книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

10.9. Общий алгоритм определения оптимальной линейной системы

В заключение главы приведем без доказательства общий алго­ ритм определения оптимальной линейной системы в случае, когда полезный сигнал S (/) содержит как регулярную, так и нерегуляр­ ную части:

г= 1

В этом случае входной сигнал системы выражается формулой

где Z (0 — сумма нерегулярной части полезного сигнала и помехи. Требуемый выходной сигнал выражается формулой

гулярной части 5 Х(0 полезного сигнала, а функции фу (t) — резуль­ таты такого же преобразования соответствующих функций qy (/) — регулярных составляющих полезного сигнала.

Определение оптимальной линейной системы в этом случае сво­

11.1. Фильтр для определения амплитуды сигнала

Задача оценки амплитуды сигнала, наблюдаемого совместно с поме­ хой, является весьма распространенной в инженерной практике. Пусть наблюдаемый на интервале времени [О, Т ] сигнал представ­ ляет собой сумму полезного сигнала и помехи:

N (t) — помеха. Необходимо построить фильтр, дающий наилучшую по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценку величины амплитуды. Оптимальный фильтр отыскивают в классе линейных систем. Поэтому для решения задачи достаточно знать лишь первые два момента входного сигнала.

Пусть случайная величина U имеет математическое ожидание.m и дисперсию D, а помеха — нулевое математическое ожидание и кор­

Относительно известной функции ср (t) достаточно потребовать условия интегрируемости с квадратом, т. е. чтобы интеграл от ква­ драта этой функции на интервале наблюдения был конечной вели­ чиной.

Предварительно вычтем из наблюдаемого сигнала математичес­ кое ожидание случайной величины. Тогда наблюдаемый сигнал будет центрированным, что позволит использовать алгоритм опре­ деления оптимальных систем в классе линейных однородных систем. Опуская обозначение центрированности входного сигнала, предста­ вим его в виде выражения

X (t) = УФ (0 + М (t),

где V = U — /п — центрированное значение параметра. Оптимальная оценка случайной амплитуды дается соотношением

293

где весовая функция g (Т , т) определяется решением интегрального уравнения

т

J g (Т, о) ICN(т, a) da = ср (т). (11.4)

О

(О < Т < Т)

В этом уравнении KN (х, а) — корреляционная функция помехи. Параметр X в формуле (11.3) вычисляют по соотношению

т

Подставляя в интегральное уравнение (11.4) значение корреля­

Точность определения оценки характеризуется апостериорной дисперсией

D* = М [(У — V*)2] = М [У2] — М IV*2}.

Данное соотношение справедливо только для оптимальной обра­ ботки сигналов. Дисперсию ошибки можно представить также сле­ дующей формулой:

где параметр v характеризует отношение сигнал/шум:

т

294

В частном случае, когда cp (I) = s = const, отношение сигнал/ шум

DsT v ~ Gn ‘

Оптимальная оценка параметра для этого случая

о

При отсутствии помехи GN = 0, v = оо, и оптимальная оценка равна истинному значению амплитуды. Действительно,

г

Соответственно дисперсия ошибки равна нулю, D* = 0. Оценка центрированной величины, получаемая с помощью ли­

нейного однородного оператора (11.8), может быть приведена к пол­ ному значению. В этом случае оператор оптимальной системы будет линейным неоднородным. Для получения этого алгоритма прибавим к левой и правой частям выражения (11.8) математическое ожидание амплитуды. Тогда получим

г

В этом выражении подчеркнуто, что входной сигнал является центрированным. Для приведения его к полному сигналу восполь­ зуемся соотношением Х° (т) = X (т) — /тир (т). Подставляя это вы­ ражение в формулу (11.10) и приведя подобные члены, содержащие математическое ожидание параметра, получаем

где отношение сигнал/шум вычисляют по формуле (11.9). Первый член в этой формуле характеризует априорные данные об измеряе­ мом параметре, а второй — апостериорные данные, получаемые в процессе измерения. При бесконечно большой помехе GN = оо, v = 0 и оптимальная оценка параметра в соответствии с формулой (11.11) равна априорному математическому ожиданию. Это означает, что нецелесообразно проводить наблюдение сигнала, а достаточно в качестве оценки принять априорное математическое ожидание параметра. При уменьшении помехи или при увеличении времени

295

наблюдения, что приводит к увеличению интеграла от существенно положительной функции в формуле (11.9), отношение сигнал/шум возрастает. Поэтому роль первого члена в формуле (11.11) умень­ шается. Основной вклад в оценку в этом случае дает второе слагае­ мое, т. е. процесс обработки реализации наблюдаемого сигнала.

11.2. Оценка коэффициента усиления

Рассмотрим задачу оценки коэффициента усиления безынер­ ционного объекта, предполагая, что этот объект является одновре­ менно генератором помехи. Наблюдаемый сигнал предварительно центрируется, и его структура имеет вид

X (/) = Vs + N (t).

Коэффициент усиления V рассматривается как случайная вели­ чина с нулевым математическим ожиданием, дисперсией D и нормаль­ ным законом распределения вероятности; s = const — постоянный зондирующий сигнал; N (t) — центрированная гауссовская помеха, содержащая две компоненты:

N(1) = л м о + л м о .

Первая составляющая представляет собой помеху, генерируемую объектом контроля, а вторая описывает собственные шумы измери­ теля. Будем считать, что собственные шумы измерителя представ­ ляют собой белый шум с интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи объекта контроля имеет вид

Kn, ( т ) =£>Лге-“1'с|.

Корреляционная функция суммарной помехи, при условии некор­ релированности ее составляющих, определяется формулой

Требуется определить оптимальную оценку параметра V по кри­ терию минимума среднего квадрата ошибки. Наблюдение входного сигнала осуществляется на конечном интервале времени Т.

Оптимальная оценка коэффициента усиления определяется фор­

мулой

т

Весовая функция g (Т , т) определяется решением интегрального уравнения

О

296

Подставляя значение корреляционной функции (11.12) в выра­ жение (11.14), получаем

Для решения этого уравнения применим к его обеим частям диф­ ференциальный оператор по переменной т:

Вычислим результат действия оператора на экспоненту:

Единичные функции появились в данном выражении как след­ ствие снятия модуля с показателя экспоненты. Дифференцируя выражения в квадратных скобках как произведение функций и учи­ тывая, что производная единичной функции есть 6-функция, полу­ чаем

(■Jf — а2) е““|т_а| = — 2аб (т — а).

Таким образом, применение дифференциального оператора к урав­ нению (11.15) дает следующее соотношение:

Неизвестные постоянные Xlt Х2 определяются подстановкой реше­ ния (11.17) в интегральное уравнение (11.7). После подстановки весовой функции и вычисления интеграла, получаем

Рассматривая это уравнение как тождество, приравнивая коэф­ фициенты при постоянной составляющей и функциях e_ax, еат,

297

e-i’T, ei”1, получаем пять уравнений:

Нетрудно показать, что первое, четвертое и пятое уравнения

Весовая функция имеет минимум по второму аргументу. Диффе­ ренцируя выражение (11.19) по аргументу х и приравнивая производ­ ную к нулю, получаем уравнение относительно абсциссы т 0 точки минимума

— Х2у(e_VT°— е—'vr +vTo) = о.

Решая это уравнение, получаем т 0 = 772 при уТ > 4. Значение весовой функции в точке минимума

Вычислим отношение сигнал/шум. Подставляя соотношение (11.17) в формулу (11.13а) и интегрируя его, получаем

Соотношения (11.13), (11.19), (11.21) определяют алгоритм обра­ ботки наблюдаемого сигнала для получения оптимальной оценки коэффициента усиления.

298

Точность получения оценки определяется дисперсией ошибки

г д е v вычисляют по формуле ( 1 1 .2 1 ) .

Реализация алгоритма получения оптимальной оценки по фор­ муле (11.13) встречает определенные технические трудности, которые прежде всего связаны с воспроизведением весовой функции. Опреде­ лить весовую функцию путем решения дифференциального уравне­ ния (11.16) на аналоговых вычислительных машинах из-за неустой­ чивости этого уравнения технически невозможно. При решении этой задачи на цифровых машинах требуется очень высокая точность. Поэтому целесообразно поставить вопрос о построении приближен­ ного алгоритма получения оценки . Этот алгоритм должен быть квазиоптимальным (субоптимальным), т. е. близким к оптимальному в смысле точности и одновременно простым в технической реали­ зации.

Идея построения квазиоптимального алгоритма получения оценки

денных в числовом примере данного параграфа. Заменим весовую функцию на интервале наблюдения постоянной величиной. Замена выполняется из условия равенства площадей, ограниченных графи­ ком весовой функции и линией среднего значения на интервале на­ блюдения. С физической точки зрения такая замена эквивалентна замене реальной помехи эквивалентным белым шумом.

Введем среднее значение весовой функции по формуле

Рис. 11.1. График весовой функции

299

Подставляя значение весовой функции, после вычислений полу­ чаем

Используя среднее значение весовой функции, запишем алго­ ритм получения оптимальной оценки (11.13) в виде выражения

Вместо среднего значения можно подставить эквивалентную ин­ тенсивность белого шума. Тогда формула оптимальной оценки при­ нимает вид

где эквивалентное отношение сигнал/шум

Как следует из формулы (11.25), замена весовой функции сред­ ним значением действительно дает алгоритм, аналогичный алго­ ритму при помехе в виде белого шума.

Оценим точность получения коэффициента усиления в случае квазиоптимального алгоритма. Дисперсия квазиоптимальной оценки коэффициента усиления

£>** = M[(V — К*)2] = М [V2]— 2М [VV*] + М [К*2].

Подставляя значение оценки и применяя операцию математичес­

Отличие дисперсии оценки в субоптимальной системе от диспер­ сии оценки в оптимальной системе невелико, поэтому относительная ошибка обычно не превышает 10—15%.

Пример. Рассмотрим числовой пример получения оптимальной оценки коэффи­

— 1,0 с, 7’= 2,0 с. На рис. 11.2 приведены графики весовой функции для двух зна­ чений дисперсии помехи и Т = 1 с. Среднее значение весовой функции при Т = 1с

300