книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

и примятых выше остальных параметрах, вычисленное по формуле (11.24), равно

Отношение сигнал/шум для оптимальной схемы обработки си­ гнала, вычисленное по формуле (11.21), v = 7,75.

Точность оптимальной оценки определяется апостериорной ди­ сперсией (11.22). Величина этой дисперсии для рассматриваемых значений параметров D* = 0,925-10~3Ва. Это значит, что в резуль­ тате измерения коэффициента усиления его априорная дисперсия уменьшилась в 8 раз.

На рис. 11.3 и 11.4 показаны графики зависимости апостериор­ ной дисперсии от времени наблюдения и дисперсии помехи.

Сравнение с дисперсией оптимальной оценки показывает, что при субоптимальной оценке коэффициента усиления по формуле (11.28) имеет место потеря в точности. Относительное ухудшение точности в единицах дисперсии, вычисленное по формуле (11.27), равно 10,3%. Таким образом, субоптимальный алгоритм (11.28), легко реализуе­ мый с помощью различных технических устройств, обеспечивает точность определения оценки, весьма близкую к потенциальной точности.

11.3. Измеритель скорости

Синтезируем оптимальную систему оценки скорости изменения полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени

5 (0 = U 1 -!- U J ,

где Ult U — некоррелированные между собой случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями D lt D.2 соответственно.

301

Полезный сигнал наблюдается совместно с помехой

X (t) = S (0 + N ((),

имеющей нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию

KN(l, П = Gn8 ( t - t ' ) .

Требуемым выходным сигналом идеальной системы является производная полезного сигнала

П (0 =

Критерием оптимальности системы считаем минимум среднего

квадрата ошибки.

Для решения поставленной задачи воспользуемся общим алго­

Весовую функцию оптимальной системы вычисляют по формуле

g (Т, т) = (Т, х) + (Т, т),

где весовые функции gt (Т, т) определяются решением интегральных уравнений

g (Т, а) Км (х, o)da = срх (т);

(11.29)

g 2 (Т, а) Км (х, а) da = ср2 (т),

а коэффициенты Х{ из системы линейных алгебраических уравнений

Точность получения оценки скорости вычисляют в данном слу­ чае по формуле

D* = К1^>1 + А.2ф2,

где D* — дисперсия ошибки.

Проведем вычисления. Подставляя значения корреляционной

302

Подставляя значения величин Ьц и Сц и выполняя некоторые

Таким образом, весовая функция оптимальной системы опреде­ ляется выражением

Оптимальная оценка скорости изменения входного сигнала

303

На основании выражения (11.32) весовая функция оптимальной системы при бесконечных дисперсиях параметров

На рис. 11.5 приведены графики среднего квадратического откло­ нения ошибки измерения скорости в функции времени наблюдения при следующих данных: D x = 1 град2; D 2 = 1 град2 -с2; GN = = 10-5 рад2 -с и G,v = 10_в рад2 -с.

11.4. Фильтр для случайного процесса

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы, обеспечиваю­ щей выделение полезного сигнала S (I), наблюдаемого совместно с помехой N (i). Входной сигнал

X (() = S ( i ) + N (/).

Случайные функции 5 (/) и N (/) есть некоррелированные слу­ чайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и спек­ тральными плотностями:

где GjV— интенсивность белого шума.

Требуемым выходным сигналом является полезный сигнал

П (0 = S (О-

Наблюдение входного сигнала ведется на бесконечном интервале времени, что практически соответствует условию значительного превышения интервала наблюдения времени корреляции входного сигнала.

Оптимальная частотная характеристика системы, дающая мини­ мум среднего квадрата ошибки при выполнении сформулированных

характеристика и ей сопряженная характеристика фильтра, форми­ рующего из белого шума V (t) с единичной спектральной плотностью наблюдаемый входной сигнал X (t); функция Sy^x (со) — взаимная

спектральная плотность требуемого выходного и входного сигнала. Знак «плюс» у квадратной скобки в формуле (11.35) означает, что все нули и полюса выражения в этой скобке находятся в верхней полуплоскости комплексной переменной со.

Передаточная функция оптимальной системы определяется из частотной характеристики заменой переменной /со на комплексное

304

Знак «плюс»' в данной формуле означает, что все корни функции, стоящей в квадратной скобке, находятся в левой полуплоскости комплексной переменной s. С физической точки зрения это условие означает требование устойчивости оптимальной системы.

Частотная характеристика формирующего фильтра связана со спектральной плотностью наблюдаемого сигнала соотношением

в выборе частотной характеристики устраняется, если учесть требо­ вание устойчивости системы.

Полезный сигнал и помеха иекоррелированы. Поэтому спектраль­ ная плотность входного сигнала есть сумма спектральных плотно­

где

Р2 = а 2 + 2DalGN.

Представим левую часть выражения (11.36) в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей:

Второй сомножитель в левой части этого выражения содержит нуль и полюс в нижней полуплоскости комплексной переменной со. Действительно, нуль достигается при со = —/|3, а полюс при со = = —/а. Таким образом, в частотной характеристике формирующего фильтра следует выбрать первый сомножитель, который имеет нуль и полюс в верхней полуплоскости со, что соответствует устойчивой системе

Вычислим взаимную спектральную плотность требуемого выход­ ного и входного сигналов. Поскольку полезный сигнал и помеха иекоррелированы между собой, а требуемый сигнал равен полез­ ному сигналу, то спектральная плотность SVt.v ( со) равна спектраль­

Преобразовывая это.выражение, получаем

Разложим это выражение без учета постоянного множителя на элементарные дроби:

Приводя к общему знаменателю правую часть и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях соотношения (11.38), полу­ чаем два уравнения относительно коэффициентов А и В:

В — А = 0; Лр + Ва = 1.

Отсюда получаем В = Л; А = 1/ (a + Р). Первый член в правой части выражения (11.38) имеет полюс в верхней полуплоскости комплексной переменной со, а второй — в нижней полуплоскости. Поэтому следует отбросить второй член. В результате отношение в квадратной скобке

Подставляя это выражение и частотную характеристику (11.37) в формулу (11.35), получаем частотную характеристику оптималь­

Таким образом, оптимальная система для выделения полезного сигнала со спектральной плотностью

Ss (со) = Da/я (а2 + со2)

из аддитивной смеси с белым шумом представляет собой инерционное звено.

Точность выделения полезного сигнала оптимальной системой оценивается средним квадратом ошибки. Ошибкой системы является разность

Е (0 = Y (0 - П (0-

306

Математическое ожидание ошибки равно нулю, а дисперсия вычисляется по формуле

De = Dyт — DlJy

где Dy —дисперсия выходного сигнала оптимальной системы.

В рассматриваемом случае DUt = = DS, а

_| Gt\ik~

У ~ 14- аТ "г" 2Т

или, используя выражения для параметра v (11.40), имеем

г, — Г, V(1 + V+ 1/~1 + у)

"s (i + / r + ^ ) 31/T+v'

Таким образом, дисперсия ошибки выделения полезного сигнала оптимальной системой

D z = D t

V(1 -f V-f 1/~1 + у) (1 + КПГТ)314Г+Т

При бесконечно большой интенсивности помехи (GjV = оо) пара­ метр v = 0 и дисперсия ошибки равна дисперсии полезного сигнала. При отсутствии помехи (v = оо) и дисперсия ошибки равна нулю.

На рис. 11.6 приведены графики зависимости коэффициента усиления k, величины аТ и относительной дисперсии ошибки D*IDS как функции безразмерного параметра v, характеризующего отноше­ ние сигнал/шум.

11.5. Экстраполятор случайного процесса

Рассмотрим задачу построения оптимальной системы,, осуще­ ствляющей прогнозирование на время Д полезного сигнала, наблю­ даемого совместно с помехой N (t). Входной сигнал

Полезный сигнал и помеха некоррелированы между собой, имеют нулевые математические ожидания и спектральные плотности

Требуемым выходным сигналом является экстраполированное на время Д значение полезного сигнала

Y T(i) = S (t + A).

Входной сигнал наблюдается на бесконечном интервале времени. Определим фильтр, формирующий из белого шума с единичной спектральной плотностью входной сигнал (11.41) из соотношения

Sx (со) = Ф (ко)Ф* (/со).

Спектральная плотность входного сигнала

Представляя спектральную плотность в виде комплексно-сопря­ женных сомножителей, получаем

Анализируя расположение нулей и полюсов выражения (11.42), выбираем в качестве частотной характеристики формирующего филь­ тра выражение

Взаимная спектральная плотность требуемого выходного и вход­ ного сигналов есть взаимная спектральная плотность полезного сигнала и его сдвинутого на время Д значения:

>Утх (со) = Dsа аД

Отношение этой спектральной плотности к комплексно-сопряжен­ ной частотной характеристике формирующего фильтра

308

Рассматривая данное соотношение как тождество, определяем коэффициенты А и В:

A = ~ r i — ; В = 1 + А .

Учитывая, что полюс у второго слагаемого в формуле (11.45) расположен в нижней полуплоскости комплексной переменной со, отбрасываем его. В результате отношение (11.44) при условии рас­ положения нулей и полюсов в верхней полуплоскости

Поделив это выражение на соотношение (11.43), получаем частот­ ную характеристику оптимальной системы:

где введены следующие обозначения:

Заменяя в выражении (11.46) ico на комплексное число s полу­ чаем передаточную функцию экстраполятора

Точность оптимальной системы определяется дисперсией ошибки

£>е = Ds — 00J | ф (ш) |2S* (со) da.

Подставляя в эту формулу значения частотной характеристики оптимальной системы и спектральной плотности входного сигнала и выполняя вычисления, получаем

Рассмотрим частные случаи. При нулевом времени прогнозиро­ вания (Д = 0) изменяется лишь коэффициент усиления, в котором множитель е~“л становится равным единице.

При равенстве характерных частот спектральных плотностей полезного сигнала и помехи а = |3 параметры оптимальной системы равны соответственно

Т==1 Г : Т = ~а = “|Г ’ k ~ Т + Т ’ d e = D syq -^-.

Таким образом, если ширина спектра полезного сигнала равна ширине спектра помехи, то оптимальный фильтр представляет собой безынерционный усилитель с коэффициентом усиления, зависящим

309

кеай

от соотношения дисперсии сигнала и помехи, которая в данном слу­ чае становится составной частью полезного сигнала.

При отсутствии помехи (DN = 0) параметры оптимальной системы

безынерционный усилитель с единичным коэффициентом усиления. Дисперсия ошибки фильтра равна нулю.

На рис. 11.7 приведены графики относительной величины тIT в функции отношения дисперсий сигнала и помехи v при различных

даны графики зависимости относительного коэффициента усиления фильтра йеаЛ в функции отношения дисперсий сигнала и помехи при различных значениях параметра х.

11.6. Система стабилизации высоты полета самолета

Линеаризованные относительно программной траектории урав­ нения движения самолета в продольной плоскости имеют вид

аэродинамические коэффициенты, характеризующие конструкцию самолета и условия полета; ат— теоретическое (программное)

310