книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов
.pdfной Массы подвижного звена (m==L), двух упругих элементов — пружины с эластичностью Cs и междувнтковой емкостью Се. Джоулевы потери в катушке Rei2 (Re— омическое сопротивление витков) и потери в ста ли (R — эквивалентное сопротивление) вынесены в си
стему А — электрическую систему с потерями. Анало гично потерн, связанные с вязким трением и характе ризующиеся коэффициентом Rs, вынесены в систему С — механическую систему с 'потерями. На рис. 1-7 приве дены также силы внешнего (стороннего) воздействия Е,
Рп.и и Рп.о н |
указана |
условно |
связь |
электрической |
и |
механической |
инерционности |
через |
потокосцепление |
||
ЧДц s), являющееся |
функцией |
тока |
t в катушке |
и |
|
положения звена s. Указаны также точки приложения противо-э. д. с. e = dx¥/dt и электромагнитной силы
Р= Р( ЧД.
Врассматриваемом случае силовая функция Ла гранжа для консервативной системы Б выражается за
висимостью Lz = L(q 1, q^ qu |
92. t), где в соответствии |
с принятыми обозначениями |
|
|
(1-41) |
Однако для данного механизма полное уравнение |
|
движения должно учитывать |
составляющие системы А |
и С и наличие сторонних сил воздействия.
Для класса систем, у которых неконсервативные силы связей не зависят от k-x координат и скоростей, а являются суммарными постоянными внешними силами
(QB= const) или являются функцией только |
времени t, |
примем, что |
(1-42) |
Qt = Q*Ht). |
При этом можно определить неконсервативную по тенциальную функцию, а следовательно, и неконсерва тивный лагранжиан. В общем случае, используя по аналогии определение силы и потенциальной энергии по (1-34) и обозначив условно неконсервативную потен циальную энергию как V q , учитывая (1-42), можно за писать:
|
г |
|
Vq = ^ S |
[— Qth]dqn~ — 2 | Qthdqn. |
(1-43) |
О й =1 |
А=1 О |
|
42
или |
|
VQ= t (9\ - Q * m * d < l h = - |
t [±QMt)]hqh. (1-44) |
fc=io |
k=i |
Здесь знак силы Qtk принимается положительным, если ее направление совпадает с направлением увели чения координаты qu. При этом неконсервативный ла гранжиан также может быть разбит на две силовые функции L q — T+ iU, которые в рассматриваемом случае определяются через Г*, V и Vq\
Lq= LQ{q,q,t) = T + U ^ T * - (VQ+ |
V), |
(1-45) |
|
и, следовательно, в соответствии с (1-36) |
и (1-39) |
|
|
Qck{q, q, t) + Qik (t) = |
d L n |
|
(1-46) |
’ |
|
||
Kn{q,'q,t) = -d ^ |
- |
|
(1-47) |
Qqh
Неконсервативный лагранжиан LQ в соответствии с принципом Гамильтона при всех независимых qu обоб щенных координатах также должен удовлетворять урав нению Эйлера. Уравнение Эйлера в случае неконсерва
тивного лагранжиана имеет |
ту |
же самую |
форму, |
||
а именно: |
d |
Г д1д |
|
|
|
|
|
|
(1-48) |
||
|
di |
_ ддк |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка |
(1-46) и (1-47) |
в (1-48) дает: |
|
||
-JT |
(7. Я, 0] — Qcfc (Я, /) = |
Qth (0- |
(1-49) |
||
Сопоставление (1-49), (1-46) и (1-47) с уравнением Эйлера, записанным в виде (1-48), свидетельствует о возможности записи последнего через консерватив ный лагранжиан L в виде
dL
(1-50)
dqj
Таким образом, все неконсервативные силы, которые не зависят от обобщенных координат и скоростей, мож но рассматривать просто как движущие силы, которые
43
приложены к консервативной части системы в точках, где действуют эти неконсервативиые силы связей, соот ветственно со стороны рассматриваемой электрической или механической системы. Типичным примером (рис. 1-7) подобных неконсервативных сил являются суммарные напряжения E(t), приложенные к зажимам цепи входа электрической системы, или суммарные механические силы, например, на внешнем механическом входе управ ления PB.„(t) электромагнитных датчиков, или постоян ные противодействующие силы подвижных звеньев Рв.о электромагнитных механизмов и их комбинации.
Кроме модификации лагранжиана, позволяющей учи тывать неконсервативиые силы, можно также опреде лить неконсервативную кинетическую энергию для учета потерь в системе. Для этого полезно определить функ цию Dr , зависящую от обобщенной скорости и называ емую релеевой функцией рассеяния:
d r = f Е R m d q h I |
|
|
6 6=1 |
I |
(1-51) |
или |
\ |
|
I |
|
|
*=I |
|
|
|
) |
|
где согласно табл. 1-3 Ru — обобщенная мера сопротив ления.
Релеева функция рассеяния имеет размерность мощ ности, значение 2DH есть мгновенная мощность, погло щаемая силами рассеяния. Определение половины мощ ности мало удачно, однако при этом сохраняются пра вильные соотношения между силами, что является един ственной проверкой надежности принятого определения. В этом случае функция неконсервативной кинетической коэнергии определяется как интеграл от DR, т. е.
/ |
t |
г |
|
|
T*D= J Dr dt = f 4 - J Ы |
а Rkdt, |
(1-52) |
||
о |
b |
ft=i |
|
|
и является функцией |
обобщенной |
скорости, |
поэтому |
|
с учетом (1-45) определим новый лагранжиан |
через не |
|||
консервативную механическую коэнергию: |
|
|||
Lqd{q, q, t) = |
(Т* + |
T*Dy - '(V + 'V Q). |
(1-53) |
|
44
В этом случае аналогично (1-46), (1-47) можно пред ставить:
Qc*fa,0 + |
Q/fc(f) = ^ |
- |
; |
(1-54) |
Къ (9. 9 .0 + ( |
dqh |
^ |
. |
(1-55) |
.) |
|
dqk |
|
|
0 |
|
|
|
|
Неконсервативный лагранжиан Lqd так же точно со ответствует условиям принципа Гамильтона, и, следова тельно, при всех независимых qk обобщенных координа тах должно удовлетворяться уравнение Эйлера
dLQD |
d |
&LqD |
|
dqk |
dt |
_ |
(1-56) |
dqk |
|||
Подстановка (1-54) и (1-55) в (1-56) дает: |
|||
4 r [Ки (q, q, t)] + |
dqh |
- |
Qc* (q, t) = Qtn (t). (1-57) |
at |
|
|
|
Уравнение (1-57) можно записать аналогично (1-49) через консервативный лагранжиан L в виде
d |
dL |
dL |
dt |
dqh |
d q h |
Qth- (1-58)
Таким образом, понятие принципа Гамильтона, тре бующее удовлетворения (1-58), может быть распростра нено на неконсервативные системы и будет использова но нами для составления систем исходных уравнений движения (динамического режима) при анализе и син тезе силовых электромагнитных механизмов.
С целью обобщения и упрощения выкладок для не консервативных систем модифицированное уравнение Эйлера (1-58) может быть записано в прежнем виде
(1-15):
(1-59)
д<Ь |
dt L dqh J |
’ |
если под силовой функцией Лагранжа понимать моди фицированную (обобщенную) зависимость
Ц г ) = (Т*+Т*в ) - (Г+Гсз), |
(1-60)' |
45
Значения указанных выше величин в несколько более подробной записи и в соответствии с принятыми обозначениями (табл. 1-3) для рассмотренных систем соответственно равны:
Кинетическая коэнергия
|
|
г |
It, |
Ян |
|
|
|
|
|
|
S |
\ K vk( q , q; t ) d q h, |
|
||
|
|
ft= lv = 1 |
6 |
|
|
|
|
здесь Я1 — число инерционных узлов. |
|
|
|||||
|
Для электрической системы |
|
|
|
|
||
|
|
* v ft |
|
V * |
~ |
|
|
где |
Lh — индуктивность |
v-ro |
элемента, связанная |
с ft-м током, |
сле |
||
довательно, |
|
|
|
;h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Г*.),*= |
(4ft ^ |
|
|
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Если индуктивность |
принята |
не зависящей от тока, то |
|
|||
|
|
(7' * |
= |
~ 2 ~ ‘ft- |
|
|
|
|
Суммарная коэнергия электрической системы |
равна: |
|
||||
|
|
|
|
Г |
% |
|
|
|
r^. = S S (^cU, |
|
|
||||
|
|
|
|
ft=l V— 1 |
|
|
|
где Пс — число индуктивностей в системе. |
|
|
|||||
|
Для механической системы |
|
|
|
|
||
|
|
Wvft^ или K„k = JJ h, |
|
|
|||
где |
т чк— масса v-ro элемента, |
связанная с ft-м перемещением |
(ско |
||||
ростью), следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7’* m ) v f t = 4 " ,n v f t ( ^ :! |
ИЛИ '( Т *п,)уЦ= ~ Т / у б ( М г - |
|
||||
|
Суммарная коэнергия (кинетическая энергия) механической си |
||||||
стемы |
|
|
•г |
*m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7,*»=S'S (T*»Xk, |
|
|
|||
|
|
|
ft=l V=1 |
|
|
||
где jtni — число сосредоточенных масс. |
|
|
|||||
|
Обобщенная кинетическая коэнергия системы равна: |
|
|||||
|
|
Т*=Т*„+Т*т. |
|
|
|||
|
Кинетическая коэнергия рассеивания |
|
|
||||
|
|
Г МTCt |
|
t |
|
|
|
|
|
ft= l |
v 3 |
|
0 |
|
|
46
Здесь it? — число элементов системы, в которых происходит рассей ванне энергии.
Для элементов электрической системы
о
где (Rc)vk— электрическое сопротивление v-ro участка, связанногос к-м током.
Суммарная коэиергня рассеивания электрической цепи
|
|
|
'г |
«С |
|
|
|
|
T *De — Е Е |
{T *De)vk, |
|
||
|
|
|
ft=l v=I |
|
|
|
где |
itc — число |
элементов, |
рассеивающих энергию |
в электрической |
||
цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
Для элементов механической системы при qm= s |
|
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
(^*Ds)vA = ~2 |
|
dt |
|
|
или в обобщенном виде |
|
|
о |
|
||
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T*Dm ~ |
2 |
|
Гтк (0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
где |
— сопрэтнвтение |
трению |
v-ro звена, связанного с k -м пере |
|||
мещением (скоростью). |
|
|
|
|
||
|
Суммарная |
энергия рассеяния |
в |
механической |
системе |
|
|
|
|
г |
^ |
|
|
|
|
|
" |
m |
|
|
|
|
т*„т= 1> S |
(T*Dmu , |
|
||
|
|
|
4=1 v=l |
|
|
|
где я т — число |
элементов, |
рассеивающих энергию |
в механических |
|||
узлах. |
|
|
|
|
|
|
|
Обобщенная кинетическая коэнергия рассеивания системы без |
|||||
учета потерь в стали магнитопровода равна: |
|
|||||
T*D—T*oe + T*Dm.
Потенциальная энергия
г*3 “Й,
V= -E Е j ЮАя.ПМяк.
4=1v=l О
здесь Яз — число упругих элементов, развивающих обобщенную си лу Qc.
47
Для элементов электрическом системы
2
Qek
(V,)v*= |
2 (C0)vfe |
’ |
|
|
где (C„)vft— электрическая |
емкость v-ro участка, связанная с k-u |
|||
зарядом (током). |
|
|
|
|
Суммарная потенциальная энергия электрической |
системы |
|||
|
- |
в |
|
|
|
Г |
|
|
|
v. = И 2 |
|
|
||
|
ft= l |
v = l |
|
|
где яе — число сосредоточенных емкостен. |
системы |
при принятых |
||
Для упругих элементов |
механической |
|||
направлениях увеличения координаты s или 10, связанных с умень шением упругой силы, потенциальная энергия равна VB= —(—Py)s,
т. е.
4 |
,, |
, |
$ |
( У « ) ,* - + 2 (Cs)vk |
или№ * |
- + |
2(C p)vft’ |
или в общем виде |
„2 |
|
|
|
|
|
|
|
•mfi |
|
|
(Vm)vft= |
+ 2 (Cm)vJt ’ |
|
|
где (Cm)yft— эластичность v-ro упругого |
звена |
механической цепи, |
|
связанная с k-u перемещением. |
|
|
|
Суммарная потенциальная энергия механической системы равна:
•г т
- Е S O'»),*,
k - i v= l
где itm — число упругих элементов механических узлов. Обобщенная потенциальная энергия системы равна:
V = V <1+ V m.
Потенциальная энергия внешних (сторонних) сил
гп,
Vq= £ |
S |
j - [± Q t(O lA - |
f t= l |
v = l |
0 |
здесь Я1 — число внешних |
воздействий (сил), знак которых прини |
|
мается положительным, если это воздействие увеличивает коорди нату qk.
Для электрической системы Vc= — (+£)?<>
где £ vfe— v-я э. д. с., связанная с k-u зарядом (током).
48
Суммарная потенциальная энергия внешних э. д. с. электриче* скоп системы
г
VQe = Y j S (VQe)»k,
k=l V— I
где я 0 — число внешних э. д. с. системы. Для механической системы
= — (± Pt)?kSh
ИЛИ
— — (±
или в общем виде
(VQm) = — ( ± Qf)y*?mh.
где (Qt)„k — v-я обобщенная сила внешнего (стороннего) воздействия,
связанная с k -м перемещением (скоростью).
Суммарная потенциальная энергия сил сторонних воздействий механической системы
г1C
Тт
|
|
S { V Qm)ik, |
|
|
|
k = \ |
v=J |
|
|
где я т — число |
сил (моментов) |
внешних |
сторонних |
механической |
системы. |
|
|
|
|
Обобщенная |
потенциальная |
энергия |
внешних |
сил при этом |
равна: |
|
|
|
|
VQ = VQe+ V Qm.
Рис. 1-8.
4—G38 |
49 |
При составлении функции Лагранжа (1-60) сЛедуе!1 помнить, что входящие в L(z) обобщенные координаты qu и их скорости qu являются независимыми переменны ми. На схемах входа электрических систем и схемаханалогах выхода механических систем удобно принимать в качестве обобщенных скоростей (координат) контурные токи (заряды) в соответствующих замкнутых независи мых контурах. Как известно, под независимыми конту рами принято понимать контуры, выбранные так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущего по крайней мере одной новой ветвью.
В качестве иллюстрации использования метода составим функ цию Лагранжа, а затем и уравнение движения для механизма, при веденного на рис. 1-8,а. Потери в стали в данном примере не учи тываются. В соответствии с приведенными выше рекомендациями составим схему электрического входа и схему-аналог механического выхода (рис. 1-8,6). В качестве независимых координат примем количество электричества
t |
dt н q2 — |
о1 |
о |
||
<7i |
t2 dt |
внезависимых контурах схемы входа.
Вмеханической цепи в качестве независимых переменных при мем перемещения s( и s2> а их производные — скорости s\ и s2 —
приняты как аналоги контурных токов в схеме выхода.
Найдем выражения составляющих модифицированного лагран
жиана (1-60) в форме |
рекомендованных |
ранее зависимостей: |
||
т * . = |
J v , |
( h . s , ) [ d i |
+ |
J«F2(»,) di- |
|
о |
|
|
о |
_ |
1 |
-о |
1 |
-о |
Т*ш — — |
w,s, + — |
m2s2; |
||
|
t |
|
|
t |
Ve— 2Ce |
9l)"> |
Kn— 2CS |
sz)i-> |
УQe — — (+ Et) <72 = |
£ o<?2> |
VQm — ( P..o) si = a.osi- |
|
50
В этом случае модифицированным лагранжиан (1-60) равен:
|
|
|
/а |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (z) = |
dl + j V , di + |
- ^ m |
,s? + |
-g - |
m2s? + |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
£ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H |
2~ ^el ^ |
£\ dt -f- |
~9~ Rez ^ <2 dt |
|
2 |
si ^ |
""I- |
|
||||
|
|
t |
o |
|
|
|
o |
|
o |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
^g2 |
Г ■ |
tyQ |
|
|
qt)2 |
2C |
(^ |
^ |
|||||
H 9“ |
j ^2 dl — |
|
((jz |
|
|||||||||
Определим уравнения движения по (1-59). |
|
|
|
(Ь61) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
При qh=q\ из (1-61) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
OLj ($2” |
<7i |
dL* |
dL/3L |
|
|
|
С |
|
|
|||
|
dqi |
-с, |
- |
|
|
|
|
|
+ |
О |
|
|
|
|
|
|
d |
T'dL |
I _ |
rfW, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
" Relhi |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
etf |
[ <?£, J |
dt |
|
|
|
|
||||
откуда, |
так как /2 > |
t ,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d«P, |
|
R |
1 f (*. |
|
Г. |
^ |
|
|
(1-62) |
|
|
|
|
df |
|
e I |
1г2 dt |
\i-idt j. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
'n |
|
n |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При qk = |
q2 из (1-61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dL |
_qz |
q1 |
|
|
|
|
dL |
dL |
f |
|
dqz |
|
Re |
"T"+ E ’' |
tdq[dq2. |
^ |
* * ('*) + * 'гj '2 |
||||
|
|
d |
Г "dL |
"I |
44? 2 |
- Rezh- |
||||
|
|
dt |
Ldit |
J |
dt |
|||||
откуда с учетом r (1-59) |
|
|
|
|
- £ |
|
£ |
|||
J 1 l + r |
: |
, |
_L |
|
||||||
j*t2 dt — J t, dt |
||||||||||
|
dt |
^ К'2 |
<2 |
+ |
r |
|
||||
При 9 „ = |
3, из (1-61) |
|
|
|
^0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d l |
_ r d ' P I |
|
|
|
1 |
|
|||
|
ds, |
J |
ds, |
d h ~ C , (s i — s=) —Яв.о |
||||||
,
d t’
(1-63)
о
dL |
|
£ |
|
= £H iSi+#«i |
f. |
||
s; |
|
l Si dt\ |
|
ds, |
0 |
||
d |
Г dL 1 |
|
|
~di |
1 " ^ Г ]= m 'Si + |
R’lSl‘ |
|
4 |
51 |
* |