книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Для статистических объектов и систем достаточно полной вероят­ ностной характеристикой является условная плотность вероятности / (у/х), где у — вектор выходных переменных; х — вектор входных переменных. Эта характеристика может быть определена опытным путем и является оператором, определяющим связь между полными вероятностными характеристиками входной и выходной функций, т. е. между плотностями вероятности / (л;) и f (у)\

СО

При идентификации системы по опытным данным необходимо получить оценки плотностей распределения f {х) и f (у) и решить уравнение (14.1) относительно / (ylх). Методы определения f {у/х) достаточно сложны и требуют большого объема вычислений. Поэтому при решении практических задач, особенно для многомерных сис­ тем, вместо законов распределения используют условные моментные характеристики случайных величин — математическое ожидание и

дисперсию.

Условное математическое ожидание случайной выходной пере­ менной Y относительно входной X для одномерной системы опреде­ ляется уравнением регрессии

Условная дисперсия той же системы выражается с помощью

Наиболее простым является случай линейной регрессии, урав­ нение которой имеет вид

При этом условная дисперсия р (х) оказывается практически постоянной. В случае нелинейного уравнения (14.2) условная дис­ персия зависит от х. Практически для решения задачи идентификации

вэтих случаях линию регрессии аппроксимируют отрезками прямых

[60].Приведенные вероятностные характеристики дают возможность достаточно просто построить приближенную модель одномерной ста­ тической системы. Изложенный способ распространяется также на

многомерные системы.

Для динамических объектов и систем при статистической иден­ тификации применяют методы теории случайных функций. При этом для полной идентификации требуется определить многомерные услов-

ные плотности вероятностей, что связано с громоздкими вычислени­ ями. Поэтому применяют методы, основанные на использовании кор­ реляционных функций для систем с линейной регрессией и дисперси­ онных функций для систем с нелинейной регрессией [60 ]. Эти методы приводят задачу определения динамической характеристики систе­ мы к решению некоторых уравнений, характеризующих связь между корреляционными или дисперсионными функциями входных и выход­ ных переменных. Решая эти уравнения, определяем детерминиро­ ванный оператор, наилучшим образом (в смысле принятого статисти­ ческого критерия) аппроксимирующий оператор идентифицируемой системы.

В некоторых случаях задача идентификации оператора динами­ ческой системы решается в два этапа: предварительно каким-либо способом определяют структуру оператора, а затем находят оценку его параметров.

14.2. Идентификация линейных систем

Рассмотрим задачу идентификации динамической системы (рис. 14.1), для которой одновременно могут быть измерены входная X (t) и выходная У (t) случайные переменные. Стохастическая при­ рода выходного сигнала Y (/) обусловлена как случайным входным сигналом X (/), так и неконтролируемой помехой N (t) (рис. 14.1). Кроме того, имеются ошибки измерения как для X (t), так и для Y (t).

Задача состоит в определении оператора модели A x (t) (рис. 14.1), наилучшим образом аппроксимирующего истинный неизвестный оператор реальной системы.

Пусть для модели зависимость между входом и выходом имеет вид

К* (0 = А х (0 X (т).

В сущности задача состоит в определении оптимального оператора модели, при котором зависимость У* (t) близка к Y (/). По термино­ логии теории оптимальных систем Y (t) является требуемым теоре­ тическим сигналом [56].

При решении задач идентификации в большинстве случаев опти­ мальный оператор находят по критерию минимума среднего квад­

372

ратор условного математического ожидания. Он является опти­ мальным в классе всех возможных операторов при выбранном критерии. Будем отыскивать оптимальный оператор в классе всех линейных операторов.

Уравнение для определения линейного оператора получим сле­ дующим образом. Умножим правую и левую части выражения (14.6) на X (т') и осредним по входному сигналу:

Линейный оператор А х (t) коммутативен с оператором математи­ ческого ожидания М, поэтому соотношение (14.8) запишем в форме

Равенство (14.9) является уравнением для определения оптималь­ ной оценки оператора в классе линейных операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

Уравнение (14.9) можно записать для линейного интегрального оператора

идентификации линейной системы необходимо определить из опыта F.v.v (т, т'), Tyx(t, т') и решить интегральное уравнение (14.10).

Без ограничения общности для линейных систем можно считать

Изложенный метод идентификации обобщается на многомерные линейные системы. Оптимальный оператор представляет собой оператор условного математического ожидания при заданном век­ торе входных сигналов, а оптимальные оценки операторов могут быть получены из системы уравнений типа (14.10), содержащих корреляционные и взаимные корреляционные начальные моменты рассматриваемых переменных.

Некоторые разновидности решаемой задачи возникают тогда, когда требуется идентифицировать весовые функции линейной сис­ темы, на которую действуют неконтролируемые помехи.

Пусть необходимо идентифицировать весовую функцию g (t, т) системы (рис. 14.2), имеющей два входа и состоящей из двух частей с весовыми функциями gy (t, т), g2 (t, т).

373

Рис. 14.2. Линейная динамическая система

Входной и выходной случайные сигналы обозначим через X (t) и Y (t). Кроме того, на систему действует неконтролируемая помеха N (t). Для простоты предположим, что математические ожидания всех сигналов равны нулю. Выходной сигнал рассматриваемой сис­

(14.12)

где g {t, t) — весовая функция всей системы; g*( t , т) — весовая функция от входа N до выхода системы (рис. 14.2). Умножая левую и правую части выражения (14.2) на Х° (t) и применяя операцию математического ожидания, получаем

t

некоррелированной с входным сигналом X (t) случайной неконтро­ лируемой помехе N ( t) для идентификации весовой функции линей­ ной системы получаем уравнение (14.11). В случае коррелированной и неизмеряемой помехи задача идентификации весовой функции линейной системы не может быть решена. Ее надо ставить и решать так, как изложено в начале данного параграфа.

14.3. Оценка параметров линейных систем

Рассмотрим задачу получения оптимальных по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценок параметров линейных нестацио­ нарных динамических систем, описываемых уравнением

где А (t, U), В (t, U) — матрицы коэффициентов, зависящих от вре­ мени и вектора случайных параметров U.

374

На интервале [О, Т] наблюдается вектор

где Н — матрица, характеризующая измеритель; N (t) — вектор помех измерителя. Требуется по наблюдению сигнала (14.15) постро­ ить оптимальную оценку вектора параметров.

Выходной сигнал системы (14.14) можно представить в интеграль­ ной форме

Y (t) в формулу (14.15), получаем выражение для вектора наблю­ даемого сигнала:

/

Поставленная задача может быть решена методами, изложенными в гл. 13. . С принципиальной точки зрения эта задача не вызывает каких-либо трудностей. Однако конкретные результаты можно полу­ чить только при условии принятия дополнительных предположений, так как аналитические выражения весовых функций можно полу­ чить лишь для простейших систем и в частности для стационарных систем невысокого порядка. В подавляющем числе случаев весовые функции могут быть получены лишь в результате численного интег­ рирования уравнений системы при фиксированных значениях пара­ метров. В этом случае остается неизвестной зависимость весовых функций от случайных параметров. Поэтому нельзя осуществить интегрирование по случайным параметрам при вычислении оптималь­ ной оценки вектора параметров.

Чтобы получить какие-то реальные результаты, целесообразно учесть априорную информацию о значениях параметров. В качестве такой информации можно использовать законы распределения пара­ метров или моменты распределения. В удовлетворительно спроекти­ рованном и реализованном устройстве параметры незначительно отклоняются от своих номинальных значений. Поэтому возможно разложение весовых функций системы в ряд Тейлора по параметрам относительно математических ожиданий параметров и сохранение в разложении линейного, а в ряде случаев и квадратичного членов раз­ ложения.

Другим фактором, который можно использовать для получения приближенного аналитического решения, является сравнительно высокая точность оценки параметров. При этом условная плотность вероятности вектора параметров при фиксированной реализации входного сигнала близка к 5-функции. Поскольку 6 -функция явля­ ется пределом нормальной плотности вероятности при стремлении дисперсии к нулю, то при высокой точности измерения параметров апостериорная плотность вероятности может быть аппроксимиро-

375

ваиа нормальным законом относительно оптимальной оценки век­ тора параметров. Эта идея уже использовалась рядом авторов [3, 4, 5] и оказалась весьма эффективной для решения ряда задач в стати­ стической теории оптимальных систем.

Для решения задачи, сформулированной в данном параграфе, воспользуемся условием небольших отклонений параметров от номи­ нальных. значений. Разложим матрицу весовых функций системы (14.14) в ряд Тэйлора по параметрам и ограничимся линейным чле­ ном. Разложение выполним относительно вектора математического ожидания параметров:

значениях параметров. Используя весовую функцию системы, пред­ ставим этот вектор формулой

о

Предположим, что решение системы (14.14) при номинальных значениях параметров известно. Принимая это решение за опорное (теоретическое). Формируя только наблюдаемую часть этого реше­ ния ЯК Т и вычитая из выражения (14.19) эту составляющую, полу­ чаем центрированное значение наблюдаемого сигнала, если помеха имеет математическое ожидание, то его можно сформировать и вы­ честь из выражения (14.19):

Матрицу S (t) можно получить как наблюдаемую часть выход­ ного сигнала некоторой вспомогательной системы, получаемой из системы (14.14) дифференцированием по случайным параметрам.

376

Выполняя дифференцирование системы (14.14) и обозначая Ф = VF, получаем

Ф = А (t, т) Ф + VA (/, да) FT + VB (t, т) Z (t), (14.24)

где FT — выходной сигнал системы, описываемой уравнением (14.14), при номинальных значениях параметров:

Сформированный сигнал (14.23) соответствует случаю наблюде­ ния аддитивной помехи и полезного сигнала, линейно зависящего от вектора параметров. Этот случай рассмотрен в п. 10.8. В соответ­ ствии с результатами, полученными в этом параграфе, оптимальную оценку вектора параметров проводят по формуле

где / — единичная матрица; К — априорная корреляционная мат­ рица вектора параметров. Матрицы С и Q определяются формулами

б

Для частного случая, когда помеха является белым шумом с матрицей корреляционных функций K n (U О = <76 ( t — ?), интег­ ральное уравнение (14.28) легко решается, и весовая функция

Подставляя это выражение в формулу (14.27) и используя фор­ мулу для матрицы полезного сигнала (14.22), получаем следующие формулы для матрицы С и Q:

Точность получения компонент вектора оценки параметров

Структурная схема, соответствующая алгоритму получения оценки вектора параметров для случая, когда помеха является белым шу-

377

мом, показана на рис. 14.3. Часть схемы на этом рисунке представля­ ет собой модель системы при номинальных значениях параметров и модель, характеризующую чувствительность выходного векторного сигнала от параметров системы. Построение такой системы базиру­ ется на предположении об априорном знании структуры системы.

Для повышения точности получения оценки вектора параметров целесообразно ввести обратную связь, суммируя вектор оценки V* с вектором математического ожидания параметров в матрицах коэф­ фициентов модели системы. В результате такой корректировки мо­ дель теоретической системы становится более близкой к фактической системе. При этом точность представления матрицы весовой функции рядом (14.18) повышается.

Если помеха при наблюдении сигнала отсутствует, то оптимальная оценка вектора параметров равна истинному значению вектора. Действительно, в этом случае элементы матрицы отношения спгнал/шум в формуле (14.26) значительно больше элементов единичной

Используя формулу (14.30), представим вектор Q в следующем виде:

Подставляя это значение в формулу (14.33), получаем точное равенство между оценкой вектора параметров и его истинным зна­ чением:

378

Пример. Динамическая система первого порядка описывается уравнением

где U2 — постоянная времени: и г — коэффициент усиления: Z (I) — зондирующий входной сигнал. Случайные величины Ult U2 имеют нормальный закон распределе­ ния вероятности, математические ожидания mv т2, дисперсии Dlt D„ и нулевой взаимный корреляционный момент.

На интервале [О, Т) выходной сигнал системы наблюдается совместно с адди­ тивным белым шумом, имеющим интенсивность G.

Требуется определить оптимальные оценки коэффициента усиления и постоян­

где Ут — выходной сигнал системы, имеющей номинальные значения параметров:

Формируя сигнал YT согласно математической модели (13.39), можно вычесть его из наблюдаемого сигнала (14.38) и получить центрированное значение. Тогда

Уравнения (14.39), (14.41), (14.42) описывают модель инерционного звена и модель чувствительности по параметрам при номинальных значениях параметров.

Согласно формуле (14.29) весовая функция оптимального фильтра

Интеграл от матрицы в этой формуле понимается как интеграл от каждого эле­ мента матрицы.

379

380