книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

лы Р, приложенной к якорю электромагнита Я. Демпфи­ рующее устройство ДУ обеспечивает требуемое демпфи­ рование за счет штока Ш, жестко связанного с контак­ том. Величина демпфирования регулируется вентилем В, связывающим полости цилиндра. Возврат механизма осуществляется пружиной Яг.

На рис. 1-4,6 показана схема механической цепи выхода, где ту— приведенная масса якоря, а т%— приведенная масса штока и жестко связанного с ним подвижного контакта. Под Csl и Cs2 понимается эла­ стичность соответствующих пружин. Трение якоря и трение демпфирования учитывается коэффициентами Rsi и Rs2- Электрическая схема-аналог рассмотренного ме­ ханического выхода приведена на рис. 1-4,в, где знаком = отмечены соответствующие аналогичные величины.

Принятая аналогия между обозначениями элемен­ тов в схемах и обозначениями их параметров (.симво­ лов) ясна из рекомендаций, приведенных в табл. 1-2 и 1-3. В табл. 1-2 приведены графические обозначения сосредоточенных элементов в схемах, а в табл. 1-3 — условные буквенные обозначения элементов в схемах электрических или магнитных цепей и схемах-аналогах

21

23

вполне характеризующих положение (состояние) иссле­ дуемой системы с г степенями свободы.

Такими обобщенными координатами в системах СЭММ могут являться:

для электрической цепи

т. е. р. независимых переменных, фиксирующих коли­ чество электричества, протекающего по разветвлениям электрической цепи механизма

{Я е )и = § ik d t, 6 = 1,2, ...,р,

где iu — ток в k-м разветвлении; для механической цепи

т. е. г—р, независимых переменных, фиксирующих полог жение подвижных звеньев механической цепи меха­ низма.

Для СЭММ с прямоходовым перемещением подвиж­ ных узлов ниже используются (рис. 1-6,а) эквивалентные обозначения ^m)k = sk или {qm)k = би; для СЭММ с по­ воротным перемещением подвижных узлов (рис. 1-6,6)

27

В рассмотренных случаях производными обобщенных координат являются токи в электрической цепи

и соответственно линейные или угловые скорости по­ движных звеньев механической цепи

Здесь и далее для упрощения обозначений в сово­ купностях однородных параметров опущен индекс /г, однако мы будем условно понимать, например, под q

п q (аналогично для s, р, а, б и s, р, а, б) однородную совокупность всех обобщенных координат и скоростей при k —\,2 , г (r-мерный вектор).

Закон изменения во времени обобщенных координат и их скоростей [Л. 46] может быть получен из принципа н а и м е н ь ш е г о д е й с т в и я (принцип Гамильтона), согласно которому между моментами времени ii и t% действительное движение системы (изменение ее состоя­ ния) осуществляется так, что интеграл

принято называть силовой функцией Лагранжа или ки­ нетическим потенциалом данной системы, а интеграл / д — функционалом действия или наименьшего действия. Рекомендации, по составлению силовой функции Лагран­ жа, т. е. функции, определяющей динамическое состоя­ ние системы применительно к системам СЭММ, будут приведены ниже, здесь же укажем [Л. 37], что ее значе­ ние определяется разностью кинетической (Т) и потен­ циальной (V) энергий системы:

28

и, следовательно, зависит, кроме обобщенных коорди­ нат, еще от совокупностей других параметров п харак­ теристик, например размеров системы, обмоточных дан­ ных намагничивающих катушек, характеристик эластич­ ности упругих звеньев, коэффициентов трения подвижных звеньев, характеристик используемых материалов и дру­ гих.

Если объединить указанные параметры, а также обобщенные координаты и их скорости в неоднородную совокупность (m-мериый вектор) вида

то функция Лагранжа, которая является сложной зави­ симостью от принятой неоднородной совокупности,

L = L(zi,zz........z,„) (1-13а)

может быть обозначена в виде

L = L(Z)

(1-136)

=L(z)-

впоследней записи и везде ниже с целью упрощения написания формул опущено обозначение вектора.

Далее в силу условий принципа наименьшего дей­ ствия задача отыскания функций q и q, доставляющих функционалу действия /д экстремальное (минимальное)' значение, сводится к интегрированию дифференциально­ го уравнения вида

называемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера [Л. 96].

При нескольких степенях свободы в принципе наи­ меньшего действия, как указывалось, должны варьиро­ ваться г различных функций q{t). Очевидно, что в этом случае могут быть получены г уравнений вида

г неизвестных функций quit)- Общее решение такой си­ стемы содержит 2г произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного описания состояния

29

Сйстёмы необходимо знать начальные условия, харак­ теризующие состояние системы в некоторый заданный момент времени. При анализе работы СЭММ указанные условия могут быть получены из дополнительных огра­ ничений, в число которых могут входить также связи, определяющие надежное срабатывание механизма, до­

где i= l, 2, ..., I, указывающем на то, что дополнитель­ ное i'-e ограничение больше, равно или меньше задан­ ного значения Ь,-, или в виде

утверждающем принадлежность совокупности z задан­ ной области Q.

Возможна также запись ограничений (1-16а) в виде

где хг — функция или коэффициент ограничения, при­ нятый запас, соответственно определенный как безраз­ мернаявеличина — кратность ограниченияпо условиям надежностиили другим условиям (х,->1, х*= 1 или х,<1).

Приведенные уравнения ограничений в свою очередь могут определяться:

а) конечными равенствами

где в совокупности z имеются подлежащие определению (варьируемые) функции Zj=Zj(x) и их производные z'j=dzj/dx-,

в) интегральными уравнениями

30

где, как и ранее, подлежат определению функции г, и их производные z'j.

Указанные уравнения ограничений рассматриваются ниже и являются по сути .исходными уравнениями при проектировании систем электромагнитных механизмов, так как в их число, кроме уравнений, отражающих условия статики, в том числе и граничные условия ряда задач, могут входить также дифференциальные уравне­ ния Эйлера (1-15), полученные из условий принципа наименьшего действия и, следовательно, отражающие условия работы .системы в динамике, а также интеграль­ ные уравнения, описывающие некоторые технико-эконо­ мические характеристики системы, например, по запасу энергии, удару и т. п.

Проектирование механизмов по исходной системе

з о м СЭММ, обеспечивает работоспособность устройст­ ва, но не гарантирует оптимальность его характеристик и технико-экономических показателей.

JB этой связи при оптимальном проектировании по­ является необходимость введения ряда п о к а з а т е л е й к а ч е с т в а Пк, отражающих состояние или значение ряда технических и экономических характеристик меха­ низма, например, по массе, стоимости, объему, потреб­ ляемой мощности, времени срабатывания, удару, надеж­ ности и т. п. Показатели качества могут быть выра­ жены функцией или функционалом от ряда переменных параметров или функций Zj, входящих в совокупность z

( 1- 12) :

n h = J7k(z)

дится функция компромисса, или обобщенный технико­ экономический показатель (целевая функция), опреде­ ляющий э ф ф е к т и в н о с т ь СЭММ:

31