а 22 — I 1 + |
j |
S 2u W d r j |
1 5 12 (г) X |
(T) rfx. |
|
Точность определения оценки вектора параметров характеризуется матрицей |
апостериорных корреляционных моментов |
x-------) J S jj (x) S12 (x) dr |
|
-Di J 1 + |
-qj- |
j" S2a (x) d |
|
K* = M 1 |
|
|
|
|
|
|
J Sn (x) S12 (x) dr |
D2 ( 1 + A |
j s 2n (x) dr |
|
где M — оператор математического ожидания. |
|
|
оп |
Если помехи нет (G = |
0), то, как нетрудно проверить по формуле (14.49), |
тимальные оценки случайных параметров равны истинным |
значениям: Vj = |
Ej, |
'Vi = ^
Алгоритм (14.49) достаточно сложен с точки зрения реализации в измеритель ной аппаратуре. Его можно упростить за счет соответствующего выбора формы зон дирующего сигнала и времени наблюдения.
14.4. Оценка параметров нелинейных систем
Рассмотрим задачу оценки параметров нелинейных динамичес ких систем, описываемых дифференциальным уравнением
Y = <p(t,Y, U) + В (t, U) Z (t), |
(14.50) |
где Y — /г-мерный вектор фазовых координат; <р (t, Y, U) — нели нейная вектор-функция размерности /г, зависящая от времени и вектора случайных параметров U\ Z (t) — вектор входного случай ного сигнала; В (t, U) — матрица коэффициентов.
Наблюдению подвергается вектор К„, функционально связанный с вектором фазовых координат системы. Этот вектор в общем случае имеет меньшую размерность, чем вектор фазовых координат, что учи тывается введением матрицы наблюдения Н. Наряду с полезным сигналом в наблюдаемом сигнале содержится аддитивная помеха. Наблюдаемый сигнал имеет вид
X (0 = H Y H+ N(t). |
(14.51) |
По результатам наблюдения необходимо получить оптимальную оценку вектора параметров системы по критерию минимума сред него квадрата ошибки.
Относительно вектора случайных параметров известны априор ные данные в виде закона распределения вероятностей вектора мате матических ожиданий и матрицы корреляционных моментов.
Построим вектор Кн так, чтобы он линейно зависел от вектора случайных параметров системы. Для этого введем модель системы. В качестве модели рассмотрим нелинейную систему, на вход которой поступает сигнал Z (t), а параметры системы равны своим математи-
ческим ожиданиям. Уравнение, описывающее модель системы, имеет вид
Кт = <р (*, Ут, т) |
+ В (t, т) |
Z |
(t), |
(14.52) |
где т — вектор математического |
ожидания |
параметров; УТ— век |
тор фазовых координат модели |
(теоретический |
вектор). |
|
Предположим, что замена случайных параметров математическими ожиданиями приводит к незначительному отклонению фазовых коор динат системы (14.52) по отношению к соответствующим координа там системы (14.50). На основании этого предположения можно рассмотреть движение системы, описываемой уравнением (14.50), в вариациях относительно движения системы, описываемой уравне нием (14.52). Приняв допущение о дифференцируемости векторафункции ср (t, У, U) и матрицы В (t , U) по фазовым координатам и параметрам, линеаризуем уравнение (14.50) относительно движения системы, описываемой уравнением (14.52). Разложение в ряд Тэй лора нелинейной вектор-функции и матрицы коэффициентов и учет в этом разложении только линейных членов приводит к следующим выражениям:
Ф (t, У, |
U) |
= |
ф |
( / , К т, |
т) |
+ |
Уф {t, |
УТ, |
т) |
АУ + |
|
|
|
+ |
Уцф (t, |
УТ, m) |
V) |
|
|
(14.53) |
В (t, |
U) |
= |
В (t, т) |
+ |
VUB |
(t, |
т) |
V, |
(14.54) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д к = К _ К т; |
V — |
U — т\ УФ (t, |
К т, m) = |
| ^ |
> |
У Т, т)/дУ,-\\- |
Vu<P(t, |
У т. |
т ) = |!5ф(. (/, YT, тп)/ди,сII; |
|
|
VuB(t, |
m) = \\dBi} (t, |
m)/dUk \\. |
|
|
(i, |
/=1, |
2....л), |
|
( k = l , |
2 ,...,/). |
Подставляя соотношения (14.53), (14.54) в уравнение (14.50) и вычитая из него уравнение (14.52), получаем линейное дифференци альное уравнение относительно вектора вариаций фазовых коорди нат:
ДК = у Ф (t, Уг, пг) АУ + У„Ф (t, Ут, m) V —
— VUB (t, m) VZ (t). |
(14.55) |
Выходной сигнал системы (14.55) пропорционален вектору откло нений случайных параметров относительно математического ожи дания
t
A K = J g (K t , m> 1, т ) [ У ыф(т ; Y r, m) — VUZ? (т; m)Z(i)]dxV,
о
(14.56)
где матрица весовых функций определяется решением дифференци ального уравнения
d G ( t , |
T , Y r , т ) = Vfp |
m) G |
( V Т, tn, t, т) |
(14.57) |
при начальных |
условиях G (т, т, |
Y r, m ) |
= /. |
|
Если ввести |
обозначение |
|
|
|
t
Ф (0 — | G(KT> ш, /, т) V„ [ф (т, Кт, /п) — Я(т, /и) Z (т)] rfx,
(14.58)
то в качестве вектора Y„ в выражении (14.51) следует выбрать
Y„ = ЛК = Ф (О V. |
(14.59) |
Наблюдаемый вектор теперь будет иметь вид |
|
X (0 = S(t) V + N(t), |
(14.60) |
где введено обозначение
(14.61)
Выражения (14.59) и (14.60) аналогичны формулам (14.19) и (14.20), поэтому дальнейшее решение задачи получения оптималь ной оценки вектора параметров аналогично рассмотренному в пре дыдущем параграфе.
Структурная схема алгоритма обработки наблюдаемого сигнала для получения оптимальной по критерию минимума среднего квад рата ошибки оценки вектора параметров нелинейной системы (14.50)
Рис. 14.4. Структурная схема алгоритма оценки вектора параметров нелинейной системы:
«Г» — операция транспонирования матрицы; ( )~‘ — операция обращения матрицы
для частного случая, когда помеха N (t) является белым шумом с ин тенсивностью G, изображена на рпс. 14.4.
Наряду с изложенным выше алгоритмом возможны и другие пути решения задачи. В работе [49] рассмотрен алгоритм решения аналогичной задачи, который отличается тем, что параметры системы принимаются за дополнительные фазовые координаты расширен ной нелинейной системы. Далее осуществляют линеаризацию сис темы и строят алгоритм обработки наблюдаемых координат линеари зованной системы, основанный на методе фильтров Калмана. Этот
алгоритм эквивалентен алгоритму, рассмотренному в данном пара графе.
2. Формулы для интегралов от дробно-рациональных четн функций
|
|
|
со |
|
/ |
= |
_ !_ |
Г _____8п М |
da |
" |
|
2п |
J kn (t'co) hn (— ш ) |
’ |
|
|
|
-- CO |
|
где hn (x) = a0xn -f |
• |
■• + |
an; |
|
§n (x) = bQx-n ■4- ьгх~п 4 + • • • + ьп_ъ
причем все корни hn (х) лежат в левой полуплоскости:
/ |
= _6(L_. |
/ - |
_ U I |
°Pfel |
0ПГ |
■ |
1 |
2о0а! ’ |
2 |
20^! |
—о2*о + ao*i — ~ р° 1&а
/__ ______________ °3
3 |
2о0 (а0а3— ага2) |
|
bo(— aiai + а.,а3) — а0а3Ь1+ а0ахЬ2+ |
(а„а3— о ^ .,) |
/4= -------------------------- |
----- ------------- |
5?____________ |
2 а 0 Ы 'з + а1а4 — а1а2 аз)
Общая формула для вычислений интегралов /„ имеет вид
, _ |
( - l)n+1 Nn |
|
п |
2a0Dn |
> |
dn |
. |
• |
din |
|
d2i |
^22 • |
• |
d2n |
d-rnr ^ 2 m-r i |
dn |
dn2 . |
• dnn |
as= 0(s < 0 , s > n ) . |
|
— определитель, полученный из £>„ заменой элементов пер вого столбца на величины b0, blt. . bп_г.
3. Типовые нелинейности и их статистические характеристики
№ |
|
Вид |
|
|
Статистическая |
Статистаческий |
нелинейности |
характеристика. |
коэффициент усиления |
по |
у = |
ср(х) |
|
тУ= 9о |
|
л _ |
дя, |
пор. |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
L ~ 21 |
р |
20х |
1 |
I |
1 , |
% = к0т = 2 1 ф Щ |
1 0 *■ |
|
|
|
|
|
У |
|
|
% = к№ = 1 \ $ г щ } ~ |
. |
г |
1/)+т,\2 |
2 |
\-ч |
|
Г { ' Л |
* < - 7 щ { е 7 ( б >и |
|
|
|
7 р ~ 5 |
Л * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ е |
г |
' J |
|
|
У |
|
t |
% = кот*=1{ |
( Ф { ^ |
) ~ |
|
|
|
-d |
|
, |
- UH3)2 |
|
|
|
y |
v |
’i , |
|
|
J |
|
|
S<L |
|
|
1 Л /д |
d |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- е - т П |
\ |
|
|
|
У |
|
\-d-h |
/ Л |
4 l \ y о |
h i t * |
У tgct=s
5А а х
а'уП )
У . sxJ
6
f °
<Р0=котх=7^ { {1+ъ)Ф 1г§*)- |
|
-(1 -т ,)ф (^ )-(т1+ о)ф (^}+ |
|
+ K -v) 0 p ^ j +^ - i h f l |
|
1{1~т,\2 |
1{ЧЩ)2 |
|
- е ?{б>’ - е |
г{* ' + |
♦ * W ] |
±(± ш ¥ l l
+е г{ ь * JJ
' . - • М т ? } -
- * ( т ? Л
t _ s - r e- « ? ' 4 ^ |
2| |
Ч й г г |
J J |
5о0 = к0тх =
k,= 3sD x \l+ -д* ]
“ * ' Ч Л [ з + 5 ! Н
№Вид
по нелинейности пор. У =Ч>(*)
•d -h
h d
-d
Статистическая |
Статистический, |
характеристика |
коэффициент усиления |
|
ту = ср0 |
_______ |
|
|
|
h |
w т |
ы |
т |
|
'[■?"*(й У ] + Ц +0(11у . |
|
|
|
|
k’~ k*=lS , |
Ш |
И |
Ш |
+ |
|
|
|
« |
|
|
|
if |
(d+mj) |
|
А > и е |
!D*x |
2Dxx — K2 - Kx~ ffm. |
k - k |
- i & |
Wto**Dxx |
Ы-тх)г |
J h llM ' |
|
|
(h+mx)2 |
|
— g |
2D*X + g |
2Dxx — 0 2-Ojrx |
|
-!ФШ[чшнт
d-rnx)2 (d+mx)2
+^L= [e 2 DXX_ e
H vDxxSxi L__________________
У
k, = 2 smx
Уsx
10 0 _ k1 = s
+ -k. £~ 2D*
\27T
11 |
%=L[j + ^(7t)} |
L - __L _ P ?ДА- |
|
|
|
к ~ Л Ш е |
В |
формулах Введены |
обозначения: |
|
|
, |
г? |
4Е |
d |
|
* |
* ~J Нт- |
|
|
