Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Гл. 1.

Локальная

теория

П р е д л о ж е н и е

2.8.

Пусть

я — бесконечномерное

неприводи

мое представление группы GF

на пространстве

пусть

^3 =

есть максимальный

идеал

кольца

целых

чисел

поля

а V

обозна

чает множество всех векторов v£V,

таких,

что для некоторого

целого

VF(-x)n(^Q

Q V d x = 0.

Тогда

имеют

место

следующие

утверждения:

(I)

Множество V

является

подпространством

пространства

(II)

Пусть X = V'\V,

пусть

А — естественное

отображение

пространства

V на

X. Для v£V

через

% обозначим

функцию,

за

даваемую

соотношением

<М*) = л(«((о

Тогда

отображение v—»• <р„ является

вложением

пространства

V в про

странство локально

постоянных функций

на F* со значениями в

(III)

Если

b£BF

и v£V',

то

Фя

(ь>

* =

Ф„-

Если

т^п,

то Ц$~т содержит

интеграл

равен

„ » ^ . _ . * ( - » ) - ( ( i ? ) ) 1 * < - * > « ( ( £

0 ) "

Таким образом, если для некоторого целого п рассматриваемый интеграл равен нулю, то он равен нулю и для всех целых чисел, больших п. Отсюда немедленно следует первое утверждение пред ложения.

Для доказательства второго утверждения мы используем сле дующую лемму:

Л е м м а

2.8.1. Пусть %~т—

наибольший

идеал,

на

котором

тривиален

и пусть

f—локально

постоянная

функция

на $ - / со

значениями

в некотором

конечномерном

комплексном

векторном про

странстве.

Тогда

для любого

целого п ^

следующие

два

утверждв'

ния

эквивалентны:

(I)

Функция

постоянная

на

классах

смежности

по ф~п «

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

(II)Интеграл

Ч'(—

ax)f{x)dx

равен нулю

для всех а,

лежащих вне

множества

' т + п .

Предположим,

что

выполняется

утверждение

(I), и

пусть

а —

некоторый

элемент

из

F*,

который

не содержится

в Щ-т+п.

Тогда

х—•

W (— ах) является

нетривиальным

характером

группы

V (-ах)

f{x) d x =

Ч(-ау){\

47 ( - а х )

dxl

/ (у) =

Обратно, / можно рассматривать как локально постоянную функцию на F с носителем в Предположение (II) равносильно предположению, что носитель преобразования Фурье /' функции / содержится в По формуле обращения для преобразования Фурье имеем

	/ ( * ) = J	У(-ху)Г(У)*у.
Если у£^~т+п,	то функция	х—>- W ( — ху) постоянна на классах

смежности по %~ п . Отсюда немедленно получаем, что первое утверждение леммы следует из второго.

Для доказательства второго утверждения предложения покажем,

что	если q\, тождественно	равна	нулю, то	v	инвариантен относи
тельно операторов л((^		\fj д л я	в с е х X$F>	и	затем воспользуем
ся	предложением 2.7.
	Положим

= " (G

XJ)v-

Значения

ограничения функции

на некоторый

идеал в F

лежат

конечномерном

подпространстве

пространства

Для

доказа

тельства

того,

что

постоянна

на

классах

смежности по

некото

рому идеалу $~п ,

достаточно

показать, что

этим свойством обла

дает ее ограничение на некоторый

идеал

содержащий ^З""1 ).

По предположению существует некоторое п0, такое, что / по

стоянна

на

классах

смежности

по

^3"""°2). Мы теперь

покажем, что

если

/ постоянна на

классах

смежности по

то она постоян

на и

на

классах

смежности

по

Возьмем

любой идеал

Так

как

оба

рассматриваемых

свойства

эквивалентны

условию

( (I0

f ^ o ^ o

для x^Sp-". — Прим.

ред.

2 )

См. условие (2

1). — Прим.

ред.

32			Гл. I. Локальная			теория
содержащий			По предыдущей лемме
			f	W( — ах) / (*) dx = О,
если	a ( £ ^ ~ m + " _ 1 . Требуется доказать,						что	этот		интеграл	равен
нулю, если а является образующей						идеала		ty-mt"-i.
Обозначим			через UF	группу	единиц		кольца		£ ) F целых		элемен
тов	поля	F.	Существует	открытая		подгруппа			U^	группы	UF, та
кая,	что
				я ((о	°\j)v	=	v
для	b£U1.	Для таких Ь имеем

¥( — ах) f{x)	d x -
44 — '
Ч ^ - " K G	i ) ) y d x =
	= j < F ( - £ x ) / ( * ) d x .
	4J-'

Таким образом, достаточно показать, что для некоторого доста

точно большого I рассматриваемый	интеграл обращается		в	нуль
для всех а из фиксированного множества		представителей	классов
смежности множества образующих	идеала	sp - m + n _ 1 по группе		U1.

Так как существует лишь конечное число таких классов, то доста точно показать, что для каждого а существует по меньшей мере

одно такое /, для которого этот интеграл	обращается	в нуль.
По предположению существует идеал	31(a), такой,	что

j f ( - , ) » ( ( '	?))»dx=o.
а (а)
Но этот интеграл равен
и л ( ( о D) 1 ^ - " K G		i ) ) y d x '

так что 1 = 1 (а) можно выбрать, исходя из условия

<$-1 = а-Ч{а).

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

Для доказательства третьего утверждения мы проверим, что

4 я ( G

0 ) y ) = ¥ ( f / M ( y )

(

для всех v £ V и всех у g F. Третье утверждение получается отсюда простым вычислением. Требуется доказать, что

я ((о f ) ) " - ^ ) ^ '

или что для некоторого п разность

I * < - * K G	0 ) 4 G	0 ) o d x	-
	-	[ Ч{-х)Ч(у)п(^0	j N )]odx
равна нулю. Это выражение равно

Если	содержит г/, мы можем сделать замену переменных в
первом	интеграле, после которой он станет равным второму.

Теперь удобно отождествить v с ф^, так что V превращается в пространство функций на F* со значениями в X. Отображение А заменяется отображением ср—>-ф(1). Представление я удовлетво ряет тогда условию

если Ь£ВР. 'Существует квазихарактер ю0 группы F*, такой, что

			а	0\	,	м0 (а)1.
		,ч°			=	м0 (а)1.
Если		,ч°		а
Если
					О	1
		ю	в "		-1	О
то представление	я определяется				заданием со0 и			n(w).
П р е д л о ж е н и е		2.9.	(I)	Пространство			V	содержит подпро
странство V0 = <5"	(F*,	X ) .
(II) Пространство		V натянуто			на V0 и		n(w)V9.

2 Nt 435

Гл.

/ . До/сальная

теория

Для

каждого cp £ V

существует

целое положительное число п,

такое,

что

если

а—1

содержатся

в ^3".

частности, ф(сш) = ф(а),

если

a£F*

и а — 1 6 ^ " -

Из

соотношения

W (ах) ф (а) =

ф (а)

для

всех

х 6 ^Р" следует,

что ф(а) = 0, если ограничение

на

atyn

нетривиально. Пусть 9$~т

— наибольший идеал, на котором

три

виален.

Тогда

ф(а) = 0,

если

не удовлетворяет

неравенству

| а | ^ | с о ( - т ~ п ,

где

со—образующая

идеала

Обозначим через V0 пространство всех функций ф из V, таких,

что

для

некоторого

целого

/, зависящего от ф, ф (а) = 0 для всех а,

неудовлетворяющих неравенству

| а | > | с о | ' .

Для доказательства

утверждения (I) достаточно проверить, что

VQ = d?(F*,

X).

Ясно,

что V0c:<SP(F*,

X).

Кроме

того,

для

каждой функции

ф £ У

и каж

дого

x£F

разность

содержится в V0 . Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция ф'(а) = (1—Y(ax))(f(a) тождественно равна нулю для л; = 0, а в противном случае равна нулю по меньшей мере на x~lf^~mi). Так как в V не существует функции, инвариантной относительно всех операторов

то пространство V0 отлично от нулевого.

докажем

Прежде чем продолжать доказательство предложения,

следующую лемму, которая нам потребуется

в дальнейшем:

Л е м м а

2.9.1. Представление

£\Р группы

Вр

на

пространстве

*f (F*)

локально

постоянных

комплекснозначных

функций

на

с компактным носителем

неприводимо.

Для

каждого

характера jx группы UF

обозначим через

ф й функ

цию на F*, которая равна ц на

1)Р

и нулю

вне

UP.

Так

как про

странство if

(F*)

натягивается

на

эти функции

их

сдвиги,

то

г ) Каждая функция (p£V

имеет компактный

носитель

в F : в силу (2.1)

су

ществует

ненулевой

идеал 31 в F,

такой,

что л

j ^ < p = <p для

всех 6£31,

откуда

ф (а) —У (b<x) <p (а).

Таким

образом,

если

<р (а) ф

то

3 t a £ § P _

Прим,

ред.

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

достаточно показать, что любое нетривиальное инвариантное под пространство содержит все срй. Такое пространство должно заве домо содержать ненулевую функцию ф, которая удовлетворяет соотношению

Ф (as) = v (е) ф (а)
для некоторого характера v группы UF,	для	всех a£F*	и	г^иР.
Заменяя, если это необходимо, функцию ср ее подходящим			сдвигом,
можно предполагать, что ср (1)^=0. Мы	будем	доказывать, что		все

функции фц для \i, отличных от v, содержатся в рассматриваемом

пространстве. Так	как UF	имеет по		меньшей	мере два		характера,
мы можем затем заменить		ф на некоторую ф д			с	р,, отличным		от v,
заменить v на ц и \i на		v,	чтобы	убедиться	в	том,	что это	про
странство содержит	также	и	qv.
Положим

где х еще предстоит определить, а ц	предполагается	отличным
от v; ф' принадлежит рассматриваемому	инвариантному	подпрост
ранству и

ф' (аг) = ц. (е) ф' (а) для всех a£F* и всех s£UF. Имеем

		ф' (а) =	ф (а)	^ Ц - 1 (е) v (е) Ч? (ахг) de.
Характер u.- 1 v имеет кондуктор1 )						с положительным п.		Возьмем
в качестве		х элемент	порядка		— п — т. Интеграл, который				может
быть переписан в виде гауссовой суммы, как хорошо								известно,
равен	тогда	нулю, если а не принадлежит UF,					и отличен	от	нуля,
если	а принадлежит		UF.	Так	как	ф(1)=т^=0,	то ф' должно		быть
ненулевым		кратным функции фд.

Для доказательства первого утверждения предложения требуется только проверить, что если и £ X, то V0 содержит все функции вида a—*-ri(a)« с r\£uf (F*). Существует ф£V, такая, чтоф(1) = ы. Выберем х так, чтобы х¥(х)^1. Тогда

содержится		в V0	и	ф'(1) = (1—W(x))u. Следовательно, каждое и
имеет	вид ф(1) для			некоторой <р£У0.
г )	Иногда	также	говорят «ведущий модуль».— Прим. ред.

36	Гл. I. Локальная		теория
Если (х — характер	группы	UF,	обозначим через	V0 (ц.) прост
ранство всех функций	ф из V0,	которые удовлетворяют		соотношению

Ф (ае) = ц (е) ф (а)

для всех a£F*

всех

e £ ( 7 f . Очевидно,

является

прямой

сум

мой

пространств

частности, каждый

вектор и из X

может

быть

записан

виде конечной

суммы

« = 2<P/(1),

где ф,- принадлежат некоторым

( j u .

достаточно

лишь

доказать

Используя

лемму,

мы

видим,

что

следующее:

если

может

быть

записан

виде

и = ф(1),

где

t € V ^ 0 ( V ) для

некоторого

то в

V0 существует по меньшей мере

одна функция вида а—*г\(а)и,

где

-ц — ненулевая

функция

из

<9"(Р). Выберем характер ц, отличный

от v,

пусть

— кондук

тор

характера

| i _

v . Мы снова

рассмотрим

0 \ / 1

' =

\ ц - 1 ( е ) ^ ( ( 0

) ( Q

) ]фс!е,

где х элемент

порядка

— п — т . Тогда

ф'(а) =

ф(а) ^

L I -

1 (е) v (е) у¥Р(ахг)

de.

Использованные

выше

свойства

гауссовых

сумм

показывают,

что

ф' является функцией требуемого вида.

Вторая часть предложения проверяется легче. Пусть PF обо

значает

группу

верхних

треугольных

матриц

из

GF.

Так как

инвариантно

относительно

и V неприводимо

относительно

GF,

пространство

V натягивается

на

и векторы

вида

где <p€V0.

ф ' = л ((о

l ) )п

ф '

Но

ф' = {ф' — л

(w) ф} + я (ЙУ) ф

и, как

мы

видели,

ф' — n(w)y£V0.

Предложение

доказано.

Для изучения действия элемента w мы введем формальное

преобразование Меллина. Пусть

со—образующая

идеала

Если

Ф—локально

постоянная

функция

на

F* со значениями в X,

то

для

каждого

целого п значения

функции

е—>-ф(есо")

на

при

надлежит некоторому конечномерному подпространству простран ства X, так что интеграл

^ Ф (eco") v (е) de = ф„ (v)

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

имеет смысл. Интеграл берется по мере, относительно которой

полная

мера

равна

1. Значение интеграла

является

вектором

из X.

Определим

ф (v,

как

формальный

ряд

Лорана

2 ' " 9 „ ( v ) .

Если

ф € V,

то

этот

ряд

имеет

лишь конечное

число

членов

от

рицательными

показателями.

Кроме

того,

ряд

ф(у,

отличен

от

нуля лишь для конечного числа характеров

Для

ф g V0

эти

ряды имеют только конечное число членов.

Ясно,

что если

локально

постоянна и

все

формальные

ряды

ф (v,

равны

нулю,

то ф =

Предположим, что ф принимает значения в конечномерном

подпространстве

пространства

со— квазихарактер

группы

F* и

интеграл

J со (а) Ф (а) d'a

(2.10.1)

абсолютно сходится. Если со' обозначает ограничение со на UF,

то

этот

интеграл

равен

г" S

Ф (со"е) со' (е) de =

z"cp„ (со'),

где

z = co(co). Следовательно,

формальный

ряд

ф(со',

абсолютно

сходится

для

t = z

и его

сумма

равна (2.10.1). Мы

увидим,

что

одномерно

что

существует

константа

с0

= с0 (ф),

такая,

что

если

| со (со) | =

| со | с ,

где

с > с 0 ,

то

интеграл (2.10.1)

абсолютно

сходится.

Следовательно,

все

ряды

ф (v,

имеют

положительный

радиус

сходимости.

Если

W^^p—данный

нетривиальный

аддитивный

характер

группы F,

\i—любой

характер

группы

и х—любой

элемент

из F,

мы

положим

т] (ц,

х) =

ц (е) ¥

(&*) de.

Интеграл

берется

по

нормализованной

мере

Хаара

на

UF.

Если

g£GF,

ф 6 V

ф' = я (g) ф, то

мы

будем

полагать

rt(g)cp(v,

Ф' (v.

t).

.: '

П р е д л о ж е н и е . 2.10.

(I)

Если

b£UF

l£Z,

то

л ( ( о ' i))^( v ' ' \ т * ~ 1 у ~ 1 { Ь ) * 1 у ' t } '

38	Гл. I. Локальная теория
(II) Если x£F,	то

где внутренняя	сумма берется по	всем характерам	группы UF.
( I I I ) Пусть	со0 — квазихарактер,	определяемый	соотношением

			я ((о			!))= ю > ) у
для	a£F*. Пусть v0 —его			ограничение				на	UF, и	пусть z0 = co0(co).
Для	каждого характера		v	группы			UF	существует		формальный	ряд
С (v, t) с коэффициентами				в	пространстве				линейных операторов		на
X,	такой, что для	каждого			ф € У 0		имеет место			соотношение
	я ( ( _ 1	o ) ) ^ ( v - ') =				c ( v - ' ) Ф > - ^ \				/ - V ) .
	Положим
Тогда			ф ' = я ( ( о				i))45 -
Тогда
	ф ' К		0 =	2 ' "		J	v(e)9(co"+'68)de.

Заменяя переменные в интеграле и в сумме, мы получаем первую формулу предложения.

Положим теперь

Тогда

cp'(v, 0 = 2*" \ ¥ (со"ех) v (е) ф (со"е) de.

пuF

По формуле обращения для преобразования Фурье имеем

ф К Е ) = 2флИГ1 (е) .

Сумма в правой части фактически конечна. Подставляя, получаем

Ф' (v, 0 = 2 tn { 2 S j i - l v (е) W (w»x) de Ф п (ц) i ,

что доказывает вторую формулу.

Представления

группы

GLf2,

неархимедовом, случае

Предположим,

что

v —характер

группы UP

и ф —такая

функ

ция

из V0 , что ф((л, 0 = 0

для

всех

д.,

отличных

от v - ^ 1

. Это

означает,

что

ф (аг) = vv0 (е) ф (а)

или что

'в

0 i ) j Ф = v v o (8 ) Ф

для

всех

г^ир.

Если

ф' = я(да)ф, то

'в

0 \ \ .

/Уе

0 \ \

/ / 1

Ч11л

) ) ф ' =

я ( ( 0

j I

)л(ю)ф = я(а)) я( (Q

)]ф .

Так

как

/е

О Ч / е - 1

г)

\ 0

е Д О

1У'

выражение

правой

части

равно

v - 1 (е) я (w) ф = v 1

(е) ф',

так

что ф' (jx, 0 = 0,

если

\ьф\.

и g X и характер

Возьмем

теперь

некоторый

вектор

группы

Up и обозначим через ф функцию из V0,

которая

равна

нулю вне

UF,

на

Up задается

соотношением

<p(e) =

v ( e ) v 0 ( e ) M .

(2.10.2)

Если

ф' = я(ш)ф,

то y'n(v)

является

функцией

от

п, v

и и,

кото

рая

линейно

зависит

от и,

и мы можем

записать равенство

Фп (v) = Сп (v) и,

где C„(v) — линейный оператор на X. Введем формальный ряд

C(v, 0 = 2<"CB (v).

Проверим теперь третью формулу предложения. Так как ф содер жится в V0, произведение в правой части определено. Поскольку обе части линейны по ф, нам требуется проверить это только для некоторого множества образующих пространства V0. В качестве такого множества можно взять функции вида (2.10.2) вместе с их сдвигами на степени со. Для функций вида (2.10.2) формула спра ведлива ввиду способа, которым были определены ряды C(v, t). Таким образом, единственное, что остается сделать,—это показать, что если формула справедлива для данной функции ф, то она остается справедливой и при замене ф на

я ((о' l ) V

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб21Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб10Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб10Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб34Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб12Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб10Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб28Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб59Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf