книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Г л а в а 10 ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

10.1. Постановка задач теории оптимальных систем

В предыдущих главах были изложены методы исследования точности автоматических систем, имеющих заданные характеристики. Однако на практике часто приходится решать задачу проектирования си­ стемы, когда требуется определить характеристики системы таким образом, чтобы она имела наибольшую точность при данных усло­ виях. Систему, обеспечивающую наибольшую возможную точность с какой-нибудь определенной точки зрения среди всех систем задан­ ного класса, обычно называют оптимальной. Характеризующая качество системы величина, максимальное или минимальное значе­ ние которой достигается для оптимальной системы, называется кри­ терием оптимальности.

Оптимальную систему можно найти подбором с помощью мето­ дов, изложенных в предыдущих главах. Для этого надо рассчитать различные варианты системы одним из изложенных в предыдущих главах методов, сравнить их и выбрать вариант, для которого при­ нятый критерий имеет наибольшее или наименьшее, в зависимости от характера задачи, значение. Однако этот путь сложен и требует большего количества вычислений, которые часто бывают очень трудоемкими.

Задача непосредственного определения оптимальной системы имеет две постановки. В первой постановке задается структура си­ стемы и требуется найти оптимальные значения ее числовых пара­ метров, при которых ее точность будет наилучшей с точки зрения выбранного критерия. Эта постановка задачи характерна для син­ теза системы из заданных элементов с известными характеристиками. Так, например, проектируя систему управления для заданного объекта и располагая заданным ассортиментом элементов с изве­ стными характеристиками, из которых должна быть составлена си­ стема управления, конструктор может выбирать, но в определенных пределах, структуру системы управления и числовые значения па­ раметров некоторых элементов. При такой постановке задача опре­ деления оптимальной системы сводится к обычной задаче отыскания экстремума функции одной или нескольких переменных. Следует заметить, что, как правило, зависимость критерия качества от па­ раметров, которые можно варьировать, будет настолько сложной, что использовать аналитические методы нахождения экстремума не представляется возможным. В этих случаях пользуются численными

252

методами. Наибольшее распространение получили различные ва­ рианты так называемого метода наискорейшего спуска. Принципиаль­ ные основы этого метода будут рассмотрены в гл. 12.

При второй постановке задачи система считается полностью неизвестной и требуется определить ее характеристики (в общем случае оператор) так, чтобы она была оптимальной с точки зрения принятого критерия качества. Такая постановка задачи характерна для синтеза различных устройств систем управления, предназна­ ченных для обработки информации и выработки решения, в частности, измерительных устройств системы управления. Так, например, при проектировании радиолокатора, предназначенного для измерения координат самолетов, возникает задача определения по принятому отраженному от самолета сигналу отклонений оси луча локатора от самолета по двум направлениям. Эта задача сводится к определению с наибольшей возможной точностью некоторых параметров, от ко­ торых зависит принимаемый сигнал.

Следует отметить, что и при проектировании системы управления для заданного объекта с использованием заданного ассортимента элементов часто предпочитают сначала найти характеристики опти­ мальной системы, а затем уже приблизиться к ней с помощью си­ стемы заданной структуры. Практические приемы синтеза системы управления по найденной характеристике оптимальной замкнутой системы будут изложены в гл. 11 и 13. В результате решения задачи в такой постановке в простейших случаях определяют как структуру оптимальной системы, так и все ее параметры. Однако в сложных за­ дачах решение дает только характеристику оптимальной системы, например, весовую функцию линейной системы. Поэтому, как пра­ вило, определив характеристики оптимальной системы, конструк­ тор должен будет проектировать реальную систему так, чтобы ее характеристики были близки к характеристикам оптимальной си­ стемы. При этом необходимо учитывать не только точность, но и многие другие факторы, так как проектируемая система должна удовлетворять многим, подчас противоречивым требованиям.

Требование близости к оптимуму по точности является одним из важнейших, но далеко не единственным. Не менее важными являются требования надежности и простоты обслуживания системьь Поэтому проектирование любой системы обычно представляет собой ряд компромиссных решений, удовлетворяющих всем предъявляемым к системе требованиям. Поэтому определение структуры и параме­ тров системы, оптимальных с точки зрения какого-нибудь одного критерия, например критерия точности, обычно не дает исчерпываю­ щего решения. Кроме того, оптимальная система часто получается очень сложной, и при ее реализации невозможно удовлетворить мно­ гим другим требованиям. Поэтому гораздо важнее дать конструктору метод, с помощью которого в пределах достаточной близости к опти­ мальному решению с точки зрения точности можно разумным обра­ зом удовлетворить и всем остальным требованиям. Теория оптималь­ ных систем дает методы определения операторов оптимальных си­ стем и соответствующих экстремальных значений принятого критерия

253

качества. Иными словами, она позволяет находить потенциальные

•качества систем данного назначения для определенных условий ра­ боты. Сравнивая рассматриваемые при проектировании варианты системы с теоретической оптимальной системой, конструктор может судить о том, насколько эти варианты близки к оптимуму с точки зрения точности.

В большинстве практических задач возможны значительные отступления от оптимальных характеристик без существенного ухуд­ шения системы с точки зрения принятого критерия качества. Это характерное свойство задач теории оптимальных систем является весьма положительным фактором, так как позволяет конструктору после определения потенциальной точности проектируемой системы в широких пределах варьировать ее структуру и параметры без су­ щественного отклонения от оптимальной точности и тем самым удовлетворить многим другим требованиям, предъявляемым к проек­ тируемой системе, в частности требованиям простоты и надежности.

10.2. Статистические критерии оптимальности автоматических систем

Точность автоматической системы обычно характеризуется ма­ тематическим ожиданием и дисперсией ее ошибки. Математическое ожидание представляет собой систематическую ошибку системы в дан­ ных условиях, а дисперсия характеризует уровень случайных оши­ бок. При проектировании системы ее необходимо рассчитывать на различные условия работы, причем следует учитывать, что разные условия работы системы встречаются случайно и их вероятности могут быть различными. При этом систематическая ошибка сама становится случайной. Вследствие этого за критерий качества си­ стемы при ее проектировании обычно принимают второй начальный момент ошибки — математическое ожидание квадрата ошибки:

Положительный корень квадратный из этой величины обычно называют средней квадратической ошибкой системы. Таким образом,

оптимальной системой обычно считают такую систему, которая имеет минимальную среднюю квадратическую ошибку.

В некоторых случаях предпочитают минимизировать диспер­ сию случайной составляющий ошибки, порождаемой шумом, а систе­ матическую ошибку исключить. Такая постановка задачи соот­ ветствует условному минимуму средней квадратической ошибки системы при нулевой систематической ошибке для всех условий работы системы. Точность такой системы хуже, чем точность системы, обеспечивающей минимальную среднюю квадратическую ошибку, так как условный минимум никогда не может быть меньше абсолют­ ного. Таким образом, ликвидация систематической ошибки при всех возможных условиях работы системы обеспечивается увеличением средней квадратической .ошибки.

Критерий минимума средней квадратической ошибки является

254

простейшим с математической точки зрения и обычно приводит к наи­ более простым методам определения оптимальных систем. Однако далеко не во всех задачах он может служить мерой качества системы. Поэтому в теории оптимальных систем нельзя ограничиться методами нахождения оптимальных систем по критерию минимума средней квадратической ошибки.

В некоторых случаях, например при проектировании следящей системы, иногда приходится учитывать возможность срыва слежения, который заключается в том, что система перестает работать, если ее

ошибка превосходит по абсолютной величине некоторый уровень. При проектировании таких систем целесообразно принять за крите­ рий качества вероятность срыва слежения. При этом оптимальной считается такая система, которая обеспечивает минимум вероятности срыва слежения. Если срыв слежения происходит в случае, когда абсолютная величина ошибки превосходит уровень а, то критерий минимума вероятности ошибки слежения запишется в виде

Однако встречаются и такие задачи,1в которых ни критерий ми­ нимума средней квадратической ошибки, ни критерий минимума вероятности того, что ошибка выйдет из заданных пределов, не может служить достаточно обоснованным критерием качества работы си­ стемы. В таких случаях отклонение выходного сигнала системы от требуемого выходного сигнала оценивают иначе. В основе любых применяемых на практике критериев качества систем лежит следую­ щий общий принцип. Качество системы в каждом конкретном случае оценивается значением некоторой функции I (У, Ут) при соответ­ ствующих реализациях у (t) и yr (t) выходного сигнала системы У (t) и требуемого выходного сигнала YT (t). Эту функцию называют функцией потерь. Качество решения задачи в среднем для всех воз­ можных условий работы системы, т. е. для всех возможных реализаций выходного сигнала системы Y (t) и требуемого выходного сигнала

Эту величину называют средним риском. Установив таким обра­ зом меру качества системы, можно принять за критерий оптималь­ ности системы критерий минимума среднего риска, который в общем случае выражается формулой (10.3).

Легко видеть, что критерий минимума средней квадратической ошибки является частным случаем критерия минимума среднего риска, когда функция потерь представляет собой квадрат разности между выходным сигналом системы и требуемым выходным сигналом, т. е. квадрат ошибки системы

Покажем, что и критерий минимума вероятности выхода ошибки из заданных пределов можно представить как частный случай кри­ терия минимума среднего риска. Для этого выберем функцию по­

255

терь, равную единице в случае, когда «шибка системы по абсолют­ ной величине больше а, и нулю, когда ошибка системы по абсолют­ ной величине меньше а:

Легко видеть, что такая функция ошибки системы представляет собой случайную величину, принимающую значение 1, когда ошибка системы превосходит по абсолютной величине а, и значение 0, когда ошибка системы остается по абсолютной величине меньше а. Поэтому математическое ожидание такой функции потерь

М [I(Y, Гт)] = 1.Р (Е (0 > а) + 0.Р (Е (/) < а) = Р (Е (/) > а),

т. е. равно вероятности выхода ошибки за пределы интервала (—а, а). Из числа других возможных функций потерь укажем функцию

которая оказывается целесообразной в некоторых практических задачах. Параметр k определяется предельной допустимой ошибкой системы в каждом конкретном случае.

В задачах обнаружения и распознавания сигналов ошибка си­ стемы обычно не имеет количественной оценки, так как важен лишь факт наличия или отсутствия ошибки. При этом за критерий опти­ мальности обычно принимают минимум вероятности ошибки системы или условный минимум вероятности ошибки системы при некоторых дополнительных условиях. Критерию минимума вероятности ошибки системы соответствует функция потерь, равная единице при наличии ошибки и нулю при отсутствии ошибки.

Вопрос о выборе критерия оптимума, который, очевидно, сводится к выбору функций потерь, не всегда может быть практически решен на основе анализа назначения и условий работы проектируемой си­ стемы. Решение этого вопроса в значительной мере определяется пол­ нотой данных о вероятностных характеристиках входного и тре­ буемого выходного сигналов. Очевидно, что для определения опти­ мальной системы по критерию минимума среднего риска при про­ извольной функции потерь необходимо точно знать законы распре­ деления входного и требуемого выходного сигналов. Только для не­ которых частных видов функции потерь задача определения опти­ мальной системы может быть решена на основе неполного знания законов распределения входного и требуемого выходного сигналов. Так, например, для определения оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки достаточно знать математические ожидания входного и требуемого выходного сигналов, корреляционную функцию входного сигнала и взаимную корреляционную функцию входного и требуемого выходного сигна­ лов. С другой стороны, если известны только математические ожида­ ния и корреляционные функции входного и требуемого выходного сигналов и нет никаких других данных об их законе распределения, то нет никакого смысла искать оптимальную систему среди нелиней-

256

ных систем. Действительно, при данных математических ожиданиях и корреляционных функциях входной и требуемый выходной сигналы могут иметь самые разнообразные законы распределения и, в част­ ности, могут быть распределены нормально. При нормальном рас­ пределении входного и требуемого выходного сигналов, как будет показано далее, оптимальной системой среди всех возможных си­ стем при любой функции потерь, представляющей собой неубываю­ щую функцию абсолютной величины ошибки, является некоторая линейная система. А так как нормальный закон распределения можно считать наиболее вероятным, то оптимальная линейная система будет наиболее вероятной оптимальной системой в классе всех возможных систем. Вследствие этого приходится ограничиваться определением оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квад­ ратической ошибки. При нормальном законе распределения полез­ ного сигнала и помех эта система оказывается оптимальной и с точки зрения многих других критериев.

10.3.Фильтрация сигнала известной формы

вслучае, когда помеха — белый шум

Предположим, что требуется выделить из входного сигнала X (/) полезный сигнал 5 (I) известной формы, которая определяется не­ которой функцией ф (/), но неизвестной амплитуды при аддитивной помехе типа белого шума. В этом случае входной сигнал системы определяется формулой

где U •— неизвестная амплитуда полезного сигнала — случайная величина с начальным моментом второго порядка уи, а N (/) — по­ меха.

Для получения минимума средней квадратической ошибки необ­ ходимо преобразовать входной сигнал таким образом, чтобы полу­ чить максимальное отношение сигнал/шум. Очевидно, что для этого следует умножить входной сигнал на известную функцию полезного сигнала — функцию ф (t) и интегрировать полученное произведение. При этом полезная часть сигнала будет как бы накапливаться за счет интегрирования существенно положительной функции, и за счет этого отношение сигнал/шум будет увеличиваться.

Обозначим через /„ момент начала работы системы; t — текущий момент времени, в который рассматривается выходной сигнал си­ стемы; т — текущее время в интервале ((0, t). Тогда, умножив вход­ ной сигнал системы X (т) на функцию ф (т) и проинтегрировав в пре­ делах от /0 до t, получим

Докажем, что преобразование входного сигнала, определяемое формулой (10.9), обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум по сравнению с любой другой линейной системой при любом воз­ можном значении и случайной величины U. Если заменить вели­ чину U ее возможным значением и, то полезная часть сигнала

s (/) = ub (t).

Дисперсия шумовой части сигнала (10.9) на основании второй формулы (10.8) и известной формулы для дисперсии интеграла от белого шума определяется соотношением

на выходе фильтра, осуществляющего преобразование (10.9) вход­ ного сигнала X (/), обычно принимают равным отношению абсолют­ ной величины реализации полезной части сигнала (10.9) к среднему

Рассмотрим теперь фильтр, который выполняет те же операции, но умножает входной сигнал X (т) не на функцию ср (т), а на другую функцию ф (т). Полезная часть выходного сигнала такого фильтра и дисперсия шумовой части определяются формулами

i

Si (/) = и | ф (т) ср (т) dx, tо

t

Dm (t) = G j ф2(t) dx.

На основании известного неравенства Буияковского—Шварца

! 2 1 !

J 1|) (т) ср (т) dr ^ J ф2 (т) dr J ф2 (т) dr

Сравнив правую часть этого неравенства с выражением (10.11), видим, что у! ^ у. Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе любого линейного фильтра не может превзойти такое же отношение на выходе фильтра, осуществляющего преобразование (10.9). Фильтр, осуществляющий это преобразование, обычно называют согласо­ ванным фильтром. Согласованный фильтр преобразует выходной сигнал таким образом, что в результате на выходе получается наи­ большее возможное отношение сигнал/шум.

Сравнивая выражение (10.9) для выходного сигнала согласован­ ного фильтра с выражением (10.7) входного сигнала системы, видим, что для воспроизведения полезного сигнала 5 (/) = Uф (/) без си­ стематической ошибки следует умножить выходной сигнал согласо­ ванного фильтра на ф (t)lb (t). Иными словами, следует подключить к выходу согласованного фильтра усилитель с переменным коэффи­ циентом усиления ф (t)lb (/). Выходной сигнал на выходе такой системы

Ошибка системы

Е (D = Y (/) - Ут (/) = У (0 - UФ (/) = Щ Zm(0.

Имея в виду, что математическое ожидание белого шума, а сле­ довательно, и математическое ожидание случайной функции Zm (t) равно нулю, а также принимая во внимание формулу (10.10), опре­ делим средний квадрат ошибки найденной оптимальной системы:

Легко понять, что найденная система обеспечивает минимум ди­ сперсии ошибки при нулевой систематической ошибке, или, что

то же самое, условный минимум средней квадратической ошибки при нулевой систематической ошибке.

Если взять меньший коэффициент усиления выходного сигнала согласованного фильтра, то появится систематическая ошибка, а дисперсия шума на выходе уменьшится. Естественно ожидать, что при этом можно получить некоторое уменьшение суммарной средней квадратической ошибки. Это вполне согласуется с извест­ ным положением, что абсолютный минимум не может быть больше условного минимума. Обозначим неизвестный коэффициент усиле­ ния выходного сигнала согласованного фильтра к и найдем такое значение к, при котором средний квадрат ошибки системы имеет минимальное возможное значение. Ясно, что коэффициент к зависит от времени t. Однако, имея в виду, что момент t является фиксиро­ ванным, не будем указывать эту зависимость. Умножив выходной сигнал согласованного фильтра (10.9) на к, найдем выходной сигнал

Вычитая из этого выражения требуемый выходной сигнал YT (i) = = t/cp (/), найдем ошибку системы:

Е (0 = U [кЬ (/) — ср (/)] + kZm (I).

Отсюда, принимая во внимание формулу (10.10) для дисперсии ошибки шума на выходе согласованного фильтра, получаем следую­ щее выражение среднего квадрата ошибки системы:

-If- = 2у„ [kb (0 - ср (/)] Ь(0 + 2kGb (0 = 0.

Отсюда находим

ЧиЪ (/) 4- G

Подставив найденное выражение к в формулу (10.15), находим минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы:

где показана явно зависимость к от времени t. Сравнивая эту фор­ мулу с (10.13), видим, что найденная оптимальная система дает средний квадрат ошибки в

раз меньший, чем система, обеспечивающая минимум дисперсии ошибки при нулевой систематической ошибке.

Итак, оптимальная система для фильтрации сигнала известной формы в случае, когда помеха — белый шум, представляет собой

260