книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

202

где первые приближения (базовые функции) состояния приняты равными

а корректирующие функции, как следует из (2-148), (2-147) и (2-145), (2-144), определяются с учетом (2-146)

следующим образом: для модели «0ц-ИД»

(2-145) при определении корректирующих функций при­ нято i = l.

Укажем дополнительно, что аналогичная задача, од­ нако в более общем виде и в том числе при производи­ тельности источников, зависящей от температуры для различных моделей, рассмотрена нами в (Л. 51—53], там же приведена методика исследования и эксперименталь­ ные данные по температурному полю различных испол­ нений катушек, подтверждающие полученные расчетные результаты. Рассмотренная задача может быть решена и другими методами (Л. 1], в том числе и приближенны­ ми, например, так, как это сделано в [Л. 32].

Из других приближенных методов особое внимание заслуживают методы, связанные с вариационными прин­ ципами, которые, как будет показано, облегчают реше­ ние данной задачи, особенно при граничных условиях третьего рода (модель «/г»), где использование класси­ ческих методов малоэффективно. Применение вариаци-

203

онных методов для рассматриваемой задачи при гранич­ ных условиях первого рода (модель «в») дает возмож­ ность произвести сопоставление с полученными выше решениями с целью их оценки по приближению.

В связи с этим рассмотрим постановку вариационной задачи несколько подробней уже в данном разделе. Из­ вестно, что если функция 0* (у, z) доставляет экстремум функционалу типа (§ 2-3)

где / — функция от функции @*(y,z) \ D — область зна­ чений функции 0*, на границе которой указанная функ­ ция постоянна или равна нулю; р и s — принятое обо­ значение частных производных:

являются полными частными производными функции R соответственно по координатам у и z.

Возможна и обратная постановка задачи, т. е. отыс­ кание решения Q*(y,z) уравнения (2-155), что равно­ сильно нахождению экстремали 0*, доставляющей функ­ ционалу (2-153) оптимальное значение. В рассматривае­ мом случае уравнение Пуассона вида

при граничных условиях первого рода является уравне­ нием Эйлера — Остроградского (2-155) и противопостав­ ляется функционалу (2-153), который имеет вид:

204

где 5 — область интегрирования, в нашем случае — сече­ ние окна намотки.

При необходимости учета анизотропии по теплопро­ водности вдоль координатных осей {'К гф 'ку) и возмож­ ной линейной зависимости удельных источников нагрева от температуры вида <7= £7о.с (1 + ат0*) задача решается при определении экстремали функционала вида

/ = j f [ яг ( ^ - ) 2+ Яу ( ^ " ) 2— 2<7о.с0*—2aTq0C(Q*)2^dy dz.

(S)

(2-159а)

При расчете температурного поля обмотки с учетом кривизны, т. е. при использовании уравнения нагрева в цилиндрических координатах, решение его может быть сведено к отысканию экстремали в* (г, z, ср) функциона­ ла вида

+4^ ) ’ -2<7о,с0 * — 2<7о.са т (9 * )2 г dr dz.

(5)

(2-1596)

Используя так называемые прямые методы в вариа­ ционных задачах, идея которых заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных, можно получить приближенное реше­ ние поставленной выше задачи по отысканию функции

©*{у, г ) .

Из прямых методов наиболее широко используются метод Ритца и метод Канторовича {Л. 34]. При примене­ нии первого метода к функционалам /[0*(xi, х2, ..., хп)], зависящим от функции нескольких переменных, подби­ рается система функций

w i ( x u х2,... , х п), W 2 (X i, Х2,...,Х п ),...

где коэффициенты ак — постоянны.

При использовании второго метода коэффициенты aK(*i) не постоянны и являются неизвестными функци-

205

ями одной из независимых переменных. В этом случае

функционал I [0*] на классе функций вида i

k = \

превращается в функционал

зависящий от l функций одной независимой переменной. Если после этого перейти к пределу I— >-оо, то при неко­ торых условиях можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то будет по­ лучено приближенное решение.

Вопрос о сходимости приближений и об оценке сте­ пени точности этих приближений является весьма слож­ ным [Л. 34]. Нами указанная оценка будет произведена в результате сопоставления с решениями, полученными ранее (2-143) классическим методом. Подробное описа­ ние прямых методов изложено в ряде руководств [Л. 34], применение их для рассматриваемой задачи с учетом принятого нами принципа базовой к корректирующих функций дает возможность определить максимальное и среднее превышение температуры для симметричной модели в виде

где приближенные значения корректирующих функций соответственно равны:

при применении метода Ритца

Для граничных задач первого рода с постоянной тем­ пературой поверхности обмотки применение вариацион­ ных методов особого интереса не представляет, посколь­ ку ряды в полученном нами точном решении (2-143) схо­ дятся очень быстро и погрешность замены ряда первым

206

его членом не превышает 1,0% для максимальной темпе­ ратуры и 0,5% для средней температуры. Тем ре менее приведенные формулы для корректирующих функций Цм и Цср при определении максимальной и средней тем­ ператур, полученные точным и приближенными вариа­ ционными методами, дают возможность получить пред­ ставление о точности последних.

В табл. 2-4 приведено сопоставление значений функ­ ций цм и цср, полученных по (2-151), (2-152) и по ре­ зультатам приближенных вариационных методов (2-163) и (2-164) для модели ©п.

Из табл. 2-4 видно, что метод Ритца в первом при­ ближении дает результаты, весьма отличающиеся от точного решения. Формулы, полученные с помощью ме­ тода Канторовича, имеют различную точность в зависи­ мости от выбора аргумента функции в выражении 0*;. При выборе в качестве аргумента функции переменной, которая изменяется в больших пределах в области инте­ грирования, получен результат, практически совпадаю­ щий с точным методом, например полученным по (2-151)

и (2-152).

Результаты расчетов, сведенные в табл. 2-4, свиде­ тельствуют о том, что вариационные методы и в первую очередь метод Канторовича являются эффективным средством расчета температурных полей обмоток, а сле­ довательно, и корректирующих функций по нагреву.

Итак, для расчета максимального и среднего превы­ шения температуры в случае модели «0П» могут быть

207

где корректирующие по нагреву функции равны:

Полученные решения определяют перепад темпера­ туры по отношению к температуре на поверхности об­ мотки. Для определения действительного значения тем­ пературы или превышения ее по отношению к темпера­ туре окружающей среды (2-122) необходимо определить сумму

где /ср— длина окружности по среднему витку обмотки; уT=AT//iH— отношение коэффициентов теплоотдачи с тор­ цов и наружной поверхности обмотки.

208

Удобно (2-168) и (2-169) представить в виде

где значение 0П может быть принято в соответствии с рекомендациями (§1-3) как базовая функция: Z6 = 0n, а корректирующие функции по нагреву keM и £0ср опреде­

лены:

Подстановка (2-165) и (2-170) в (2-172) дает воз­ можность получить значение указанных функций в виде

которые дают возможность выразить значение превыше­ ния средних температур через максимальные значения

где в соответствии с (2-165), (2-168), (2-169) и с учетом

(2-170)

Последние соотношения дают возможность выразить превышение средней температуры через допустимое зна­ чение

где 0и= ке0ЯО11.

Расчет &в по (2-173) предполагает заданное значение

коэффициента теплоотдачи hB. Если принять, что Лн

является линейной функцией от температуры [Л. 50], то

где hо.с — коэффициент теплоотдачи, отнесенный к тем­ пературе окружающей среды fl0.c-

В этом случае значение /г0м может быть определено

из равенства

где произведена замена (2-171)

Равенство (2-180) может быть сведено к квадратно­ му уравнению вида

^0.ч “Н М " -^к^о] й0м — AKL0(1 + рх0м) = 0,

где

меняться в довольно широких пределах. Индекс I в по­ казателе степени указывает, что корректирующая функ­ ция, определяющая превышение максимальной темпера­ туры катушки по отношению к значению превышения температуры на ее поверхности, получена для модели «0П» при граничных условиях первого рода. В этом слу­ чае

2 1 0

и учтя принятые ранее для установившегося режима зна­ чения

9м= ие0доп и Л к = п а ,

а также корректирующий коэффициент рти функцию фо

(2-133), из (2-183) получим:

/Гв = а д 1 / ^ Л . нне ^ - ^ - 0 допа3 . (2-184)

где аналогично (2-135) г|2— безразмерный температур­ ный комплекс корректирующих функций, учитывающий принятую модель нагрева катушки СЭММ:

здесь комплекс £*0 определяется по (2-176). Если опре­ делять £о по (2-177), то