нескольких значений подкритичности.

Взаимная корреляционная функция между двумя точечными де­ текторами в бесконечной среде зависит только от расстояния между ними и времени корреляции т. Взаимная корреляционная функция ■скорости счета между двумя точками в бесконечном гомогенном реак­

128

торе в одногрупповом приближении получается подстановкой коэф­ фициента источника шума входного сигнала в уравнение (5.58):

Уравнение (5.63) оценено, и результаты представлены на рис.5.2. На графике показана взаимная корреляционная функция в зависи­ мости от времени корреляции т и от расстояния между точками в ка­ честве параметра в критической бесконечной системе. Как и следо­ вало ожидать, величина корреляции уменьшается при удалении де­ текторов друг от друга. В этой модели взаимная корреляционная функция при стремлении х к нулю стремится к конечному значению, в то время как автокорреляционная функция становится беско­ нечной.

В области плато или близкой к плато взаимная корреляционная функция скорости счета приближенно записывается:

Частный случай уравнения (5.64) при т = 0 был также получен' Нателсоном и др. [14]. Действительно, известно, что взаимная кор­ реляционная функция должна стремиться к нулю при т, стремящемся к нулю, потому что время распространения нейтронов конечно. В диффузионной теории этого результата не получается, так как только в транспортной теории, как в приближении более высокого порядка, по сравнению с диффузионной теорией, проявляется ко­ нечная скорость распространения нейтронов.