книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

формирующего фильтра помехи, a w~ (t, т) — весовая функция об­ ратной системы. Входной сигнал X (I), прошедший через обратную систему, трансформируется в сигнал с помехой в виде белого шума, для которого легко можно найти оптимальную систему. Последова­ тельное соединение системы, преобразующей помеху в белый шум, и оптимальной системы для помехи типа белого шума на входе есть искомая оптимальная система в общем случае.

Обозначим выходной сигнал системы, обратной формирующему фильтру помехи,

усиления в весовую функцию w~ (t, т) системы, обратной форми­

(Г= 1, . ... N)

На основании результатов, полученных в гл. 10, п. 4, оптималь­ ная система для входного сигнала V (t) представляет собой парал­ лельное соединение согласованных фильтров, соответствующих преобразованным компонентам входного полезного сигнала %х (t), . . .

. . ., Хдг (0. с усилителями на выходах. Следовательно, оптимальная система для входного сигнала X (t) имеет структуру, показанную на рис. 10.8. В общем случае оптимальная система представляет собой параллельное соединение согласованных фильтров с усилителями

281

Рис. 10.S. Оптимальный фильтр при произвольной помехе

на выходах (рис. 10.9). Однако при этом весовые функции согласо­ ванных фильтров не равны функциях (рг (т), а определяются фор­ мулами

где функции %г (t) выражаются через компоненты входного сигнала cpr (t) формулой (10.85). Формула (10.87) вытекает из общей формулы для весовой функции последовательного соединения линейных систем.

Покажем, что весовые функции gr (t, т) согласованных фильтров удовлетворяют некоторым интегральным уравнениям. Для этого

Принимая во внимание, что помеха N {t) формируется из белого шума N , U) единичной интенсивности формирующим фильтром

Рис. 1U.9. Преобразованная схема оптимальном системы при произвольной помехе

282

с весовой функцией w {t, т), напишем следующее выражение для кор­

реляционной функции помехи:

I

К у (/', т) = [ w (/' X) w (х, X) dX.

to

Подставив это выражение в предыдущую формулу, получаем

I

Интеграл по x в этой формуле на основании известного соотно­ шения между весовыми функциями взаимно обратных систем равен б (а — X). Поэтому

I

Это и есть интегральное уравнение, которому удовлетворяет ве­ совая функция /--го формирующего фильтра.

Таким образом, при произвольной помехе N (t) с корреляцион­

Выходные сигналы формирующих фильтров определяются в дан­

283

(P = 1, ■• - Л0

Это выражение по форме не отличается от выражения (10.39) для выходных сигналов формирующих фильтров в случае, когда помеха представляет собой белый шум. Поэтому вывод уравнений для оптимальных значений коэффициентов усиления выходных сигналов согласованных фильтров и формулы для минимального среднего квадрата ошибки оптимальной системы в общем случае ничем не отличается от их выхода в случае, когда помеха пред­ ставляет собой белый шум. Следовательно, оптимальные значения коэффициентов усиления выходных сигналов согласованных филь­ тров Xlt . . . , XN и в общем случае определяются системой уравнений (10.42) при G = 1, а минимальный средний квадрат ошибки опти­ мальной системы определяется формулой (10.44) при G = 1. При исследовании оптимальной системы, предназначенной для заданного линейного преобразования полезного сигнала, функции ер, (t) в уравнениях (10.42) и формуле (10.44) следует заменить соответ­ ствующими функциями (t). Таким образом, в общем случае произвольной помехи и системы, предназначенной для заданного линейного преобразования полезного сигнала, оптимальные коэффи­ циенты усиления A,lt . . ., XN определяются уравнениями

а минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы определяется формулой

на рис. 10.9, вытекает следующая формула для весовой функции оптимальной линейной системы:

284

Суммируя полученные результаты, приходим к выводу, что для нахождения оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки в общем случае необходимо выпол­ нить следующие операции:

решить интегральные уравнения (10.88), определяющие весовые функции согласованных фильтров g 1 (t, т)..........gN (t, т);

вычислить по формулам (10.89) коэффициенты ЬРг (/); определить оптимальные коэффициенты усиления выходных сиг­

найти минимальный средний квадрат ошибки оптимальной си­ стемы по формуле (10.93).

Методы решения интегральных уравнений типа (10.88) изложены в работах 156, 58]. Здесь рассмотрим один способ, который в боль­ шинстве частных случаев, когда помеха N (I) стационарна, дает возможность достаточно просто решать уравнения вида (10.88). Этот способ можно применять, если помеха представляет собой ста­ ционарную случайную функцию с дробно-рациональной спектраль­ ной плотностью S N (со), а функции cpr (t) представляют собой полиномы, тригонометрические полиномы или вообще линейные комбинации произведений полиномов на тригонометрические или показательные функции.

В частном случае, когда помеха стационарна, KN (t', т) = = kN ( f — т), и определяется оптимальная стационарная линейная система с памятью Т, уравнение (10.88) принимает вид

Для решения интегрального уравнения (10.95) в рассматривае­ мом случае представим функцию срг (t — л) формулой

а спектральную плотность помехи SN (со) выразим в виде

285

где Р (со2) и Q (со2) — полиномы относительно со2 степени соответ­ ственно т и п, а Н (ио) п F (гсо) — полиномы тех же степеней т и п относительно iсо с положительными коэффициентами. В этом слу­ чае решение интегрального уравнения (10.95) следует искать в виде

П—Ш—1

. /=0

фициентов следует подставить выражение (10.98) в уравнение (10.95). Выполнив интегрирование в левой части этого уравнения, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэф­

Решив эти уравнения и подставив полученные значения неизвест­ ных коэффициентов в формулу (10.98), найдем решение интеграль­

стационарного случайного сигнала

В задачах, рассмотренных в предыдущих параграфах, полезный сигнал S (/) представляет собой регулярную функцию времени, зависящую от случайных параметров 0 1, . . ., UN. Однако в неко­ торых практических задачах полезный сигнал содержит наряду с регулярной функцией времени и нерегулярную часть, представ­ ляющую собой случайную функцию, которую нельзя аппроксими­ ровать линейной комбинацией сравнительно небольшого числа детерминированных функций со случайными коэффициентами. Чтобы научиться находить оптимальные системы и для таких полезных сигналов, рассмотрим задачу определения оптимальной стационарной линейной системы в случае, когда входной сигнал X (/), представляю­ щий собой сумму полезного сигнала S (t) и помехи N (t), является стационарной случайной функцией времени, а требуемый выходной сигнал YT (/) есть стационарная случайная функция, стационарно связанная с входным сигналом X (/). Обычно в практических задачах требуемый выходной сигнал YT (t) представляет собой ре­ зультат некоторого линейного преобразования полезного сигнала S (/), содержащегося во входном сигнале X (/). При этом ограничимся рассмотрением оптимальной системы с бесконечной памятью, время работы которой достаточно велико, чтобы можно было его считать

286

бесконечным, и предположим, что математическое ожидание тх вход­ ного сигнала X (/) равно нулю.

Допустим сначала, что входной сигнал X (I) представляет собой белый шум, интенсивность которого равна G и, следовательно, спектральная плотность S 0 = G!2л. Обозначим через g (т) искомую весовую функцию оптимальной стационарной линейной системы. Тогда выходной сигнал этой системы Y (() выразится формулой

СО

Y(t)= [ g (т) X (I — т) dx.

6

Ошибка системы

Е (() = J g (т) X (I — т) dr — Ут(/).

О

Отсюда находим средний квадрат ошибки системы

со со

1] = М [Е2 (01 = G j g2(т) dx — 2 \ g (т) ky^ (т) dx -f Du

оо

где (т) — взаимная корреляционная функция требуемого вы­ ходного и входного сигналов, a D,,r — дисперсия требуемого выход­

ного сигнала. Дополним первые два слагаемые в предыдущем ра­ венстве до полного квадрата. В результате получим

Отсюда непосредственно видно, что средний квадрат ошибки будет иметь минимальное возможное значение, если весовую функцию g (т) оптимальной системы определить формулой

Заменив здесь взаимную корреляционную функцию требуемого выходного и входного сигналов ее выражением через взаимную спек­ тральную плотность тех же сигналов 5// Л.(со):

Эта формула определяет весовую функцию оптимальной системы только при х ^ 0. При т < 0 g (т) = 0. Ограничимся случаем дробно-рациональной взаимной спектральной плотности требуе­

287

мого выходного и входного сигналов. Чтобы найти выражение g (т) при всех т, разложим рациональную дробь S,/ v (со) на элементарные дроби и обозначим через [5^. (со)]+ сумму всех дробей с полюсами

Формула (10.102) определяет весовую функцию оптимальной системы g (т) при всех значениях т, так как [56]

СО

J [S,/t.v( с о ) ] _ ц е'ит dw — О при т < 0.

—00

Заменив интенсивность G входного сигнала ее выражением через спектральную плотность G = 2л50, приведем формулу (10.102) к виду

Наконец, сравнив эту формулу с известным выражением весовой функции стационарной линейной системы через ее частотную харак­ теристику

СО

g(t) ■- 2^г J xF(tco)e''“Mco,

— со

находим частотную характеристику оптимальной линейной системы

Таким образом, для нахождения частотной характеристики опти­ мальной стационарной линейной системы в случае, когда входной сигнал представляет собой белый шум, следует разложить взаимную спектральную плотность требуемого выходного и входного сигналов на элементарные дроби, отбросить все дроби с полюсами в нижней полуплоскости комплексной переменной со и разделить полученное выражение на спектральную плотность входного белого шума.

288

Найдем средний квадрат ошибки оптимальной системы. Для этого подставим в формулу (10.99) выражение (10.100) весовой функции оптимальной системы. Тогда, принимая во внимание из­ вестное из теории интеграла Фурье равенство Фурье—Планшереля, на основании которого

со со

— СО

Эта формула обычно и служит для вычисления минимального сред­ него квадрата ошибки оптимальной системы.

Рассмотрим теперь общий случай, когда входной сигнал X (t) представляет собой произвольную стационарную случайную функ­ цию с дробно-рациональной спектральной плотностью Sx (со). Вы­ разив эту спектральную плотность в виде

найдем передаточную функцию Ф (s) формирующего фильтра, пре­ образующего белый шум V (0 с единичной.спектральной плотностью 5 о = 1 во входной сигнал X (t). Система с передаточной функцией 1/Ф (s) преобразует входной сигнал X (t) в белый шум V (t). Поэтому для определения оптимальной системы можно использовать прием, рассмотренный в предыдущем параграфе. Оптимальная система будет представлять собой последовательное соединение системы с переда­ точной функцией 1/Ф (s) и оптимальной системы для случая белого шума V (/) на входе. Согласно формуле (10.104) частотная характе­ ристика Ч'о (tсо) оптимальной системы для белого шума V (t) с еди­ ничной спектральной плотностью на входе определяется формулой

Wv(iw) = [SUrV(<о)]+.

Следовательно, частотная характеристика оптимальной системы для входного сигнала X (/) выразится формулой

Заметим теперь, что

где Sy х (со) — взаимная спектральная плотность сигналов YT (t)

и X (t). Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим следующее выражение частотной характеристики оптимальной ли­ нейной системы:

Но на основании формул (10.107) и (10.108)

Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим сле­ дующее окончательное выражение для минимального среднего квад­ рата ошибки оптимальной системы:

— CO

Выкладки, выполненные в п. 10.7 для весовых gr (/, т), справедливы и для весовой функции g (t — т) с заменой функции 1г (т) функцией ky v (I — т) и соответствующей функции ер, (s) функцией k,,TX(t — s). Пбэтому функция g (т) удовлетворяет инте­ гральному уравнению

(Л S- 0)

Задача определения оптимальной стационарной линейной си­ стемы с бесконечной памятью для стационарных и стационарно свя­ занных входного и требуемого выходного сигналов впервые была решена Винером. Несколькими годами ранее такая задача для дискретных систем была решена А. Н. Колмогоровым. Интегральное уравнение (10.110) обычно называют уравнением Винера—Хопфа, а задачу, решенную в этом параграфе, — задачей Винера. Аналогич­ ная задача для системы с конечной памятью Т приводит к интеграль­ ному уравнению

Это уравнение решается методом, изложенным в предыдущем параграфе.

290