Отсюда имеем
т
U* = тН = -i- J X (т) dr.
о
Учитывая дополнительное условие, записанное в выражении (13.11), окончательно имеем
Введением единичных функций выражение для оценки можно записать в следующей форме:
т
U* = [l (U* - b — а) — 1 (U* — с + a)] -jr JX (т) dr.
О
Таким образом, наилучшей оценкой является среднее значение реализации за время наблюдения при условии, что оценка не выхо дит за интервал [Ь а, с — а]. В противном случае оценка равна нулю.
Рассмотрим получение оптимальной оценки по критерию мини мума среднего квадрата ошибки. В этом случае оптимальная оценка
00
U* = | uf* (и | х) du.
— 00
Подставляя значение апостериорной плотности вероятности
ъ
получаем
Данное выражение можно представить в следующем виде:
С |
(и—т * ) 2 |
— 1 |
С |
|
е |
г |
_ (ц—т * ) 2 |
2D* du |
J ие |
2D* du, |
|
J |
ь |
|
где
т
0
Выполняя интегрирование, получаем
т |
|
(Ъ—m*) |
(с—т*)-’ |
|
2 D* |
е 2 D * |
а* |
|
V 2я |
Ф |
/с — т* |
|
|
\ о* |
|
Первый член в этой формуле соответствует оптимальной оценке параметра по методу наименьших квадратов.
13.2. Оценка фазы гармонического сигнала
Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы выделения фазы гармонического сигнала, наблюдаемого совместно с помехой:
X (/) = г/х sin (<of + U2) + N (0, |
(13.17) |
где Uг — случайная амплитуда сигнала, имеющая плотность веро ятности h x (Ui); U * — случайная фаза, равномерно распределенная в интервале 0—2л; плотность вероятности распределения фазы
1г («*) = ■ |
1 |
при 0 = :и. : 2я, |
(13.18) |
2я |
при 0 >ы.2> |
2я. |
( |
0 |
|
Амплитуда и фаза гармонического сигнала независимы. |
|
Помеха N(() является |
гауссовским белым шумом с нулевым |
средним и интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи |
KN (t, |
Г) |
= GN5(t — Г). |
|
(13.19) |
Критерием оптимальности системы выделения фазы выберем минимум вероятности выхода модуля ошибки в определении фазы из заданного интервала:
Р {|(/2— Ul [ > а) = min. |
(13.20) |
Для решения задачи воспользуемся общей формулой условного риска (12.42):
p(Ul) = M{l(U2, Ul)\X\. |
(13.21) |
Для того чтобы условный риск соответствовал условной вероят ности выхода ошибки из заданного интервала, функция потерь должна отвечать следующему выражению:
, |
(О при |
I t/г — t/a| |
а, |
l ( U b U 2) = \ |
I t/г — | > |
(13.22) |
|
^ 1 при |
а. |
В этом случае условный риск
£Л)—а
•(ul) — |
J dux |
J f (ub Uo | x) du., ■ |
|
|
— 0 0 |
— CO |
|
+ I |
dUj_ j |
f* (иъ «о I x) du2, |
(13.23) |
U2+a
где /* (ult uJx) — совместная апостериорная плотность вероятности амплитуды и фазы полезного сигнала:
Г (th, и2\х) = ch (ии и2) exp | j |
g (Г, т) X (т) dx---- р (иъ u2)J; |
|
|
|
|
(13.24) |
с — J |
J |
h(ult иг) х |
|
|
— а з |
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
X exр I I g (Т, т) X (т) dx---- 5- р (ult и2)} |
du2 |
. (13.25) |
lo |
|
j |
|
|
Весовая функция g (Т , х) определяется интегральным уравне нием (12.36), которое в рассматриваемой задаче легко решается. В результате получаем
g (Г, x) = — Ul sin (сот -f и2). |
(13.26) |
Если время наблюдения Т кратно полупериоду гармонического |
сигнала, то в соответствии с формулой (12.45) |
|
Р (“i- “ *) = W • |
(13'27> |
Совместная априорная плотность вероятности амплитуды и фазы вследствие их независимости есть произведение плотностей
/г (мь ц2) = ~ |
/гх(ttj). |
(13.28) |
Подставляя соотношения (13.26), (13.27), (13.28) в формулу апо |
стериорной плотности вероятности, |
получаем, что при 0 ^ |
м2^ 2 я |
Г («х«2 1 х ) = |
|
1гг (Ид) X |
|
( Т |
|
|
и2Т ) |
|
X ехР ПГ 1 sin |
+ |
и^ Х (т) dx — 1 ^ 7 [ ’ |
(13.29) |
а при выходе фазы из интервала |
0 |
— 2 л /* (ид, и2 |дг) = |
0 . |
Подставим выражение (13.29) в формулу условного риска (13.23):
|
J |
|
U0—а |
J sin (сот -f- и2) X (т) dx — |
= |
M “ i) |
[ exp |
icT 1 |
2л |
( |
Т |
|
iqT |
- W j dU2+ |
\ |
e x p J ^ - J s i n K + ^ X W ^ T |
4Gn da., dut. |
U2+а
3.30)
Условный риск есть непрерывная функция оценки фазы. Поэтому
для нахождения оценки вычислим производную ф 1дИч и приравняем ее к нулю. В результате получим
|
т |
Ат j |
|
|
— ехр - щ - J sin (сот -j- Ul + а) X (т) dx |
dul = 0. (13.31) |
|
4G,v j |
В соответствии с известной леммой вариационного исчисления данный интеграл обращается в нуль при любой функции /ц («0 , если разность экспонент в квадратных скобках равна нулю. Равен ство экспонент означает равенство их показателей. Поэтому из выра жения (13.31) следует, что
т
J sin (сот -j- U*2 — а) X (т) dx —
о
= Jтsin (сот -f- Uo + а) -X (т) dx. |
(13.32) |
о |
|
Это соотношение можно представить в следующем виде: |
|
т |
|
J X (т) cos (сот -)- Ul) dx = 0 . |
(13.33) |
о |
|
Раскрывая косинус суммы двух углов, из данного уравнения определяем оценку фазы:
т
j" X (г) cos сотdx
U\ = a r c tg ^ ------------------- |
(13.34) |
j"X (т) sin cotdt |
|
При отсутствии помехи |
|
оценка фазы равна |
ее ис |
|
тинному значению: |
И\ = |
|
= U2. В этом нетрудно |
|
убедиться |
непосредствен |
|
ным вычислением по фор |
|
муле (13.34) |
|
|
Схему, |
реализующую |
Рис. 13.1. Структурная схема оптимальной системы |
процесс вычисления опти |
выделения фазы |
мальной |
оценки |
фазы, |
|
можно построить на основе формул (13.33) и (13.34). При исполь зовании соотношения (13.33) наблюдаемый сигнал умножается на сигнал генератора опорного напряжения, причем фаза сигнала опор ного генератора может изменяться. Строится следящая система изменения фазы опорного сигнала, обеспечивающая нахождение
такого значения U\, которое соответствует выполнению условия
(13.33).
Схема, построенная на основе формулы (13.34), включает генератор опорного напряжения ГОН, множительные устройства, делитель ное устройство ДУ и нелинейное звено arctg z. Структурная схема системы выделения фазы, построенная на основе формулы (13.34), приведена на рис. 13.1.
13.3. Обнаружение сигнала со случайной амплитудой
Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы обнаружения полезного сигнала {/<р (t), наблюдаемого совместно с помехой:
X ( 0 = г/ср ( 0 + N |
(t), |
(13.35) |
где cp (/) — известная функция |
времени; |
U — случайная |
величина |
с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D. Плотность |
вероятности этой величины имеет вид |
|
|
h { u ) = v m |
“ »{— |
£■ }• |
<|3 -36> |
Помеха N (t) не зависит от случайной величины U и является гауссовским случайным процессом с нулевым математическим ожи данием и корреляционной функцией
КыЦ, t') = G„6 ( t - i ' ) . |
(13.37) |
Определим оптимальную систему обнаружения, рассматривая
вкачестве критерия оптимальности критерий Неймана—Пирсона.
Всоответствии с результатами п. 12.6 правило обнаружения оптимальной системы имеет вид
У* = |
0, |
если Z ^ |
сг; |
|
Y* = |
1, |
если Z > |
сг, |
(13.38) |
где Z = х, (Л) — неубывающая функция отношения правдоподобия
Л; сг — значение порога. |
Решение К* = |
0 соответствует отсутст |
вию полезного сигнала, а решение У* = 1 |
— его наличию. |
Вычислим отношение |
правдоподобия, |
используя алгоритмы |
(12.36), (12.57). Подставляя в интегральное уравнение (12.36) кор реляционную функцию помехи (13.37) и полезный сигнал и ср(() и решая это уравнение, получаем
2 (г,и) = Ц & . |
(13.39) |
Подставляя эту весовую функцию в формулу (12.45), вычислим |
функцию |
|
т |
(13.40) |
£ г = |< р а (0 ^ , |
где Ef — энергия полезного сигнала единичной амплитуды за время
наблюдения |
Т. |
значения функций |
g |
(т, и), 0 (и), h (и) |
в формулу |
Подставляя |
отношения правдоподобия |
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
1 h (и) exp IJ g |
{х, и) X |
(т) dx---- ^-Р(«) \du, |
(13.41) |
получаем |
|
—оэ |
[о |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
V2nD 1 |
ехр {“ |
о» |
- |
( Т57 + |
|
|
|
(13.42) |
т г ) “'} du< |
где введено обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н = J ср (т) X (т) dx. |
|
|
|
(13.43) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляя интеграл в формуле (13.42), получаем |
|
|
|
Л = |
—уЛ-----exp 1— 9—--------Н2\ |
j |
, |
(13.44) |
|
|
|
lA l+v |
|
1 2G^ (I + v) |
|
|
|
где введен параметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E TD |
|
|
|
|
(13.45) |
|
|
|
v ~ |
Одг |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеризующий отношение сигнал/шум.
В качестве неубывающей функции отношения правдоподобия
удобно рассматривать |
натуральный логарифм |
|
г = 1 п А = Л + ВЯ2 = |
ср(Я), |
(13.46) |
где |
ln(l H-v);В = |
20^ ( 1 + v ) |
‘ |
Л = |
|
|
D |
|
Определим значение порога сг, воспользовавшись уравнением (12.65). Для этого предварительно вычислим условную плотность вероятности со (z/О), описывающую распределение вероятности вели чины z при отсутствии полезного сигнала. Эту плотность вероятности можно вычислить по формуле
CD |
|
to(z|0)= J f ( H \ 0 ) 6 [z — (Л + ВЯ2)] d H , |
(13.47) |
— CD
где f {H I0) — условная плотность вероятности величины Я при от сутствии полезного сигнала. Так как величина Я при отсутствии полезного сигнала связана с помехой N (/) линейной зависимостью (13.43), то данная величина имеет нормальное распределение с нуле вым математическим ожиданием и дисперсией DH = GNET.
Таким образом,
... '<я '°> = 7 Щ Г м р { - ^ } -
Выполняя вычисление интеграла (13.47) в соответствии с резуль татами п. 5.2, получаем следующее выражение для условной плот ности вероятности:
|
z — A |
|
г — А |
|
|
со (z 1 0) • H V |
В + f |
- V |
В |
^ |
л |
2 У В (z — А) |
------ |
при z > |
Л, |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
при z < |
Л. |
Учитывая, что функция /(Я) есть нормальная плотность вероят
ности, формулу |
для a (z|0) можно |
переписать в следующем виде: |
|
( |
1 |
|
1 |
(г— Л)) |
. . |
|
|
|
----- ехр <— |
„п ' ) |
при г > Л , |
0) (Z | 0) = |
|
|
(г — л ) |
1 |
2° иВ > |
|
|
[ |
|
0 |
|
|
при z < А. |
Подставляя |
в |
формуле (12.65) |
плотность |
вероятности со (z 10) |
и интегрируя, получаем
р , . , = Ф - ® ( / 5 р ) .
Удобно представить вероятность ложной тревоги следующей формулой:
р_ J ___ ф ^ / 2 (1 + у) [сг + 0,5 In (1 + т)Тj ^
Задаваясь требуемым значением ложной тревоги рл- т = а, определяем значение величины cz:
с г = з п т ^ у 0 "1 (°-5 - «) — " f 1П 0 + V).
Рпо
|
О |
10 |
20 |
30 |
4-0 |
V |
Рис. 13.2. Зависимость значения поро |
Рис. 13.3. Зависимость вероятности правиль |
га от величины а |
ного обнаружения от параметра v |
|
На рис. 13.2 приведены значения величины сг в .функции вели чины ложной тревоги рл т = а при различных значениях величины
v = ErD/GN.
Вероятность пропуска сигнала вычисляют по формуле
Р = J |
/1(и) |
“Ь Ф Ф- 1 (0,5 — а) - ‘ V i |
• d u , |
Вероятность |
правильного обнаружения |
5о(н) |
Рис. 13.4. Структурная схема оптимальной |
Рис. 13.5. Нелинейный элемент |
системы обнаружения |
оптимальной системы обнару |
|
жения |
ружения в функции отношения сигнал/шум при различных зна чениях а приведены на рис. 13.3.
Рис. 13.6. Структурная схема оптимальной системы об наружения сигнала со случайной амплитудой
Структурная схема оптимальной системы обнаружения представ лена на рис. 13.4. Входной сигнал пропускается через линейную систему L, формирующую сигнал Я. Далее этот сигнал подается на вход нелинейного элемента ср(Я), характеристика которого в соответствии с формулой (13.46) имеет вид кривой, изображенной на рис. 13.5.
Нелинейный элемент ср (Я) можно реализовать квадратичным детектором. Для этого достаточно скорректировать значение порога. Полагая, что новый порог с0 = сг — А, представим структурную схему обнаружения сигнала со случайной амплитудой в виде схемы, показанной на рис. 13.6. На схеме интегратор включается в момент t = 0 и выключается в момент t = Т, после чего принимается реше ние о наличии или отсутствии полезного сигнала.
13.4. Обнаружение гармонического сигнала
Синтезируем оптимальную систему обнаружения гармоничес
кого сигнала |
(13.48) |
S (/, U) = Ux sin (соt + Д 2), |
наблюдаемого совместно с помехой N (t). Входной наблюдаемый сигнал
X (0 = £/i sin (at + U 2) + N (t). |
(13.49) |
Случайная амплитуда гармонического сигнала имеет распреде ление Рэлея. Плотность вероятности этого закона
>h (“i) = -§ -exp j— - щ - }, |
(13.50) |
где D x — дисперсия амплитуды. Случайная фаза распределена рав номерно в интервале 0—2л. Плотность вероятности фазы имеет вид
(«*).= |
и 2 |
2л, |
(13.51) |
211 |
2л. |
( |
о 0 > и2> |
|
Амплитуда и фаза полезного сигнала независимы, поэтому сов местная плотность вероятности этих величин есть произведение плотностей (13.50) и (13.51). Помеха в наблюдаемом сигнале яв ляется гауссовским случайным процессом с нулевым математиче ским ожиданием и корреляционной функцией
Км (t, t') = Gn8 (t — t'). |
(13.52) |
Определим оптимальную систему обнаружения полезного сиг нала (13.48) по критерию Неймана—Пирсона.
Вычислим отношение, правдоподобия (12.57). Поскольку помеха есть белый шум с интенсивностью GN, то интегральное уравнение (12.36) легко решается и весовая функция линейного фильтра
g (т, “) = |
sin (®т + ы2). |
(13.53) |
Полагая, что время наблюдения входного сигнала Т кратно периоду гармонического сигнала, вычислим функцию |3 (и) по фор муле (12.45). В результате получаем
Подставляя весовую функцию g (т, и) в первый член показателя экспоненты в формуле (12.57), представим его в следующем виде:
г |
_______ |
|
J g (т, и) X (т) dx = |
У Н\ + н\ cos (и2 - Ф), |
(13.55) |
где |
|
|
т |
т |
|
Н ± = j sin сотХ (т) dx\ |
Н 2 — | cos сотХ (т) dr; |
(13.56) |
|
|
Ф = arctg (Я i/H2).
Тогда отношение правдоподобия можно записать в виде выраже ния
Л = | J h (ии и2) X
«3 0 — со
xe x p f e - У Н \ -\-Hlcos (и2— Ф )---- dUj_du2. (13.57)
Дальнейшее вычисление отношения правдоподобия осуществ ляется путем подстановки плотности вероятности h, (иъ и2)и вычисле ния интегралов. Однако можно значительно упростить алгоритм работы системы обнаружения, если выбрать в качестве возрастаю щей функции отношения правдоподобия величину
Эта величина неотрицательна, с ее увеличением монотонно воз растает величина отношения правдоподобия (13.57). Поэтому отно шение правдоподобия есть возрастающая функция величины Z и, наоборот, Z есть возрастающая функция отношения правдоподобия Z — %(Л). Таким образом, можно принять, что оптимальная система обнаружения должна формировать величину Z в соответствии с формулой (13.58) и сравнивать ее с порогом сг.
Величину порога сг вычислим, решая уравнение
00 |
|
Дл,т = I W(^/0) dz, |
(13.59) |
где со (z/0) — условная плотность вероятности |
случайной величины |
z при отсутствии полезного сигнала. При отсутствии полезного сиг нала входной сигнал представляет собой помеху, которая по условию
