значение угла атаки; б — угол отклонения руля высоты; WtJ— вертикальная составляющая вектора скорости ветра. Аэродинами ческие коэффициенты в уравнениях (11.47) выражаются следующими формулами:
c«qs
|
|
Аа = |
|
|
|
|
|
Са — —’ {ml"1+ < ) |
^ |
-Ь Ла; |
|
|
|
|
|
vJz_ |
|
|
|
|
|
|
6 l£§_. |
|
|
|
|
Сб — —1П.' |
’ |
|
|
|
г —_пга |
lzqS |
■m<?Zl -т~77 |
+ |
Аа>’ |
(1! .48) |
' - ' а — |
Inzl |
г |
|
|
Jуу |
|
|
|
|
|
Сс |
— tn |
1—--- |
|
|
|
|
=пг |
|
я* |
d t |
\ V |
) ’ |
|
|
|
|
|
+ ^я — Ах— + / < ^ 2 |
^ |
|
/ |
a 1-,qS |
/ |
о)_ /10S |
|
Са = —П1^ Т^Г + |
|
|
/ г21) ’ |
|
В формулах (11.48)- |
Т * ,— составляющая |
тяги |
на продольную |
ось самолета, С“ , т “ , т “ , /п”г‘ — аэродинамические |
коэффициенты, |
зависящие от числа Л4; q = ро2/2 — скоростной напор; 3 — харак
терная площадь (площадь крыла), |
1г — характерный |
размер (раз |
мах крыла); J гг — момент инерции |
корпуса самолета |
относительно |
оси ozг. |
|
|
Считая за выходную величину отклонения высоты АЯ, а за вход
ную — угол отклонения руля высоты б, |
представим самолет |
как |
объект управления со структурной схемой, |
показанной на рис. |
11.9. |
Рис. 11.9. Структурная схема объекта управления
|
8- |
|
-С8- |
АН |
8 |
|
ki _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S' +CgS+Cg |
|
sHT^s^TjS+i) |
АН |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.10. |
Преобразованная структу |
|
Рис. 11.11. |
Упрощенная |
структурная |
|
рная схема объекта |
управления |
|
схема |
объекта |
управления |
|
|
—ЛаКОт Н- AaWy |
|
|
|
|
|
|
|
В —-----------------=------------------- г |
Преобразуем |
структурную схему, |
|
AaoCg/~CaAaWy—iС£Aa\Vy |
|
приведя |
все возмущения |
к выходу |
|
+ |
s 2 (s~-j- |
С • |
s *■{- С \ |
(рис. 11.10). Для некоторого упро |
|
|
\ |
1 |
а |
' а) |
|
|
|
|
|
|
щения |
задачи |
будем |
считать все |
коэффициенты в уравнениях (11-47) постоянными и аппроксимируем
суммарное |
возмущение от турбулентности атмосферы |
выражением |
|
|
|
А„ |
(11.49) |
|
|
St ■^W y, |
где |
Аа = |
А а — СаАа/Са, |
s — комплексное число. |
В выраже |
нии |
(11.49) принято Wy = 0; |
а т «=< С0/Са; динамика движения само |
лета |
относительно центра |
массы не учитывалась. |
Представле |
ние (11.49) соответствует случаю отсутствия стабилизации самолета по углу тангажа. При наличии высококачественной системы стаби
лизации по углу тангажа следует положить Аа = Аа.
При аппроксимации выражения (11.49) структурная схема объекта
управления принимает вид |
схемы, изображенной на рис. 11.11. |
На схеме введены обозначения |
|
|
£ _ _ CfiAgV |
гр _ |
Т % __J _ • |
а"__ А __ С<х А |
Сое |
’ |
*2 — |
о.\— |
г' |
|
|
|
Рассмотрим постановку задачи синтеза оптимальной системы стабилизации высоты полета. Наблюдаемым сигналом X (t) является случайная функция времени, представляющая собой сумму полез ного сигнала 5 (t) и помехи N (f):
X (t) = S (t) + N (t).
Полезный сигнал можно представить в виде суммы регулярной и нерегулярной частей:
|
|
|
|
S (0 |
= 5 ПР (0 + St (О, |
где 5 пр (t) = |
U 0 |
+ |
U xt + |
U |
— программа изменения высоты |
полета, |
а функция |
S x (/) |
определяется формулой (11.49). Вели |
чины 0 |
о, U х, |
U 2 |
будем считать |
некоррелированными между собой |
и с нерегулярной частью сигнала случайными величинами с нуле выми математическими ожиданиями и дисперсиями D 0, D lt D 2 соответственно. Составляющая скорости ветра Wu (t) является ста-
312
ционарной случайной функцией времени со спектральной плот ностью (см. п. 3.3)
1+ Зсо~L2njv-
5n(co) = a ^ 4 v (1 + < А > 8)2
где Ln — масштаб турбулентности; o~w— дисперсия скорости ветра; v — скорость полета. При Ln = 200 м, как это следует из графиков, рассмотренных в п. 3.3, спектральные плотности флюктуаций ско рости ветра по нормали и по направлению вектора скорости полета
очень близки. Поэтому в |
дальнейшем для упрощения решения |
задачи будем пользоваться |
спектральной |
плотностью |
|
2 |
, |
|
S v (W) = |
““ |
' 1 + со24 |
/^- |
Преобразуем это выражение, представив его в следующем виде:
Sw (®) - |
Дшр |
1 |
(11.50) |
|
л ' р2 |
О)2 |
|
где |3 = vjLv\ Dw = о4. Корреляционная функция, |
соответствую |
щая спектральной плотности (11.50), имеет вид |
|
Кш(х, т')=£>ие - Р |^ '1 . |
(11.51) |
Используя связь между составляющей скорости ветра и нерегу лярной частью полезного сигнала (11.49), проведем вычисления
корреляционной функции сигнала |
5 х (t): |
|
|
|
|
t |
т |
|
|
S 1 (0 |
= Аа \ \ |
Wy (т) dr; dr, |
|
|
|
|
б |
о |
|
|
|
1 |
т' |
I |
Г1 |
|
|
KSl (Т, г') = |
А'а | |
| |
J |
JКш„ (v, р) dv d\id% dr\. |
(11.52) |
|
о |
о |
о |
о |
|
|
Заменяя в выражении (11.51) т на v и т' на р, подставляя в фор мулу (11.52) и выполняя вычисления, получим следующее выраже ние для корреляционной функции нерегулярной составляющей полезного сигнала:
KSl (т, т') = ^ А'а j-|- min (т3, т' ) +
+ ^ |
(1 - е~Рт (1 + |
рт) - |
е~Рт' (1 + рт') + |
|
+ |
е-Р I |
I (1 + |
р (т — т' | — р2тг')]}, |
|
где функция min (т3, т '3) |
равна т3 при т3 < т '3 и т '3 при т'3 < т3. |
Корреляционная функция всего полезного сигнала |
|
Ks (т, т') |
=£>„ |
+ £) угт' + |
D атV* + KSl (т, т'). |
(11.53) |
Измеритель системы стабилизации высоты определяет полезный сигнал 5 (/) с ошибками, обусловленными случайным смещением нуля jVо и наличием широкополосной помехи N 1 (t). Суммарная помеха
N (0 = N 0 + N,(1).
Случайная величина N 0 имеет математическое ожидание Шл'0 = О и дисперсию DNo, случайная функция времени N 1 (/) иекоррелирована с величиной N 0 и с достаточной точностью может быть аппрок
симирована белым |
шумом |
с нулевым математическим |
ожиданием |
и интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи N (/) |
имеет вид |
|
|
|
KN (т, т') = |
£>*„ + Gnб (т - т'). |
(П -54) |
Будем считать, |
что полезный сигнал и помеха некоррелированы |
между собой. В этом случае корреляционная функция входного
сигнала есть сумма корреляционных |
функций |
полезного сиг |
нала (11.53) и помехи (11.54): |
|
|
Кх (т, т') = D 0 + D утт' |
+ D 2т2т'г + |
|
+ Т Л“ { ^ т ‘п(т3’ Т ^ |
— е_|3т(1 |
— |
— е~Рх' (1 + Рт') + е-р|т-т'1(1 + Р |т — г '| — р2тт')]] + |
“Ь А\'0 ~Ь б)д/б (т — т'). |
|
Оптимальный измеритель должен с наибольшей точностью выде лить из наблюдаемого сигнала полезный сигнал. Примем за крите рий оптимальности минимум среднего квадрата ошибки
М [(S (0 — S* (0)21 = min,
где S* (t) — оптимальная оценка полезного сигнала.
Перейдем к решению задачи. Общий алгоритм определения
оптимальной весовой функции системы имеет вид [58 1 |
|
g (t, т) = gW |
(t, т) '+ £ \ g (q) (i, |
т); |
(11.55) |
t |
Q—1 |
|
|
J g m (t, T') Kn (T, t') dx' = Ksl2 (t, |
X), |
(11.56) |
0 |
корреляционная функция |
требуемого |
где KSlz (t, x) — взаимная |
преобразования нерегулярной части полезного сигнала Sit и суммы
нерегулярной части полезного |
сигнала |
и помехи Z (/) = |
S x (t) + |
+ N (t). |
(11.55), |
(11.56) принимают вид |
В данном случае уравнения |
t |
|
О |
dx' = ср, (т); |
(11.57) |
J gUl) {t, х') KN (т , |
о |
|
|
|
|
|
(<7 = |
1, |
2, |
3) |
|
|
|
|
|
|
Л7 |
Dp |
|
^ |
^ p 0 |
^fipq (t) ; |
P = I |
|
|
|
<7=1 |
|
|
7 |
|
|
bp0(t)= |
J&(0) (t>т) фр 00 dr, |
bpq (Q = |
J 8l4) (t> T) фр |
00 dT- |
Средний квадрат ошибки оптимальной |
системы |
|
&оо (0 + |
N |
|
« m l.i = D y T — |
S ЧИ’р(0 — ЙР 0 (01. |
где |
|
|
Р=1 |
|
J |
£ (0) |
|
|
boo (0 = |
а Т) /с„г (*, т) dx. |
В рассматриваемой задаче требуется выделить полезный сигнал, поэтому требуемый выходной сигнал
ут (о = г/о + + и + s ±(t).
С учетом некоррелированности полезного сигнала и помехи корреляционная функция KSlZ (t, т) в уравнении (11.56) равна кор реляционной функции нерегулярной части полезного сигнала, т. е.
Ks,z (t, т) = KSl (I, т).
Число членов в сумме выражения (11.55) N = 3. Функции ср? (/)
и(0 соответственно равны:
(Pi (t) |
= |
1; |
ф2(0 = |
|
Фз (0 |
= |
i2; |
ф1 (0 |
= |
1; |
Ф*(0 = |
*; |
Фз (0 |
= |
I2- |
Вычисление среднего квадратического отклонения ошибки для оптимальной системы, выполненное для следующих условий [71 ]:
Ааош = |
1 м-с-2; (5 |
= 0,1 |
с-1; G,v = |
Ю4 м2-с; |
Do = D\ = 0; D2 = |
= 1,6 ЛО3 |
ма.с-4; |
DNo = |
ЮО м2, по |
|
|
казывает (см. рис. 11.12), что внача |
|
|
ле ошибка возрастает, а затем стре |
|
|
мится |
у установившемуся |
режиму. |
|
|
В установившемся |
режиме |
среднее |
|
|
квадратическое |
отклонение |
ошибки |
|
|
в основном определяется вероятност |
|
|
ными характеристиками |
нерегуляр |
|
|
ной части полезного сигнала |
и поме |
|
|
хи. Как следут |
из графика, |
ошибка |
|
|
достигает установившегося значения |
|
|
примерно через 1 МИН. |
|
участка |
Рис „ , 2 |
Зависимость среднего кв.д- |
МОЖНО |
рассмотреть три |
ратнческого отклонения ошибки ста- |
„ |
|
г |
г |
|
|
|
бнлизацни |
высоты от времени наблю- |
изменения |
среднего квадрата ошиб- |
|
де„„я р |
ки. На первом интервале 0 < t < t x целесообразно строить оптимальную оценку полезного сигнала по априорным данным. Оптимальная оценка формируется как математическое ожидание полезного сигнала. В рассматриваемом случае оно равно нулю. Дисперсия ошибки оптимальной системы на этом интервале опреде ляется формулой, получаемой из выражения (11.53) при т = т' = t,
Dtf Do -j- Dyl |
-f- (D2-|- DwAa ) t . |
(t |
< |
Составляющая DwAa получена из разложения функции /(Sl (t, 1)
в ряд по t на интервале t < |
1/(3. |
можно получить приближен |
На втором интервале Д < |
t < |
ное решение, если аппроксимировать корреляционную функцию
полезного сигнала (11.53) |
выражением |
|
Ks (т, т ) л*Do + |
D irt |
(£>2 + DwAa ) т2т . |
Решение задачи по алгоритму |
(11.55)—(11.59) |
при D 0 = D X — |
= Do = Dw = 0 дает следующее выражение для |
весовой функции |
оптимальной системы: |
|
|
|
g ((> т) = |
1От3 |
|
-т ( |
Г- |
|
Днсперсия ошибки в этом случае
90G,v
Dh (О Т~ Dm, .
На третьем интервале / > Д оптимальная система становится стационарной. Передаточную функцию оптимального фильтра полу чаем в результате решения задачи методами, изложенными в п. 11.10. Формула для передаточной функции имеет вид [71 ]
3,23v2s4 |
5,23v|s3 -j- 5,23v2r + 3,23\ф + v2 |
Ф (S) : |
|
(11.60) |
s5 + 3,23v2s4 + 5,23v2s3 + |
5,23v|s2 -(- 3,23v2s ■+ |
где параметр |
|
|
|
10 |
(11.61) |
V2 = |
| / |
G,v
Дисперсия ошибки в этом случае
DH — Dm0 -f- 0,63G^v
или, учитывая значения параметров [3, Dw, Аа, формулу можно представить в следующем виде:
10 /"~Т~2
Dh = Dmo-(-0,63 у пЬп [^а^ а GaAa] GN .
Мы рассмотрели получение передаточной функции оптимального фильтра, выделяющего полезный сигнал 5 (/). На рис. 11.13 пока-
зама структурная схема найден ной оптимальной системы, выра женная через передаточную функ цию объекта и передаточную функ цию системы управления. Из структурной схемы следует соот ношение
|
ФСУ (s) |
____ Ф(«)___ |
(11.62) |
|
Ф о б W |
[I — си (s)] |
|
|
|
Рис. 11.13. Структурная схема стабилизации высоты
Подставляя в последнее выражение значения оптимальной пере даточной функции (11.60) и передаточной функции объекта
®0Б (s) —s2 (r 2V + 7 ’1s + l )
н учитывая что система управления должна создавать управляю щую силу, компенсирующую действие возмущений, получим сле дующую передаточную функцию системы управления:
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
с у (s) |
= C(,AaVСд |
VoTo^ -(- (v2Tj |
1 ,62v1t 1) s2 -j- |
|
+ v2 (1 + |
1,62v2:Ti + l,62vi7l)s + |
v|(l,62 + l,62v27x + v\ t I) + |
|
+ |
vo(l ,62 + v27’i + |
0I31v|7l)-|- + |
|
|
+ |
Л’2 (1 -Ь О.ЗЬ’гТ1x) -p- -j- 0,31v2 — |
(11.63) |
Передаточная функция |
ФСУ (s) имеет ■размерность лГ1. |
Пара |
метр v 2 определяется формулой (11.61).
Как следует из выражения (11.63), закон управления в продоль ном канале содержит производные и интегралы до 3-го порядка включительно. Синтезированная структурная схема системы упра вления самолетом по высоте представлена на рис. 11.14. Переда точная функция ФСУ (s) для этой схемы определяется форму лой (11.63).
Интересно рассмотреть случаи упрощенного описания динамики движения самолета относительно центра массы. Пусть вместо коле бательного звена это движение описывается инерционным звеном
Рис. 11.14, Структурная схема оптимальной системы стабилизации высоты
ca w y |
с а 'Н/ |
_ с й0 |
а A<*wy |
|
Cav |
C6v |
С6 |
В. = —г—^ — а |
т |
Anv |
с постоянной времени 7Д. Тогда передаточная функция объекта управления имеет вид
®ов (s) |
h |
s- (7\s-|- 1) ’ |
Решение задачи в этом случае приводит к следующим передаточ ным функциям оптимальной системы н системы управления:
2,67vis3 + 3,42\fe2 -l-2,67vfe + v?
^ |
_ s4 + |
2,67vjS3 + 3,42v|S2 + |
2,67vfs + v} ’ |
|
2,67Cg |
|
Фсу (s) |
CfjdctV v1T1sa + v1s(l |
+ l,29v17’1) + |
+ v?(l,29v,Ti) |
v?(l +0,37v1T l) - L + 0,37vl-±r ' . |
Структурная схема системы изображена на рис. 11.14. Параметр определяется формулой
где Т\ = Сa j c a-
Средний квадрат ошибки оптимальной системы вычисляют по формуле
DH = Dn„ + 0,640^,. |
(11.65) |
Пусть теперь движение самолета относительно центра массы рассматривается как безынерционное. Тогда передаточная функция объекта управления представляется как двойное интегрирующее звено
Фоб (s) = ■
Вычисление передаточной функции оптимальной системы для тех же условий, что и в предыдущем случае, дает следующее выра жение:
|
Ф(5) |
2vs2 -Т 2v2s + |
v3 |
|
s3 -|- |
2vs2 -)- 2v2s -]- v3 ’ |
|
|
|
где параметр |
|
|
|
|
|
л |
/ W DX |
( 11.66) |
|
|
v — V |
G,v |
|
Дисперсия ошибки оптимальной системы вычисляют по прибли женной формуле
D„ = D N o + -g- Gn v .
В результате вычисления передаточной функции системы упра вления по формуле (11.62) получаем следующее выражение:
ФСУ (s) = /е ( 2vs + 2v2 + v3 - i- ) ,
k = |
■— |
Сд, |
(11.67) |
C&vAa |
Эта передаточная функция легко реализуется. |
Параметр v опре |
деляется формулой (11.66). Структурная схема системы предста
влена |
на рис. 11.14. |
|
|
|
|
|
Проведем числовой расчет для последней наиболее простой модели |
при следующих данных: (5 |
= 1,35 с |
; Dw = 7,8 |
м -с |
; А а = |
= |
0,01 |
с"1; Gn = |
102 м2-с; |
Са = 46,7 |
с '2; Сб = |
30 с"2; |
Аа = |
= |
1,6 |
с-1; v = 270 |
м-с ь, DNo = 100 м2. Для этих |
данных в соот |
ветствии с формулой (11.66) параметр v = |
0,166 с-1. Среднее квадра |
тическое отклонение высоты полета составляет он — ~\ADh — 10,5 м. Передаточная функция оптимальной системы управления (11.67)
выражается соотношением
Фсу = 2 • 10~4 -f- 2,0210_4s —(—1,67 • 10-5 -i-.
На основании этой передаточной функции закон управления самолетом по высоте имеет вид
6= 2-10-4 АН + 2,02 -Ю'4 АН +
+0,167-10'4 Jt ДЯ (т) dx,
0
где АН = Я - Я пр.
Рассмотренное выше решение задачи справедливо для системы без жесткой стабилизации угла тангажа. Если такая стабилизация есть, то можно в первом приближении пренебречь влиянием турбу лентности атмосферы на изменение положения самолета относительно
центра массы. В этом случае параметр Аа = Аа. |
При этом |
полу |
чаем v = 0,416 с-1; ан = 11,3 м. Закон управления |
высотой |
полета |
имеет вид |
|
|
6 = 3,05• 10-3 АН + 1,27-10"3 АН + |
|
|
+ 0,264-10 '3 Ji АН (т) dx. |
|
|
о |
|
|
Характеристическое уравнение замкнутой системы стабилиза ции высоты полета имеет вид
(s3 + 2vs2 + 2v2s + v3)AH = 0.
При v = 0,416 с-1 система устойчива.
Представляет интерес вычислить средний квадрат ошибки ста билизации высоты полета для второй, более полной модели движе-
нiiя самолета относительно центра массы в виде инерционного звена.
При 7 \ = 0,15 |
с н тех же самых значениях остальных параметров |
в соответствии |
с |
формулой (11.64) параметр |
= 0,417 с-1. По |
формуле (11.65) |
|
получаем ан — 11,42 м. Аналогичный расчет для |
первой, наиболее полной модели дает следующий |
результат: v2 = |
= 0,77 с-1; ан = |
12,2 м. |
|
Анализ результатов расчета показывает, что усложнение модели объекта управления несущественно увеличивает среднюю квадра тическую ошибку стабилизации высоты для оптимальной системы. Учитывая, что усложнение модели приводит к одновременному усложнению закона управления, можно сделать практический вывод о целесообразности принятия более простых моделей объекта управления при синтезе закона управления.
