книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

202

Гл. П. Глобальная теория

Ж = {(&,.sSVv\

® №,ts%v}

=

Ж3хЖ3

и

® {ftvts&v)

Ж' = {®*«3Ж'„}

=

Ж'зХЖ'з.

GA^IJlGv\xiUGv\

=

GsxQs

Од = Ш G'0\xJJlG'v\

=

G'sxGs.

\veS j \v$S

)

Мы будем интерпретировать Ж3

и Ж'я как алгебры мер на G3 и Gs,

и тогда

изоморфизмом между

ними будет изоморфизм, ассоцииро­

ванный с 8.

элементы алгебр Ж и Ж' как

Мы можем также интерпретировать

меры на бд и бд. Например, любой

элемент

алгебры Ж есть ли­

нейная

комбинация

элементов

вида f = ®vfv.

Пусть Т — некоторое

конечное множество

точек; допустим,

что fv = ev для v^T.

Если Т'

содержит Т, то на группе

мы можем ввести произведение

мер /„. Поскольку бд есть

объеди­

потент \ х вида

£i = ®„£„, где \ v — некоторый элементарный

идемпо­

тент алгебры

Жу и \ v — &v для почти всех у, такой, что

=

204

Гл. II.

Глобальная

теория

где L(\v)

— кольцо линейных

преобразований пространства V ( | 0 ) =

= nv

( | j Vv. Для

того чтобы доказать неприводимость it, мы должны

лишь

показать,

что для каждого элементарного идемпотента вида

I = ®vtn

представление

алгебры \Ж\,

на V (|) = я (|) V неприводимо.

Допустим, что l v

= ev,

если

v (£7\ Тогда

meTL£v)\®{®viTnv(ev)}.

Это образ (при действии я) кольца

которое содержится в

\Ж\.

Говорят, что допустимое представление,, эквивалентное пред­

ставлению,

построенному

посредством

тензорных

произведений,

разложимо.

П р е д л о ж е н и е

9.1.

Каждое

неприводимое

допустимое

пред­

ставление

алгебры

Ж

разложимо.

Множители

единственны

с точ­

ностью до

эквивалентности.

Допустим, что

я — такое

представление.

Пусть

/—множество

элементарных

идемпотентов

вида

£ = ®£„1

для

которых я(£)

не

есть

0. Множество

/,

конечно,

непусто.

Пусть

V (|) =

я (g) V,

где

V—пространство,

на

котором

действует

я.

Если £ и

| ' — элемен­

тарные идемпотенты,

то

будем

писать

если

=

Тогда

Ц'

будет

также

равно | .

Если

£ = ® ^

и

t'

= ®l'v,

то

тогда и только

тогда,

когда

lvl'v =

| ^ =

|„

для

всех

и. Если

£ <1 £'

и | принадлежит /, то и

£'

принадлежит

/ . Далее,

является

подалгеброй

алгебры

Пусть

£)— соответствующее вло­

жение, и

пусть

L (£) и L(£') — пространства

линейных преобразова­

ний пространств V (%) и К(£')- Имеется в точности одно отобра­

жение

Ф ( & \

£): L(&) — L ( g ' ) ,

которое делает

диаграмму

1Ж\

—Л

1'жг'

\

\

у \

коммутативной.

L&)

— - ^ L ( I ' )

§

9. Глобальная алгебра

Гекке

205

Существует отображение алгебры \V&C£,V

в £$f£,

которое

пере­

водит fv в fvx{xw^vtw}-

Комбинируя это отображение

с щ, мы

полу­

чим

отображение

я |

алгебры

\VS^V%,

на

некоторую

подалгебру

Lv(l)

алгебры

L(§). Далее,

L (|)

и

имеют

одну

и ту

же

еди­

ницу, а именно я^(|). Если

v=^=w, то

элементы

алгебры

L„(g)

коммутируют

с элементами

алгебры

£ ю ( £ ) .

Если

мы

образуем

тен­

зорное

произведение алгебр

L v

(£)

относительно

семейства

единиц,

то существует

отображение из &)VLV

(|)

в

L (£), которое

переводит

®vK

В

I L V

Кроме того, мы можем отождествить &)£J?C£,V

и Ь&С\.

Поскольку

диаграмма

Ш

Л

,

•

1Ш

®vli

>,

\ ,

L(E)

коммутативна,

нижняя стрелка означает сюръективное

отображение.

Л е м м а

9.1.1.

Алгебры

L„(£)

являются

простыми,

и

отображе­

ние (£)VLV

(g) —* L (|) есть

изоморфизм.

Для доказательства

простоты

алгебры

L„(£)

нам

нужно

лишь

показать,

что

точный

L v

(£)-модуль К (£)

натянут

на

некоторое

семейство

эквивалентных неприводимых подмодулей. Пусть Л1 — лю­

бой неприводимый подмодуль. Тогда семейство {ТМ},

где

Т

про­

бегает

образ алгебры 1 „ ® {(gWoL^, (I)}, порождает V (£)

и

каждый

элемент ТАГ либо есть 0, либо он эквивалентен М,

ибо

Т

комму­

тирует с

элементами алгебры L„(£). Далее,

1„ есть единица

алгебры

Мы должны лишь показать, что ®VLV

(%)—>• L (%). Поскольку

®vLv(l)

является

индуктивным

пределом

алгебр (^)veTLv(l),

где

Т — некоторое

конечное множество,

мы должны

лишь показать, что

являются

тензорными

произведениями простых

алгебр, они просты

и отображение на них действительно инъективно.

Если

£ ^ £ ' , то имеется

коммутативная

диаграмма

I

1

I

1

1(6) i ^ L f f i ' )

Кроме того, если

ц,(|',

5) — вложение

алгебры

в

то

1) = ®р1„(|',

I ) . Мы

хотим проверить, что в середину диа­

граммы

без нарушения

коммутативности можно

вставить

горизон­

тальную

стрелку

® 0 ф „ ( | ' ,

£). Для этого мы должны лишь показать,

что если

Д, принадлежит

и,

таким

образом, принадлежит

lo^t&x

т 0

я 1(/о) =

0 в т

о м и

только в том случае, когда яЦ* (/„)=-= 0.

206

Гл.

II.

Глобальная

теория

Пусть

U = n\(fv),

и пусть

T =

nl>(fv).

Если £ = J%(g;®

{®w=^viw}),

то Г £ = % ( Ш { ® » * » ^ 1 )

определяется его

ограничением

на

V (|)

и это

ограничение есть

U.

Ясно, что если 5—достаточно большое конечное множество, то

отображение

®w

6 s L w

(£') —+• L (£')

является

изоморфизмом.

Допу­

стим, что S содержит у. Элемент £ принадлежит образу М алгебры

lv®{®a>¥=vLw(i-')}.

Поскольку

М

проста

и

Е

не есть

0,

то

в М

имеются

Ah

В[,

такие,

что

Таким

образом,

Т =

^TAtEB;

=

^A,TEBt

и Т = 0

в том

и

только

в

том

случае,

когда

(7 = 0.

Поскольку

выполняются

необходимые

условия

совместимости,

мы можем взять индуктивные пределы по /

слева

и справа.

Индук­

тивный

предел

алгебр

\Ж\

есть Ж,

и

индуктивный

предел

алгебр

Iv^v&v

е

с т ь

Пусть

L v

и

L — индуктивные

пределы

соответст­

венно

алгебр

Lv(l)

и

L(£).

Имеется

отображение

nv:

Жу—+Ь„,

и я " (е„) = р,„ не

нуль

для

почти

всех

у. Мы

имеем

коммутативную

диаграмму

®Ж„

•

Ж

®LV

•

L

того,

L действует

на V точно

и представление

алгебры Ж

на V

может

быть факторизовано через L .

Если

А — некоторая алгебра

с минимальным

левым

идеалом

/ ,

то любое

точное

неприводимое

представление

алгебры

А на

неко­

тором векторном пространстве X эквивалентно

представлению

на

/ .

ние / —>• jxg

идеала J

в X дает

эквивалентность. Таким

образом, для

доказательства разложимости

я

достаточно показать,

что

L

имеет

минимальный

левый

идеал, что

представление алгебры

L

на

этом

представлений av

алгебр

L v и

что

стр о п°

допустимо.

Предположим,

что А — некоторая

простая алгебра

и

J — левый

идеал в А. Если элемент а из Л не равен 0 и aJ = 0, то AaAJ

= AJ = 0.

Если /

не есть 0, то это невозможно. Предположим,

что

е—неко­

торый

идемпотент

алгебры А и А1

= еАе. Пусть

Jt

— минимальный

левый

идеал Аг,

и

пусть

/ = Л / 1 .

Если

бы идеал

J

не был мини­

мальным, то он собственно содержал бы некоторый

ненулевой

идеал

J'.

Пересечение

J'V\A1

тогда

должно

совпадать

с

нулем.

Поскольку

Je = J,

мы

должны

иметь

eJ = eJe =

0.

Мы

пришли

§

9.

Глобальная алгебра

Гекке

207

к противоречию, и, следовательно, J минимален. Предположим,

например,

что А является

объединением семейства {Ах\

матричных

алгебр. Предположим,

что

для

каждого

X

существует

некоторый

идемпотент

ех в А,

такой,

что

Ах = ехАех,

и

что

для

заданных Xt

и Х2 существует Х3 с условием,

что Ах>

содержит

AXi

и

Ах%.

Тогда

алгебра А действительно является простой и

в силу

предыдущего

рассуждения содержит минимальный левый идеал.

Алгебры L и L v

удовлетворяют этим условиям.

В

самом

деле,

допуская некоторую вольность

речи, можно сказать, что L является

объединением алгебр L (£)

и L v

является объединением алгебр L v (£).

Выберем g так, что V(t)^0,

и пусть Jv—некоторый

минимальный

левый идеал в Lv(£).

Из

одномерности

L v (£)

для почти

всех v сле­

дует, что идеал JV = LV(Q

для почти всех v. Таким образом, J =

®JV

существует и является минимальным левым идеалом алгебры

Таким образом, LJ = (X)LVJV.

Далее, LJ

является минимальным левым

идеалом алгебры L и LVJV

является

минимальным левым идеалом

алгебры L v . Представление

алгебры L

на

LJ

является,

очевидно,

тензорным

произведением

представлений

av

алгебр L v

на

LVJV.

Таким образом, я эквивалентно тензорному произведению пред­

ставлений

Лу^вуол'0.

Представления

я„

неприводимы. Поскольку,

дение предложения

доказанным.

алгебры Ж на

У и v — не­

Если

я—допустимое

представление

которая

точка, можно

также ввести

представление

алгебры

Ж„

на V, которое мы все еще обозначаем

через я . Если и принадле­

жит V,

то мы выберем

Е = ® а £ а , так,

чтобы я ( £ ) и = и. Тогда,

если

/ принадлежит Жу,

положим

доказательство которой

очень просто.

Л е м м а 9.1.2. Пусть

л = (х)1!1л<ш.

Тогда

представление

я

алгебры

Ж„ является прямой суммой представлений,

эквивалентных

л„.

Пусть Sa—множество

архимедовых

точек.

Можно

также ассо­

циировать с допустимым представлением я

алгебры Ж на V неко­

торое представление группы Gsa на

V

(Gsa—группа,

образованная

элементами из бд, компоненты которых

в

каждой

архимедовой

точке равны 1). Если v

архимедова,

то

с

я можно

ассоциировать

некоторое представление U^, универсальной обертывающей алгебры

алгебры Ли группы Gv,

на V. Наконец, я определяет некоторое пред­

ставление группы ZA скалярных матриц в GL (2, А). Если я неприво­

димо, то существует квазихарактер

г\

группы

иделей

/,

такой, что

группы /. Имеют

место

все

ожидаемые формальные

соотношения.

В частности, я эквивалентно

т | _ 1

® я , если

я неприводимо.

С соответствующими изменениями предыдущее обсуждение при­

меняется к

алгебре Ж'. Следующее предложение, которое под­

водит

нас еще

ближе

к

теории

автоморфных

форм,

применяется

исключительно

к

Ж.

П р е д л о ж е н и е

9.2. Пусть

n = (g)nv—некоторое

неприводимое

допустимое

представление

алгебры

Ж. Допустим,

что nv бесконечно­

мерно

для

всех v.

Пусть

¥—некоторый

нетривиальный

характер

группы

A/F.

Тогда

имеется

в точности

одно

пространство

W (я, ¥ )

непрерывных

функций

на бд со следующими

свойствами:

(I)

если

W

принадлежит

W (я, ¥ ) , то для всех g в бд

и всех х

в А

г ( ( о

t)s)^(x)W(gy,

(II)

W (я, ¥ )

инвариантно

относительно

операторов

p(f), f g

Ж,

и преобразуется

согласно представлению

я

алгебры

Ж;

в

частности,

оно неприводимо

относительно

действия

алгебры

Ж;

(III) если F—некоторое

числовое поле

и v—некоторая

архимедова

точка,

то для каждого W в W (я, ¥ )

существует

вещественное

N,

такое,

что

Ч ( о

> ) ) = " 0 ( | ' - | " )

при а —>- оо в F*v.

В последнем

утверждении

F* рассматривается

как

подгруппа

группы /. Подгруппа Fv является подгруппой кольца

А,

и огра­

ничение ¥ „ характера

¥

на Fv

нетривиально. Таким образом, для

каждой точки v определено пространство

W (nv,

¥ J

и мы можем

допустить, что nv действует на нем. Кроме

того,

для почти всех v

наибольший идеал поля Fv, на котором

Чг„ тривиален, есть £>v

и nv

содержит тривиальное

представление

группы Kv-

Таким

образом,

в силу

предложения

3.5

существует

единственная функция

ф° в

W ( я в ,

¥„), такая, что ф° [gvkv)

= <р« (gv) для всех kvBKvn

Ф? (с) = 1.

Тогда

ф£ (kv) = 1 для всех

kv в /(„. Представление

я

действует

на

§ 9. Г/шЗальная алгебра Гекке

209

Если g £ ( M

и

® ф 0 принадлежит этому пространству, то q>v(gv)=l

для почти

всех

v, так что мы можем определить некоторую функ­

® № ( я „ ,

в некоторое

пространство

функций

W (л, Y)

на G4.

Конечно, W (я, ¥ ) обладает требуемыми

свойствами.

Мы

должны

показать, что оно характеризуется этими свойствами.

Предположим, что Ш—другое пространство, обладающее этими

свойствами.

Существует

изоформизм

Т

между

пространствами

® W (nv,

и ЯЛ, который коммутирует

с действием

алгебры Ж.

что

если ф =

® Ф г , ,

то

v

Пусть S—конечное

множество

точек, и

пусть

Ws

= ®viSW(nv,

ЧУ,

Ws

=

®v(SW(nv,

Тогда

Покажем

сначала, что

если

S задано, то существует функция с5

на

CsxWs,

такая,

что если

/ = Т ( { ® 0 « 5 ф в } ® ф ) ,

где

ф € ^ 5 .

т о

f(gh)

= cs(h<

ф)Пф«,(£г).

когда g £ Gs

и Л € Gs .

Допустим, что 5 состоит из единственной точки v. Если ф при­

надлежит Ws

и h принадлежит 6S , сопоставим каждой функции Ф „

в W (nv,

функцию

Ф£(&) = /(ЙЛ)

на Gv. Функция / равна

Т (ф„ ® ф). По

построению,

если заменить

Ф„ на р(/в )ф„ с fv£9Cv,

то функция

ф£ заменится

на p(f„)q>;.

Кроме того,

если л; £ Fv,

то