книги из ГПНТБ / Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов

обмотки, несимметричных условий охлаждения и нали­ чия анизотропии. При этом получается система транс­ цендентных уравнений, которая в ряде случаев не мо­ жет быть решена в общем виде.

Необходимость суммирования четырех — шести чле­ нов ряда в решениях (для обеспечения достаточной для практики точности) затрудняет использование прибли­ женных методов расчета трансцендентных уравнений в связи с возникающей проблемой отделения корней ре­ шения указанных систем.

Таким образом, решение поставленной в общем виде задачи — расчета температурного поля с помощью клас­ сического метода (Фурье) представляет весьма сложную задачу даже при возможности использования ЭЦВМ.

Известны другие хорошо разработанные методы с применением ЭЦВМ, например метод сеток и другие методы дискретного характера, которые облегчают про­ цесс расчета, однако малоудобны для аналитического анализа рассматриваемых ттроцессов. Сложность и гро­ моздкость точного решения и невозможность точного определения (задания) ряда исходных параметров рас­ чета намагничивающих катушек из-за неизбежных про­ изводственных отклонений,связанных с технологическими отклонениями при изготовлении промышленных об­ разцов, разбросом технических характеристик, использу­ емых материалов, а также спецификой их конструктив­

катушек и т. п.), определяют стремление к упрощенной постановке задачи, решения которой должны отличать­ ся достаточной для практики точностью.

Укажем в этой связи на конкретные возможности и рекомендации в приложении к широко распространен­ ному в практике стационарному случаю плоскопарал­ лельного температурного поля, характерного для усло­ вий нагрева и охлаждения обмотки намагничивающих катушек электромагнитных элементов и в том числе си­ ловых электромагнитных механизмов.

Сформулируем общую постановку задачи.

Удельная производительность источников нагрева за­ висит от распределения по сечению (объему) темпера­ туры ■&, а следовательно, и превышения температуры 0 над температурой окружающей среды Ф0.с: Я = с1{®)> где

© = '6 '— 'О'о.С*

Нагрев описывается уравнением вида

d-Q , , д2@

мотки соответственно для поверхностей торцов, наруж­ ной и внутренней поверхности принимается зависимость превышения температуры 0 и коэффициента теплоотда­ чи /г от координат, отнесенных к указанным поверхно­ стям катушки:

0v = 9 ( + 4 5- ’ у ) ’ ^ = /г ( + 4 ^ - у ) '

Решение данной задачи применительно к сформули­ рованным условиям в общем виде требует определения:

поля превышения температур

где zM, г/м— соответствующие координаты максимально нагретой точки;

среднего по сечению окна превышения температуры

(S)

Как было показано выше, определение перечислен­ ных величин и зависимостей вызывает практические затруднения. В связи с этим введем приближенные сим­ метричные модели температурного поля, катушек СЭММ, решения задачи для которых значительно упрощаются.

Выводы и рекомендации, обоснование которых при­ водится ниже, дают возможность, используя принцип базовой и корректирующих функций, получить доста-

точно точные аналитические зависимости, описывающие нагрев катушек в общем виде. При этом базовая функ­ ция описывает нагрев катушек, полученный по упрощен­ ным моделям, а корректирующая функция уточняет по­ лученные результаты с учетом возможной практической реализации и в том числе при асимметричных условиях нагрева и охлаждения.

Принятые модели и упрощения

М о д е л ь «/г». Условия данной модели (рис.. 2-15,в) предполагают:

Постоянство коэффициентов теплоотдачи на поверх­ ностях охлаждения

Постоянство удельной производительности внутрен­ них источников нагрева q= const. При этом предполага­ ется (в результате чего уменьшается погрешность допу­ щения), что удельная производительность источников отнесена к средней температуре (■flop) по сечению обмот­ ки катушки = <700= const. В этом случае согласно (2-110)

и (2-111)

температурный коэффициент металла провода, отнесен­ ные к нулевой температуре и к температуре окружаю­ щей среды t>0.c, при этом

С целью удобства изложения в дальнейшем обобщим расчетные формулы, введя обозначение

где для токовых катушек (при / = const)

(2-117а)

1 9 4

= 0,427 • 10-2 °С-1 и (Зо=0,453-10_6 °С~2 величина а'о в диа­

= +0,0036 °С-1и а '0.с= —0,00341 °С-1.

Таким образом, при расчете катушек напряжения учитывается уменьшение выделяемой в катушке мощно­ сти при ее нагреве.

Постоянство коэффициентов теплопроводности вдоль

скорректировать высоту намотки катушки, приняв ее равной

лучим: d2Qldy2+dz@/dr\2= —q/,Xy= —qlX*a. Здесь принято

Х*э=Ху и скорректирован линейный размер по оси z, т. е. ухудшение теплопроводности по направлению оси z(Xv< <Xz), эквивалентно увеличению высоты намотки при улучшенной теплоотдаче. Последнее обстоятельство имеет физическое объяснение — при преобразовании производительность источников q осталась прежней, но изменение геометрических размеров поведет к кажуще­ муся увеличению суммарных потерь; последнее компен­ сируется соответствующим увеличением теплоотдачи. Одновременно пересчет фактических геометрических размеров и коэффициентов теплоотдачи дает возмож­ ность задачу для анизотропных тел свести к задаче с условиями для изотропных тел.

Таким образом, с учетом принятых допущений для рассматриваемой модели уравнение нагрева и гранич­ ные условия могут быть приведены к общему виду

т. е. к виду уравнения Пуассона, с граничными услови­ ями третьего рода при симметричных условиях охлаж­ дения с попарно равными по поверхностям коэффициен­ тами теплоотдачи (рис. 2-15,б)

Модификацией данной задачи является случай ра­ венства теплоотдачи на всех поверхностях

М о д е л ь «0» (рис. 2-15,г, д). В случае этой модели, кроме допущений, принятых для модели «/г», дополни­ тельно принято равенство и постоянство превышения температуры на всех торцевых и наружных поверхностях обмотки (модификация модели «0П», рис. 2-15,г):

В этом случае по сути изменяются граничные усло­ вия, которые соответствуют теперь условиям первого рода. Как видно на рис. 2-15,г, изотермы рассматривае­ мой модели повторяют очертания наружной изотермы в отличие от изотерм, показанных на рис. 2-15,6 для мо­ дели «к», которые в точках пересечения с поверхностью

1 9 6

обмотки определяли условие изменения превышения температуры по поверхности.

При анализе температурного поля по рассматривае­ мой модели удобно вместо функции 0 (z, у) ввести функ­ цию 0*(г, г/), составленную как разность

сти обмотки, т. е. рассматривается по сечению катушки превышение температуры обмотки относительно постоян­ ного превышения температуры на ее поверхности.

В этом случае уравнение Пуассона (2-119) приводит­

с нулевыми граничными условиями первого рода 0*п= =0 при /гт= const и /гн = const.

При этом возможна модификация по условиям равен­ ства

Модификацией модели «0» является также модель «0о» (рис. 2-15,(3), для которой наряду с постоянством и равенством температуры по поверхностям принято так­ же постоянство температуры по сечению окна обмотки 0 (2, у) = 0 О, которое равно превышению температуры на поверхности

Таким образом, в этом случае для модели «0о» зада­ ча сведена к анализу равномерного нагрева эквивалент­ ного однородного тела при условии /гт= const и hn= = const или /г„= /гт=/гп=/го= const. Принятые допущения по модели «к» и «0» значительно упрощают решения за­ дач, которые рассматриваются ниже.

б) Анализ температурного поля модели «0 О», определение н. с. катушек СЭММ с учетом корректирующих функций по нагреву

Модификация модели «0о» (рис. 2-15,5). Согласно допущениям, принятым для указанной модификации, на­ грев катушки может быть описан уравнением нагрева однородного тела

197

где 0о — превышение температуры по сечению и поверх­ ности обмотки; hiSi — теплоотдача с i-й поверхности об­ мотки; q — удельная производительность внутренних источников нагрева; V — объем обмотки.

Для данной модификации

здесь /гн — коэффициент теплоотдачи с наружной поверх­ ности обмотки /гн=/г0.с(1+1Рт®о) = const; 50Х— приведен­ ная поверхность охлаждения:

где ут= /гт/Лц=1—кратность коэффициентов теплоотдачи. В установившемся продолжительном режиме при d®0/dt = 0 превышение температуры ©0 должно достигать критического 0о=*0 0Доп, где 0ДОП— допустимая тем­ пература обмотки; х0 — запас по условиям допустимо­

го нагрева, учитывающий возможные отклонения при производстве и эксплуатации.

В этом случае

При необходимости учета критических условий по ре­ жиму работы, отличающемуся от продолжительного [J1. 50, 51], результирующая н. с. для условий рассмат­ риваемой модели в общем виде может быть определена по равенству

198

и pi — коэффициент или функция режима работы; тк — число намагничивающих катушек в системе.

Входящая в расчетные зависимости допустимая тем­ пература и корректирующие коэффициенты или функции Pi выбираются по соображениям, подробно рассмотрен­ ным в [Л. 50, 51]; для продолжительного режима pi= 1.

К группе корректирующих расчет функций по нагре­ ву следует отнести также функцию фо, которая учитыва­ ет реальные условия нагрева и охлаждения катушки при наличии арматуры (корпуса), расположенной вблизи или охватывающей ее наружную поверхность. Обозна­ чим:

В этих формулах 0 а и /га — усредненное превышение температуры и приведенный коэффициент теплоотдачи, отнесенные к наружной поверхности охлаждения Sox (корпуса, арматуры) СЭММ, реально участвующей в процессе охлаждения катушки; 0 О и ho— превышение температуры по сечению и на поверхности катушки и коэффициент теплоотдачи с ее наружной поверхности Sox, отнесенные к образцовой катушке, охлаждение ко­ торой происходит в принятых идеализированных усло­ виях [Л. 51].

Таким образом, в общем случае для рассматривае­ мой модификации тепловой модели (модель «0О») в со­ ответствии с (2-129), (2-133) и с учетом принятых обо­ значений (§ 1-3) справедлива зависимость

Для случая кратковременного режима при заданных времени tB и допустимой плотности тока /ДОп

199

где Bij, Pi Sj — подлежащие определению постоянные, значения которых находятся с учетом граничных усло­

возможности анализа температурного поля только в од­

ной четверти окна намотки (например, S0h=<Si234 = c6), определяющийся симметрией модели «0П». В этом слу­

чае дополнительные условия по равенству нулю гради­ ента температуры на внутренних поверхностях

grad Q*y |у=(;= 0 и grad 0*z|2=o= O равносильны условию отсутствия теплоотдачи на этих поверхностях и сохра­ нению принятой картины изотерм в сечении. Как видно, в этом случае максимальное превышение температуры 0*м соответствует значению координат уы — с и zM= 0.

Среднее превышение температуры 0*ср по окну на­ мотки при заданной постоянной производительности внутренних источников нагрева qCJ>, учитывая симмет­ рию, сохраняет свое значение для случая рассмотрения температурного поля в половине окна (SOK= Si265i= 2£c), а также всего (полного) окна (S0K==*Si578i=4£'c) обмотки катушки. При этом исходя из принятых условий посто­ янства и равенства температуры 0 П на наружных по-

201