Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

60 Гл. I. Локальная теория

При	замене я на		я '	квазихарактер	со заменяется на со- 1 , v0		на v^1 ,
2 0 на	ZQ1 и С(\,		t)	на C(vv3"1, z^t).	Таким образом,
<Ф,	я(да)Ф '> =		£	v ( - l ) C „ ^ ( v v ^ ) 2 5 - S ; ( v - 4 ) ^ ( v - 1 ) .			(2.19.3)
		п,	р,	v
Заменяя		в (2.19.3)		v на vv„ и сравнивая с (2.19.2), мы получаем
первую		часть леммы.
В силу симметрии достаточно проверить вторую часть леммы
только для случая,				когда я ( д а ) ф € У 0 . По первой		части имеем
		<Я(ЬУ ) ф ,	я ' ( й У ) ф ' > = ^ 0 (— 1 ) < Я 2 ( ш ) ф , ф'> =			<ф, ф'>.

Из леммы сразу следует равенство Р (я (да) Ф, я'(да) ф') = р (ф, ф'),

и потому для доказательства инвариантности (3 требуется только проверить, что

Р ( я ( р ) Ф , л ' ( р ) Ф ' ) = р(Ф, Ф')

для	всех	треугольных матриц			р. Это ясно, если q>(tV0 или		ф ' б ^ о -
Остается		только произвести проверку для ф £ я (да) V0 и ф' g я ' (к;) Уд.
Если		ф € ^ 0	. ф ' € ^ о и	Р — диагональная матрица, то
Р (я (р) я (да)			ф, я ' (р) я ' (да) ф') = р (я (да) я (pj			ф, я ' (да) я ' [рг) ф'),
где	матрица p1=w~1pw			снова	диагональная.	Правая часть	равна
	Р ( я ( р х ) ф , я ' ( р 1 ) ф ' ) =				р ( ф , ф') = р(я(да)ф, я'(да)ф').
Нам	требуется		показать,	что

Р ( я	( ( о 0 ) ф * n ' ( G		0 ) ф	' ) = р ( ф ' ф , )	(
для всех x£F и	всех ф и ф'. Пусть	ф,-,	l ^ t ' ^ r , порождают		V
по модулю V0 , и пусть Ф}, 1		порождают		V по модулю	V0.
Существует такой	идеал Ш. в F, что

л ' ( ( о

1 ) ) ф } = ф }

-•:

для всех / и /, если х £ 91 . Тогда

р (я (G т))ф"я' (С 0 ) ф 0 = р

ф/)-

Так как соотношение (2.19-4) справедливо, если

и ф € ^ 0 и л и

§ 2.

Представления

группы

GL(2 ,

F) в неархимедовом случае

ф ' € ^ о . о

н о

справедливо

для

всех

и ф' при условии,

что

х£%.

Любое у

из

может

быть

записано

в виде

ах,

где a£F*

и х £91.

Тогда

у\

0N/1

л Л / а " 1

О'

1 /=

1У

\о

1 у \о

откуда сразу

же следует, что

Ч я ( ( о

0 ) ф *

я ' ( С 0 ) ф

, ) = р

(

' ф , ) -

Так как (3 инвариантна и не равна тождественно нулю, она невырожденна. Остальные утверждения теоремы будут теперь дока зываться для абсолютно каспидальных представлений. Другие пред ставления будут рассматриваться в следующем параграфе. Отметим, что, поскольку W (я, Ч?) инвариантно относительно правых сдвигов, требуемые утверждения необходимо проверить лишь в случае, когда g является единичной матрицей е.

Если	я—абсолютно		каспидальное	представление, то	V = V0
= of (F*),	a W	•'а 0^			компакт
		^JJ = (p(a) локально постоянна и имеет
ный носитель.		Поэтому	интегралы,	определяющие W (е, s, W) и

ЧГ(е, s, W), абсолютно сходятся для всех значений s и обе функции являются целыми. Мы можем положить L(s, я) = 1. Если в качестве ф

взять характеристическую функцию множества UF, то Ф (е, s, W) = l. Вспоминая рассуждения, предшествовавшие следствию 2.19, мы видим, что локальное функциональное уравнение части (IV) будет

удовлетворяться, если мы возьмем


	e(s, я,		¥ ) =	C ( V o 1 , zjrV^V)-
Остается	только показать,		что	е (s,	я, ¥ ) является экспоненциаль
ной функцией или		(это не менее сильно) что для всех				v ряд С (v, i)
является кратным некоторой степени t. Функция C(v, t)							является
конечной	линейной	комбинацией			степеней t, и если	она	не имеет

указанного вида, то обращается в нуль в некоторой точке, отличной от 0. Функция. С (vv^1 , г^Ч'1) также является линейной комбина цией степеней t и поэтому не может иметь полюса, отличного от нуля.

Чтобы показать,		что С (v,. t)	имеет требуемый	вид, требуется только
проверить	равенство
_		C(v, t)C(v~^\	Z5-1 /-I ) = v a ( - 1 ) .		(2.19.5)
Выберем	ф £ У 0	и положим	ф' = я(ш)ф. Мы	можем	предполагать,

что Ф'(v, t)=f=§: Искомое тождество получается комбинированием двух соотношений

62	Гл.	I. Локальная теория
и	v 0 ( - l ) 9 ( v " 4 - \	/) =	C ( v - 4 - \ t)y'(v,	г ^ - О -

Мы	закончим этот параграф		несколькими результатами относи

тельно абсолютно каспидальных представлений, которые понадо бятся нам позднее.

П р е д л о ж е н и е		2.20. Пусть я—абсолютно каспидальное						пред
ставление группы GF.		Если	квазихарактер			со,	определяемый соотно
шением
		Я ( ( о	а ) ) =		й ( а ) 7 ,
является	фактически	характером,		то	л	унитарно.
Как	обычно, мы	возьмем	я	и я	в форме		Кириллова. Нам	тре

буется установить существование положительно определенной инва

риантной	эрмитовой формы	на V. Покажем		сначала, что если ф б К
и Ф 6 У,	т о существует компактное		множество Q в GF,		такое,	что
носитель	<я(#)ф, ф>, как	функции	от g,	содержится	в Z^,	где


Если	Л^—группа диагональных				матриц,	то	GF	—	GL(2,DF)x
X AFGL(2,		DF). Так как		ф и ф инвариантны		относительно некото
рой	подгруппы конечного индекса				группы GL (2,		£)F),	то достаточно
показать,		что носитель	функции		<я (Ь) ф, ф>	на	AF	содержится в
некотором		множестве	ZFU	с компактным Q.		Поскольку

^ф, ф ) = со (а) <я (Ь) ф, Ф>,

то достаточно доказать, что функция

имеет компактный		носитель		в	F*. Этот	матричный элемент равен
			^ Ф (ах)		ф (—х)	d*x.
			F*
Так как ф и	ф имеют компактные носители, то результат очевиден.
Выберем	ф0 Ф 0	в	У и	положим
(<Pi.<P»)=			S <я	(Я) Фх. Ф о > < я iS) 9i. Фо> dg.
			Zf\gp

Это положительная инвариантная эрмитова форма на V.

§ 2.

Представления

группы GL(2,

в неархимедовом

случае

Между

прочим,

мы показали,

что я

квадратично

интегрируемо.

Заметим,

что если

даже

абсолютно

каспидальное

представление

не

является

унитарным,

можно

выбрать

такой

квазихарактер

что

х ® л

унитарно.

Если представление я унитарно, существует сопряженно линей

ное отображение A:V—*•]/,

определяемое соотношением

(«Pi» Ф«) =

<4>1. Л Ф 2 > .

Ясно, что Л|чг (b) =

(Ь) А

для всех Ь£ВР.

Отображение А0,

опре

деляемое

соотношением

Л 0 ф (a) = q>(— а),

обладает

теми же свойствами. Мы утверждаем, что

Л =

Х Л 0 ,

где Я ^ С * . Чтобы

убедиться в этом, достаточно применить следую

щую лемму к А^1

А.

Л е м м а

2.21.1.

Пусть

Т—линейный

оператор

на

SP{F*),

комму

тирующий

с bv{b)

для всех b£BF.

Тогда

Т—скаляр.

Так как |чг неприводимо, то достаточно

будет

показать,

что Т

имеет собственный

вектор. Пусть

— наибольший идеал, на кото

ром Y тривиален. Пусть

ц — нетривиальный характер группы U Р,

и пусть 93" — его кондуктор. Оператор

Г коммутирует с оператором

s- J / - « " K ( - ) ( i : r ) ) ^

иобласть значений ограничения S на функции, инвариантные отно

сительно UF, инвариантна относительно Т. Если ф—такая функ ция, то

5ф(а) = ф(а) J n-*(e) Т(ае©-'-я )<1в.

Эта гауссова сумма равна нулю, если a^UF. Поэтому 5ф равна произведению ф(1) на функцию, которая равна нулю вне UF и равна р на UF. Так как Т переводит в себя некоторое одномерное подпространство, Т имеет собственный вектор.

Поскольку А = КА0, эрмитова форма ( ф 1 ( ф2 ) равна

А, $ Ф1 (а)ф,(а)(1*а.

П р е д л о ж е н и е	2.21.2. Пусть	я—абсолютно	каспидальное п ред-
ставление группы 0Р,	для которого	квазихарактер	со, определяемый

64					Гл. 1. Локальная		теория
условием
					- ( ( ^ ) ) - » м л
является	характером.
(I) Если		я	задано	в	форме	Кириллова,		то эрмитова форма
					S <Pi(a)9a(fl)d*a
инвариантна.					F*
инвариантна.
(II)	.ЕЪш		\| г \| = 1 ,	то J С (v, 2)) = 1,			и	если R e s = l / 2 ,	то
					\|e(s,	я,
Так	как	\| г 0 \| = 1 ,		второе		соотношение		из части (II)	следует из
первого	соотношения			и	равенства
			e(s,		я, Y ) =	C(v^\	q-uz?).
Если n£Z		н v — характер группы UF,					то	положим

Ф («*>")== в». » v ( e ) v 0 (в) для m g Z и e^UF. Тогда

J |<p(a)|*d*a=l.

Если ф' = я(ау)ф и C ( v , / ) = C,(v)/', то

Ф ' (e©») = 6 , _ B , e C t ( v ) z0 -"v"4e). Так как 1z01 = 1, то

]

| Ф '

(а)1> d*a =

|C,(v) |».

Применяя

первую

часть

леммы,

мы

видим,

что

если

| г | =

то

|C,(v)|a

|С(v,

г) |2 =

IСг (v) ]2 1z |2 г

равны

П р е д л о ж е н и е

2.22.

Пусть

я — неприводимое

представление

группы

GF. Оно является

абсолютно

каспидальным

в том

только

в том

случае,

если

для каждого

вектора v существует

идеал Ш. в

такой,

что

(

) Ь = о -

Ясно,

что

этому

условию не

могут

удовлетворять

конечномер

ные представления.

Предположим,

что

я бесконечномерно и задано

в форме Кириллова.

Если

ф ^ У ,

то

KG i))*dx= °

§ 3. Основные серии для неархимедовых полей

в том и только в том случае, если

Ф(а) ^(ax)dx^0

для всех а. Если это так, то характер х—•Ч' (ах) должен быть нетри виален на Щ. для всех а из носителя функции ф. Это может слу читься в том и только в том случае, если ф € ^ (Р*). Предложение доказано.

П р е д л о ж е н и е

2.23.

Пусть

л—абсолютно

каспидальное

пред

ставление,

пусть

наибольший

идеал,

на

котором

тривиален,

равен ОF.

Тогда Cn(v)

= 0

для всех характеров

v, если /г

—

I .

Возьмем

произвольный

характер

выберем

так,

чтобы

Cnt(v)¥=0-

Тогда

C„(v) = 0

для

пфп^

Если

v = v _ 1 v j r 1

то, как

мы

уже видели,

С (у,

t)C(y,

r i ^ l )

v 0 ( - l ) ,

так

что

C„(v) = 0

для

ПфП^

Спх

(v)C„,(v) = v 0 ( - l ) 4 v

Применяя

вторую часть

предложения 2.11 для

п*=р

= п1-{-1,

полу

чаем

= 4 l + 1 v „ ( - l ) + ( | « | - l ) - 1 2 0 C , 1 ( v ) C „ t ( v ) .

Правая часть

равна

| со 1 — 1

Предположим,

что

пх

^ — 1 .

Тогда

r\(o~1v,

(o" i + I ) = 0, если

a-^v,

и r\(a~1y,

co"i+ 1 ) = 0,

если

афу.

Таким образом, левая часть

равна

нулю, если

Уфу.

Однако

если

v = v, левая часть равна

C2 „1 +

a (v).

Так

как это выражение не может равняться нулю, то

2п1-{-2

должно

быть равно

пи

откуда пх — —2. Мы получили

противоречие.

§ 3. Основные серии для неархимедовых полей

Чтобы завершить исследование, проведенное в предыдущем па раграфе, требуется рассмотреть представления, которые не являются абсолютно каспидальными. Сейчас мы займемся этим вопросом. Напомним, что если [iv ц2 — пара квазихарактеров группы F*, то пространство S3 (га) состоит из всех локально постоянных

3 № 435

66 Гл. I. Локальная теория

функций /

на

GF, которые

удовлетворяют соотношению

1/2

(3.1)

а,

fig)

для всех g£GF,

a1,a2^,F*

и x£F.

Символом р(fxx, JI2)

обозначено

представление

GF на

S3 (д^, |х2 ).

GF = PFGL

силу

разложения

Ивасавы

(2, £)F ),

функции

из

S3([ilt

LI2)

определяются

их ограничениями

на

GL(2, DF).

Таким

ограничением

может быть любая локально постоянная функция /

на GL(2, DF),

удовлетворяющая

соотношению

/( ( о а 2 ) g ^ =

И г ( f l a )

^ ( g )

для

всех g € GL (2, DF),

alt

а% € Uг

и х g £5f .

Если

(7—любая

откры

тая

подгруппа

группы

GL (2, DF),

то

ограничение любой функции,

инвариантной относительно V, является функцией на множестве

GL(2, DF)/U,

которое

конечно. Таким

образом,

пространство

всех

таких функций конечномерно, и, как отмечалось выше, представле

ние p((ii> \|л2) допустимо.							непрерывных функций / на GF,
Обозначим через ¥			пространство				непрерывных функций / на GF,
которые	удовлетворяют			соотношению
				О	а.			f(g)
				О	а.
для всех g(tGF,		a^a^^F*			и	x£F.		Отметим, что	¥ содержит
ЗВ(ауг,	а.-11*)-	Группа GF			действует на ¥ . При подходящей норми
ровке мера Хаара на			GF	удовлетворяет				соотношению
	j f(g)	dg =	И		i			I (na k) dn da	dk,
	j f(g)	dg =	И		i
где			Np	Ар	G L (2,	Op)
где						ay	0
						ay	0
						0	a,
Отсюда	сразу же следует,				что

) /(*)dk

G L (2, £>р)

является Gp-инвариантной линейной формой на ¥ . Существует также такая положительная константа с, что

1 Л ? . Г / ( л в ( - 1 i ) ^ ) d n d a d n i -

NpApNp

§ 3. Основные серии для неархимедовых полей

Следовательно,

Если фх g 3d(fij,	}i2 ) и (f2 €S(fxr1 ,		Иа"1 ). т о Ф1Ф2 € $F, и мы положим
	<<Pi. Ф2 > =	5	Фх (k) Ф2 (*) dk
Ясно, что	O L (2, Dp)
Ясно, что
	<Р( « ) Ф 1 .	Р ( £ ) Ф 2 > = <Ф1, Ф2 >,
а потому эта	билинейная	форма	инвариантна. Так как фх и ф2

определяются их ограничениями на GL(2, £)F), она также невырожденна. Таким образом, р(м-Гх> НГ1) эквивалентно представлению, контраградиентному p ( i i l f p-J.

В предложении 1.6 мы ввели представление г группы GF и затем представление / ' « = ' > , ц,- Оба эти представления действуют на

Sf(F2). Если

Ф~(а, Й ) = $ Ф ( « , у) W (by) dy

			F
— частичное		преобразование	Фурье, то
		[r(g)W)~=p(g)(t>~				(3.1.1)
		0 4 , ^ ) = Mdetg)\|detg\|'/V(g).				(3.1.2)
Мы также ввели интеграл
		® Оч, и2 ; Ф) = S ^ (0 иг 1			(0 Ф (*,	t-1) dt
и положили
		(г) = 9 ( ^ , 1 1 , ;		rilun,(g)0).		(3.1.3)
Пространство		функций № ф	обозначается		через № (щ, (х2; ¥ ) .
Если	со — квазихарактер		группы	F* и если		\| со (to) \| = j со \s , где
s > 0, то	интеграл

г (со, ф ) = J ф (0, 0 со (0 d»t

определен для всех Ф$<5С '(Р). В частности, если | p.t (со) ц^1 (со) | == = | со I s , где s > — 1, мы можем рассмотреть функцию

/ Ф (£) = Hi (detur) I detg I1 /2 г ( а Г ц х цг1,	P (g) Ф )
на GF. Напомним, что aF(a) — \a\. Очевидно,
P(h)f*4v.	(3.1.4)

Гл.

Локальная

теория

где

Y = (*1 (detA)|det А|»/*р(А)Ф.

Мы

утверждаем, что

/ Ф

£ 53 (щ, ц2).

Так

как

стабилизатор

каж

дой

относительно

представления g—* i-ix (det g) | det g | 1

/ 2 р (g)

яв

ляется

открытой

подгруппой

в GF,

то функции / ф

локально постоян

ны.

Поскольку

пространство

функций / ф инвариантно относительно

правых

сдвигов,

нам

необходимо

проверить

(3.1)

только

для g = e.

Имеем

/Ф

((J *У)

= 2

LI^

a F ,

* j j ф)

и-i (ах аа )

|Й 1 а 2

I1 /».

По

определению

правая

часть

равна

ц.х ( а А ) | а 1 а 2

\v> J щ

(/)

p.,-1

(*) I * | Ф (0,

a,*)

d*t.

Заменяя переменные,

получаем

ш (fli) иг te) |g|I/2 J ( 0

м-г1 (0111Ф (0, о d«t.

Интеграл равен / Ф ( е ) . Отсюда следует наше утверждение.

П р е д л о ж е н и е

3.2.

Предположим,

что

\ ц1

(со) ц^1 (со) | = | со \s ,

где s > — 1.

Тогда

(I) существует линейное

отображение А пространства

W (|д.х, \i2\ х¥)

в 53 ((At, \и2),

которое

для всех O^SPiF*)

переводит

№ф

/Ф-;

(II)

биективно

коммутирует с правыми сдвигами.

Для

доказательства

первой

части предложения мы должны пока-

зать, что

/ ф ~ = 0 , если

W® = 0.

Так как

Л^Лр^

^J AfF

является

плотным

подмножеством в

GF,

то это вытекает из следующей леммы.

Л е м м а

3.2.1. Если условия предложения

выполнены,

то

для всех

Ф б ^ ^ 2 )

функция

((а

(Г

интегрируема

относительно

аддитивной

меры

Хаара

на

0\\

/70

—1\/1

И Ч (О0

1l j))l*r> °

1 (fl)|fl|-1 / , T(aA:)da = ^

. j .

QJ\Q J

По

определению

f*- ( ( i

J)(J i))=S ф ~ с <*) i*i (о к 1 (о md*t,

§ 3. Основные серии для неархимедовых	полей	69
тогда как
Г ф ( ( о i ) ) f 4 , ~ ' { а ) 1а 1 - 1 / 2 = ^ { а ) ^ { а ) ^ Ф И '	^ { t ) ^ { t )	d 4 '
		(3.2.2)

После замены переменных правая часть переходит в

$<D(f, а Г ^ М О и Г Ч О d *t.

Проводя

формальные вычисления, видим,

что интеграл

\ W *

( ( о

j ) ) М-^1 («) I а I - 1 /

2 ^ (^) da

равен интегралу

$ Y (ах) |

$ Ф (*,

а Г 1

) ^

(/) Ц71 (0 d*t J. da

= S Их (О ИГ1 (О IJ Ф (/, а Г 1 ) ¥ (ax) dal d't,

I f

который

в свою

очередь

равен

J ^ (/) щ"1

(*) | /1 j $ Ф (*, a) Y (ах/) da J. d't =

= $ Ф-(/,

xOMOnrMOMdn.

Наше вычисление будет

корректным

и лемма

будет доказана, если

мы покажем, что интеграл

$ J | Ф ( / ,

а Г 1 ) д,(0 ЦГ 1 (01 d't da

F* F

сходится. Он равен

J | Ф (/, a||/p + 1 d*tda,

F» F

а этот интеграл

конечен, так как s > — 1.

А мы пока

Для

доказательства

сюръективности

отображения

жем, что каждая

функция

/ £ 53 (цг,

и.2)

имеет

вид / Ф для некото

рой 0^^f(F2).

Для

данной

функции

положим Ф(х,у)

— 0, если

(х, у) не может

быть представлена

в виде

(0, l)g

ни для какого

g € G L ( 2 , £)F ), и положим Ф(х, у) =• j i f 1 (detg)

f (g), если

(x, у) имеет

указанный

вид. Легко видеть, что Ф корректно определена и при

надлежит

<SP(F2). Для

доказательства

равенства

/ = / Ф требуется

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 387 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб20Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб8Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб10Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб8Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб26Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf