книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

распределена нормально. Величины Н ъ # 2 в соответствии с форму­ лами (13.56) связаны с входным сигналом линейно, поэтому при отсутствии полезного сигнала они также распределены нормально.

Величину Z, определяемую формулой (13.58), можно рассматри­ вать как модуль вектора, имеющего компоненты # 4, # 2. Поскольку компоненты вектора — нормально распределенные случайные ве­ личины, то, как известно, модуль вектора имеет распределение Рэлея. Для полного определения плотности вероятности Рэлея необходимознать только дисперсию величины Z. Вычислив эту дисперсию, полу­ чим

Подставляя эту плотность вероятности в формулу (13.59) и вы­ полняя вычисление интеграла, получаем

Приравнивая вероятность ложной тревоги рл. т к заданной вели­ чине а и решая уравнение относительно cz , получаем

где со4 (z|l) — условная плотность вероятности случайной величины

U4 по закону Рэлея, а фазы U2 по равномерному закону в интервале 0—2я случайные величины U3, Д4 распределены нормально. Посколь­ ку помеха распределена нормально, то и входной сигнал распределен нормально. Величины Н 1г Н 2 линейно связаны с наблюдаемым сигналом, поэтому они также распределены нормально, имеютнулевые математические ожидания и дисперсии, определяемые фор­ мулой (13.65).

361

Соответственно величина Z распределена по закону Рэлея с дис­ персией, определяемой формулой (13.65). Таким образом,

и cos at. Входной сигнал умножается на опорные сигналы и, полу­ ченное произведение интегрируется на интервале времени 0—Т. Множительное устройство в реальных схемах обычно реализуется в виде фазовых детекторов или кольцевых демодуляторов. С выхода интеграторов сигналы поступают на квадратичные детекторы и

.далее суммируются. Из полученного выражения извлекается квад­ ратный корень. Операция извлечения корня может быть прибли­ женно реализована с помощью усилителя, имеющего зону насыще­ ния. Сигнал с выхода схемы извлечения корня сравнивается с по­ рогом.

Рис. 13.7. Структурная схема оптимальной системы об­ наружения гармонического сигнала

:362

Кроме рассмотренной структурной схемы возможны и другие варианты реализации алгоритма оптимальной обработки наблюдае­ мого сигнала. Например, можно не извлекать квадратный корень, а в качестве возрастающей функции отношения правдоподобия рас­ сматривать сумму квадратов величин Н 1л # 2. В этом случае сумму квадратов необходимо сравнивать с новым порогом.

13.5. Контроль параметра

Целью контроля является установление факта пригодности сис­ темы выполнять свое назначение. Для этого измеряют параметры системы и сравнивают полученные оценки с допусками. Получим алгоритм оптимальной процедуры принятия решения «годен», «не годен». За критерий оптимальности примем критерий идеального наблюдателя, который в данной задаче формулируется как минимум вероятности принятия ошибочного решения.

Поскольку возможны только две гипотезы: параметр в поле до­ пуска и параметр вне поля допуска, то задача контроля параметра эквивалентна задаче обнаружения. Оптимальная процедура приня­ тия решения имеет вид

в поле допуска, вычисляемая по результатам наблюдения реализации входного сигнала X (t)\ рЦх) — апостериорная вероятность нахож­

дения параметра вне поля допуска.

Апостериорную вероятность попадания параметра в поле допуска вычисляют интегрированием апостериорной плотности вероятности по полю допуска:

363

мальной с математическим ожиданием U* и дисперсией D *. Дей­ ствительно, апостериорная плотность вероятности

Априорная плотность вероятности параметра является нормаль­ ной:

Условная плотность вероятности наблюдаемого сигнала при фик­ сированном значении параметра

Если помеха представляет собой белый шум с интенсивностью Ддг, то

г

Подставляя соотношения (13.77), (13.78), (13.79) в формулу (13.76),

представим апостериорную плотность вероятности в следующем виде:

то формула для апостериорной плотности вероятности (13.80) оста­ ется прежней, а изменяется лишь выражения для апостериорной оценки параметра U* и дисперсии ошибки D*.

Подставляя апостериорную плотность вероятности (13.80) в фор­

3 6 4

где введены следующие относительные допуски и оценка параметра:

Используя выражение (13.78), отношение правдоподобия (13.73)

от априорного математического ожидания и соответственно допуски отсчитывать также от априорного математического ожидания пара­ метра. При этом целесообразно ввести также коэффициент несимметрин поля допуска k, изменяющийся от нуля до единицы. При сим­ метричном относительно априорного математического ожидания параметра поля допуска коэффициент несимметрии равен единице.

В результате перехода к центрированным величинам отношение правдоподобия принимает вид

где k& — А, — т\ А = т — А х; А = А/а*; I/* = V*/a*\ V*= U*—т.

Вместо сравнения отношения правдоподобия в форме выражения (13.86) с единицей можно сравнивать величину

с величиной 0,5. Эквивалентность этих процедур нетрудно показать. Отношение правдоподобия в форме выражения (13.87) стремится к нулю при стремлении относительной оценки к бесконечности и

имеет максимум. Абсцисса максимума определяется дифференци­

рованием этого выражения по V* и приравниванием производной к нулю. Выполняя дифференцирование функции (13.87), получаем

Равенство суммы экспонент нулю означает равенство их аргумен­ тов, поэтому из формулы (13.88) получаем

Решая это уравнение, найдем значение абсциссы точки максимума

Из последней формулы следует, что при k < 1 абсцисса точки максимума смещается в область отрицательных значений. В частном случае симметричного поля допуска (k = 1 ) абсцисса точки макси­ мума равна нулю.

365

Значение ординаты в точке максимума определяется подстанов­ кой соотношения (13.90) в формулу (13.87):

При k = 1 величина максимума

При k < 1 величина максимума (13.91) меньше, чем при /е = 1.

На рис. 13.8 показаны графики функции Z (V*) при различных значениях относительного поля допуска и k = i. На рис. 13.9 при­

ведены графики функции Z (V*) при k = 0,8. Из графиков следует,

можно существенно упростить, отказавшись от вычисления функции

Z (И*) по формуле (13.87) и переходя к непосредственному сравнению измеряемой в процессе"контроля"оценки параметра с некоторыми новыми контрольными допусками.

Контрольные допуски на оценку параметра находят путем при­ равнивания величины Z к пороговому значению 0,5:

На графиках рис. 13.8, 13.9 равенству (13.94) соответствует прямая линия, параллельная оси абсцисс. Абсциссы точек пересе­

чения этой прямой с кривой Z (К*) есть контрольные допуски. Непо­ средственно из графиков следует, что точек пересечения две, причем при k = 1 точки пересечения расположены симметрично относительно нуля.

z(v*)

366

Аналитически контрольные допуски определяются решением

уравнения (13.94). Значения V = Дi, 2, удовлетворяющие этому уравнению, представляют собой контрольные допуски. Уравнение- (13.94) в явной форме имеет вид

Из этого уравнения следует, что контрольные допуски зависят

от относительного гарантированного допуска А и коэффициента иесимметрии /г. _

Для пересечения кривой Z (У*) с прямой Z = 0,5 необходимо,, чтобы Zmax 0,5. Интересно отметить, что предельный случай Zmax = = 0,5, когда происходит только касание кривых, соответствует полю контрольного допуска, которое стянуто в одну точку. Исполь­ зуя соотношение (13.91) для определения величины максимума, най­ дем предельное выражение для относительного поля допуска:

Пользуясь таблицей для функции Ф (х) (приложение 4), решаем это уравнение относительно аргумента:

-A ii+ iL = 0,6744.

Учитывая выражение для относительного допуска (13.84), полу­ чаем

В частном случае при симметрии допусков k = 1 и

_Д

0,6744.

о*

Как известно, такое соотношение имеет место, если гарантиро­ ванный допуск равен вероятному отклонению, т. е.

А = Е.

Таким образом, если гарантированный допуск меньше апостериор­ ного вероятного отклонения, то контрольный допуск равен нулю.

Для решения практических задач определения контрольных допусков необходимо решить уравнение (13.95) и построить зависи­ мость контрольных допусков от гарантированных допусков и коэф­ фициента иесимметрии. Анализ уравнения (13.95) показывает, что при

~ ~ 1 Г " " ^ 0,6744

контрольные допуски равны нулю. При

д (k + 1) ^ Q|6744

3 6 7

Данный алгоритм принятия решений обеспечивает получение минимума вероятности ошибочных решений.

Часто необходимо определить решение, обеспечивающее минимум вероятности ошибочных решений при дополнительном условии сох­ ранения заданного риска заказчика. Риском заказчика называют вероятность принять негодное изделие за годное:

р'ош = « * + Р* = m in ; Р* = с,

где а* — апостериорный риск изготовителя; (}* —апостериорный риск заказчика; с = const; р*ош— вероятность ошибочных решений.

В данной постановке задача решается введением множителя Лагранжа. Оптимальная процедура принятия решений определя­ ется из условия

где А = 1 + А1э Ах — множитель Лагранжа.

Можно показать, что условию (13.98) соответствует правило реше­ ния

Таким образом, правило решения отличается от предыдущего только изменением порогового значения. Вместо величины 0,5 поро­ гом'является величина 0,5А.

368

Вместо правила решения (13.99) можно использовать следующее правило:

где контрольные допуски определяются из уравнения

йД*

= с = J [l-p ;(/)]«p (V *)d V *

—д»

В этом выражении р\ (V*) определяется формулой (13.83), а

Ф (У*)— безусловная плотность вероятности оценки. Для рассмот­ ренных выше характеристик наблюдаемого сигнала эта плотность вероятности имеет вид

24 В. С. Пугачев

14.1. Задачи идентификации

При решении многих задач автоматического управления необхо­ димо иметь математическую модель объекта или всей системы. Под математической моделью понимается оператор, характеризу­ ющий поведение системы и описывающий все ее информационные свойства. Построение математической модели объекта заключается в определении оператора, ставящего в соответствие выходные и вход­ ные сигналы (переменные) системы.

Математическую модель системы можно построить различными способами: на основе теоретических исследований, логического анализа с учетом предыдущего опыта, на основе экспериментального изучения и сопоставления входных и выходных сигналов. Послед­ ний способ представляет собой способ идентификации, т. е. отожде­ ствление модели оригиналу или определение оператора преобразо­ вания входного сигнала на основе совместного изучения выходного

ивходного сигналов.

Впростейших случаях идентификация может быть осуществлена путем анализа выходного сигнала при подаче на вход некоторого детерминированного стандартного сигнала и подбора такой модели, которая давала бы близкую в определенном смысле выходную пере­ менную. Однако в практических задачах часто нет возможности организовать идентификацию путем изучения реакции системы на специальные детерминированные пробные сигналы. Кроме того, наличие случайных помех при измерении детерминированных сиг­

налов приводит к ошибкам в определении характеристик идентифи­ цируемой системы. Поэтому задача идентификации должна формули­ роваться следующим образом. Необходимо построить математиче­ скую модель сложной системы в процессе ее нормальной эксплуата­ ции при наблюдении за случайными входными и выходными сигна­ лами. Такой способ называется статистической идентификацией

[601.

При статистической идентификации динамические характеристики системы или ее оператор определяются на основе анализа статисти­ ческих характеристик. Статистические методы требуют большого объема вычислений, но они дают возможность решать задачи иденти­ фикации для широкого круга систем и позволяют значительно уве­ личить точность решения. При этом в результате идентификации определяется приближенное значение оператора, его оценка, кото­ рая и используется в качестве характеристики истинного оператора.

370