Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

60	Гл. I. Локальная теория

если существует нетривиальная линейная форма L на V, удовлет воряющая соотношению (2.15.1).

Л е м м а 2.15.2. Если L—линейная		форма	на	if (F*), удовлетво
ряющая	соотношению (2.15.1) для	всех x£F	и	всех y£if(F*),	то
L равна	нулю.

Мы предполагаем, что L обращается в нуль на всех функциях вида

так что достаточно показать, что if (F*) натягивается на эти функ ции. Если ф принадлежит if (F*), мы можем положить <р(0) = 0 и рассматривать Ф как элемент из <У (F). Пусть ср' — его преобразо вание Фурье, так что

		<р(*) = $<р'		(—b)V(bx)db.
		F
Обозначим через Q открытое и компактное подмножество в F*, со
держащее	носитель функции		ср, и		пусть		— некоторый			идеал,
содержащий Q. Существует идеал					Ш в F, такой,			что	ф' (—b) W (Ьх),
рассматриваемая		как функция		от	Ь,	постоянна		на	классах	смеж
ности по Ш для		всех x€ty~n.	Пусть			S3 — идеал,		содержащий			Щ и
носитель функции ф'. Если 5			обозначает множество						представителей
из классов	смежности 39 по			мера		Ш. равна	с и ф0 является				ха
рактеристической функцией множества Q, то
		Ф(х)=		УКЧ(Ьх)ч>о(х),
где Яь = сф'(—Ь). Таким образом,

Поскольку ф (0) = 0, имеем

так что

что и требовалось доказать.

Таким образом, любая линейная форма на V, удовлетворяющая условию (2.15.1), обращается в нуль на if (F*). Обратно, любая линейная форма на V, обращающаяся в нуль на if (F*), удовлет-

§ 2.

Представления

группы GL(2, F)

в неархимедовом

случае

воряет

условию

(2.15.1),

так как

вектор

Ч ( о

1 ) ) ф

~ ф

содержится

(F*),

если

ф € V.

Таким

образом,

мы

доказали

П р е д л о ж е н и е

2.16.

Для любого бесконечномерного

неприводи

мого представления л

следующие

два условия

эквивалентны:

(I)

не содержится

в SB;

(II)

модель

Кириллова

представления

л реализуется

на

прост

ранстве

(F*).

Представления, удовлетворяющие этим двум условиям, будут

называться

абсолютно

каспидальными1).

Л е м м а

2.16.1. Пусть

я—бесконечномерное

неприводимое

пред

ставление,

реализованное

в форме

Кириллова

на

пространстве V.

Тогда

= <&' (F*) имеет

конечную

коразмерность

Мы напомним, что V = V0-\-n(w)V0. Пусть V± обозначает прост ранство всех функций ф ^ У 0 с носителем в UF. Элемент из n(w)V0 всегда может быть записан в виде линейной комбинации функций вида

Q Л М И Ф

с ф € Vi и р 6 Z. через ф д такую е £ UP. Тогда

Для каждого	характера (л группы	UР	обозначим
функцию из	Vlt что ф й (е) = \i (е) v0	(г)	для всех

Фи К /) = 6(vnv0 )

л(оу)фд(у, /) = 6(vp,-1 )C(v, t).

Пусть г]д = л(а>)фд. Пространство V натягивается на V0 и функции

	" ( С о l	) K
Примем	пока на веру следующие	две	леммы:
Л е м м а	2.16.2. Для любого характера		\i группы. UF существуют
целое число	п0 и семейство констант	kt,	l ^ i ^ . p , такие, что

для п > п0.

и В оригинале absolutely cuspidal.— Прим. перев.

52		Гл. I. Локальная теория
Л е м м а 2.16.3.		Существует	конечное		множество		S	характеров
группы UF, такое,		что для v(£S числа		С„ (v) равны			О для		всех п,
кроме конечного	их	числа.
Если (я (£S,	функция •% содержится			в Va.		Возьмем \i		из S	и обо
значим через	пространство,		натянутое		на	функции

*(("о ?))*

и функции ф из У0 , удовлетворяющие соотношению ф (де)=ф(а){г- : 1 (е) для всех а 6 f* и всех e£UF. Достаточно показать, что простран ство Уц/УцП^о конечномерно.

Если ф £ Уц, то ф (v, /) = 0 для чфц., и мы можем отождествить ф с последовательностью {ф„(^)Ь Элементам из V\i,nV0 соответствуют

при

этом

последовательности,

имеющие лишь конечное число

нену

левых членов. Используя предложение 2.10,

мы видим, что все

эти

последовательности

удовлетворяют

рекуррентному соотношению

Ф В ( Ц ) =

^Ф»-/(1*)

i = i

для

n~^nv

Число

« г

зависит

от ф.

следствием

следующей элемен

Лемма

2.16.1 является

поэтому

тарной

леммы,

доказательство

которой

мы отложим

до § 8.

Л е м м а 2.16.4.

Пусть

Я,,-,

l ^ i ^ / ? ,

суть р

комплексных

чисел.

Пусть

обозначает

пространство

всех

последовательностей

{ап},

я £ Z,

для

которых

существуют

два целых

числа пх и nit

такие,

что

а„ =

han-i

i <

для

и ап

— 0 для

п^.пг.

Пусть

А0

обозначает

пространство

всех

последовательностей

с конечным

числом

ненулевых

членов.

Тогда

пространство

А/А0

конечномерно.

Докажем теперь

лемму 2.16.2. По предложению 2.11

выражение

2т ] ( с г - Ч

«»)т1(а - Ч

&>)С

(о)

равно

zgv0

< - !)«» . Р + (I« I -

) "

1 ^

(v) Ср.^г

( v ) -

— во

—

^rCn+r(v)C

+r{v).

Напомним, что Щ~1 является

наибольшим

идеалом,

на

котором Т

тривиален. Предположим сначала, что v = v.

§ 2. Представления группы GL(2, Р) в неархимедовом случае

Возьмем р =— / и я > — I . Тогда б (я—р) — 0 и
			Т] (0- 1 V,		СО") Г) (o - 1 v, со', )=0,
если	аф\.	Отсюда
Cn.t	(v) = (\|« I - 1 ) - 1 ^ . ! . ,				(v) С _ 2 г _ г ( V ) -
								— со
							—	2 г„гСп+г (v)C _ , + r (v),
							r = - 2 - /
что доказывает требуемое соотношение, так как									почти	все коэф
фициенты		C_i+r(v)	в этой	сумме		равны нулю.
Если		v=^=v,	возьмем	р^—/		и	я > р.	Тогда	т] (a - 1 v,	со") = 0,
если	a=^v, и T](a_ 1 v, ыр) — 0, если						a # v .	Таким	образом,

-2 ^ C „ + f ( v ) C , + , ( v > 0 . (2.16.5)

r=-2-l Г

Заведомо существует по крайней мере одно /, для которого С(

(v) Ф 0.

Возьмем

р—1—l^i.

Тогда

из (2.16.5)

мы выводим

соотношение

вида

cn+r{v)=

Kcn+r-i(v),

1 = 1

где г—фиксированное

целое число и п—любое

целое, большее чем р.

Лемма

2.16.3

является

следствием

следующей

более

точной

леммы. Если $рт

— кондуктор

характера

р, мы будем называть т

порядком

характера

р.

Л е м м а 2.16.6. Пусть

порядок

характера

v0 равен

т0, и пусть

тх—целое

число,

большее

чем т0. Запишем

произвольным

образом

в виде v0

= v^'Vj"1 ,

где порядки

характеров

и v2 строго

меньше

чем тх.

Если порядок т характера

р достаточно велик, то

С 2 т - и (Р) - v - p ( - 1 )

и С (р) = 0, если рф—2т — 21.

Предположим, что порядок р не меньше чем тх. Тогда порядок характера pvx v0 = pvj1 все еще равен т. Применяя предложение 2.11, мы видим, что сумма

2 г] ( a - Ч , и я + я + 1 ) П (а-»р, ^+-+') С , + а + , я + и (а)

равна

Гл.

I. Локальная

теория

для

всех

целых пир.

Выберем п

так,

что ( ^ ( v J ^ O .

Предполо

жим

также,

что

m + n + ^ > — I

или

что

т >

— 21 — п.

Тогда

^ ( а - ^ ,

co"+ m + ') = 0,

если

офу1,

так что

T j ^ p ,

а ' + " + ' ) С , + » + , а + „ К ) =

т) (v2 p~\ й - » - ' )

z?+ ' v l P v 0

( - 1 ) С я К ) С р

(р).

Так как порядок характера vf'p

все еще равен т , левая часть

равна

нулю,

если

рФ

— 2т — 21.

Единственный

член

правой

части, который может обратиться в нуль,

это Ср(р).

другой

стороны,

если р = —2т — 21,

мы

можем вычеркнуть члены C„(v i)

из обеих частей и получить требуемое соотношение.

Если

не

считать

доказательства

леммы

2.16.4, доказательство

леммы

2.16.1

закончено. Обсудим

теперь ее следствия. Пусть coj и

со2 —два квазихарактера группы

F*; обозначим

через

53 (tol t

со2)

пространство

всех

функций

ср на

GF,

которые

удовлетворяют

сле

дующим

условиям:

(I) Для всех g£GF,

a2dF*

и x£F

имеет

место

соотношение

ffa1

х\

) = <o1(a1)(ui(a2)

а,

1/2

Ф ^ 0

)ё

q>(g).

(II) Существует открытая подгруппа U группы

GL (2,

DF),

такая,

что ф(£«) = ф(£) для

всех ы £ £ / .

Так

как

GF— NFAFGL

(2,

DF),

где

обозначает

группу

диагональных

матриц,

элементы

из

^(coj, со2) определяются

их ограничениями

на

GL (2,

£>F ), и вто

рое

условие

эквивалентно тому, что ф локально

постоянна. Таким

образом, 33 (<»!, со2) инвариантно относительно правых сдвигов на эле

менты из GF,

так

что мы имеем

представление р (сс^, со2)

группы

GF на ^ ( с о 1 (

со2). Это представление допустимо.

П р е д л о ж е н и е

2.17.

Если

я—бесконечномерное

неприводимое

представление

группы

GF,

которое не является абсолютно

каспидаль-

ным,

то при

некотором

выборе

\i1

и ц2

оно содержится

в р(ц.1 ( (д,2).

Мы возьмем

представление

в форме

Кириллова.

Так как У0

инвариантно относительно группы РР,

представление

определяет

некоторое представление а группы Рр

на конечномерном

простран

стве

V/V0.

Ясно,

что представление

а тривиально

на

и что

ядро

а открыто.

Контраградиентное

представление

имеет

те же

свойства. Так как группа PF/NF

абелева,

существует

ненулевая

линейная

форма

на V/V0,

такая, что

ах

О aj)1

§	2.	Представления			группы GL(2, F) в	неархимедовом	случае	55
для всех	аи	а2 и х ; \лг		и	д.2 являются гомоморфизмами		F* в С*,	ко
торые заведомо непрерывны. Форму L можно рассматривать как
линейную	форму		на V.	Тогда
		1	( * (Со		< 0 ) Ф ) = F l ^	^2 ^ 1

Для ф ^ V обозначим через Лф функцию

Ay(g) = L(n(g)cp)

на GF . Очевидно, Л является инъективным отображением прост ранства V в ^((Xj, р,2), коммутирующим с действием группы GF.

Прежде чем переходить к следующей теореме, мы сделаем не сколько простых замечаний. Предположим, что я — бесконечномер ное неприводимое представление группы GF и со — квазихарактер группы F*. Ясно, что пространство W (со® я, Ч) состоит из функций

					g-+W(g)<o(detg)
с W € W (я, ¥ ) . Если				V является пространством модели					Кириллова
представления		я,	то	пространство		модели Кириллова			представле
ния со® я состоит			из	функций а—>-ф(а)со(а)				с q>(tV. Чтобы убе
диться	в этом,	возьмем			я в форме	Кириллова		и заметим		прежде
всего,	что отображение				А: ф—>-фсо	является	изоморфизмом			прост
ранства V с другим пространством						V, на	котором GF действует
посредством представления я ' = А (со®я) Л - 1							.	Если
					/ос	х \

принадлежит BF и ц>' = фсо, то

я ' (Ъ) ф' (а) = со (а) {со (а) ¥ (ах) ф (аа)} = ¥ (ах) ф' (аа),

так что я ' (b) ср' = | ^ (6) ф'. Тогда по определению я ' является мо делью Кириллова представления с о ® я . Пусть сох обозначает огра ничение со на UF и г1 = со(со). Если ф' = фсо, то

		<p'(v, 0		= <P(™>i,	ZiO-
Таким	образом,
я'(ш)ф'(г, /) = я (да) ф (vcoj,			210	= C(vco1I	z^) ф (v^cof'v^1 ,	гё1г;Ч~1).
Правая	часть равна	C(vco1,	zj)	ф' (v^v^coj"1 , z j ^ z f ^ - 1 ) , так		что при
замене	я на со ® я	ряд С (v, £) заменяется			на С (vcot, Zj/j.

56	Гл. I. Локальная	теория
Предположим,	что W (х) = 4Г (Ьх),	где b£F*,—другой		нетриви
альный аддитивный характер. Тогда		W (я,	состоит	из функций

= Ч ( о D


с	IF	(я, 40-
	Последнее		тождество следующей теоремы называется локальным
функциональным уравнением — это					исходный	пункт	нашего	подхо
да	к теории		Гекке.
	Т е о р е м а		2.18. Пусть я—неприводимое			бесконечномерное		допу
стимое		представление группы		GF.
	(I) Если о—квазихарактер			группы	GF, определяемый		соотношением

Я ((о «))= ш ( в ) Л

то контраградиентное

представление

эквивалентно

представлению

(п)

Существует

вещественное

число

s0,

такое,

что

для

всех

g£GF и всех W £ W (я, 40

интегралы

1^((о

i)gr )l«ls -1 / 2 d*a = ¥ ( g f,

s, Г ) ,

((о

i ) ^ ) l a l s " 1

/ 2 ( 0 _ 1 ( a ) d * a - ¥ ( g ,

s, Г )

/=•*

абсолютно

сходятся

в области

Res >

s0.

множитель

L(s,

я),

(III)

Существует

единственный

эйлеров

обладающий

следующими

свойствами:

если

ЧГ(£, s, ^ ) = L(s,

я) Ф( £ , s, №),

т о Ф (g, s, W) является голоморфной

функцией

от s для всех g и всех W

и существует по меньшей

мере одна функция

W £ W (я, 40, такая, что

Ф(е,

W)^as,

где а—некоторая

положительная

константа.

(IV)

Если

W(g,

s,.W)=L(s,

п)Ф(§,

W),

то существует единственный

множитель

e (s, я, 40, который

является

экспоненциальной

функцией

от s, такой,

что для всех g£GF

и всех

W £ W (я, 40 имеет

место

соотношение

	§ 2.	Представления группы GL(2, F)		в нейрхимедовом	случае	57
То,	что	L (s, я)	является эйлеровым	множителем,	означает,	что
L (s, я)	= Р'1	(q~s),	где Р—полином с постоянным членом 1 и q = \| ю \| - 1

есть число элементов поля вычетов. Если бы существовали два эйле ровых множителя L (s, я) и V (s, я), удовлетворяющих условиям теоремы, то их отношение было бы целой функцией без нулей.

Отсюда,		очевидно, следует			единственность.
Если		¥ заменить на У,			где	(х) = ¥ (Ьл:), то функция W заме
нится	функцией		W,	где
и
тогда	как		чг&, s, ^ ' ) = \|б\|^ - *Т(^, s,				w7),
тогда	как
			s,	W')	= \b\v*-s«>(b)4r(g,		s, W).
Таким	образом,		L (s,	я) не будет		зависеть	от выбора Т . Однако
			e(s,n,4')		=	(a(b)\b\*—1ii(s,n,}¥).

Согласно первой части теоремы, если W £ W(n, W), то функция

W (g) =

W(g)^(detg)

содержится в W(n, ¥ ) . Ясно, что

V(g, s, \r) = co(detg)Y(g, s, №),

так что, если третья часть теоремы справедлива, когда я заменено на я, функция Ф (g, s, W) является голоморфной функцией от s. Объединяя функциональные уравнения для я и для я, получаем

e(s, я, 406(1—s, я, ЧГ) = ю(—1).

Пусть V обозначает пространство, на котором реализуется модель Кириллова представления я . Для каждой функции W в W (я, W) существует единственная ф в V, такая, что

' ( C I *

Если я само задано канонической моделью, то

"(»)?(«) = ^ ( ( j j ) »

где

Гл. I. Локальная

теория

Для любого квазихарактера % группы F* положим

ф(х) = S 9 ( a ) x ( « ) d * a ,

если интеграл сходится. Если %0 обозначает ограничение % на UF, то

ф(х)

ф(Х0.

х («>))•

Таким

образом,

если

квазихарактер

аР

задается

соотношением

aF(х)

— I х

I и

соответствующие

интегралы сходятся, то

ЧГ(е,

^ )

= ф ( а Г 1 / а

)

Ф(1,

Ф(е,

\^) = ф ( а Г 1 /

с о ^ ) =

ф К 1 ,

z 0 - V / 2

- s ) ,

где v0 —ограничение со

на

г0

= й(со). Таким

образом, если

теорема справедлива, то ряды ф(1,

и Ф(У^\

/) имеют

положи

тельные радиусы сходимости и определяют функции,

мероморфные

во всей ^-плоскости.

Ясно также,

что

1 — s,

W) =

я (н>) ф (v^1 , z ^ V ~ 1

/ 2 ) -

Если

ф € ^ 0 ,

то

n(w)v(vT\

z^q-^H)

= C(v;\

z^q-V't)q>(1,

fl1^"1).

Выбирая Ф€К> удовлетворяющее

условию

<р(1, t)=\,

мы

видим,

что C(v71 ,

сходится

некотором

круге

и аналитически

продол

жается до функции, мероморфной на всей плоскости.

Сравнивая соотношение

n ( » ) $ W r 1 / l

? ,

)

= C(v,-1 l

го1/2<Г1/2<7*)Ф(1>

qV*q~s)

с функциональным

уравнением, мы видим, что

СЫ\

z?q-V*q*)

= L{X-\*l*§

) .

(2.18.1)

Заменяя я на х ® я

> м

получаем

формулу

ь (v0

Хо . г о ^ q

q ) -

L ( s >

x ( g n )

Используя

предложение 2.15,

получаем

С л е д с т в и е

2.19.

Пусть

я'—два неприводимых бесконеч

номерных

представления

группы

GF.

Предположим,

что

квазихарак

теры

(о', определяемые

условиями

Ч ( о а ) ) = Ю ( а ) / '

П ' ( ( ! ! ) ) = Й ' ( а ) / '

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом, случае

равны. Тогда	n u n '	эквивалентны в том и только	в том	случае,
если
Щ—s,	х - г ® я ) е ( 5 ,	х ® я , Y ) Щ—s, х - 1 ® " ' ) 8(s.	X ® " ' .	У)
	L(s, х ® я )	L(s, х ® я ' )
для всех квазихарактеров		%.

Мы приступаем к доказательству первой части теоремы. Для ска лярных функций ф1 и Ф2 на /•"* положим

<Ф1. ф2 >= $'Ф1(а)фа (— a)d*a.

Мера Хаара выбрана так, что мера UР равна 1. Если одна из этих функций содержится в St (F*), а другая локально постоянна, то интеграл заведомо определен. По теореме Планшереля для группы U Р

<Ф, ф'> = 2		2 v (—1) Ф„ (v) ф„ (v - 1 ) .
	П	V
Эта сумма фактически	конечна. Легко видеть, что если b£BP,			то
<hr(b)ff,		Ы Ь ) Ф ' > = <Ф, ф'>-	и действует на V.
Предположим, что я задано в форме Кириллова
Пусть модель Кириллова	я '	представления с о - 1 ® я	действует на	V.

Для доказательства части (I) нам достаточно построить некоторую инвариантную невырожденную билинейную форму |3 на V x V . Если

Ф €

ф' € V

или если

ф £ V и ф' £ V0, то мы

положим

Р(ф,

Ф') = <Ф,

ф'>-

Если

ф и ф' — произвольные

векторы в V и V,

мы можем

написать

Ф = Ф1

я ( ш ) ф 2 и ф' =

ф; +

я ' (w)(f'2,

где

фх ,

ф 2

€ ^ 0 и

ф^,

ф ^ К -

Положим тогда

Р(ф,

Ф') =

<Ф1. Ф1> +

<Ф1.

ИФ;>

+ <Я(Ш ) Ф 2 ,

Ф1> +

< Ф 2 .

Фа>-

Вторая

часть

следующей

леммы

показывает,

что форма

опре

делена

корректно.

Л е м м а 2.19.1. Пусть

<р£У0

и ф'ё^ о - Тогда

(I)

<я(а>)ф,

ф'> = у 0 ( — 1)<ф,

я'(да)ф'>.

(II)

Если я ( а у ) ф ^ У 0

ылы

я ' (ш) Ф' £ VQ,

<я(йУ)ф,

Я'(ш)ф'> = <ф, ф'>.

Из соотношения

Я( Ш ) Ф ( У , / ) = 2 / " 2 C „ + , ( v ) ^ ( v - V ) ^

пр

следует, что

< я И ф , Ф ' > = 2 vi-VC^Wqipiv-^z^y'niv-1).

(2.19.2)

п, р, v

: • _

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 386 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб21Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб10Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб10Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб34Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб12Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб10Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб28Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб59Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf