книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

70

Гл. I.

Локальная

теория

только

проверить, что /(g) = M & )

Для всех g £ GL (2, £)F ). Если

g 6 GL (2, £)f ), то Ф((0, t)g)

= 0, если

/ $ t / f . Таким образом,

/•(*) = Mdet*)

J Ф((0,

0 g ) u i ( 0 ^ ( 0 d t .

Ф((0,

0 ^) =

|АГ1

(О ИГ1 (det г) / ( (Q

f

)g

=

И Г 1

(0 М О И Г 1 (det £ ) / ( * ) ,

это приводит

к

требуемому

равенству.

А

Формулы

(3.1.2) — (3.1.4)

показывают,

что

коммутирует

с правыми сдвигами. Таким образом, для

доказательства

инъек-

тивности

отображения А требуется

проверить, что №Ф (е) = 0,

если

/ Ф ~ = 0.

Из предыдущей леммы

следует,

что функция

((а

0

Ч

(

о

1 . .

. , а

0

равна

нулю

для

почти всех

а,

если / Ф ~ = 0 . Так как ^ Ф П Q

J

является

локально

постоянной

функцией на F*, то

она

должна

тогда обращаться в нуль всюду.

Попутно мы доказали следующую лемму:

Л е м м а

3.2.3.

Предположим,

что

| (.ц (со) ьц1

(со) | = | со |*,

где

s > — 1 ,

и W^W(nu

fx2; Ч/).

Если

Т е о р е м а

3.3. Пусть

Lit и

f i 2 — два квазихарактера

группы

F*.

(I)

Если

ни

(XjLij-1, ни

\1^\^2

не

равны

aF,

то

представления

Р(Н-1> №г) и

р(ш> щ) эквивалентны

и

неприводимы.

(II)

Если

(ijUj- 1 = aF,

положим

Hi =

щ — %а?1/3-

Тогда

^ ( ( i j ,

LI2) содержит единственное

собственное инвариантное

подпро­

странство

3is

(p-i, р,2), которое

неприводимо.

Кроме

того, 3d (ц2 , р,г)

также

содержит

единственное

собственное

инвариантное

подпро­

странство 93f{\i2,

ju,x). Оно одномерно

и содержит

функцию

x(detg).

Более

того,

Gp-модули fBs(\ilt

щ)

"

SB(ii2,

щ У ^ Д д а , щ), а также

модули

ffi(nlt

MA®* 0-4. ц2 ) u

M соответственно

изоморфны.

Мы начнем с простой леммы.

Л е м м а

З.ЗЛ. Предположим, что существует

ненулевая

функция

^ ( ^ и ца ),

инвариантная

относительно

правых

сдвигов

на

эле­

менты

из

NF,

Тогда

существует

такой

квазихарактер

чщо

V-i^laFUt

и

^»~ХаУ*

и f

кратна

%.

§ 3.

Основные серии

для неархимедовых полей

11

/О

—1\

Так

как NFAF[^

О/ F

я

в л

я

е т с я открытым

подмножеством

в иР, то функция

/О

- 1 \

/ определяется

ее значением в L

^ ). Таким

образом, если

и

ц2

имеют

указанный

вид, /

должна быть

кратна %. Если

c£F*,

то

1

0\

/ с " 1

1\/0

— 1 V 1

с-

с

i j

vo

с Д 1

оуV0

1

Таким

образом,

если

f

существует

и со = (j,2(xfla.pl,

то

'

(

С

i )=

M (

c ) ' ( (

i

"~о

Так как / локально постоянна, существует

идеал

Ш в F, такой,

что

со постоянен

на

21—{0}.

Отсюда непосредственно

следует,

что со тождественно

равен

1 и

что щ

и |х2

имеют

указанный вид.

Следующая

лемма

является

ключевой

к теореме.

Л е м м а

3.3.2. Если

|

(со) | = | со \s,

где s >

— 1, то

сущест­

вует минимальное

ненулевое

инвариантное

подпространство

X

про­

странства

^([Xj, ц2).

Для

всех

Z1

€ ^

(м-i, щ) и

в

с е х

n€NF

разность

f—p(n)f

принадлежит

X.

По предложению 3.2 достаточно доказать лемму в случае,

когда

|ij)

заменено

на

W (ци ц2 ; *Р). Сопоставим

каждой

функции

WGW(\ilt

ц2; V)

функцию

((а

0

на

F*. Если

ср = 0,

то

и

W =0.

Мы

можем

рассматривать

я =*

= р(щ, f*2) как представление, действующее

на пространстве

V та­

ких

функций. Если

b£BF,

то

я (6) ср = |чг (Ь) ф.

Применяя

(3.2.2), мы видим, что носитель

каждой

функции ф £ У

содержится

в некотором

множестве вида

{a^F'\

\а\^с\,

где с — с(ц>) — некоторая

константа.

Как

и

в

§

2,

разность

Ф — я ( « ) ф = ф — |чг (п )ф содержится

в S'(F*)

для всех n£NF.

Таким

образом, V П У (F*) Ф Щ. Так как представление

| ^ труппы

BF на

& (F*) неприводимо, V и каждое

его нетривиальное

инвариантное

подпространство

содержит

Sf(F*).

Взяв

пересечение

всех

таких

72

Гл.

I.

Локальная

теория

пространств,

мы

получаем

подпространство,

о

котором

говорится

в

лемме.

Мы сначала докажем теорему, предполагая, что | Hi (со) иГ1

(со) | =*»

=

|(й|*,

где

s >

— 1. Выше

мы

определили

невырожденное

спари­

вание

пространств

.53 (Hi, |х2)

и

S3 (ИГ1. Иг"1)-

Все

элементы

ортого­

нального

дополнения

подпространства

X

инвариантны

относи­

тельно

NF.

Таким

образом,

если

И1ИГ1

ф

aF,

это ортогональное

дополнение

равно

0

и

X = S3 (ци

ц2)> т

а к

ч т о

рассматриваемое

представление

неприводимо.

Контраградиентное

представление

р (иГ1. ИГ1) также неприводимо.

Если

HiHr1 =

A F>

мы

положим

Hi= 5CAF/2>

Иа = Х а ? 1 / 2 -

В

этом

случае X является пространством функций, ортогональных к функ­

ции %~1^S3(\iT1,

ИГ1)- Положим

S3s(\i1, Иа) = *> и

пусть Э31

(иГ1 . ИГ1)

обозначает пространство скалярных кратных функции

х - 1 -

Пред­

ставление

группы

GF

на

33s

(\ilt

Иа)

неприводимо. Так

как

кораз­

мерность

подпространства

33s(\i1,

Иа) равна 1, то оно является един­

ства

^ ( И к Иг)- Поэтому

^ / ( и Г 1 . Иг"1)

является

единственным

собственным

инвариантным

подпространством

пространства

33 (ИГ1. ИГ1)-

Если

| Hi («>) ИГ1

(®)

I = I

ю |*>

т 0

1иГ 1 ( С 0 )Иг( { д )|='| ( й 1~''

и

либо

s >

— 1,

либо

— s >

— 1, Таким

образом,

если

и^Иа н е равен ни

aF,

ни

а^1,

представление

я

=

р (Ил, иа)

неприводимо.

Если

C0 =

HiHa>

то

я ( ( о

! ) ) = = с о ( а ) / -

так

что

я

эквивалентно

представлению с о ® я

или

со®р(иг1 . ИГ1)-

Легко

видеть,

что

со@р (иг1.

ИГ1)

эквивалентно

представлению

р(соиГ1. «ИГ1 ) =

Р (Иа. Hi)-

Если

И г И Г ^ 0 ' / '

и

я

является

ограничением

р

на ^

(Ии Иг),

то

я

будет

представлением,

задаваемым

р(иГ\ ИГ1)

на

^ ( И Г 1 . ИГО/^ДиГ1 . ИГ1)-

Таким

образом,

я эквивалентно

тензор­

на S3

(и2. Hi)A% (На. Hi)- Если

[i1 = xAFI

и

Иг = Х а ? 1 / 2 . т 0 представ­

ления

на

S3 (Hi, Иг)/-®* (Hi. Иг) и н а

33f (иа. Hi) эквивалентны пред­

ставлению

g —• %(detg).

Пространство W (и1 ( Иа'> ^0

было определено для всех пар Hi.Ha-

П р е д л о ж е н и е 3.4. (I)

Для

всех

пар

Hi. На

(II)

В частности, если

Фар1, т о представление группы

GF на

W (Иц Иа! ^0 эквивалентно

представлению р(Ии Иг)-

§

3.

Основные

серии для неархимедовых полей

73

Для функции

Ф

на F* определим Ф1 , полагая

Ф1

{х, у) = Ф{у, х).

щ (det

g) I det g I 1 ' 2 в

(14,

j i , ;

r (g) Ф1 ) =

-

2 , pjrig)

= Li2 (detg)|detg|i/2

в(р.

Ф).

Если

g равно единице,

это

соотношение

следует из

определения

в (fAj, LI2; Ф1 ) после

замены

переменных.

Легко

также

видеть,

что

В этом случае оно сводится к

соотношению

щ (а)

5 Ф1 (о*. f 1 )Hi(Ol* . " 1 (Od*t =

|ii(a) 1 Ф И .

(ОИ-Г1 (0 d*t.

Левая

часть равна

М а ^ Ф С - 1 .

а ' )

f*i О ИГ1 (0 d't.

Если

ц^н,1

не равен ни аР,

ни

а р 1 , так что

представление

р(р,1 , (i2 )

неприводимо, обозначим

через

я (р.х, р,2) любое

представ­

ление из

класса

р (р.1, р,2 ). Если p(nlt

р2 )

приводимо,

оно

имеет две

номерна. Обозначим через n([ilt

u.2) представитель

из

класса

пер­

вой

составляющей

и

через о (\ily

LI2) представитель из класса вто­

рой составляющей. Любое неприводимое представление,

не являю­

щееся абсолютно каспидальным,

эквивалентно некоторому я (ци

ц2)

или

некоторому

а (р^, p,2). Представления a ([ilt ц2 ),

определенные

только для некоторых

значений

Lit и ц,2, называются

специальными.

v

' 1 — со( со)

1 со р

Она не зависит от выбора

образующей

со идеала

Если со раз-

§ 3.

OcHQQHtfie серии

для неархимедовых

полей

75

Равенство W (я,

¥ ) = W ((хг, |л2; Ч?) является,

конечно,

следст­

вием предыдущего

предложения.

Как мы отмечали,

рассматривае­

мые утверждения достаточно проверить только

для

g — e.

Возьмем

Ф € & ( Р ) , и пусть W = W&—соответствующий

элемент из W (я,

Тогда функция

» < « > - » ( ( ! !

0 )

принадлежит

пространству модели

Кириллова

представления я.

Как мы видели в конце § 1, функция

Ч?(е,

s, W)^w(fa

^ ) ) | а Г 1 / 2 й * а =

ф ( а Г 1 / 2 )

равна

Zdi&p,

n2 as F ,

Ф),

ЧГ(е, s, W)=Z(^aF,

^1ар,

Ф).

Любая функция из <£Р (F2) является линейной

комбинацией функций

вида

Z(n1 a|., \i2asF,

<X>) = Z(\ilaF,

фг ) Z (\i2asF, фа ),

так

что интеграл сходится в указанной области. Кроме того,

Z(n^aF,

ц^ар,

<$)) = Z(\k-laF,

Ф1) Z (ц-Г1(*Ь

Ф2)

также

сходится,

если Res

достаточно

велико.

Далее,

Ф(е,

s,

W)

равна

Zj^ap,

щ)г{^ар,

фа)

L(s,

fij)

L(s,

ц2 )

и голоморфна во всей комплексной плоскости. Мы можем

выбрать

Ф! и ф2 так, чтобы оба множителя были

равны

1.

Из

разложения

Ивасавы

GF= PFGL(2,

£)F)

следует,

что

если

[i1

и ц2 оба не

разветвлены, то

существует

ненулевая

функция из

&(щ> h:)> которая инвариантна относительно

GL (2,

£>F), и

что

такая

функция

единственна

с точностью до скалярного

множителя.

Если

наибольший

идеал,

на

котором

¥

тривиален, равен £>F,

если

Ф0

обозначает

характеристическую

функцию подмножества

£>F и

76

Гл.

I. Локальная теории

если

Фо—ее

частичное

преобразование Фурье, введенное в

пред­

ложении

1.6,

то Ф0 ~ = Ф 0

.

Следовательно,

о

для

всех

g £ G L ( 2 , £>f ).

Если №0 = № Ф о , то, поскольку Ф 0

равна

произведению характеристической функции множества £ ) Р на себя,

имеем Ф (е, s, W0) = 1 при

условии, что

S d*a =l.

Единственное,

что осталось

доказать,

это

локальное функцио­

нальное уравнение. Заметим,

что

Ф~{и>, s,

Г )

=

ф-(е,

s,

p{w)W),

что

р (ш) W = Wr

(W) Ф , если

W =

№ Ф ,

и что Л ( & У ) Ф ( Х ,

у) = Ф'(у,

х),

где

Ф ' — преобразование Фурье

функции

Ф .

Таким

образом,

если

Ф (х, у) равно произведению

фх

(х) ф2

(у),

то

Ф(йУ, S,

ff7)^_Z(^i"locb

Фа) ^

Функциональное

уравнение

немедленно следует

из полученных

вы­

ражений.

Если м^Цг-1 равно аР

или

а^г1 и

я = я([х1 ,

LI2 ),

МЫ снова

по­

ложим

Так

как

я

эквивалентно я (fir\

^Г1 ). т

о

L(s, 3t) = L(s,

ц г 1 ) ^ ,

Щ"1).

Тогда снова применима теорема 2.18. Остается, однако, еще

доказать

ее для

специальных

представлений. Любое специальное

представление а имеет вид а(р-1 , р-2),

где

щ = Ха У2 и

Ш =

ЗСа р1 / 2 -

Контраградиентное

представление

а

равно

а (ц^1 ,

fj,-1 ).

В

следую­

щем

предложении

подразумевается,

что

сделан

именно

этот

выбор

И-1 и f i 2 .

П р е д л о ж е н и е

3.6.

Пространство

W (a,

W) является

про­

странством

функций

W = №Ф

из

W (цх,

|

i 2 ; Y),

для

которых

§Ф{х,

0) dx =

0.

Утверждения

теоремы

2.18

будут

выполняться,

если

мы

поло­

жим

L(s,

a) = L(s,

а ) = 1

и

e(s,

о,

*F) = e(s,

ц и

¥ ) e ( s ,

ц„

б

78

Гл.

/ . Локальная

теорий

(III) Для

всех Ф,

удовлетворяющих

условию

J

Ф (х, 0) <*х = 0,

отношение

Z(Hi«V, И»«ЬФ )

L (s, а)

голоморфно,

и

существует

Ф, для

которой это отношение

равно 1.

Первое и второе

утверждения

следствия — это

немногим более,

чем вопрос определений. Хотя пространство W

ц2 ; ¥ )

не явля­

ется неприводимым, мы можем, однако, для всех W из этого про­

странства определить

интегралы

W(g,

s, W) = ^W[^Q

j ) g ) | a | < - ' / 2 d * a ,

*(g,

s,W)

= ^ w((^

° )

Д а | ' - ' / 2 а > - Ч а ) с 1 * а .

W(e,

s,

W) = Z(\i1asF,

\itaP, Ф),

W(e,

s,

W)=Z(liT1aF,

р?аР, Ф).