Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3830 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

288

Гл. III.

Кватернионные

алгебры

Если — l / 2 < R e s < 3 / 2 , то

первый

интеграл

равен

J ¥ ' (h)\c]ethl3^-s{^0(g)<n(g)v,

n(h)

v> | d e t g | s + 1 / 2 d*g} d*h.

Заменяя g

на

hg,

получаем

J ¥ '

(h) I det

h |2 { J Ф (Ag) <я (g) i>,

u> | det g |s+

d*g)

d*h.

Если в качестве аддитивной меры Хаара мы возьмем dh =

| det /г |2 d*h,

то это выражение

можно

записать

в виде

J <я

(g)

~v>\ det

g|»+1/»

(hg)

V (h)

dh}

d*g.

Второй

интеграл

равен

J W (h)\ det h\s+1/i

Ф' (g) <я"> (g) v, я " 1 (/i)b> | det g\"*-s

d*g} d*h.

После замены

переменных

он переходит

S < я - х (g) о, Б> | det g |»/»-s

{ J Ф' (g/i) ¥ (h) dh } d»g.

Заменяя g

на

g _ 1 , получаем

\<n(g)v,

v>\detg\s+1'*

{ I det^|~a

J Ф' (g-^h)V

(h)dh) d*g.

Поскольку

интеграл

J Ф (hg) У

(h) dh

равен

|detg| - 2 $ Ф '

(g-lh)Y(h)dh,

лемма доказана.

Теорема доказана в случае, когда я абсолютно каспидально.

Допустим	теперь, что	оно является составляющей				представления
т = р(р 1 ,	р 2 ) . В этом	случае		поле может быть архимедовым.			Хотят
не обязательно неприводимо,				оно допустимо	и определены		его	ма
тричные	коэффициенты.		Контраградиентное		представление		т	есть
Р(РГ\ РГ1 ) и пространство представления т					есть .53 (р^ ра ),		а	про
странство	представления		т есть ^ ( р г 1 . Ра"1)- Если			/ € ^ ( р г ,	Щ) и
/ ё ^ С р Г 1 , Р»1 )- то
	<T(g)/, ? > » $ / ( * £ ) / ( * )				dk
				к

§ 13. Дзета-функции алгебры М (2, F) 289

</,*(£) 7> = $ /(*)f (te)dk,

где/С — стандартная максимальная компактная подгруппа группы Qp. Если мы положим

L	(s, T) = L(S, Hi)M s > ц,),
L	(s, т) = L (s, iir 1 ) L (s, fi2 _ 1 )

e(s, x, ¥ ) = e(s, fx,, ¥ ) e (s, [г2, ¥ ) ,

то теорема может быть сформулирована для представления т. Мы

докажем	ее сначала	для г	и затем для неприводимых составляю
щих т.					Если Ф$£Р(А),
Мы	используем	метод	Р. Годемана.		Если Ф$£Р(А),	то для
краткости функцию		х—>-0(gxh),		которая также принадлежит £f (Л),
будем обозначать через hOg. Кроме того,					пусть
		Ф Ф К ,	о,) =	\| [ ф ( ( £	* ) ) d x ,

где dx—мера, которая самодуальна лежит <SP(F2). Отображение Ф — * ф ф заведомо непрерывно. Мы собираемся на КхК. Положим

относительно ¥ , фф принад пространства Of (А) в £Р (F*) определить ядро КФ (h, g, s)

			КФ (е, е, s) = Z(iL1aF,			ц2авр,		ф ф ) .
Напомним,			что правая	часть равна
			S J ф ф (al t	a,) щ (а,) \| а, \|» цг (а,) \| а% \"					d»a,.
В общем		случае
			КФ	(h,	g, s) = КЙфн-1	(е,	е,	s).
Мы также			положим
			Кф(е,	е, s J e Z ^ f 1 ^ ,		р^ар,		ф ф )
и
				(h,	g, s) =/С е Ф л - 1 (в, в,			а).
Эти	ядра	определены для достаточно				большого			Res	и	непрерывны
по h, g и s, а для фиксированных h к g							голоморфны			по s.
Теперь		мы проделаем			некоторые формальные				вычисления, кото
рые	будут		оправданы		последующим		результатом.				Выражение

13 Ла 435

290			Гл.	III. Кватернионные	алгебры
Z ( C 4 + , /	2	® T ,	Ф, /, /)	равно
		]	Ф (ё) {1/ № ? (k) dk} I		detg \|«+v d*g,
которое	в свою очередь			равно
		11 W { S Ф (g) / (kg) 1 det g Г v» d*g} dk.
Заменяя		переменные во внутреннем интеграле, получаем

Используя разложение Ивасавы для вычисления интеграла по GF, мы видим, что это выражение равно

J	^(k1,k2,s)f(k2)J(k,)dk1dk2.
К Х К

Поскольку мы могли бы для абсолютных значений получить сход ный результат, все интегралы сходятся и равны при достаточно большом Re s. Аналогичное вычисление показывает, что функция

Z ( a s / 1 / a ® t , Ф, /, J)

равна
	$	КФ(К,к2,				s)f(k1)J(k2)dkldk2,
	К Х К
если Res достаточно			велико.
Если I—элементарный				идемпотент, такой, что т(£) = /			и т ( £ ) / = / ,
то Z (a/7+ 1 / 2 ® т, Ф,			/ )	не меняется при замене Ф на
	Фх (s)	= И Ф (КёК1)				I (К) I (К) dk, dk2 .
Таким образом, по		крайней			мере	при доказательстве	второго и
третьего	утверждений		мы можем допустить, что Ф К-конечна					справа
и слева	и фактически		преобразуется согласно некоторому фиксиро
ванному	конечному	множеству			неприводимых представлений			груп
пы К- Тогда, когда s меняется, функции
				КФ (kx,		k2, s)

остаются в некотором фиксированном конечномерном пространстве U непрерывных функций на КхК- Отображение

F-^HF(kl,k2)f(k2)~f(k1)dk1dk2

		§ 13. Дзета-функции		алгебры М (2, F)	291
является		линейной формой	на этом пространстве, и мы можем найти
g\,	.. ., g„	и hu . . .,h„ в К,	такие,	что оно может быть	представлено
в	виде

Итак,

Таким образом, для доказательства второго и третьего утверж дений нам нужно лишь показать, что для любых g и h в К функция

				Кф	(g, h,		s)
				L	(s,	т)
целая	и K<s(g,h,s)		ограничена		на бесконечности				в вертикальных
полосах. Конечно,			можно	допустить,			что g = h = e, так что
			КФ {е, е,	s) = 1	^	^ ,	\i2aF,	ф Ф ) .
Таким	образом,	желаемые		факты		следуют		из результатов, которые
были	получены	в § 3, 5 и 6 при				доказательстве			локального функ

ционального уравнения для составляющих представления т. Заме няя т на контраградиентное представление, мы получаем такие же результаты для Z ( a s / 1 / 2 @ т, Ф, /, / ) .

Для доказательства функционального уравнения мы должны

знать, что произойдет	с	преобразованием	Фурье	при переходе от
функции Ф к Ф,. Ответ		прост:
Ф; (§)=S	S Ф' (k.gkT1) I (К) i		(kt) dk,	dk2 .

Таким образом, при доказательстве функционального уравнения мы можем предположить, что Ф является К-конечной справа и слева.

Мы	можем	также	допустить,		что если F (klt k2)			лежит в U, то это
же	верно	и для	F' (kx, k2)	= F (kit		k^.	Тогда
		Z ( C ^ + 1 / 2 ® T ,		Ф',	/,	?) =	2 М : Ф ' ( А „	ft. s).

Для доказательства функционального уравнения мы должны пока зать, что

Хф ,(Л,г,	l - s )	W 4 Кф	(g,	К s)
L ( l - s ,	т)	- e ^ s ' т - V>	L(s,	т)

для любых h и g в /( . Поскольку преобразование Фурье функции gtD/i_ 1 есть /гФ£\ достаточно сделать это для h = g = e. Тогда равен ство сводится к

L(l-s,x)

~ Ч $ ' Т '

}

М * . т )

10*

292	Гл. III. Кватернионные алгебры

и является следствием фактов, доказанных в первой главе, и следу ющей леммы:

Л е м м а	13.2.1. Преобразование Фурье функции <рФ есть функ
ция срф '.
Значение	функции Ф' в

равно

¥ (ах + pz + уу + 60 dx dy dz dt,

если меры dx, dy, dz и dt самодуальны относительно ¥ . Таким образом, фф- (а, 6) равна

¥ (ax + dt) ¥ (Pz) dx dy dz dt > dp

Применяя формулу обращения для преобразования Фурье по паре переменных Р и г , мы видим, что это выражение равно

последнее	выражение есть значение преобразования Фурье функ
ции фф в	(a, 6).

Теорема, за исключением четвертого утверждения, доказана те

перь

для

представления

т. Теперь мы выведем ее, исключая четвер

тое

утверждение, для составляющих представления т. К

четвертому

утверждению

мы

вернемся

позднее.

Если

я — некоторая

составляющая

представления

т,

то либо

я = я (nv

fx2),

либо я = a (fXj, ц,2).

первом случае доказывать

не

чего. Во

втором

остается

проверить лишь третье утверждение. Если

F—комплексное

поле,

то

зсе хорошо, поскольку всегда можно

найти другую пару квазихарактероз \i[

и ц2 , таких, что я = я (ц[,

ц'2).

Мы

оставим

этот

случай

и допустим, что F—вещественное

или

неархимедово

поле.

Мы можем допустить, что \ix

Возьмем

сначала неархимедово

и ц2

имеют

вид \il — Xa¥i

и ц2 = Хар1/г.

Одномерное

представление

g —*%(detg)

содержится

в x = p(\ix1,

L171)

и действует

на

функцию

g—*%(detg).

Матричными

элементами

для

я служат

функции

			§ 13. Дзета-функции	алгебры		М(2, F)	293
где	/ ^ ( p f 1 .		рГ1 ) и
			$/(£)X(det	k)dk	=	0.
			к
Для	такой	/	существует элементарный			идемпотент £, такой,	что
т ( \| ) / = /,		тогда как
			$g(£) dk =		0.
			/с

Значение Z(asF+1/2® я, Ф, / , / ) не меняется при замене Ф на

Ф1 (^) = $Ф(^-1 )1(/1)с1Ь.

Л е м м а 13.2.2. Если gt и g2 принадлежат GF, то

I I ° l ( * l ( o	o ) ^ ) d x d y = 0 -
Достаточно доказать это для	единичного элемента gv Пусть

Если	gx — единичный элемент, то после замены переменных		интеграл
превращается в
	I det g21"1 J J Ф (х,	z/)dxdy,
так что мы можем также допустить,		что и g2—единичный	элемент.
Тогда	интеграл равен

	5 { И ф	(Со	о)	* )d x	S (*-л>	dfc-
Делая, как и выше, замену			переменных, мы видим, что				внутренний
интеграл	не зависит от	К-	Поскольку
		$ и*-1 ) dk=o,
лемма доказана.		к
лемма доказана.
Чтобы	установить	третье утверждение для				представления л,
нам нужно лишь показать,			что	для любых g и h в К			функция
			Кф	(g, h, s)

I (s, я)

294

Гл. III. Кватернионные

алгебры

является целой при условии, что

И ф ( * ( о o V ) d x d y = = 0

для всех gt и g2 в GF. Как обычно, нам нужно рассмотреть лишь случай g = h = e. Поскольку

ФФ (х,

0) dx = 0

КФ

(е, е,

s) — Z ([i^p,

ц2ар,

ф ф ),

нам нужно лишь сослаться на следствие

3.7.

Если

F — поле вещественных

чисел, то доказательство в основ

ном

то

же

самое,

но

чуть

сложнее. Мы

можем

допустить,

что

PiPa-1 (х) = | х\ГР+1~Т(sgnx)m,

где

р — некоторое неотрицательное

це

лое и т есть 0 или

что

я действует

на

53д (р1 ( р2 ). Ограниче

ние

представления

на

SO (2, R) содержит

лишь

те представле

ния х„, для которых п э= 1 —т (mod 2) и | п | ^

2р + 1 —/п. Пусть |„ —

элементарный

идемпотент,

соответствующий представлению х„. Как

и выше,

мы

можем

допустить, что

(Л) dk =

(13.2.3)

SO (2, R)

на SO (2, R).

если

и„

не

входит

ограничение

представления я

Л е м м а

13.2.4.

Если

Ф удовлетворяет

условию

(13.2.3), если

g t

и g2

принадлежат

если

ф = фё , Ф

g l ,

то

f х' — . ф(х, 0) dx =

Зля

i ^

/ ^

0 ы

г +

/' =

2р — т.

Мы можем

допустить,

что

= e.

Если

ф = ф ф ,

то пусть

ЦФ)

(V—.<p(jc, 0) dx

и пусть

F te) =

L(ga>).

Мы должны показать, что при предположениях леммы F(g) = 0 для

всех g. Однако F определена для всех				Ф£&Р(А),	и если	Ф заме
нить	на ЛФ,	то функция	F заменится	на F (gh).	Таким	образом,
для	проверки	тождества
		а1 z\	\	П2 (a«) ^ ig),
		0	J g 1 = %	П2 (a«) ^ ig),

§ 13. Дзета-функции

алгебры М(2,

295

где r\1(a1)

= a~i\a1\~1

г\2

(а2 ) = а| | а 2

н а м

нужно лишь

устано

вить его

для

g = e.

Пусть

Тогда

а,

Если

ф = фф

фг = фйф,

то функция

ф1 (х,

у),

задаваемая

интег

ралом

/ /a.x

xz 4- ам

\ \

равна

^ Г

1 ] " Ф

ахх

„

| а 2 | - 1 ф ( а ^ , а2г/).

„ ) )с!и =

а2у

Кроме

того,

F (К) равна

интегралу

dx,

который

равен

a r ' l a J - ^ l f l . r j ^ ^ U ,

0) dx,

как и требовалось. Наконец, если

'а р

и ф = фг ф, то F(g) равна

Поскольку мы можем менять порядки дифференцирования и инте грирования, то

~ , (*. °) = Е КГ V~n f Ф» («* + уи, рх + б«) du,

где

296	Гл. Ill. Кватернионные алгебры

и Хп — постоянные числа. Таким образом, F (g) является линейной комбинацией функций

у"	^ ^ х' ф„ (ах +	уи,	6л: + би) dx du.
Если а ф О, то мы	можем вместо	х	подставить х—~	и получить

где A = detg. Подставляя и — ^-х вместо и, получаем

После еще одной замены переменных это выражение превращается в

А-'' \| А I " 1 у" Ъ'-п J J	(6х — уи)'чп	(х,	и) dx du.
В результате F (g) есть функция	вида
= Д - ' \| Д \| - 1 Я ( а ,		6, у,	б),

где Р—многочлен.

Таким образом, правые сдвиги функции F на элементы из GP

порождают	конечномерное пространство. В частности, она 0(2, R)-
конечна, и	если	= picc]^2, тогда как т]2 = р 2 а р 1 / 2 , то она лежит

в некотором конечномерном инвариантном подпространстве простран

ства 33(\а'и pi).

Таким

образом,

она лежит

в 33f(\i[,

pi).

Поскольку

p i p i - 1 = prV2>

никакое

представление

группы

SO (2, IR),

входящее

в я (pi, р2 ), не

может

входить

в я = о ( р 1 , р2 ).

Если F не

равна

нулю, то по крайней мере

для

одного

такого

представления

х„

SO (2, R)

не есть тождественный

Но

есть результат замены ф на

Ф 1 ч *) =

d>(xk-i)ln(k)dk

SO (2, R)

в определении

функции

частности,

если

удовлетворяет

условиям леммы, то и фх

и Ft

равны нулю. Следовательно, F также

есть нуль, и лемма доказана.

Третье утверждение может

быть проверено, как

и в неархимедо

вом случае, применением леммы 5.17. Четвертое утверждение пред стоит доказать в общем случае.

13.

Дзета-функции

алгебры

М (2,

297

Если F—вещественное

поле, то пусть if,

( Л ) — пространство функ

ций

вида

Ф |

Ь, с,

d),

(

Л ) = ехр( — п{а? + Ь* + с* + й*))Р{а,

где

Р—многочлен.

Если F — комплексное

поле, то

<&'1(А) будет про

странством

функций

вида

((а

ЪХ\

Ф ( (

А) =

е х Р (— п (aa-j-bb-\-cc-\-dd) Р (a,

Ь, с, с, d, d),

где

Р — снова

многочлен. Если

неархимедово,

то

if,

(Л) будет

в точности

совпадать

с if

{А).

Пространство

if,{F%)

определяется

подобным

же

образом.

Л е м м а

13.2.5.

Пусть

q>£if,(F2).

Тогда

существуют

функция

0(tif,(A),

такая,

что

КФ (е, e,s) = Z (ma'F, h,^, ф),

и fv • • •> L	£ $(И-i. Иг)вместе с f,
S	S ^СФ (Ai g> s) / ( g )

/„ € -S3(р.Г\ Иа1 ). такие, что

(h) dg dh = /СФ (e, e, s).

Поскольку существует функция cp g if, (F2), такая, что

Z ( H i « F , №SP, Ф) = aebs L (s, т),

из этой леммы будет следовать четвертое утверждение для представ

ления	т.
При	заданной	ср существование функции	Ф	с условием ф = ф ф
и, следовательно,		равенство
		КФ (е, е, s) = Z (\i,asF, u.2asF,	ф ф	)

доказываются тривиально, и нас заботит лишь существование функ

ций f„ . . . , / „ и ]„

/„.

Легко видеть, что если

'а, х \

чО aj

'К У

принадлежат К, то выражение

(fa,

х\

(Ь, у

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3830 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб21Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб9Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб11Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб9Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб27Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf