книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

образований входного сигнала, например для экстраполяции, диф­ ференцирования и т. д. Для экстраполятора Ут (/) = 5 (t + Т), а для дифференциатора Кт (/) = S' (i). В общем случае линейного преобразования требуемый выходной сигнал выражается формулой

торые известные функции. Если форма сигнала известна, то N — 1. Функции фг (t) выражаются через соответствующие функции срг (/) различными формулами в зависимости от конкретной задачи. Так,

случаях функции фг (Г) определяются иначе. Так, например, полез­ ный сигнал на входе схемы выделения сигналов ошибок радиолока­ тора, предназначенного для измерения координат самолетов, опре­ деляется формулой

где со0—-частота сканирования. В данном случае

ср: (t) = sin сo0i, ср. (t) = cos со0t.

Требуемый выходной сигнал этой схемы представляет собой вели­ чину Uг в одном канале и U2 в другом канале, так как эти величины пропорциональны отклонениям луча локатора от самолета в двух ка­ налах. Поэтому в данном случае фх (t) — 1, ф2 U) = 0 для одного канала и фх (/) = 0, ф2 (t) = 1 для другого канала.

Задача определения оптимальной системы для заданного преобра­ зования полезного сигнала решается совершенно так же, как задача фильтрации. Оптимальная система и в этом случае преставляет собой параллельное соединение согласованных фильтров, соответствующих различным компонентам полезного входного сигнала, с подключен­ ными к их выходам усилителями. Однако коэффициенты усиления выходных сигналов согласованных фильтров в случае преобразова­ ния сигнала будут другими, так как в выражении ошибки системы вместо функций cpr (t) будут фигурировать функции фг (t). Вследствие этого уравнения для определения оптимальных значений коэффициен­ тов усиления выходных сигналов согласованных фильтров будут отличаться от соответствующих уравнений, рассмотренных в пре­ дыдущих двух параграфах, тем, что вместо функций cpr (t) в них будут функции фг (t) .Точно так же все формулы для ошибок системы будут отличаться от соответствующих формул преды­ дущих двух параграфов, тем, что вместо функций cpr (t) в них будут функции фг (t). Таким образом, для определения коэффи­ циентов усиления выходных сигналов согласованных фильтров и для нахождения ошибок оптимальной системы преобразования си­ гнала следует в формулах (10.12), (10.13), (10.16), (10.17) заменить

271

функцию ср (t) функцией ф (i), а в формулах (10.33), (10.35), (10.36), (10.37), (10.40), (10.41), (10.42) и (10.44) заменить функции tpr (t)

функциями фг (/).

Следует заметить, что фильтры Калмэна для преобразования полезного сигнала можно построить не для любого преобразования, а только для такого, которому соответствует алгебраическая линей­ ная связь между функциями <рг (/) и фг (t).

10.6. Оптимальные системы описываемые дифференциальными уравнениями

Оптимальные системы фильтрации сигнала известной формы и сигнала неизвестной формы, состоящего из нескольких компонент, а во многих случаях и оптимальная система преобразования сигнала описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для вывода дифференциальных уравнений оптимальной системы с бесконечной памятью в общем виде рассмотрим задачу воспроизве­ дения векторного сигнала S (t) с составляющими (/), . . ., 5„ (t), определяемого системой обыкновенных линейных дифференциаль­ ных уравнений

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общий инте­ грал системы уравнений (10.46) представляет собой линейную комби­ нацию п линейно независимых частных интегралов этой системы уравнений. Обозначим через ф1/( (Л (i = 1, . . ., я) частный интеграл системы уравнений (10.46), удовлетворяющий начальным условиям

ф(7г (*0) = 0 при i =j= k, Ф/г/г (^о) = 1- Частные интегралы такого вида, соответствующие k = 1, . . ., п, линейно независимы. Поэтому требуемый выходной сигнал со случайными начальными значениями

Предположим, что этот сигнал необходимо с наибольшей точно­ стью воспроизвести по результатам наблюдения векторного вход­ ного сигнала X (t) с составляющими

.272

где N x (/), . . ., N,n (t) — некоррелированные один с другим белые шумы, интенсивности которых соответственно равны Glt . . ., Gm. Положив для краткости

Рассматриваемая задача представляет собой задачу одновремен­ ного линейного алгебраического преобразования т сигналов в п сигналов в случае, когда функции ф,.А(t) связаны с функциями cppjfe (/) формулами (10.48). На основании изложенного в предыдущих пара­ графах оптимальная система для воспроизведения каждой состав­ ляющей требуемого выходного сигнала представляет собой парал­ лельное соединение согласованных фильтров с усилителями выход­ ных сигналов. Обозначим коэффициент усиления к-й компоненты /э-го входного сигнала в выражении i-й компоненты выходного

сигнала через Кр)}. Тогда i-я компонента выходного сигнала

/7 1 П t

Определив из (10.56) величины Х%] и подставив в предыдущие уравнения, получим

Обозначим через y~ элементы матрицы, обратной по отношению

к матрице вторых начальных моментов yrS случайного вектора U. Тогда, решив предыдущие уравнения относительно выражений в ква­ дратных скобках и выполнив элементарные преобразования, получим следующую систему уравнений:

(10.57)

(/"= !, . . . . п)

и(10.55) приводятся после преобразований к виду

Пп

Эта формула является очевидным обобщением формулы (10.44). Выведем дифференциальные уравнения оптимальной системы с бесконечной памятью. При этом, чтобы избежать громоздких

выкладок, представим все полученные формулы и уравнения в ма­ тричном виде. Вводя вектор-столбец S и матрицу А:

(10.59)

представляет собой фундаментальную матрицу решений уравнения

представим выражение (10.49) вектора-столбца входных сигналов системы I (/) в виде

матрицу фундаментальных решений 'F уравнения (10.59) соотноше­ нием

Вводя обозначение Г для матрицы вторых начальных моментов уРд составляющих случайного вектора U, перепишем уравнения (10.57), определяющие элементы матрицы М, в виде

где В {р) (р = 1, . . пг) — матрицы, определяемые формулой

/ М ’бй’ . . . ь\;> \

ь № ь $ ■ ■ ■W

276

с бесконечной памятью. Однако в таком виде это уравнение не показы­ вает, как можно реализовать оптимальную систему. Чтобы при­ вести это уравнение к виду, непосредственно дающему реализацию оптимальной системы, исключим из уравнения (10.67) неизвестные

Но из формулы (10.65) следует

т

ЕGJlB lp) + r“1=M~1'F,

Р= 1

а из соотношения (10.62) получаем

Подставив эти выражения в (10.68), будем иметь

mm- uf + мф^ с - о т = лч 1'.

Умножая это уравнение справа на матрицу Ч0-1 и учитывая формулу (10.64), приведем его к виду

Отсюда следует, что

277

Это уравнение непосредственно указывает путь реализации опти­ мальной системы. Сравнивая его с уравнением (10.59), видим, что оптимальная система получается из системы формирования полез­ ного сигнала (рис. 10.6) путем подачи на вход входного сигнала X (t) с коэффициентом усиления (матричным) IIC G 1 и замыкания отри­ цательной обратной связью с коэффициентом усиления (тоже матрич­ ным) HCTG C. Структурная схема оптимальной системы показана на рис. 10.7.

Чтобы получить дифференциальное уравнение для матрицы на­ чальных моментов второго порядка ошибки оптимальной системы Н, продифференцируем (10.64). Тогда, принимая во внимание формулы

(10.60) и (10.70), получим

Н = M'FT+ M'FT= (ЛМ — HCTG-'CM) Ч.Гт + МЧГМТ.

Отсюда, пользуясь формулой (10.64), получаем искомое уравнение

Это матричное уравнение Рнккатп определяет матрицу моментов второго порядка вектора ошибки оптимальной системы.

Уравнения (10.71) и (10.72) определяют оптимальный фильтр Калмэна для оценки векторного полезного сигнала 5 (t), задавае­ мого дифференциальным уравнением (10.59) в случае, когда вход­ ной сигнал системы представляет собой линейную функцию (10.61) этого полезного сигнала, аддитивно смешанную с векторным белым шумом N (t).

Выясним, какие преобразования можно осуществлять с помош.ью фильтров Калмэна. Очевидно, что если требуемый выходной сигнал Кт (t) не совпадает с полезным сигналом S (t), а есть результат не­ которого линейного преобразования S (t), то вместо функций я|)(А(t)

Рис. 10.7. Многомерный оптимальный фильтр

278

в формулу для ошибки системы войдут соответствующие преобразо­ ванные функции со,-/. (/). При этом из всех полученных формул изменятся только формулы (10.54), (10.55), (10.57) и (10.58), куда войдут функции со,./, вместо функций ф,./(. Соответственно в матричных формулах изменятся только формулы (10.64) и (10.65): в них вместо матрицы 'F будет матрица й. Дифференциальное уравнение (10.67) по-прежнему будет справедливо. Однако в общем случае оно не пре­ образуется к виду (10.71), хотя формально и можно получить опти­ мальную систему из системы формирования полезного сигнала путем ее замыкания отрицательной обратной связью и подачи на вход соот­ ветственным образом усиленного входного сигнала. Для этого доста­ точно представить уравнение (10.67) в виде

Однако выразить коэффициенты усиления в цепях обратной связи и входного сигнала оптимальной системы через матрицы коэффициен­ тов А и С и получить дифференциальное уравнение для матрицы начальных моментов второго порядка ошибки оптимальной системы в общем случае не удастся. И лишь в частном случае, когда требуе­ мый выходной сигнал Ут(/) связан линейной алгебраической зави­ симостью с полезным сигналом 5 (I), можно построить оптимальный фильтр Калмэна для оптимального воспроизведения сигнала Ут(t).

Предположим, что требуемый выходной сигнал VT (t) связан с полезным сигналом 51(0 формулой

от времени. В этом случае матрица 4я в формуле (10.64) и уравнениях (10.65) заменится матрицей й = Q^F и вместо формул (10.64) и (10.65) получим

Н = (А + QQ~~l) Н + Н (Лт + QT_1QT) — HClG^CjH. (10.81)

279

Заметим, что к алгебраическому преобразованию вида (10.74) приводятся и некоторые операции анализа. Однако определить ма­ трицу Q в этом случае можно сравнительно просто только для опти­ мальных систем, предназначенных для дифференцирования полез­ ного сигнала. Так, например, для дифференциатора первого порядка

Ут(t) = S (t) — ДЗ (t) и, следовательно, Q = А. Для дифферен­ циатора второго порядка

для дифференциаторов более высокого порядка.

Рассмотрим частный случай, когда матрица коэффициентов урав­ нения (10.59) А постоянная. В этом случае для дифференциатора

Сравнивая эту формулу с (10.74), видим, что для экстраполя­

тора

Q = еги.

Таким образом, если матрица коэффициентов уравнения форми­ рования полезного сигнала (10.59) постоянная, то с помощью филь­ тров Калмэна легко можно осуществлять оптимальную оценку и прогнозирование любых линейных комбинаций полезного сигнала и его производных. При этом уравнения (10.80) и (10.81) отличаются соответственно от уравнений (10.71) и (10.72) только тем, что вместо матрицы С в них входит матрица Сх = CQ-1.

10.7. Оптимальные системы при произвольной помехе

шумом, предварительно преобразовать входной сигнал так, чтобы помеха N (t) стала белым шумом. Это можно легко осущест­ вить, если известен формирующий фильтр для помехи и соответ­ ствующая обратная система. Пусть w (t, т) — весовая функция

280