книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

и в соответствии с (1-59) при s, > s2

ii

Уравнения (1-62), (1-63) и (1-64), (1-65) легко получаются для простейших систем исходя из принципа Даламбера и законов Кирх­ гофа и приведены здесь только с целью иллюстрации приложения принципа Гамильтона к электромеханическим системам. Естественно, что функция Лагранжа и принцип Гамильтона дают существенное преимущество при анализе сложных, связанных систем с развет­ вленными входами и выходами и при обобщении методики ана­ лиза и синтеза электромеханических систем и в том числе силовых электромагнитных механизмов.

Укажем дополнительно, что приведенные выше реко­ мендации по составлению уравнений движения для элек­ тромагнитных механизмов могут быть использованы так­ же при анализе динамики электромеханических уст­ ройств, работающих на других принципах, например магнитоэлектрическом, электродинамическом и др.

На рис. 1-9,а— в приведены принципиальные схемы электроди­

намических механизмов с поворотным (рис. Г9,а) и прямоходовым (рис. 1-9,6) движением рабочего органа — рамки с обмоткой, жестко скрепленной с исполнительным органом, например подвижным кон­ тактом, или с упругим диффузором, как в случае динамика с подмагничиванием (рис. 4-9,а). Измерение тока в подвижной катушке ii вызывает в результате взаимодействия с магнитным полем, со­ зданным током (2 неподвижной катушки, возникновение пондермоторных сил, осуществляющих полезное перемещение рамки. Соста­ вим уравнения движения системы с прямоходовым движением рам­ ки. Пусть Е и Lu Re 1, т, s — приложенное напряжение, индуктив­

ность, сопротивление обмотки, масса и координата смещения под­ вижной рамки с обмоткой; £ 2, L2, /?с2 — соответствующие парамет­ ры неподвижной катушки.. Обозначим также: Li2=Z.2i = j5o(s) — взаи-

диффузора), Rs — коэффициент вязкого трения.

52

■Введем обозначения обобщенных координат и их скоростей

?ml = ? s = S ( 0 . <7а = «(0 ‘

В соответствии с рекомендациями, приведенными ранее, опре­ делим составляющие кинетической коэнергии Т* и потенциальной энергии V, входящие в модифицированный лагранжиан L(z) (1-60)

системы. В рассматриваемом случае

53

Для обобщенной координаты qh = q, — s

л П = ms + R‘s-

Таким образом, для рассматриваемого электродинамического механизма получена система, состоящая из трех уравнений движе­ ния. Аналогичная система может быть получена при поворотном ис­ полнении рамки (<7з =*Э) ■

г)

Рис. 1-9.

На рис. 1-9,г, д приведены принципиальные схемы магнитоэлек­

трических механизмов с поворотным (рис. 1-9,г) и поступательным (рис. 1-9,<?) рабочим органом — рамкой с обмоткой, жестко скреп­ ленной с исполнительным органом (подвижным контактом).

Рассмотрим систему, в которой рамка поворачивается в одно­ родном магнитном поле постоянного магнита. Обмотка рамки пита­ ется током i, подведенным к ней от источника э. д. с. Еа через

54

отключающую пружину с эластичностью Ср. Обозначйм через I

момент инерции вязкого трения, L — индуктивность, R e — омическое

сопротивление обмотки. Заменим постоянный магнит фиктивным соленоидом с током to, тогда эквивалентная схема механизма примет вид, показанный на рис. 1-9,е, где ф — угол отклонения подвижной

катушки от положения, при котором ее магнитная ось перпендику­ лярна оси соленоида, L0=L o(P )— взаимная индуктивность, завися­ щая от положения рамки.

Выберем обобщенные координаты и их скорости: q. = q = J* dt\ q = i; qm = P и qm = p.

В соответствии с рекомендациями определим составляющие ки­ нетической коэнергии Т* и потенциальной энергии V, входящие

вмодифицированный лагранжиан системы (1-60).

Врассматриваемом случае

Т*. = -g - Lq* + L0 (Р) Uk\ T*m = \ Ф>

55

нению с другими членами, то система будет описываться диффе­ ренциальным уравнением второго порядка

с Р

Таким образом, для составления системы исходных уравнений определяется удобный математический аппа­ рат, требующий:

1) составления и анализа электрических схем элек­ трических цепей и электрических схем-аналогов механи­ ческих цепей системы;

2)определения независимых переменных электриче­ ских и механических цепей системы и направлений их действия;

3)разделения общей системы на составные—кон­ сервативную и неконсервативную — части;

4) составления модифицированного лагранжиана для общей модели системы;

5) определения уравнений движения как основных уравнений связи для системы в динамическом режиме. Число уравнений связи равно числу независимых пере­ менных. При этом используется общее уравнение Эйле­ ра и модифицированный лагранжиан;

6)определения уравнений дополнительных ограниче­ ний по условиям статики;

7)составления функций или функционалов показа­ телей качества;

8)составления приведенных выражений эффективно­ сти механизма (целевых функций);

9)определения (по экстремальному анализу целе­ вых функций и дополнительных ограничений) системы исходных уравнений.

56

1-3. Рационализация обобщенной системы исходных уравнений при анализе и синтезе СЭММ

Использование принципа наименьшего действия, функций и коэффициентов Лагранжа с учетом функций ограничения и компромисса дает возможность обобще­ ния анализа (а в дальнейшем и синтеза) различных до­ статочно сложных силовых электромагнитных механиз­ мов. При этом повышается точность исследования, упрощается методика составления систем исходных уравнений, описывающих основные процессы в механиз­ ме, однако не упрощается общее решение поставленной задачи. Решаемая задача в некоторых случаях чрезвы­ чайно сложна из-за необходимости учета большого числа параметров и обобщенных координат, влияющих на ис­ следуемые процессы, а следовательно, и на зависимости, их описывающие, в том числе и нелинейные. -

Пребольшом числе постоянных, переменных и варьи­ руемых по исходным условиям параметров, входящих в неоднородную совокупность

которая в свою очередь определяет зависимости, входя­ щие в систему исходных уравнений (L(z), Di(z), Пк(г), Э(г) и др.), крайне трудно получить аналитическое ре­ шение задачи.

Использование методов, приводящих решения не к аналитическим выражениям, а к конкретным числен­ ным соответствиям, также при большом числе исследуе­ мых переменных не упрощает задачи, так как остаются затруднения, связанные с приведением решений в опре­ деленную систему, нахождением скрытых связей и обоб­ щением этих связей с целью получения качественных и количественных закономерностей [Л. 27].

Таким образом, определяется основное направление преодоления существенных^ трудностей, связанных с ре­ шением задач анализа и тем более синтеза силовых электромагнитных механизмов, — оценка необходимой точности решения и определяющееся этим рациональное ограничение числа исследуемых параметров, а также ра­ циональное упрощение аналитических связей, описываю­ щих характерные физические процессы, т. е. рационали­ зация исходных уравнений при достаточной точности и наглядности полученных решений,

57

Укажем здесь дополнительно, что возможная край­ ность— пренебрежение влиянием ряда важных парамет­ ров и анализ по упрощенным зависимостям, зачастую не отражающим реальную физику процессов в электромаг­ нитных механизмах, является неприемлемой с точки зре­ ния как интересов теории, так и практической реализа­ ции возможных эксплуатационных качеств, указанных механизмом, и затрат при их производстве.

С целью рационализации исходных уравнений ниже предлагаются и рассматриваются:

объединение ряда варьируемых параметров и пере­ менных характеристик в комплексы (корректирующие функции), подлежащие совместному исследованию (упрощение аналитических связей);

определение необходимого (минимального) числа основных варьируемых параметров с целью осуществле­ ния практического синтеза силовых электромагнитных механизмов (ограничение переменных исследования). Рассмотрим указанные возможности более подробно.

а) Принцип (понятие) базовой и корректирующих функций

Изучение общих количественных закономерностей различных явлений, происходящих в электромагнитных механизмах, может быть плодотворным только тогда, ко­ гда в основе его лежит достаточный объем физических знаний, описанных соответствующими математическими связями. Однако трудно предположить, что разработан­ ные математические методы отражают действительную картину многогранных процессов, происходящих в рас­ сматриваемых системах. Обычно принимается такая мо­ дель явления, процесса, состояния, которая представляет собой результат схематизации реальной картины.

Степень приближения модели к описываемому про­ цессу зависит от общего замысла и целей анализа, от ожидаемой полноты и точности решения. Необходимая достаточно высокая точность при количественном иссле­ довании процесса или состояния системы требует, как было указано выше, учета достаточно большого числа параметров и характеристик, влияющих на исследуемый процесс или состояние. Допустим, что такая количест­ венная оценка системы достигается при математическом описании состояния системы достаточно сложной зави­ симостью (функцией состояния) вида

58

Указанной зависимости ниже присвоено наименова­ ние «функция отзыва» (введение термина «функция от­ зыва» обусловлено необходимостью отличия ее от встре­ чающего термина «функция состояния» в смысле «сило­ вой функции», естественно, что понятие «функция отзы­ ва» охватывает также класс силовых функций) в смысле отражения (отзыва), изменения ее величины при измене­ нии принятых постоянных и варьируемых параметров и характеристик, входящих в неоднородную совокупность z, и в том числе: в р е м е н и с начала рассматриваемого процесса (i)\ п о л о ж е н и я подвижных звеньев (qm) по ходу (s или б) и углу поворота (Р или а) якоря; с к о ­ р о с т и изменения положения указанных звеньев в меха­

ма (Qв), по внешней противодействующей силе (Рц) или моменту (Мв) и необходимому запасу (Ао) по отношению

му параметру; п о с т о я н н ы х п а р а м е т р о в (с), отражающих характеристики используемых материалов и постоянные механических характеристик подвижных звеньев, например удельное сопротивление проводнико­ вых материалов (р), удельные коэффициенты теплопро­ водности {%) и теплоотдачи (/г), жесткость или эластич­ ность пружин (Ст ), коэффициенты трения (Rm) и др.

Таким образом, функция текущего состояния (отзы­ ва), как правило, описывается достаточно сложной за­ висимостью вида

Z = Z (z) = Z (с, q, q, 1, Гм. к, Гр. 3) Г„. р, w, u, М, t)

и л и , как принято по (1-71),

Z — Z(z) =>Z(Zi, Z2, . . ., Zn, Zn+ ь . . ., Z m) ,

( 1- 72)

59

где под г следует понимать /n-мерный вектор:

Z~{ZLi i •■•, %п> Zn+h •• •>2m},

т. е. достаточно полную совокупность постоянных и пе­ ременных однородных параметров, включая варьируе­ мые, входящие в соответствующие значения векторов не­ однородной совокупности величин, перечисленных выше, в том числе и постоянных, определяющих текущее со­ стояние силового электромагнитного механизма.

При этом в некоторых случаях число параметров /«, входящих в функцию Z(z) (здесь и ниже с целью упро­ щения вместо обозначения вектора г приводится обо­ значение совокупности z ), может достигать значительно­ го числа, так как, например, только совокупность линей­ ных размеров, объединяемых вектором 1= {/ь Iz, • • •, U) и необходимых для конструктивного описания механизма, может быть достаточно велика.

С другой стороны, упрощение модели процесса, явле­ ния, состояния при необходимости только их качествен­ ной оценки дает возможность использования упрощен­ ных зависимостей (называемых ниже базовыми функция­

варьируемых и постоянных параметров и характеристик (п < т ). При этом базовая функция (размерная) являет­ ся приближенным значением рассматриваемой характе­ ристики (функции) состояния (отзыва) и должна отра­ жать основные закономерности ее поведения и влияние основных наиболее существенных из указанных варьи­ руемых параметров и характеристик. В этих случаях количественная связь, оценивающая достаточно точное значение процесса или состояния системы, почти всегда может быть представлена равенством

60

1ще Z (z) — достаточно точное значение ’функции состоя*- ния; Z 6{z) — ее приближенное значение (базовая функция);

циями ряда постоянных, связанных и свободных (варьи­ руемых) переменных, в совокупности уточняющих значе­ ние базовой функции. Указанные функции, которые ниже принято называть к о р р е к т и р у ю щ и м и ф у н к ц и я - м и или коэффициентами, могут определяться в свою оче­ редь частью или всем рядом неоднородностей совокуп­ ности 2.

В некоторых случаях в сложные зависимости, описы­ вающие состояние процесса или системы, может вхо­ дить ряд корректирующих функций, которые в большин­ стве случаев могут быть объединены в комплексы кор­ ректирующих функций и коэффициентов

При этом функция состояния может быть представле­ на в виде

Z(Z, k)=Z(Zu Zz, ..., zn, ku k% ..., kt).

(1-79)

Однако и в этом случае общее число исследуемых обобщенных параметров может быть значительно умень­ шено по сравнению с (1-77), так как n+t<m . Замеще­ ние обычных переменных комплексами (функциями)

61