книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

338

Гл. III. Кватернионные

алгебры

Если

v вещественна, то мы не можем

описать Sfv, не вдаваясь

Пусть

а'в(g)

= %v(v (g))

для g£G'v

и

nv

есть

представление

группы Gv,

такое, что

а

О

Ы 1 ч о

а)1

=

Ъ(а)1

для

всех

a£Fl.

Применяя

лемму

3.9 к %vl®nv>

м ы

видим, что

ограничение

представления

nv

на

Kv

содержит

представление

k—*%v(detk) в

том

и

только

в том случае,

когда

nv = n(nv,

vv),

Pvvv = 4v

и

ограничения

характеров

\iv и vv

на Uv,

группу

единиц

поля

Fv,

равны ограничению

характера

%v. Пусть

3"0—функция

на

Gv,

которая

равна 0 вне ZVKV,

а

на Kv

равна

мера (ZV\ZVKV)

( d e t g ) 1

Пусть

Hv—группа,

порожденная

группой

Zv,

матрицами

с

d j

в Kv,

для

которых с = О (mod *р„), и

'О

1

О

Пусть

(Oj,—характер

со^,(а) = (— 1)" %v(а),

если

|a| = |cOj,|n.

В соот­

ветствии

с

заключительными

леммами

предыдущего

параграфа

в пространстве

представления

nv

существует

ненулевой

вектор

и,

такой,

что

я„ {g) u = wv

(det g) и

для всех g£Hv

в том и только том случае, если я„ эквивалентно

ov,

nv — n(\iv,

vv) бесконечномерно, [ivvv

= r\v

и

ограничения

харак­

теров

\iv и v p на Uv равны ограничению характера %v или если я„ —

одномерное

представление

Пусть

£f"v—функция,

которая

равна

0 вне Hv

и

равна

§ 16. Приложение формулы следа

Сельберга

339

Имеются некоторые следствия четырех условий на

Sfv,

которые

нам понадобятся. Если \iv

и

vv—характеры

группы F%, такие,

что

Hvvv

= r\v,

то след р(<5"Ф, щ,

vv)

является

кратным выражения

М « ) v„(P)

f-

1 / 2

J S

S Stv(k-^ank) dn d k l

da,

если

'a

0

чО

Р У

Поскольку это выражение

равно 0

для

всевозможных

выборов

\iv

и v„,

J

S &v(k-lank)

dk dn = 0

для

всех

a. Мы также

заметим,

что если a'v не одномерно, то

J

J Ivik-iank)

dkdn = 0

для

всех

а.

Если яр —специальное

или

абсолютно

каспидальное

представ­

ление, то

след nv(afv)

равен,

следовательно,

*2

* I

Л

Поскольку

S'

Z„\B0

\

Bv\Ov

равен 1, если nv эквивалентно оъ,

и О

след

nv(Sfv)

в противном

случае,

из

соотношений ортогональности следует,

что

для

всех регулярных b и, таким образом,

по непрерывности

для

всех

Ь,

собственные значения которых не

лежат в Fv.

Вероятно,

что

из

теоремы Планшереля следует также

равенство 3'v

(е) = d

(ov).

знать,

что

<SPv{e) —d(o'v).

Пока мы

довольствуемся

наблюдением,

что если

(Oj,—характер группы FI

и

а'0

заменено на со„(^)а0, то

формальная

степень

не меняется,

а

Sfv

заменяется

на

функцию

g—*-со„"1

(detg) £fv{g),

так

что

£Pv(e)

не

меняется. Таким

образом,

соотношение

Sfv (е) = d (o'v)

следует

лишь

доказать,

когда

o'v

три­

виально.

v

в

S,

аа

Пусть

5Х

— подмножество

точек

для

которых

одно­

мерно,

и

пусть St—дополнение

множества

5,

в S. При

заданной

/ — fi * /2

в

В

положим

340

Гл. 111.

Кватернионные

алгебры

Пусть ро—представление группы Од на

А1(ц),

сумма

(в

смысле

гильбертовых

пространств)

пространства

Ап (п) и

функций

вида

%• §—^x(detg),

где % — характер

группы F*\I,

такой,

что

%2 = г],

и пусть р — представление

на

Л(г|). Если

хоть

одно

из

представ­

лений ро не одномерно, то

р£ (Ф)

аннигилирует

ортогональное

до­

полнение пространства А0(ц).

Если все они одномерны,

то

приме­

точек

в

S

четно, и увидим,

что р£(Ф)х = 0,

если

не

выполняется

равенство a'v(К) = %v(v (h)) для

всех

h£G'v

и

всех

v(tS;

в против­

ном

случае

Р?(Ф)Х =

т(/)Х-

Напомним, что А0 (г|) есть прямая сумма пространств V',

на

кото­

рых GA

действует

согласно

представлениям

я' = ® я £ .

Если

хоть

одно

из

представлений а'в не одномерно,

то

р„ (Ф)

равно о (/)

на

М

и аннигилирует ортогональное дополнение пространства М в

А0(х]).

Допустим, что все они одномерны. Если

i £ X ,

то ограничения

опе­

раторов

pj (Ф)

и о (/)

или

т (/)

на

М{

равны

и р+ (Ф) аннигилирует

ортогональное

дополнение

пространства

М'

в

V'.

Если

i (£ X,

то

след

ограничения

оператора

р„ (Ф)

на

V

равен

| П

след nlB

(&v)

j . {след nls (f)},

где its =

®B4sJio.

Поскольку

представления

nlv,

v

v£S,

все

беско­

нечномерны и

по

крайней

мере для

одной

такой

представление

я'„ не

эквивалентно av,

то

П

следя£ (<Э"„) =

0.

ves

Мы выводим,

что

след р+ (Ф) = след т (/).

Для

доказательства

равенства

след т (/) =

след т'

(/)

нужно

применить

формулу

следа

для

нахождения

подходящего

выражения

для

следа оператора Ро"(Ф).

Для

описания

этой

формулы нам

необходимо

сформулировать

некоторые

результаты

из теории

рядов Эйзенштейна.

Рассмотрим

совокупность пар

характеров

р,,

v

группы

F*\I,

таких,

что

u.v =

i i . Две такие

пары

ц,

v

и

р,', v'

называются

экви­

валентными,

если

существует

комплексное

число

г,

такое,

что

\i' — [iaF

и

v' = va^r .

Если

а (ЕЛ то

arF(a) = \a\r.

Пусть

Р — неко­

Пусть (fx,

v) принадлежит

Р. Если

s—комплексное число, то

пространство

$ ( р , о $ 2 , \ajsl%)

функций

на NA\GA

определяется,

§

16. Приложение

формулы

следа

Сельберга

341

как в § 10. Поскольку функции в этом пространстве

определяются

их ограничениями на К, мы

можем

рассматривать

его

как

про­

странство функций на К, и

в этом

случае

оно

не

зависит

от

s.

Таким образом,

мы имеем

изоморфизмы

Ts:S3(\ias/\

\ар°/г)-+33(\1,

v).

Теория рядов

Эйзенштейна

дает

нам функции

(ср,

s) —• Е (ср,

s)

из S3 (ц,

v ) x C

в

Л (ц); Е (g,

ср, s) есть значение функции

Е (ср,

s)

в точке

g. При

заданной

ср функция

E(g,

ц>, S)

непрерывна

по

g

точек

в С, такое,

что вне этого множества

она

голоморфна

по s

для всех g и ф. Если s не

лежит

в

этом

множестве,

то

отобра­

жение

ф—у Е (Г^ф,

s) пространства

S3 ( L I C C ^ 2 ,

vaps/2) в Л (т)) комму­

тирует

с действием

алгебры

Ж.

Если полная мера NF\N

А берется равной 1, то интеграл

J

E(ng,

Г,ф,

s)dn

Np\NA

равен

ф(£) +

(М (s) Ф )

(g).

Далее,

M (s)

есть

линейное

преобразование

из

^ ( р . а ^ а ,

v a j s / 2 )

в S3(vaps/2,

цар2),

которое

коммутирует

с

действием

алгебры

Ж.

Оно мероморфно

в смысле мероморфности выражения

<М (s) Т~^г,

7YV.

если чУ£33(\к,

V)

и

ф 2 € ^ ( у - 1 ,

р . - 1 ) .

Частное

от

деления

M(s)

на

L ( l - s ,

V L I - I

) _

,

.

L(s,

u.v-1)

L (l+s ,

(xv-1 )

1

'

^

'L(\+s,

UV-1 )

ции

£ (g,

ф, s) определяется поведением функций

М (s),

наверное,

возможно, как мы заметили выше,

использовать

эти

ряды для

доказательства того, что составляющая пространства S3 (pap2, va^s / 2 )

является

также составляющей пространства

Л(г)).

Чтобы

отметить зависимость функции М (s)

от р, и v, мы пишем

M(\i,

v,

s). Тогда

М(\х,

v, s) М (v, ц,

— s) =

/ .

Если s

чисто мни­

мое,

то мы можем

ввести

внутреннее

произведение

(<Pi.

Фа) = I Фх (k)

Ъ (Щ d k

к

на пространстве S3 (|хо$2 , va^ s / 2 ) . Пусть

В (р-схр2, va^s / 2 ) — его попол­

нение относительно этого внутреннего произведения; В

(\iasp2,

va}s/2)

можно рассматривать как

пространство

функций на

GA, на

кото­

рые GA действует правыми

сдвигами. Представление

группы GA на

§ 16. Приложение формулы следа Сельберга

343

где с—положительная

постоянная,

связывающая различные

меры

Хаара. Более

точно

она

будет

определена

позднее. Если

F—функ­

циональное

поле с

полем

констант

F9 ,

то

Я будет пространством

периодических

функций

с периодом Щ^- i

и нормой

2я

log q

^

]

l|«PW||'d|s| .

о

В целом мы будем действовать, словно F имеет характеристику О,

делая

время

от времени лишь замечания об изменениях, которые

должны

быть

сделаны

в случае

положительной

характеристики.

Если

Ф = ©ф(ц>

v)

принадлежат 2 ,

то положим

Е (М> Ф. s) = 2 Е

(г. Ф (t1 . v)> s ) -

Если

ф £ Я

принимает

значения

в

то

IT

ТШ1

~к

) Е (g'

ф

( s )

' s ) d

I s

I = Ф te)

существует

в

Л(г|).

Отображение ф—>-ф продолжается

до изомет-

рии

пространства

Я

с

некоторым

подпространством

At

(т))

прост­

ранства

Л (TJ).

ЕСЛИ

g£GA

и

ф'

определяется

соотношением

f'{s)

=

TtP(g,s)Tr^(s),

то ф'

есть

р (g) ф.

дополнение пространства А1(х\)

А%(г\).

Ортогональное

есть

Таким образом, если Е есть ортогональная

проекция

пространства

А (т)) на А1

(т|), то след оператора

р^(Ф) совпадает со следом оператора

р (Ф) — Ер(Ф),

который,

в соответствии с формулой следа Сель­

берга,

равен

сумме

следующих

выражений. Мы сначала

их

выпи­

шем, а

потом

объясним:

(I)

мера

(ZAGF\GA)0(e);

<")

I I I

И

м е р а

(ZABF\BA)

С

<b{g-lyg)<oB(8)i

Qi

yeZF\BF

BA\GA

(111)2

2

мера

(ZABABA)

f

Ф

cos (g);

(IV)

( - с )

V

V I E

Ц ? , / . ) } * ) , ^ / , ) !

yeZF\AF

v

v t z F

(V) c[x0 ne(ojB )+LJ2e'(o,/„) П в(о,/„)П

(VI)

-

1

след

Af (О)р(Ф, 0),

если

F — числовое

поле, и

_ М 1 | с

л е д

Л1(0)р(Ф,0) + след М ( т | 7 ) р ( ф , - j ^ ) }

.если

F — функциональное

поле;

(00

(VII)

j

след т"1

(s) т' (s) р(Ф,

s) d | s|,

если

F — числовое

поле, и

2л

log2л(7

4л

J

след

m _ 1

(s) m' (s) p (Ф, s) d | s [,

б

если

F — функциональное

поле;

(VIII)

сумма

по (p., v) и v

интегралов

4 j

j {tr Я " 1 (IV vv

s) #' 0-V V

s) р (/, | V v„, s)} х

X J

П t r P ( / « "

И-«. v «» s)\d|s|,

Iда=?t v

f

если

F — числовое

поле,

и

интегралов

2л

^

logjq

{tr i?-1

(|l p ,

v„, s) #'

(ц,„, v„, s) p (/,

Ц„, V„, s)} X

0

II tr p

X J

если

F—функциональное

поле.

Функция

Ф

имеет вид

® ( g )

= n.fv(gv)-

V

Пусть Q — некоторое множество

представителей

классов

эквивалент­

ных

квадратичных

расширений

поля F. Для каждого

Е в Q фик­

сируем некоторое вложение поля Е в матричную алгебру М = М(2, F).

Пусть BF=BF(E)

— мультипликативная

группа

поля Е, рассматри­

ваемого

как

подалгебра

алгебры

М; ВР

есть

централизатор Е в

GF.

Пусть ВА = ВА

(Е) — централизатор

£ в Од, Qx —совокупность

сепарабельных

расширений

в

Q, Q2 — совокупность несепарабель-

ных расширений и АР— группа диагональных матриц в GF.

Выберем

на NA такую

меру

Хаара,

что мера NF\NA

равна 1.

Выберем

на

К

нормализованную

меру

Хаара.

На

компактной

346

Гл.

III.

Кватернионные

алгебры

Если

О

1

а'

О

- 1

oy"

=

V.o

р ' » Л ' * ' '

то

Ш

=

Положим

6(s,

fv) = m + a t

! )

J

J

М ^ ' ^ Ч а А - )

1 ^

'

S dav dkv ,

где

av

0

P

PV

1

0'

n°~\0

I J'

1 j ,

есть

тривиальный характер

группы

F„. Функция

8 (s, /„)

ана-

литична

по крайней

мере

для

Re s >

— 1.

Ее

производная в

точке

0

равна

6' (0, /„). Если

V

то

разложение

Лорана

функции

L ( l + s ,

1^)

в

окрестности

точки

s = 0 имеет вид

Оператор

m(s)

есть

оператор

на

L(s),

который

для

любой

пары

(р, v) умножает

каждый

элемент

из В ( р а / / 2 , V<XFS/2)

на

Щ—8, УЦ-1 )

Мы можем представить

В (paj/2 ,

VOCFS/2) в виде

0 o B ( p ^ 2 , v ^ f ) ,

когда

s

чисто

мнимое. Если

s >

0,

то

пусть

/? (р„, v„, s) — опера-

ю р из

33 {^ар12,

vvaps/2)

В 33{vva.Js'2,

p ^ f 2 ) ,

определяемый

сле­

дующим

условием:

Я (Р*> v„

S) ф (g)

=