книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Рис. 10.1. Оптимальная одно­

Согласованный фильтр представляет собой последовательное соеди­ нение усилителя, коэффициент усиления которого численно равен значению полезного сигнала ср (t), и интегратора. На рис. 10.1 показана структурная схема оптимальной системы.

Изложенный метод дает возможность определять оптимальные системы как с бесконечной памятью,.так и с конечной памятью Т. В последнем случае следует во всех формулах заменить нижний предел интегрирования 10 на 1— Т.

В некоторых практических задачах форма полезного сигнала не­

Определив таким путем функцию ср (t), можно рассмотренным выше способом найти оптимальную систему. Однако в таких случаях целесообразнее непосредственно найти дифференциальное уравне­ ние оптимальной системы с бесконечной памятью. С этой целью

Дифференцируя уравнение (10.19) по времени t и опуская для

Умножим это выражение на X и вычтем из него выражение (10.19), умноженное на X, в результате получим

261

Подставив это выражение в формулу (10.22), будем иметь

In к = !п ср — In (yub + G) -|- 1п ун-

Отсюда дифференцированием получаем

собой интегратор, охваченный обратной связью с усилителем, коэф­ фициент усиления которого равен а (t), при подаче на вход нулевого сигнала и установке случайного начального значения на интегра­ торе (рис. 10.2). Из сравнения уравнений (10.18) и (10.25) следует, что оптимальная система в данном случае отличается от системы фор­ мирования полезного сигнала только тем, что на ее вход вместо нуле­ вого сигнала подается сигнал г) (X — У), а на интеграторе устанав­ ливается нулевое начальное условие вместо случайного. Таким обра­ зом, оптимальная система в данном случае получается из системы формирования полезного сигнала путем включения предваритель­ ного усилителя с переменным коэффициентом усиления г) (t)/G, замыкания отрицательной обратной связью и подачи на вход вход­ ного сигнала системы X (t) (рис. 10.3). Этот результат впервые полу­ чен Калмэном для дискретных систем и Калмэном и Бьюси для не­ прерывных систем [81 1. Поэтому оптимальная система, описывае­ мая дифференциальными уравнениями, в случае, когда полезный сигнал также формируется системой, описываемой дифференциаль­ ными уравнениями, называется фильтром Калмэна.

Величину минимальной средней квадратической ошибки опти­ мальной системы 11 = 1]* в данном случае также можно получить

262

Рис. 10.3. Одномерный оптимальный фильтр

интегрированием дифференциального уравнения. Действительно, дифференцируя (10.23) и принимая во внимание формулу (10 8) для функции b и формулу (10.17) для минимальной средней квадрати­ ческой ошибки оптимальной системы, получаем

Отсюда вытекает следующее дифференциальное уравнение для минимального среднего квадрата ошибки т| оптимальной системы:

Отметим, что изложенным способом можно получить только оптимальную систему с бесконечной памятью, так как никакая система с конечной памятью не может быть описана дифференциаль­ ными уравнениями.

10.4. Фильтрация сигнала неизвестной формы

Полезный сигнал неизвестной формы можно приближенно пред­ ставить в виде полинома

известные функции времени t. Для простоты рассмотрим сначала

263

Рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, приходим к вы­ воду, что в данном случае следует пропустить входной сигнал через два параллельных согласованных фильтра, соответствующих двум составляющим полезного входного сигнала. Выходные сигналы этих двух согласованных фильтров выражаются формулами

На основании формул (10.29) первый согласованный фильтр не пропускает второй компоненты полезного сигнала, а пропускает лишь первую компоненту и шум, причем обеспечивает для первой компоненты максимум отношения сигнал/шум на выходе. Второй согласованный фильтр пропускает лишь вторую компоненту полез­ ного сигнала и шум, причем также дает на выходе максимальное отношение сигнал/шум.

Из формул (10.30) и (10.28) видно, что для воспроизведения полез­ ного сигнала без систематической ошибки при любых возможных значениях иг, и2 случайных величин Ult U2 достаточно умножить выходной сигнал первого согласованного фильтра на срх (/)/Ьц (/), а выходной сигнал второго согласованного фильтра на ср, (i)lb22 (t) и полученные результаты сложить. Тогда выходной сигнал системы

k ” ( ' ) = £ w z “ w + S t o z “ w -

согласованных фильтров Z lm (/), Z2ui (t) равны нулю, приходим к выводу, что в данном случае средний квадрат ошибки равен ди­ сперсии выходного шума Ym (/). Для нахождения дисперсии этого шума заметим, что дисперсии шумов на выходах согласованных

264

фильтров Z 1ш (t) п Z 2m (t) определяются формулами, аналогичными формуле (10.10):

t О

. Кроме того, заметим, что в данном случае выходные шумы согла­ сованных фильтров не коррелированы, так как в силу условия (10.29)

t

м [гш (Л z 2ui (/)] = G I cpx (т) ф2 (t) dx = 0. to

Вследствие этого дисперсия шума на выходе найденной оптималь­

Найденная таким путем оптимальная система, очевидно, обеспе­ чивает условный минимум средней квадратической ошибки при нуле­ вой систематической ошибке для любых возможных значений «1( ц2 случайных величин Ult U2.

Чтобы найти оптимальную систему, обеспечивающую абсолютный минимум средней квадратической ошибки, заменим коэффициенты усиления срх (t)/bly (t) и ф2 {t)/b22 (Л коэффициентами Я,! и К2 соот­ ветственно. Тогда выходной сигнал системы

Y (i) = K Z i (Л + K Z 2 (0 =

=A,lU1b11 (t) + %2U2b22 (Л +

+^1 Zlm (t) + ^ 2Z?UI (t).

Вычитая отсюда требуемый выходной сигнал

265

где Yu> Vi2<Y22— начальные моменты второго порядка случайных величин 11j, 1C:

Yp, = M [UpUq\.

(.Р. 9 = 1 . 2).

Дифференцируя выражение для т| по X( и X, н приравнивая произ­ водные нулю, получим следующие уравнения для определения неизвестных коэффициентов усиления А.х и X,:

—Ф* (01 + 2G6U (1) XL= 0,

=2yl2b,2 (i) [Xibll (t) — cpL(/)] + 2y,,b,, (I) [Х,Ь,, (0 — Ф-> (01 +-

+2Gb,, (I) X, = 0,

Определив из этих уравнений ^ и Х2 и подставив полученные выражения в формулу для среднего квадрата ошибки системы, получим следующее выражение для минимального среднего квадрата ошибки оптимальной системы:

Таким образом, оптимальная система в данном случае представ­ ляет собой параллельное соединение двух цепочек, каждая из кото­ рых состоит из согласованного фильтра и усилителя. Структурная схема оптимальной системы представлена на рис. 10.4.

Отбросим теперь условие (10.29) и введем обозначение

*0

Введем вместо функций ф3 (т) и ф2 (т) функции

®i (т) = Фг (т). “г (т) = с21сог (т) + ф2 (т).

Рис. 10,4. Оптимальная двумерная система

266

где Coj — не известный пока коэффициент. Тогда будем иметь

j W«2 (Х) dx =С21Ь11(0 +Ь12(О-

(о

Отсюда видно, что если принять

X (т) = (С/х — c21U2) ©j (т) + U2<вЕ(т) + N (т).

Вводя новые случайные величины

V1 = Ui — c21U2, V4 = U2,

получим

х (т) --= 1/j©! (т) + У,ш2 (т) + N (т).

Таким образом, общий случай сводится к только что рассмотрен­ ному, так как функции ©j (т) и со2 (т) удовлетворяют условию (10.29). Поэтому оптимальная система может быть найдена с помощью изло­ женного метода. В результате, обозначив коэффициенты усиления выходных сигналов согласованных фильтров (.ц и р 2, получим сле­ дующее выражение для выходного сигнала оптимальной системы:

Y (i) = Pi J ©i (т) X (t) dx -(- p2 1 ©2 (т) X (t) dr.

Заменив здесь функции ©j (т) и ©2 (т) их выражениями через функции ф] (т) и ф2 (т), получим

У (t) — (Pi + с21р2) | Фх (т) X (т) dx -f- р2 J ф2 (т) X (т) dx.

Отсюда видно, что оптимальная система в рассматриваемом слу­ чае имеет ту же структуру, что и в предыдущем случае. Иными сло­ вами, и в случае, когда условие (10.29) не выполняется, оптимальная

267

система состоит из параллельного соединения согласованных фильт­ ров с усилителями их выходных сигналов. Для непосредственного определения коэффициентов усиления выходных сигналов согласо­ ванных фильтров в этом случае запишем выражения выходных сигналов согласованных фильтров. Пользуясь обозначениями (10.31) и (10.38), находим

Выходной сигнал оптимальной системы выразится в данном слу­ чае формулой

Y (t) = X, Ш ф , г (i) + U2bl2 (01 +

+ х 2 [ и ф 12 (0 + и 2ь г2 (01 +

+(/) + X2Z 2m (t).

Вычитая отсюда выражение

Ут (t) = S (0 = U1ф, (t) + £/а«ра (0

для требуемого выходного сигнала, найдем ошибку системы:

Е (0 = Uг 1Хфг1 (t) + Хф 12 (0 — ф1 (t) ] +

-г U 2 [^ib12 (0 + Х2 Ь22 (0 — фа (0 1 +

+ XiZlin (f) + ^2^2ш (0-

Найдем средний квадрат ошибки. Для этого учтем, что шумы на выходах согласованных фильтров в данном случае коррелированы и их корреляционный момент определяется формулой

М [Zlm (t) Z2U1(01 = G Jt фх (т) cp2 (т) dx = Gblt (t). to

Принимая во внимание эту формулу и формулы (10.34) для ди­ сперсий шумов на выходах согласованных фильтров и опуская для краткости аргумент t, получаем средний квадрат ошибки на вы­ ходе системы:

г) = М [Е2 (t)] = у ц (Хф1г + Х2Ь12 Фх)2 +

268

Дифференцируя это выражение по Xj и Х2и приравнивая производ­ ные нулю, получаем следующие уравнения для определения опти­ мальных значений коэффициентов усиления /Д и Х2:

= 2упЬп { Х ^ + Х2Ь12— ср) + 2у22Ь12 (Хфи + Х2Ь22— ср2) +

причем знак равенства может иметь место только тогда, когда функ­

Определив из уравнений (10.41) коэффициенты усиления А и Х2 и подставив полученные результаты в выражение (10.40), получим

269

Рис. 10.5. Млогомернап оптимальная система

формулу (10.37) для минимального среднего квадрата ошибки оптимальной системы.

Совершенно так же доказывается, что и в общем случае фильтра­ ции полезного сигнала (10.27) при произвольном N оптимальная система представляет собой параллельное соединение согласованных фильтров, к выходам которых подключены усилители (рис. 10.5).

(P,Q— 1, . . . . Л/).

6rs — символ Кронекера. Минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы

Если функции срг (t) неизвестны, но известно линейное дифферен­ циальное уравнение (в данном случае уравнение N-го порядка), определяющее полезный сигнал 5 (/), то, как и в предыдущем пара­ графе, можно решить задачу нахождения дифференциального урав­ нения оптимальной системы с бесконечной памятью.

10.5.Оптимальное преобразование сигнала

Впредыдущих двух параграфах была рассмотрена задача филь­ трации полезного сигнала, когда требуемый выходной сигнал совпа­ дает с входным полезным сигналом: Ут (I) = 5 (/). Однако на прак­ тике часто приходится проектировать системы для различных пре-

270