книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

где постоянная C'q определяется по (3-102в). В этом случае в соответствии с (3-103) показатель качества определяется в виде

П к(6, x ) = Q= Cq 2С'д (д + т + -=-) +

+ пт (4 ш ) х

где постоянный комплекс Cq определяется по (3-102в). Функция ограничения в соответствии с исходными

условиями и (3-118) равна:

Di (6, х)=2Ср <Ро едт~пх\

с учетом принятых условий, учитывающих продолжи­

Э* (5, х) = C Q [ 2C'q (и + m + -J ) + nm (4 +*«)]*• - f

-j-v[2Cp fl ед(1 —}- kc) пт~х*— ^o^ b.o]-

Исследование целевой функции на экстремум опреде­ ляет систему уравнений:

. Оценим корректирующие функции, входящие в урав­ нения системы. Наличие двух равноценных рабочих зазоров в системе при отсутствии нерабочих зазоров и до­ пустимость пренебрежения падением н. с. в стали опре­ деляют: /гс= 1 и сро=0,5 (§ 2-2). Влияние потока выпучи­ вания соглаонЪ § 2-1 может быть приближенно оценено функцией е2д = 1— 0 ,3 1 /х 2. После .подстановки указанных

2 9 2

параметров и преобразования получим систему:

Таким образом, для определения четырех искомых переменных проектирования и в том числе коэффициента связи v, оптимальной кратности ширины намотки катуш­ ки по, оптимальной кратности высоты катушки то и оптимального относительного определяющего размера Хо необходимо решить систему уравнений (3-139). Значе­ ние хо и заданный критический зазор бо определяют оптимальное значение абсолютного определяющего раз­ мера а=6оХо и, следовательно, все другие оптимальные размеры СЭММ по зависимостям l j = X j ( n 0, тй)а. Анализ системы (3-139) наглядно показывает, что определяю­ щий размер и оптимальная совокупность £={яо, т0} не могут быть определены без учета критической нагрузки на выходе механизма Рв.о, критического зазора бо, до­ пустимого превышения температуры 0 ДОП и других ха­ рактеристик, входящих в постоянные Cq, C'q и Ср. Определение искомых параметров х, п, т, v, входящих в систему при совместимости уравнений (3-139), не встречает особых затруднений. Решение, например, мо­ жет быть получено методом итерации при преобразова­ нии указанной системы к виду (3-13).

2) Синтез СЭММ, оптимального по запасу электро магнитной энергии в притянутом положении якоря, при

293

заданном объеме его активных материалов и допустимой температуре нагрева. Исходя из указанных условии син­ теза, принимаем:

n K— xYyIy=var, Di= V a , = k o V o — const при 0 = 0 ДОп =

=const.

Вэтом случае, учитывая принятый объект исследова­ ния— электромагнитную систему, описываемую в п. 1,

определяем:

показатель качества (3-112)

здесь х — а/6пр, где бпр— зазор при притянутом якоре. Выразив обобщенные комплексы кратностей X и т

через варьируемые переменные п и m и приняв, как и в п. 1, фо=1, г|о=11ь получим функцию ограничения

Условия экстремального исследования целевой функ­ ции (3-95) определяют после преобразования следую-

2 9 4

деляющий размер Xo[fl] и основные оптимальные соот­

объему, при заданной предельной энергии в системе и допустимой температуре нагрева. Объект исследова­

= © д о п = const.

Определяем: показатель качества

/7к(Е> х) = Су(С/уЛстТст+ЯокГср)л:3—var;

295

ф у н к ц и ю о г р а н и ч е н и я

Di (Е;, х) = с 9 х 7/2 ] / ^ ° ркХ ° х - C'v Ясттст*3;

приведенную целевую функцию, которая компонуется с учетом основных кратностей геометрических размеров (я и от) в виде

Э* (6, v) = Cv [ 2С'у (от + л + l j + л т (4+™)].*:3 +

Из сопоставления исходных уравнений условий п. 2 и 3 следует, что задача решается при аналогичных урав­ нениях и несколько скорректированных постоянных.

4) Синтез СЭММ, оптимального по стоимости, пр заданном запасе предельной 'электромагнитной энергии и допустимой плотности тока в намагничивающей катуш­ ке механизма. Исходя из условий синтеза, принимаем: n K= R a(t, x)=var; £>i=4fy/y=fo>Wo=const, / = /доп=

= const. Данная задача рассматривается с целью сопо­ ставления с условиями синтеза по п. 3. Отметим, что условие /Доп=const менее полное, чем условие 0доп= =const. В этом случае:

показатель качества по (3-101)

/ 7 к ( £ | х ) = С д ( С 'я Я с т Т с т + Я ю кТср) Х 3\

функция ограничения по (3-114)

Di(l, •*•) ==CjXстЯюк-^4—С'jXciXciX3',

приведенная целевая функция с учетом принятой со­ вокупности кратности геометрических размеров

296

З д е с ь у ч т е н о в ы р а ж е н и е ф у н к ц и й о г р а н и ч е н и я в в и д е

могут быть определены по исходным условиям синтеза и принятым значениям постоянных

Как и ранее, совместное решение системы уравнений, полученной выше, может определять искомые парамет­ ры: V— коэффициент связи (множитель Лагранжа), оптимальный определяющий размер х0 и оптимальные кратности п0 и т0.

297

Примерно аналогичная — частная задача — рассма­ тривалась в [Л. 98] для горшкообразного электромагни­ та постоянного тока. При этом допускалось пренебре­ жение нерабочими воздушными зазорами и в том числе зазором у воротничка, что в некоторых случаях может существенно повлиять на точность расчета. Принимая

Из анализа полученных систем (3-141), (3-443) после упрощений следует, что, например, при изменениях па­ раметров С*2 и С*з в широких пределах: С*2=(10-ь 100) см-1, С*3= (200-г-20000) см3 — и принятых исход­ ных условиях кратности п и т изменяются в достаточно узких границах.

Так, как следует из графиков рис. 3-8,я, где пред­ ставлены результаты исследования изменения кратностей п и т, а также определяющего размера a = dc= 6nРх б функции различных значений постоянных С*2 и С*з при значении СП = 0,25, величины кратностей могут быть приняты: /г=0,46; т = 1 ,4 5 и р —т//г=3,15. При измене­ нии параметра C*i, например, в связи с изменением относительной стоимости активных материалов средние значения пср и >пср изменяются примерно так, как это показано на рис. 3-8,6. Указанные значения соответст­ вуют рекомендациям [Л. 51] для короткоходовых элек­ тромагнитов с втяжным якорем с целью реализации пря­ мого синтеза (см. § 3-1, табл. 3-2).

5) Синтез СЭММ переменного тока оптимального по величине потока в рабочем зазоре при заданных допу-

298

стимой температуре нагрева, потребляемой мощности и объеме активных материалов. Исходя из условий синте­ за, принимаем: Як=Ф о = Уаг; Z)i—A(= const; Dz=Va = = const при 0 = 0 Доп=const. Учитывая, что потребляе­

мая мощность определяется только мощностью джоулевых потерь в катушке, получаем:

N = Rr~ = pT SM =

где н. с. катушки F = w l отнесена к нагретому состоянию

ипритянутому положению якоря.

Вкритическом положении якоря на основной рабо­ чий зазор падает часть общей н. с., равная Fo—^kiF , где &т —кратность тока при отпущенном и притянутом

якоре (при постоянном токе &т= 1 ). В этом случае

2 9 9

то после подстановки (3-146) в (3-145) и 'преобразова­ ния можно определить поток в рабочем зазоре системы

Если выразить объем активных материалов зависи­ мостью (3-102), то определяющий размер может быть представлен в виде

(3-145) определим целевую функцию в критериальной форме

3 о _ Ф№■_*)_ 'C.JV1/2 !#6 ’

где

М*о

Ся = -

*|/"Ро.о ~Ьа Т^ОХ0®ДОп)

соответственно

х с Р ( ^ - с т ^ э . с х с т 4 “ ^ о к ^ з . м х с р )

При этом согласно § 2-2 здесь произведена замена функции кратности тока

где бо — зазор при отпущенном якоре; 6*пр— приведен­ ное значение зазора в притянутом положении якоря, принятые по [Л. 50] и учитывающие потери в стали и короткозамкнутых витках системы.

Условие получения максимального потока в рабочем зазоре при фиксированных значениях потребляемой мощ­ ности N и объема Va при допустимой температуре 0 ДОп определяет необходимость экстремального исследования целевой функции

дЭ° дФ ( I х) _ п

<*S <*£

3 0 0

Как и следовало ожидать, в этом случае прямой ана­ лиз затруднен, так как корректирующие функции ф0 и а,р входят в (3-150) и сами зависят от кратностей £ и

определяющего размера х, который может быть опреде­ лен только с учетом совокупностей конкретных значений исходных ограничений параметров по нагрузкам ^ (3-30) и другим параметрам, входящим в (3-53).

Если пренебречь падением н. с. в стали, а также не­ рабочими зазорами и рассеянием потока в системе, т. е. принять сро=1 и а1?= 1 или принять их другие, не зави­

сящие от х значения, то по (3-150)

= Ф(^,

где

С-. ■= const;

хсР (^'ст^з.с”ст “I" ^ок^з.мхор)

Следовательно, в этом случае исследование на экс­ тремум целевой функции может быть проведено по ра­ венству

где

%={п, т, е, v ...}.

В частных случаях указанная задача рассматрива­ лась в работах ряда авторов. Например, для Ш-образ- ного электромагнита переменного тока с плоским якорем в {Л. 25] налагались дополнительные условия, уменьшаю­ щие варьируемое число кратностей |. Принималось по­ стоянство высоты катушки Нк, и под объемом V пони­ мался объем только ядра электромагнита. В этом случае совокупность | выражается двумя параметрами:

1={п, е},

где п = А к1ас и е = Ьс/ас или в соответствии с принятыми

301