книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

40

Гл. I. Локальная

теория

Согласно

(I),

правая часть заменяется при этом выражением

Так как

z[tlC{v, 0 Ф > - Ч Л

Г ' г о 1 ) .

И

n(w)(f(v,

t)

известно,

мы

можем

использовать

утверждение

(I)

и

соотношение

\0

шV =

V0

«'До

I ; 1

и

убедиться,

что

левая

часть

заменяется

тогда

выражением

zl0tln(w)y{v,

t) = zl0tlC(v,

0 9 ( v - 4 r \

t^Zo1).

Для данного

ы £ Х и

данного

характера

v группы

UF

должна

существовать

такая

функция

ф из

V,

что

Ф

> ,

t) =

2tnCn(v)u.

Следовательно, существует п0, такое, что Cn(v)u

= 0

для

п <

п0,

Конечно,

пд

может

зависеть

от

и

и

v. Это

наблюдение вместе

со

нечные

суммы, встречающиеся в

следующем

предложении,

имеют

смысл в случае, когда каждый их член умножен справа на

неко­

торый фиксированный вектор из X , причем все эти векторы, кроме

конечного их

числа,

равны

нулю.

П р е д л о ж е н и е

2.11. Пусть

— наибольший

идеал,

на ко-

тором

тривиален

характер

(I)

Пусть

v и

р — два

характера

группы UF, такие, что

харак­

тер vpv0 отличен

от

1.

Пусть tym—его

кондуктор.

Тогда

2 л (<т-Ч ю") Ч (a-ip,

5*) С

(а)

равна

riCv-'p-'vr1 , « - " - 0 z S , + ' v p v o ( - l ) C l l _ e _ , ( v ) C ; , . e , _ l ( p )

для всех целых

пир.

(II)

Пусть

v — любой

характер

группы

UF,

и пусть v =

v~1 Vo1 .

Тогда

2 л (°" Ч

й»)т1(а-Ч

^ ) С , + В ( а )

равна

а

2 gv0 (—1) б„,я

+ (|«j — l ) - ^ ^ ^ . , . , (v) С ^ . , . ,

(v) —

1--г-1

для всех целых

пир.

§ 2. Представления

группы

GL(2, F) в неархимедовом случае

41

Суммы

в левой части берутся по всем характерам а группы

UF, и 6п,р

обозначает

символ

Кронекера. Из соотношения

—1 оДо

oj

\о

1.Д-1 оДо

i

следует, что

я ( а , ) я ( ( о

! ) ) " W ? =

V » ( "1 ) л ((о

! ) ) я

я ( ( о

l ) ) 9

для всех ф g V0 . Так как я (до) ф не обязательно

принадлежит V0,

мы перепишем это соотношение в следующем

виде:

я (до)

| я

я (до) ф — л (до) ф| + я 2

(до) ф =

=v . ( - i)*(( o

~ ! ) ) Ф .

Член

я2 (до)ф

равен v 0 ( — 1)ф .

Мы вычислим преобразование Меллина обеих частей этого соот­

ношения. Имеем

Я ((о

~i))^( V ' ^ ^ ^ ' " { ^ ^ ( Р - Ч

- ш " ) Ф „ ( р ) }

и

я (до) я ^

l ) ) ^ v -

=

= 2 ' " 2 Л ( Р - ^ - Ч - \

- ^ ) Z „ - ^ + „ ( V ) ^ ( P )

v 0 ( - l ) 2 ^ 2 П(о~^,

- ш « ) г] (p - 'o - 'V, - ©')гг'С / •'р+п, + и (а)О ф (р).

1

Р. Р. о

(2.11.1)

С другой

стороны,

я (до) Ф (v,

0 = 21" 2 V ^ + n (v) Ф , (v - ^ г 1 )

л Р

42

Гл. I.

Локальная

теория

так что

Я ( ( о

1 ) ) Л

И Ф К

/) —Ji(a>)<p(v, t)

равно

2<"2

V h ( p w 0 ,

u)n) —

6(pvv0)]Cp+n(p-4ol)^p(p).

Меллина

левой части равно

'"21"

2

г-й"-< [ц (pv~\

с > ) - 6

( p v 1 ) ]

С п + Г (v) Ср+Г

( р - ^ 1

) Ф я (р) +

л

Р.

г, р

+

v 0 ( - l)2*"9„(v) .

(2.11.2)

га

Коэффициент при / п ф я (р)

в (2.11.1) равен

^( - 1)2*1(<* - Ч ^ ^ ( р - ^ - ^ - 1 ,

-шР)г^Ср+п{о),

(2.11.3)

а

а в

(2.11.2)

он равен

2 M p v 1

,

©O - SCpv" 1 )]

^ p - r C „ + r ( v ) C / )

+ r ( p - 1 v r 1 )

+

+ v 0 ( - l ) S „ , / , 6 ( p v - 1 ) / .

(2.11.4)

Эти

два

выражения равны при

всех выборах п, р,

р и v.

Л ( p v \ ы-т-1)

^ р - - / С „ _ т _ г (v) Ср_а_1 (р - Ч" 1 ) .

Так как

т](ц,

— х) = (я(— 1)т1(ц, х),

выражение (2.11.3) равно

P_ 1 v ( - 1)2л(*~ Ч

ffl»)4(p~1o"1v5-W)2irpCi,+l,(ff).

с

Заменяя

р на p - 1 V o \

мы получаем первую часть

предложения.

Если

p = v, то

6 ( p v _ 1 ) = l .

Кроме того, как хорошо известно

и легко

проверить,

r|(pv - 1 , c i / ) = l , если г ^

— /,

T^pv- 1 , ы - ' - 1 )

= |со|(|со| — I)" 1

44

Гл. I. Локальная теория

Тф(а) =

7(ср(а)).

Заметим,

что Tq> все еще содержится

в V. Это ясно, если ф g V0,

а

если

же

ф = я ( ^ ) ф 0 ,

то,

рассматривая преобразование

Меллина

от

обеих

частей, получаем

Гф = я(о>) Т Ф о .

Так как V = V0-\-n(w)V0,

то наше утверждение

доказано. Поэтому

Т определяет линейное преобразование пространства V, которое,

очевидно,

коммутирует

с

действием

любого g из PF.

Если

мы

сможем

показать,

что

оно коммутирует с действием ад, то отсюда

будет следовать, что оно, а значит,

и исходный оператор на X

являются

скалярными. Нам требуется

проверить равенство

я (w) Тф = Тл

(ад) Ф

по меньшей

мере для ф £ У 0

и для ц> = л(и>)%,

где %^V0,

Мы

Уже

видели,

что это тождество_справедливо

для

Ф € У „ . Таким

образом,

если ф = я(ад)ф0 ,

левая

часть равна

я (ш) Тл (ад) Ф 0

= я 2

(ш) Тф0

= v0

(—1) Гф0 ,

а

правая

часть равна

ТЛЦЫ))%

=

У 0 ( —

1)Тф0 .

В силу

этого

предложения

мы можем

отождествить

А с С и

дого я формальный ряд Лорана

C(v, t) имеет

лишь конечное

число членов

с отрицательными степенями. Мы теперь хотим

пока­

зать,

что

построенная

реализация

я на пространстве функций на

F* является при выполнении определенных простых условий един­

ственной,

так что ряды C(v, t) определяются

классом представле­

ния

я, и,

обратно, ряды С (v, t) определяют

класс я .

Т е о р е м а

2.13.

Предположим,

что задан

некоторый

класс

эквивалентных

бесконечномерных неприводимых допустимых представ­

лений группы

GP.

Тогда существуют

единственное

пространство

V

комплекснозначных

функций на F* и

единственное

представление

я

группы Gp на V, которое принадлежит

этому классу и таково, что

46

Гл. I. Локальная теория

Ф - Я (

( о

х

1 I ^

содержится в V0 , правая

часть

равна

так что

M O - w

( Х ) Ф ( 1 ) + ¥ ( Х ) 1 ( Ф ) ,

( 1 - Т М ) 1 ( Ф ) = М 1 - ? ( Л ) ) Ф ( 1 ) ,

откуда

следует, что

L ((f) = Кц> (I).

Для доказательства второй

леммы достаточно

только

показать,

что из

ф(1) = 0 следует

£(ф) = 0. Если

мы

положим

ф(0) = 0, то

Ф становится

локально

постоянной

функцией с

компактным носи­

телем

на F.

Пусть

ф' — ее преобразование Фурье, так

что

ф (а) =

J Y

фа) ф' (—Ь)йЪ.

Пусть

Q — открытое

и компактное подмножество в F*, содержащее 1

и носитель функции ф. Существует

такой

идеал

21 в

F,

что для

всех

а £ Q функция

ф' (—b) W фа) постоянна

на классах

смежности

F по

21. Выберем идеал

23,

содержащий

21 и носитель функции ф'.

Если

S — множество

представителей

из 23/21

и если с есть мера мно­

жества

21, то

Ф(а) = с 2

¥ (йа)ф'(-*>)•

Если

ф0 — характеристическая

функция

множества Q,

это

соотно­

шение

может

быть

переписано

в виде

48

Гл. I. Локальная теория

L ( я

Ф

) =

Лф

= У (х) Л Ф

(1) = У (х) L

(Ф),

так

что по лемме

2Л3.2 существует скаляр

X,

такой, что

1(Ф) =

Х Ф ( 1 ) ;

следовательно,

Лф = Я№ф

и W = W (я, ¥ ) .

называться мо­

Реализация

представления

я на W (я, W) будет

делью Уиттекера. Отметим, что представление

группы Gp на W (Т)

не

содержит

неприводимых конечномерных

представлений. Дейст­

вительно, любое такое представление имеет

вид

я (g) = % (detg).

Если бы я содержалось в

представлении на W

то существовала

бы

ненулевая

функция

W на Gp, такая,

что

Г ( ( о i ) 0=

T ( J c ) x ( d e t * ) 1 F ( e ) *

В частности,

полагая g = e, получаем

4 0 i ) ) =

1 F W r ( e ) -

С другой

стороны,

также

ясно, что

^ (Со Т))-«(d e t

(о Т))

^-

откуда 1¥(х)==1

для всех

х. Мы получили противоречие. Мы уви­

дим, однако, что я является составляющей1 ) представления на W

Это

означает,

что существуют

два инвариантных

подпространства

Wt

и W2

пространства

W

такие, что W1

содержит

W2 и

пред­

ставление

на

факторпространстве

WJW2

эквивалентно

представ­

лению я .

П р е д л о ж е н и е 2.15. Пусть

я и л'—бесконечномерные

непри­

водимые представления

группы

Gp, реализованные

в форме

Кириллова,

на

пространствах

V и V'.

Предположим,

что два

квазихарактера,

определяемые

условиями

§ 2.

Представления группы

GL(2, F)

в неархимедовом

случае

49

совпадают.

Пусть {C(v, t)} и

{С (v,

t)} — семейства

формальных

рядов, ассоциированные с этими

представлениями.

Если

так

что

я (а») ф = я ' (до) ф.

Поскольку

V натянуто

на

zf (F*)

и

n(w)<SP{F*),

а У

натянуто

на

<Г (F*)

и

я'(и>) <У (F*),

простран­

ства

V и V'

совпадают. Нам надо

показать, что

я (g) Ф = я ' (g) ф

для

всех

ф^ У и всех

g£Gp.

Это ясно,

если g^Pp,

так что доста­

точно

проверить

равенство

для

g = w.

Мы уже

отметили,

что

я (до) ф0 = я ' (до) ф0 , если ф0

содержится

в

a?(F*).

Таким

образом,

остается

только

проверить,

что я (до) ф = я ' (до) ф, если ф имеет

вид

я(до)ф0 с ф0(Е

(/*"*).

Имеем

я (до) ф = я 2

(до) ф0 = © (—1)ф0 и,

так

как

я (до) ф0 = я'(до) ф0 , то я'(до)ф = « ' ( — 1 ) ф 0 .

Обозначим через Np группу матриц

вида

1 х

О 1

с x£F,

и пусть

Si—пространство

функций на GF,

инвариантных

относительно

левых

сдвигов

на элементы

из Np.

Пространство Si

прос, содержится

или

нет в Si

данное

неприводимое представле­

ние

я . Ответ, очевидно,

положителен,

если п = % одномерно, так

как

тогда функция

g-*-%(detg)

сама содержится в Si.

Удовлетворяет соотношению Ля

(g) = р (g) Л и переводит

V в Si.

Таким образом, я содержится в

Si в том и только в том

случае,