книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Этот результат показывает, что спектральная плотность мощности ком­ плексного процесса однополосна, т. е. отлична от нуля только при по­ ложительных частотах. Этого и нужно было ожидать, учитывая однополосность аналитических сигналов, обсуждавшуюся в § 4.4. Из

(4.28) имеем

Комплексная огибающая процесса

Теперь определим комплексную огибающуюпроцесса у (относительно выбранной «центральной» частоты /0) выражением

(7.63)

причем у = u + / v. Таким образом, узкополосный процесс собразуется из двух узкополосных процессов —квадратурных компонент и и v:

Так как сомножители в (7.63) и (7.64) зависят от времени, представляет­ ся неочевидным, что и и v есть стационарные в широком смысле про­ цессы. Чтобы убедиться в их стационарности, заметим, что

В (7.66) последние два члена (зависящие от t) равны нулю в силу условий (7.59) и (7.60):

Таким образом, автокорреляционная функция процесса и не зависит от t и, кроме того, и имеет нулевое среднее значение (поскольку мы предположили, что х имеет нулевое среднее значение). Это означает, что и — стационарный в широком смысле процесс, и (7.66) дает

К и (т) = -7ft - [ £ « (т )е -/2л?«' + й; ф(т) e'2ltf»'] =

191

Рис. 7.4. Спектральная плотность комплексной огибающей про­ цесса.

Спектральная плотность мощности комплексной огибающей про­ цесса образуется путем сдвига (по частоте) односторонней спектральной плотности процесса if, как показано на рис. 7.4,

Заметим, что если Куу (/) — четная функция (Кхх (/) симметрична от­ носительно /0), то kyy (т) — вещественна, и, как следует из (7.71), квадратурные компоненты процесса некоррелированы.

Полосовая фильтрация

Применяя результаты § 4.4, рассмотрим воздействие на процесс полосового фильтра с постоянными во времени параметрами, причем будем искать адекватное описание оператора фильтрации через низко­ частотные компоненты, низкочастотные эквиваленты полосовых про­ цессов. Для случайных процессов важно найти линейное преобразова­ ние, связывающее автокорреляционные функции (7.30) и (7.31) на входе и выходе фильтра. Мы получим низкочастотный эквивалент это­ го преобразования.

Пусть полосовой фильтр имеет передаточную функцию R (/), низ­ кочастотный эквивалент которой есть Л_(/). Согласно (7.31) линейное

192

преобразование, связывающее входную и выходную корреляционные функции, имеет вид

Из (4.57) мы знаем соответствующую связь комплексных огибающих процесса

Узкополосное преобразование

* х (t)

*г *г

if

Рис. 7.5. Низкочастотный эквивалент преобразования, связывающего авто­ корреляционные функции на входе и выходе.

Чтобы выявить корреляционную функцию вещественного низкочастот­ ного процесса, нужно в соответствии с (7.71) определить вещественную и мнимую части автокорреляционной функции комплексного процес­ са. Они соответствуют, в свою очередь, четной и нечетной частям спек­ тральной плотности мощности комплексного процесса. Выполним раз­ биение (7.74) на четную и нечетную части:

(7.77)

Линейные преобразования автокорреляционной и кросс-корреляцион- ной функции (а не самих сигналов) символически показаны на рис. 7.5. Видно, как при несимметричной характеристике полосового фильтра возникает корреляция между разными квадратурными компонен­ тами процесса. Это важно учитывать, например, при анализе работы разного рода когерентных демодуляторов, примеры которых были в § 4.4.

Упражнение 7.9. По аналогии с (4.48) можно выбрать «центральную» частоту вещественного полосового процесса как центр тяжести односторонней спектральной плотности мощности, т. е.

оо

JfK.xx (/) 4/

J к хх (/) df

о

В гл. 4 было показано, что величину /0, определенную согласно (4.48), можно интерпретировать как среднее по времени значение мгновенной частоты сигнала, причем весовой функцией является огибающая сигнала.

Показать, что аналогичная интерпретация применима для стационарных случайных процессов, если f0 определено в виде

w2 ( 0 = x 2'(0 + x 2 (0-

Указание. Дифференцирование по времени и преобразование Гильберта следует трактовать как операции фильтрации при неизменных во времени пара­ метрах фильтра.

5.J o r d a n K- L. Discrete representations of random signals, — «MII-RLE Report», 1961, № 378.

194

8

МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 7 дано описание случайных процессов с помощью корреля­ ционных функций. Ниже, в гл. 9 мы продемонстрируем возможности такого описания в решении разнообразных задач. Но предварительно полезно рассмотреть корреляционные свойства некоторых процессов. Прежде чем постулировать какую-то корреляционную функцию изу­ чаемого процесса или выявить ее путем соответствующих тщательных измерений, часто целесообразно сконструировать математическую модель изучаемого физического процесса. Это целесообразно потому, что физический механизм, порождающий различные реализации про­ цесса, нередко можно понять, анализируя природу явления, и тогда

статистические характеристики процесса выявляются аналитически, ос­ таются неизвестными только численные значения соответствующих физических параметров. Такие параметры, как правило, измерить лег­ че, чем корреляционную функцию в целом. Обычно математическая модель, включающая лишь несколько наиболее важных параметров, обеспечивает подходящее описание процесса. Корреляционная функ­ ция может быть определена из такой модели аналитически, в резуль­ тате чего задача физического исследования существенно упрощается

Подробное изучение способов моделирования процессов, очевидно, выходит за рамки этой книги. Мы лишь рассмотрим модели тех про­ цессов, которые в силу физического механизма, их порождающего, представляют собой случайные во времени последовательности им­ пульсных сигналов. Мы найдем средние значения и автокорреляцион­ ные функции этих процессов. Некоторые результаты будут использо­ ваны в гл. 9.

8.2. ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ

ИСЛУЧАЙНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРИХОДА

Внекоторых системах, скажем в радио-и звуколокации, сигналь­ ные импульсы достаточно далеко разнесены во времени, так что модель сигнала представляет собой одиночные импульсы известной формы, отраженные от цели. Поскольку отражающая поверхность цели и ее

дальность не известны, амплитуда й время прихбда отраженного им­ пульса могут рассматриваться как случайные величины. В некоторых случаях, например при наличии нескольких целей, сигнал состоит из нескольких импульсов со случайной амплитудой и случайными мо­ ментами прихода. Эта простейшая модель рассматривается в следу­ ющих примерах.

Одиночный импульс

Пусть

где а и t0 — статистически независимые случайные величины. Среднее значение этого процесса пропорционально свертке импульса и плот­ ности вероятности для величины t0:

оо

Из (8.3) видно, что в общем случае процесс нестационарный. Если вре­ мя прихода t0 известно, то р(о (о) = д (о — t0), и тогда

х(0 = as(t — 10),

(8.4

kxx(t+x, t) = a2 s (t + %— t0) s ( t ~ t 0).

По мере того как время прихода становится все более и более неопре­ деленным, ширина функции pto(а) увеличивается, и процесс прибли­ жается в некоторых отношениях к стационарному в широком смысле.

Когда T велико по сравнению с длительностью импульса s (t), интегра­ лы в (8.5) не зависят от ^для всех) t \ ^ Т. Впрочем, этим не обеспечи-

196

вается строгая стационарность процесса, так как средний квадрат его стремится к нулю при Т -> оо. Другая интересная особенность этого случая состоит в том, что в соответствии с (2.40) автокорреляционная функция приблизительно пропорциональна временной функции не­ определенности rs (т) = (s, sT) для импульса s (t).

Последовательность импульсов

Пусть

где 2п случайных величин {ак} и {tft} предполагаются статистически независимыми. Предположим также, что распределения величин {afe} и { U одинаковы для всех импульсов и не зависят от k. Тогда

Рассматривая отдельно n слагаемых c k = / и n2— n слагаемых c k Ф /, получаем

197

Из (8.10) ясно, что автоковарйаЦионная функция пропорциональ­ на временному сечению функции неопределенности для s (/). Будем далее обозначать эту функцию через г (т). Параметр X есть средняя частота появления импульсов. Спектральная плотность мощности рас­ сматриваемого процесса имеет вид

где R (f) = \ S (f) |2.

Наличие б-функции в (8.12) указывает на то, что в общем случае имеется конечная мощность постоянной составляющей процесса.

Рассмотренная модель часто используется для описания дробового шума в электронных приборах. В этом случае ak = 1 и s (t) — импульс тока, несущий заряд q и возникающий во внешней цепи при пролете отдельной частицы. Формула (8.10) в этом применении часто называет­ ся теоремой Кемпбела [1]. В § 8.7 мы более подробно рассмотрим этот тип процесса и дадим другой вывод формул для среднего значения

идля автокорреляционной функции.

8.3.ПРОЦЕССЫ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ СТАЦИОНАРНОСТЬЮ

Ксчастью, многие случайные процессы, встречающиеся в физи­ ческих системах, могут рассматриваться как стационарные. С другой стороны, часто встречаются процессы, которые были бы стационар­ ными, если бы они не подвергались некоторому повторяющемуся воз­ действию. Эти периодические возмущения обычно делаются умышлен­ но, например для калибровки времени при наблюдении сигналов. При таких возмущающих воздействиях образуется определенный тип не­ стационарного процесса. Рассмотрим, например, выходной сигнал при­ емника, подключенного к локационной антенне, имеющей узкую диа­ грамму направленности и сканирующей по углу. Если интенсивность отражений изменяется с углом визирования, то статистические характе­ ристики выходного сигнала приемника будут изменяться периодически

скаждым оборотом антенны. Подобно этому, телевизионный сигнал, получаемый при прямоугольной развертке кадра со случайным рас­ пределением яркости, будет обладать периодически изменяющимися статистическими параметрами. Все виды развертки (за редким исключе­ нием тех, которые сами управляются случайными процессами) вносят некоторую периодичность в сигнальный процесс. Учитывая распро­ страненность подобных возмущений в системах обработки сигналов, необходимо более полно изучить их статистические свойства.

Операция дискретизации

Часто бывает невыгодно наблюдать сигнал непрерывно. Чтобы преодолеть это затруднение, проще всего периодически отсчитывать значения сигнала и запоминать величину предыдущего отсчета до сле­ дующего отсчетного момента. Такая операция может быть представле­ на символически схемой дискретизации, показанной на рис. 8.1.

198

Синхро­ низатор

Рис. 8.1. С хем а дискретизации ( а ); типичная р еали ­ зация (б ).

Предположим также, что у — стационарный в широком смысле процесс, тогда

Сумма no k в (8.16) имеет период Т. Можно представить автокорреля­ ционную функцию через вспомогательную периодическую функцию q (t, т), показанную на рис. 8.2. Для О <С т ■< Т

199

где

Заметим, что q (t, т) обращается в нуль при | т | ^ Т . Процесс х, очевид­ но, не стационарный, но он принадлежит к процессам, обладающим

Рис. 8.2. Вспомогательная периодическая функция, входящая в выра­

жение для автокорреляционной функции процесса на выходе схемы дискретизации.

Процессы, удовлетворяющие условиям (8.18), называются процессами с циклической стационарностью (в широком смысле). Их называют так­ же периодически стационарными или циклостационарными.

Рандомизация фазы

Для рассматриваемых процессов с частным видом нестационар­ ное™ можно попытаться выявить пути исследования, подобные ста­ ционарным процессам, и использовать преимущества таких, например, понятий, как спектральная плотность мощности. Один из способов, которым это можно сделать, есть простое усреднение автокорреляцион­

— oo

Такой способ устранения временной зависимости путем усреднения автокорреляционной функции за период не столь произволен, как это может показаться на первый взгляд. Но мы дадим другую интерпрета-

200