книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов
.pdfВозможная структура показателей качества и целе вых функций подробно рассмотрена ниже.
Введение показателя эффективности (целевой функ ции) и требование при оптимальном проектировании (называемом ниже целевым синтезом СЭММ) обеспече ния ее максимального пли минимального значения Э(г) при наличии Di(z) ограничений определяет необходи мость экстремального исследования исходной системы уравнений. При этом если эффективность механиз ма Э{г) и дополнительные ограничения Di(z) выра жаются в виде функций от варьируемых аргументов Zj, то при использовании метода неопределенных множите лей Лагранжа возможен анализ на безусловный экстре мум приведенной целевой функции, равной
|
|
i |
|
|
Э* (z, voi) = Э (z) + |
£ |
voiD*i (z). |
(1-20) |
|
|
|
1=1 |
|
|
В этом случае определяется система исходных урав- |
||||
нении^ |
|
|
|
|
дЭ* (г, voi) |
' 0, |
/ = |
1,2, |
|
dzj |
|
|||
|
|
|
|
|
которая совместно с сопряженной системой ограничений Di*(.z) =0, t =l , 2, ..., / дает обобщенную систему (v + l) уравнений и определяет возможность нахождения v варьируемых параметров (аргументов) из совокупно сти z и I постоянных voi (множителей Лагранжа—по стоянных связи).
В ряде задач оптимального синтеза СЭММ возмож ны более сложные требования по виду целевой функции и уравнений ограничения. Например, целевая функция может выражаться функционалом вида
А'з
Э [z (х)] = £ Фэ [х, z {х), z' (х)] dx, X1
где под 2 понимают совокупность из v варьируемых функций:
2 = {2i, 22, ..., Zj, . . . , 2„}, Т. е. / = 1, 2........ V,
а в I уравнений ограничений вида Di*(z) —Di(z)—xibj = 0 могут входить:
а) т конечных уравнений
D% = D — = D*^ [х, z (х)] = 0, т) = 1, 2.......ш;
33
б) |
п дифференциальных уравнений |
|
D \ = |
Я* — |
= D% [х, z {х), г' (*)] == 0, ц = 1 , 2 , . . л; |
в) |
t интегральных уравнений |
|
D*v= |
— *fb9 = D*f [x,z (x), z' (jc)] = 0, p = 1 ,2 ......t, |
|
где |
|
|
Jf = j Dp [x,z{x), z’ {x)\dx.
xi
Вэтом случае, используя, например, как и ранее, метод неопределенных множителей Лагранжа, состав ляем приведенный функционал в виде
А'а
Э* [z(x), v2] == J Ф*э \x,z(x),z' (х), v0, v(x)]dx, (l-21a)
в который входит Vi — совокупность множителей Ла гранжа, состоящая из совокупности v (x )— функций связи и vo— постоянных связей. При этом приведенная подынтегральная функция функционала эффективности принята равной:
т |
п |
t |
Ф*э = Фэ + £ |
v4(a)D*4 + S |
v0pZ)p. |
1)=1 |
р.=1 |
Р=1 |
|
|
(1-216) |
Приведенный функционал Э*(г, v,) зависит от v ФУНКЦИИ Z j И l = m + n + t фуНКЦИЙ Vi и постоянных V0
связи и исследуется на безусловный экстремум, так как благодаря введению неизвестных функций множителя Vi все функции Z j могут варьироваться независимо. В ре
зультате получим систему уравнений
д Ф \ (z) |
_d_ |
dzj |
d x |
Г |
I |
j = 1,2......v, |
[ |
dz'j J= 0 , |
дополненную сопряженными уравнениями связей в ви де равенств1 ZV (z)=0, i =l , 2, ..., I, состоящую из
1 Ограничения в виде неравенств D i(z)< b рассматриваются
ниже.
3—638 |
33 |
системы уравнений: |
|
|
|
|
|
D%(z) = |
°. |
4 = |
1.2, |
|
|
D% lz) = |
0» Н-= 1 , 2 |
, п, |
( 1-22) |
||
D*p{z) — 0, |
р = 1 ,2 ......Л |
|
|||
Заметим, что уравнения |
связей |
D,* = 0 |
играют роль |
||
уравнений Эйлера для функционала Э*(г, v), если его
варьируемыми |
функциями считать |
не только |
функции |
|
Zi, Z2........гу, но и функции vi, v3, |
..., |
vj. |
|
|
Постоянные интегрирования в общем решении урав |
||||
нений Эйлера |
определяются |
из |
граничных |
условий |
Zj(xi)—Zji и Zj(х2) = z:j2, которые не должны |
противо |
|||
речить уравнениям связи. |
|
|
|
|
Задачу с дифференциальными связями называют общей задачей Лагранжа. К ней могут быть сведены все другие задачи на условный экстремум. Для задач с интегральными связями, как видно, неопределенные множители v (х) превращаются просто в неопределен
ные числа v0p. Для их определения имеется т связей.
Для указанных задач с интегральными связями выпол няется так называемый принцип взаимности, состоящий в следующем. Если функция z(x, v) доставляет экстре мум интегралу Д при заданном значении интеграла Д, то та нее функция доставляет экстремум интегралу Д при фиксированном значении интеграла Д. К общей задаче Лагранжа приводится также задача об экстре
муме функционала Э (z, |
г', z" ...), зависящего от выс |
||
ших производных, |
если |
ввести |
новые переменные z i, |
22, ..., zv, подчиняющиеся условиям |
|||
dz _ _ |
Р d z , ____ |
dzv_| |
|
~ d x " ~ Z" ' |
Ч х Г — z °-........ |
= ZV. |
|
dx |
|||
Таким образом, при рассмотренных условиях опти мального проектирования СЭММ исходная система уравнений может быть представлена в виде
дЭ* = о |
’ |
/ = 1 |
’ |
2 |
’ |
’ |
о Т |
|
|
dzj |
1 |
|
|
’ 1 |
(1-23а) |
||||
D*t (z) = 0, |
/ = 1 ,2 ....../, |
||||||||
|
|||||||||
34
или
(г) |
d |
\дФ*а(г) |
I _о |
|
dzj |
:dx |
у |
э (z) |
|
dz |
|
- J — U, |
||
D*i{z) = 0, i = 1,2,
;— 1 9 |
ti |
/ — 1, A |
- , v, . (1-236) |
При проектировании СЭММ без учета требований оптимальности исходной является система
Dt*{z)= 0, i= l, 2........ |
/, |
(1-24) |
в которую могут входить основные ограничения по усло виям статики, например:
а) ограничения, связанные с надежным срабатыва нием механизма, обеспечивающиеся начальной си лой (Ро):
Di* = P0(z)—хрРв.о = 0, |
(1-24а) |
где Рв.о — внешняя противодействующая сила при отпу щенном якоре, соответствующая начальному моменту движения якоря; хр — соответственно запас по силе, учитывающий возможные производственные и другие от клонения (хр>1); в общем виде ограничение по обоб щенному моменту равно:
Di* = Q0(z)—x<3QB.o = 0; |
(1-246) |
б) ограничения по установившемуся максимальному нагреву 0 Макс
D*2 = 0Макс(г) — и00доп= О; |
(1-24в) |
где 0ДОП— допустимое превышение температуры; хв — за пас по нагреву в установившемся режиме (х0-<1);
в) ограничения по насыщению магнитопровода (5)
D3* — B(z) —хБВвАо= 0, |
(1-24г) |
где 5 Нас — индукция насыщения стали; хв — соответст вующий запас по насыщению (хв=£^1);
г) ограничения, связанные с возможным отклоне нием приложенного к катушке напряжения U,
D,* = U(z)—%uUn=0, |
(1-24д) |
|
где UR— номинальное |
напряжение; |
ки — допустимые |
отклонения напряжения. |
Дополнительно к этому воз |
|
можно ограничение, связанное с допустимым заполне-
3* |
35 |
Ййём площади окна катушки S 0M проводом выбранного типа и размера,
D $ * — k з.м (2 ) — Ху^з.м(sm) = 0, |
(1-24е) |
где A3.M(sM) — практически допустимый коэффициент за полнения намотки катушки для данного сечения sM провода обмотки; ху — запас по укладке, учитывающий наличие изоляционных прокладок и прочих технологи ческих отклонений.
Укажем дополнительно, что в ряде случаев практи ческого синтеза, как будет показано, полезным оказы вается преобразование уравнений ограничений (1-24) в зависимости вида
|
|
|
Fq=Fq(z, Qn.o); |
|
(1-25а) |
|
|
|
Fe = Fe {z,QRouy, |
|
(1-256) |
|
|
|
FB = FB(z,Bnас); |
|
(1-25в) |
при |
|
|
Fu = Fu (z,Uц [/]) |
|
(1-25г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = s0. K-ka-?{Sa) , |
|
(1-25Д) |
где |
соответственно |
представлены |
зависимости н. с. |
||
F системы в функции необходимой силы или момента |
|||||
на |
выходе |
механизма {FQ), допустимого |
нагрева систе |
||
мы |
(Fe), |
условий |
насыщения стали |
(FB) |
и равновесия |
напряжения и тока на входе катушки (Fu или Fj) при возможном заполнении k3M ее окна намотки.
К основным ограничениям по условиям динамики могут быть отнесены также уравнения движения, полу ченные с учетом требования минимума интеграла дей ствия,
У, [z (л)] = | L (z) dx —- мин. |
(1-26) |
*1 |
|
Необходимость в этом случае (при решении общей задачи Лагранжа) составления силовой функции Ла гранжа L(z) по (1-13) требует некоторых уточнений и рекомендаций, которые приводятся ниже. При этом из варьируемых параметров zj рассматриваются только обобщенные координаты qu (£=1, 2, ..., г) и принято,
что qh = qh(t).
36
б) Анализ принципа наименьшего действия применительно к электромагнитным системам
Система (1-15), полученная из принципа наимень шего действия, определяет действительную динамиче
скую траекторию изменения состояний |
механизма |
в функции независимых координат qk и |
оказывается |
особенно полезной для электромеханических систем, так как она дает для консервативной системы полные урав нения движения, включая условия связи между ее элек трической и механической цепыо.
Использование принципа Даламбера и законов Кирхгофа становится излишним, за исключением тех случаев,- когда они могут понадобиться для учета некон сервативных внешних сил (сторонних сил) и рассеяния (потерь) энергии неконсервативных динамических си стем. Однако и в этом случае, как будет показано ниже, для большинства систем можно преобразовать (модернизировать) уравнения Эйлера к виду, удобному также для описания и неконсервативных систем.
Как известно, в принципе наименьшего действия предполагается, что функция Лагранжа (лагранжиан)
L = L(qu |
q%, |
..., qr, t), |
(1-27) |
во-первых, составлена |
для |
консервативной |
системы, |
т. е. системы без потерь и независящей от сторонних сил, и, во-вторых, она является силовой функцией — ее значение определяется состоянием^ системы в данный фиксированный момент времени I и не зависит от предыстории изменения обобщенных координат и их скоростей (подробно см. в § 1-4).
При этом для электромеханической системы ее зна
чение согласно (1-11) удобно представлять |
в виде |
L = T— V = T*+U, |
(1-28) |
где Т* принято по (1-2) как значение кинетической коэнергии системы, а V — как некая потенциальная функция, равная потенциальной энергии системы с об ратным знаком.
Указанное соотношение определяет энергетическую связь обобщенной силы упругости и обобщенного коли чества движения консервативной системы с функцией Лагранжа, используемой в принципе наименьшего дей
37
ствия. Действительно, так как полный дифференциал от лагранжиана (1-27) в рассматриваемом случае равен:
^ = |
+ |
(1-29) |
А=1 |
к=1 |
|
и так как при обратной постановке задачи |
|
|
|
L = ^ d L , |
(1-30) |
то учитываем, что L является силовой функцией неза висимых координат qit, и, следовательно, для определе ния ее значения по (1-30) может быть выбран любой путь интегрирования и в том числе путь, при котором вначале интегрирование производится по qu при фикси рованных _значениях скоростей qk, например, дн= 0 и времени t, а затем фиксируются конечные значения координат qh и t * и интегрирование производится при переменной qh, т. е. справедливо
(q, q, t) (0, q, |
t) |
|
||
L = |
J |
j |
dL(q, q, i), |
(1-31) |
(0, .7. t) (0, 0, t) |
|
|||
где q = { q t, qlt ...,qr) |
и q = |
{qu q2, q r}. |
|
|
Такие пути интегрирования обоснованы потому, что лагранжиан для консервативной системы определяется конечным значением переменных. Подставляя dL из (1-29) в (1-31), получаем развернутое значение ла гранжиана
L{qи q2, ■■■, qu......qr, q,, qz, •••>qh, •••, qr, 0 ==
.... як..... чг) r
=(0, |
.... 0,1.... 0) |
|
(?■....... |
|
Як........ЯГ) |
+ |
|
I |
(0....... |
o, .... 0) |
|
fc=lS |
dL (g......... |
qh......... |
Qr, 0......... |
0. •••■ O.g) dqk+ |
|
|
dqk |
|
|
г |
dL( q |
qh |
qT\ |
qrf) |
|
||||
E |
|
dq* |
dqh |
|
k—1 |
|
|
(1-32) |
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя (1-32) c (1-28), можно отметить, что определенный выбор пути интегрирования при нахожде
* Здесь и ранее черта над символом означает, что данная ве личина остается неизменяемой в процессе данного интегрирования.
38
нии L разделяет лагранжиан иа две силовые функции. Одна из них, обозначенная через U, выражается как
U = J^ dL{q" •" g Л— |
(1-33) |
оft= l
иявляется функцией координат qu и t и не зависит от скорости системы, в линейном случае она точно равна потенциальной энергии системы (V), взятой со знаком
минус.
При выводе (1-32) не накладывались ограничения, связанные с линейностью, поэтому определение потен циальной энергии остается в силе и для нелинейных систем. С другой стороны, в соответствии с принятым обобщенным обозначением (табл. 1-3) потенциальной энергии
V = \ t \-Qcn{q,t)]dqk, |
(1-34) |
б* А=1 |
|
где Qcu — обобщенная сила упругости, справедливо
£ /= - - V = + |
QcK(q,t)dqk. |
(1-35) |
о k=\
Из (1-35) и (1-33) следует, что обобщенная сила упругости равна:
= |
(1-36) |
Второй член правой части (1-32) является функцией конечных значений координат qi, qz, ..., qr и зависит от переменных значений скоростей qi, qz, ..., qr. В линей ном случае этот член по форме точно соответствует кинетической энергии (Г) в механике или запасенной магнитной энергии системы катушек индуктивностей. В общем случае этот член имеет форму кинетической коэнергии (1-2)
Сопоставляя полученное значение .с принятым (см. табл. 1-3) обобщенным обозначением кинетической коэнергни
Т* = f Ц КьМ, q, t)dqk, |
(1-38) |
ОА = 1
определим обобщенное количество движения в виде
Ки |
OL (q, q, |
t) |
(1-39) |
|
|
Найденные значения QCh (1-36 )и Кн (1-39) дают возможность представить уравнение движения консер вативной электромагнитной системы согласно уравне нию Эйлера (1-14) в виде
Qck{q,t) — |
Ku{q, <7,0 = 0- |
(1-40) |
в) Распространение принципа наименьшего действия на неконсервативные системы СЭММ
Полученная выше силовая функция Лагранжа (ла гранжиан), как и другие силовые функции (функции состояния), имеет существенное значение для характе ристики физических систем (электрических, механиче ских, электромеханических и др.) и зависит исключи тельно от состояния системы в данный момент времени и не зависит от ее состояния в прошлом, т. е. от ее предыстории.
К сожалению, класс систем, точно описываемых си ловыми функциями, не включает всех электромагнитных элементов, входящих в рассмотренные ранее подклассы ферроиндуктивных преобразователей (§ 1-1). Рассеяние (потери) энергии должно быть исключено из анализа систем, если они описываются силовыми функциями. В рассматриваемых системах и в том числе в системах силовых электромагнитных механизмов джоулевы по тери и потери в стали (от гистерезиса и вихревых то ков) в ряде случаев занимают существенное место и пренебрежение ими может привести к значительным погрешностям. Существенны в ряде случаев также по тери от вязкого трения в механических цепях системы.
40
Однако почти всегда систему с потерями Можно представить совокупностью нескольких систем, т. е. разделить ее на простые составляющие части. Систему электромеханического преобразователя (рис. 1-7) мож но привести к виду, где выделены электрическая систе ма с потерями (в том числе потери от к. з. витков), электромеханическая система без потерь и механиче ская система с потерями. В этом случае выделение консервативной электромеханической системы дает воз-
можность получить необ |
|
|
s(v) |
|||||
ходимые |
(рассмотренные |
|
|
|
||||
выше) |
уравнения, описы |
|
|
|
||||
вающие |
ее движение (со |
|
|
|
||||
стояние), а затем внести |
|
|
|
|||||
коррективы |
за счет |
си |
|
|
|
|||
стем с потерями и сторон |
|
|
|
|||||
ними |
|
(внешними — не |
|
|
|
|||
консервативными) силами |
|
|
|
|||||
воздействия, когда требу |
|
|
|
|||||
ется полная характеристи |
|
|
|
|||||
ка |
системы. |
сказанное |
|
|
|
|||
на |
Поясним |
|
|
|
||||
примере |
механизма, |
|
А |
|
||||
приведенного |
на |
рис. |
|
|
||||
|
*) |
|
||||||
1-7,а, на подвижное |
зве |
Рис. 1-7. |
|
|||||
но которого с массой т |
|
сила P(i, |
s), сила внеш |
|||||
действуют электромагнитная |
||||||||
него |
воздействия |
Рв.н, |
а |
также |
силы упругого |
|||
звена с эластичностью Cs и противодействующая движе нию сила вязкого трения при коэффициенте трения Rs. В системе учитывается также постоянно действующая сила Рв.о, отнесенная к начальному положению s = 0 подвижного звена (например, затяжка пружины, силы веса и т. п.). Электрический вход механизма выполнен в виде намагничивающей катушки К, к которой при ложена внешняя э. д. с. E(t).
На рис. 1-7,6 слева изображена схема электрическо го входа, справа — согласно принятым нами рекоменда циям и обозначениям (табл. 1-2 и 1-3) — схема-аналог механического выхода. Там же показано пунктиром разбиение общей системы на три простые составные системы А, Б, С, из которых система Б является кон сервативной системой, состоящей из двух инерционных элементов — индуктивности катушки (L) и приведен
41