книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

Входящий в (2-184) комплекс кратностей геометри­

и заменен в (2-183) исходя из условий, что А0х= 2п(р +

определяющих н. с. катушки, что подтверждает предель­ ный переход тепловой модели «©п» к модели «во»,

212

Вслучаях если допустимо предположение ат=|Рт=0

к1ы =°> т0 -П2=т]1=1.

Взаключение укажем, что в ряде случаев решение приведенной задачи по анализу температурного поля катушки с учетом корректирующих функций удобно про­ водить в безразмерной форме, что упрощает написание полученных зависимостей и облегчает, как будет показа­ но ниже, сопоставление расчетных формул для трех при­ нятых тепловых моделей.

Введем следующие обозначения (рис. 2-16): безраз­ мерные координаты

кратность размеров окна катушки Нк/Ак—Ь/с = т/п=\^\ безразмерные параметры

где Bi — широко используемый в теории теплопроводно­ сти критерий Био [Л. 77]; им определяется интенсивность теплообмена между поверхностью и окружающей сре­ дой, оцениваемая по сравнению с теплопроводностью окна катушки.

Приведенные безразмерные величины для случая сим­ метричной тепловой модели «0П» соответственно прини­ мают вид:

с = ^ ; 0 = - |- ; и = -%~; Bi = M*-; (2-191)

при этом принятое значение безразмерного превышения температуры равно:

Замена переменных по (2-191) и (2-192) дает воз­ можность записать общее уравнение нагрева намагни­ чивающей катушки (2-119) или (2-141) в виде

d!Q | d*Q

(2-193)

dv2 "т" да-

При этом граничные условия определяются: при условиях первого рода (модель «©п»)

213

при условиях третьего рода («модель «Л»)

Для рассматриваемой модели «0П» с учетом введен­ ных безразмерных параметров (2-191) полученные ра­ нее соотношения, как легко показать, преобразуются к следующим видам.

Безразмерное максимальное и среднее превышение температуры по отношению к температуре на поверхно­ сти катушки по (2-165)

Безразмерное превышение температуры на поверхно­ сти катушки по отношению к температуре окружающей среды (2-170)

Безразмерное максимальное и среднее превышение температуры по отношению к температуре окружающей среды по (2-168) и (2-169)

руется постоянный множитель в (2-196). В этих случаях, как видно, корректирующие функции и безразмерные температуры зависят от двух варьируемых параметров

Bi и р, так как ke= k e (Bi, .р), т. е.

Ям= йв(1+ *вм) = MBi,P);

(2-200)

Qcp= Qn(l+ ftecp) = /a(Bi,P).

214

в) Анализ температурного поля модели «/г», определение и. е. катушек СЭММ с учетом корректирующих функций

Тепловая модель «/г» (рис. 2-15,в) в отличие от моде­ ли «0п» учитывает изменение температуры по поверхно­ сти катушки, и ее поле описывается уравнением и гра­ ничными условиями третьего рода, которые, как было показано, в безразмерной форме принимают вид:

■ dag

dv2 ' du2

( 2-201)

QBi.

Данная модель наиболее полно учитывает характер процессов нагрева реальных катушек в СЭММ и, следо­ вательно, более точно определяет характер температур­ ного поля в катушке, ее максимальную и среднюю по сечению температуру.

Точное решение системы (2-201) можно получить различными способами [Л. 1, 32, 35] и в том числе клас­ сическими методами разделения переменных [Л. 1], ме­ тодом учета напряженности плоского поля, разработан­ ным в 1963 г. и описанным в (Л. 32], и др. К сожалению, в большинстве случаев полученные решения очень гро­ моздки, малоудобны для практического использования и особенно при синтезе СЭММ в связи с необходимостью дополнительно решать трансцендентные уравнения.

В качестве примера приведем точные решения (2-201), полученные с помощью двойных рядов (Л. 1,32]. Преобразование полученного в указанных работах ре­ шения с учетом принятых нами безразмерных величин для максимального и среднего превышения температуры относительно температуры окружающей среды может быть приведено к виду

СО со

4

2

( 2-202)

215

ностью 1—2% можно ограничиться их первыми члена­ ми, однако при вычислении температур по этим форму­ лам приходится решать трансцендентные уравнения (2-203) графическими плн численными методами, исполь­ зуя соответствующие таблицы |[Л. 34], что вызывает за­ труднения при обратной задаче, связанной с синтезом СЭММ. Отсюда естественное стремление получить при­ ближенное решение задачи, дающее возможность ис­ пользовать его при синтезе СЭММ. Такая возможность рассмотрена нами в работе ,[Л. 73], где используется ва­ риационный метод, дающий приближенное решение си­ стемы (2-201).

Суть метода была рассмотрена ранее, при решении задачи с граничными условиями первого рода (§ 2-3). Ниже рассматриваются особенности его приложения при граничных условиях третьего рода. В этом случае решение системы (2-201) при введенных обозначениях (2-190), (2-192) является экстремалью следующего функционала:

Для нахождения экстремали воспользуемся методом приведения к обыкновенным дифференциальным урав­ нениям. Решение будем искать в виде

Коэффициент а выбирается таким образом, чтобы решение (2-205) удовлетворяло граничным условиям на прямых о= ± 1:

216

Подставляя (2-205) в (2-204) п интегрируя по v, по­ лучаем следующий одномерный функционал:

217

Полученные значения, как и в случае модели «0П», дают возможность определить связь в Ср = £о®м или £2Ср=£ойм, откуда с учетом (2-215) и (2-214) получим:

s sh (sP) + Bi ch («Р)

Кроме того, в рассматриваемом случае полезным оказывается составление формального равенства и вве­ дение корректирующей функции, аналогичной ke, по

(2-171):

Здесь, как и в (2-216), индекс III указывает, что рас­ сматривается случай при граничных условиях третьего рода.

В (2-218) корректирующая функция равна:

Ее значение, отнесенное к максимальному или сред­ нему превышению температуры по (2-214), (2-215), с учетом значения Qn по (2-197) дает:

Предлагаемый подход позволяет выразить и. с. ка­ тушек СЭММ при учете граничных условий третьего рода тепловой модели «/г» зависимостью, аналогичной полученной для модели «0П» при граничных условиях первого рода (2-173). В этом случае

218

где, как и ранее, принято 0м = %е0дОП; 0ср = С” гвм.

'Представляет интерес количественная оценка по­ грешностей в определении максимальной и средней тем­ пературы, полученная при расчете температурного поля катушек СЭММ, рекомендуемыми нами методами при принятых трех тепловых моделях («©о», «©п», «/г») по сравнению с точным методом расчета температурного поля модели «Л». Указанная оценка позволяет ориен­ тироваться в целесообразности применения той или иной модели и, следовательно, полученных выражений кор­ ректирующих функций ke и комплексов т)о в реальных

границах изменения критериев подобия Bi и (3.

Для этого, используя ЭЦВМ, были просчитаны соот­ ветствующие значения максимальных и средних превы­ шений температур по полученным зависимостям для всех принятых тепловых моделей. Процент отклонения от точного решения с учетом граничных условий третьего рода нанесен на соответствующих кривых графиков, приведенных на рис. 2-17. Указанные расчеты проведе­ ны для реальных границ изменения критериев р и Bi ха­

ков, приближенная тепловая модель «@0», предполагаю­ щая постоянство температуры по сечению обмотки, справедлива лишь при малых значениях числа Вi (Вi< <0,05). С ростом Bi погрешности по отношению к сред­

2-17,6) резко возрастают. При тепловой модели «0П» расчетные зависимости @ср и ©м, полученные исходя из граничных условий первого рода, дают отрицательную погрешность. Расчет средней температуры при данной модели может быть произведен, как следует из рис. 2-17,б, с высокой точностью—-погрешность меньше 4%. Расчетом максимальной температуры при этом следует пользоваться при Bi'^0,1. При больших значениях чис­ ла Bi погрешность превосходит 8% (рис. 2-17,г), что со­ ответствует при ©доп=Ю0°С недоучету примерно 8°С, которые заметно уменьшают срок службы обмотки.

219

Со

О О,ОН- 0,08 ■' 0,2 0,4- 0,6 0,8 Bi

в)

Р и с . 2 - 1 7 .

Значения температур по (2-214), (2-215), получен­ ные для тепловой модели «Л» с помощью вариационных методов при граничных условиях третьего рода, имеют погрешность менее 1% для 0 ср (рис. 2-17,д) и менее 3% для 0 М (рис. 2-17,е). Важным обстоятельством является то, что эта погрешность положительна, поэтому расчет по формулам зависимости, рекомендуемым для этой мо­ дели, обеспечивает определенный запас как по н. с., так и по сроку службы обмотки.

Рис. 2-18.

Представляет интерес сопоставление картины темпе­ ратурного поля обмотки, рассчитанного на ЦВМ раз­ личными методами. На рис. 2-18 показаны поля при В1= 0,4 и р= 3. На рис. 2-18,а представлена картина по­ ля, рассчитанная исходя из граничных условий первого рода. Как видно из рис. 2-18,6 и в, картины поля, рас­ считанные точным и вариационным методом, при гра­ ничных условиях третьего рода 'практически совпадают (разница —1менее 1%).

221