Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 383 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20 Гл. I. Локальная теория

(II) Пусть	Ф~	обозначает	частичное	преобразование Фурье:
		Ф~(а, 6) =	S<D(a, у) УF	(by) dy,
			F
где мера Хаара	dy	предполагается самодуальной относительно WF.
Тогда
		[г (g)	ф)~=р(ё)ф~

для всех Ф 6 <У (К) и всех g g GF.

Легко доказать утверждение (II) для g£ SL (2, F). Действительно, достаточно проверить его для стандартных образующих, а для них это следует из соотношений предложения 1.3. Формула из утверж дения (II) поэтому определяет продолжение представления г на GL(2, F), которое, как легко видеть, удовлетворяет условию утверж дения (I).

Пусть

Q — квазихарактер

группы

/С*. Так

как

K* =

F*xF*,

мы можем отождествить Q с парой

((ot, со2)

квазихарактеров груп

пы

F*. Определим

представление га

соотношением

го

(g) =

\fetg\F/*w1(detg)r(g).

Если

х £ К* и

v (х) = 1,

то х

имеет вид (t,

t'1),

где

t g F*. Если Ф

принадлежит

of (К),

положим

6(Й,

Ф ) =

lQ((t,

t-i))0((t,

/ - l ) ) d 4 .

Так как

подинтегральное

выражение

имеет

компактный

носитель

на

F*, то

интеграл

сходится.

Ассоциируем

теперь

с Ф

функцию

W9(g)

= Q(Q,

г0{в)Ф)

(1.6.1)

на

GL (2, F)

и функцию

9o(a)

W o ( ( g

° ) )

(1.6.2)

на

F*. Имеет

место

соотношение

Если

^={(о i ) | a € P > x e F ]

и £—представление группы ВР на пространстве функций на F*, определяемое аналогично введенному выше представлению £ груп пы В+ , то

1(6) фф = фга(Ь)Ф

для 66 Я/г. Отображения Ф—*-Wq, и Ф - + ф ф уже не инъективны.

§ 1. Представления

Вейля

Если [А0 — квазихарактер, определяемый соотношением

|л0 (а) = Q ((а, а)) =

(а) со2 (а),

то

Г ф ( ( о а ) ^ ) = Ио(«) И М * ) -

Достаточно проверить это для g = e. Имеем

а 0 \ _ / а 2	0\ / а - 1	О
О а ~ V0	l M o	а
так что
Г о ( ( о ° ) ) ф ( ^ У ) = 1 « 2 1 > / г « 1 ( « 2 ) \| « 1 к 1 / г Ф ( ^ . а - 1 У)-
Следовательно,

	^ ф ( ( о		2)) =	S	<а") *°i (ж>		<х >ф	а	_ 1	d *x ="
			= со1 (а) со2 (а)			^ (Oj (х) со^1		(х) Ф (х,		Л Г 1 )	d*x,
что доказывает			требуемое		соотношение.
Как и раньше,				введем	чисто формально			распределение
	Z(Q, <D) = Z (coj, со2, Ф) = I					Ф (xl f	х2 ) ©! (*,) со2 (х2 ) d% d%
					к*
Если	fx — квазихарактер группы					F* и	Ф =	Ф Ф ,	мы	положим
				ф М = J Ф (а) ^ (а) d*a.
					F*
Этот	интеграл		равен
j рДа)е(Ъ,		r e ( ( j j		° ) ) ф ) d*a =
		= j ц ( а ) Я r Q ( ( g ? ) ) ф ( * . ^ M x J w r W d ' x l d - a ,
что в свою		очередь		равно
	J (х ( а ) ( а )			\| а \|У2	/ J Ф (ах, х-1)		coj (*) со,"1		(х) d*x\		d*a.

22 Гл. I. Локальная теория

Рассматривая это выражение как двойной интеграл и производя

замену переменных,				получаем
		^ \	Ф{а,		х)	{а) (мсо2	(х) \| ах \Уг d*a		d*x,
так	что	F* F*
так	что
			Ф	^ - г ^ а ^ 2 ,			fx©2«>/2. Ф)-				(1-6.3)
	Положим	ф' = фг (и>)Ф-				Тогда
	ф ' ( \| ц - 1 ^ 1 )			=	7(ц-1 со^1 аУ*,		ц - ^ ^ а У 8 ,		/ В	^ Ф )	,
что	равно
	\ \	Ф'	(г/,	х) и-1 ©,-1 (х) ц - ^ г 1				(</) I ху \| У	d*x	d*y;
значит,
	$'(^-Vo"1 ) = 2(}x-1 cor1 a>/ 2 ,							ц - ^ г ' а У ,	Ф').		(1-6.4)

Предположим, что ц = где — фиксированный квазихарактер и s—комплексное число. Ниже мы увидим, что интеграл, определяющий правую часть соотношения (1.6.3), сходится, если Res достаточно велико, и что интеграл, определяющий правую часть соотношения (1.6.4), сходится, если Res достаточно мало. Оба интеграла могут быть продолжены на всю комплексную плоскость как мероморфные функции, и существует мероморфная функция С (JX), не зависящая от Ф и такая, что

Z ^ a J / * , цща1/\		ф ) = С(\|л)2(}г-1 со71 а>/ 2 , ц-Чо^аУ*. Ф').
Таким	образом, ф (fx) = С (ц) ф' ([х- 1 (Хо1 ). Аналогия с приведенными
ранее	результатами	очевидна.

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

В этом и следующих двух параграфах основное поле F будет пред полагаться неархимедовым локальным полем. Мы будем рассматри вать представления я группы G F = G L ( 2 , F) на векторном простран стве V над С, которые удовлетворяют следующему условию:

(2.1)	Д Л Я каждого v£V	стабилизатор вектора v в GP являетс
открытой	подгруппой группы	GF.

Те, кто знакомы с соответствующими понятиями, могут проверить, что это равносильно следующему условию: отображение (g, v)—• —m(g)v произведения GFxV в V непрерывно, если V снабжено тривиальной локально выпуклой топологией, в которой все полу нормы непрерывны. Представление группы GF, удовлетворяющее

2. Представления

группы GL(2, F)

неархимедовом

случае

условию

(2.1),

будет

называться

допустимым,

если оно, кроме

того,

удовлетворяет

следующему условию:

(2.2)

Для

каждой

открытой

подгруппы

G' группы

GL(2,£)F)

пространство

векторов

v£V,

которые

стабилизируются

подгруп

пой G', имеет

конечную

размерность;

&р

обозначает кольцо

целых

элементов

поля

Пусть

Жр—пространство

локально

постоянных

функций

на

с компактным

носителем. Пусть dg обозначает меру Хаара

на

GF,

относительно которой подмножество GL(2, £)F)

имеет меру 1. Каждая

функция

/ 6 ЖР

может быть отождествлена

с мерой / (g) dg. Свертка


превращает			ЖP	в алгебру, которую			мы будем	называть			алгеброй
Гекке.		Любая		локально		постоянная	функция на	GL (2, £)F)			может
быть	продолжена на				GF,	если положить ее равной 0 вне GL (2, £)F ),
и поэтому ее можно					рассматривать как элемент из Жр.				В частности,
если	я,-, l		^ i г^г, — некоторое семейство неэквивалентных							конечно
мерных		неприводимых представлений					группы GL (2, DF)			и
				E,te)		= (dim(jt,))*/»trn ,te-i)
для	g(;GL(2,			£>F)t мы		можем рассматривать \| ,		как	элементы ал
гебры Жр.			Функция

является		идемпотентом алгебры Жр.		Такие идемпотенты			мы будем
называть		элементарными.
Пусть		я — представление,	удовлетворяющее			условию	(2.1). Если
\€.Жр	и и £ К, то f(g)n(g)v		принимает		лишь	конечное	число зна
чений	и	интеграл
		S f(g)n{g)vdg		=	n{f)v
		GF
может быть определен как конечная				сумма. В других			терминах,
мы можем задать на V тривиальную локально выпуклую							топологию

и использовать какое-нибудь абстрактное определение интеграла.

Результат будет		тот же самый, и отображение					/—>-я(/)	является
представлением		алгебры	Жр	на	V. Если	g£GF,	определим		M g ) /
как функцию, значение которой в точке h						равно	f{g~lh).	Ясно, что
n(^(g)f)	= n(g)n(f)-	Кроме		того,	имеет	место следующее		утверж
дение:
(2.3)	Для каждого v£V		существует функция				[£Жр, такая,		что

?»(/)» = Р.

24	Гл. 1. Локальная теория

Фактически в качестве / можно взять кратное характеристи ческой функции некоторой открытой и замкнутой окрестности еди ницы. Если представление я допустимо, то ассоциированное с ним представление алгебры Жр удовлетворяет условию

(2.4)	Для каждого элементарного идемпотента £ алгебры	ЖР
область	значений оператора я (£) конечномерна.

Мы теперь проверим, что по представлению я алгебры $%Р, удо влетворяющему условию (2.3), мы можем построить представление я группы GF, удовлетворяющее условию (2.1), так, что при этом

"(/) = S

f(8)n{g)6g.

Согласно (2.3), каждый вектор v£V имеет вид

v = 2 n(ft)vt, 1=1

где Vj£V и fi^fflp. Если мы сможем показать, что из равенства

2 я ( / , - К - = 0

(2.3.1)

следует,

что

вектор

и>= (2= i я (Я (g) fi)

равен нулю,

то сможем

определить n(g)v

как

я (k (g) ft)

vt;

я, очевидно,

будет тогда

представлением

группы

0Р, удовлетворяю

щим условию

(2.1).

Предположим,

что

условие

(2.3.1)

удовлетворяется,

и выберем

/ € 5KF,

такую, что

n(f)w

— w.

Тогда

i=l

Если p(g)f(h)=f(hg),

то

так что

M t e ) / / = p t e - 1 ) / * / / ,

w = i

я (р (g-i)

/*/,-)V i

= я (р (g-i)

(/,.) Л =

2. Представления

группы GL(2, F)

неархимедовом

случае

Легко

видеть,

что это представление

группы GF

удовлетворяет

условию

(2.2), если

исходное представление алгебры ЖР

удовле

творяет условию (2.4). Представление алгебры Жр,

удовлетворяющее

условиям (2.3) и (2.4), будет называться допустимым.

Имеется полное

соответствие

между

допустимыми

представлениями

группы

GP и ал

гебры

ЖF .

Например,

некоторое

подпространство

инвариантно

относительно

том

и только в

том

случае, если оно

инвари

антно относительно Жр,

а некоторый

оператор коммутируете дейст

вием группы

том и только

в том

случае, если он коммутирует

с действием

алгебры

ЖР.

явно

не

оговорено

противное, не

Начиная

с этого

места, если

приводимое представление группы GF или алгебры Жр будет пред

полагаться

допустимым. Если я

неприводимо и действует на прост

ранстве V, то любое линейное преобразование А пространства V,

коммутирующее

с действием Жр,

является умножением

на

скаляр.

Действительно,

если

предположить, как мы это всегда

и будем де

лать, что V отлично от 0,

то существует элементарный идемпотент £,

такой,

что

я (|) ФО.

Область его значений является

конечномерным

пространством, инвариантным относительно А. Таким образом, А имеет по меньшей мере один собственный вектор и, следовательно, является умножением на скаляр. В частности, существует гомомор физм со группы F* в С*, такой, что

для всех a£F*. Согласно (2.1), функция со равна 1 в некоторой окрестности единицы и поэтому непрерывна. Непрерывный гомо


морфизм		некоторой		топологической			группы в мультипликативную
группу		комплексных		чисел		мы будем называть ее квазихарактером.
Если		%—квазихарактер				группы F*, то g—>-x(detg)		будет		квази
характером			группы GF.		Этот квазихарактер определяет				одномерное
представление группы GF,						которое допустимо. Удобно		использовать
букву	х	также и для обозначения этого ассоциированного представ
ления.		Если я—допустимое представление группы						GF	на	V, то
через	% ® я		мы будем		обозначать		представление GF	на	V,	опреде

ляемое соотношением

( X ® « ) (g) = X(det£)rc(g).

Это представление допустимо и неприводимо, если неприводимо я. Пусть я—допустимое представление группы GF на V, и пусть

V* — пространство всех линейных форм на V. Мы определим пред ставление я* алгебры ЖР на V* при помощи соотношения

<v, я*(/)у»> = < я ( Н У ) V*>,

где fv (g) — f (g'1). Представление я*, вообще говоря, не будет до пустимым, и потому мы заменим V* на V = я* (Жр) V*. Пространство V

26	Гл.	I.	Локальная	теория
инвариантно	относительно	\,	ЖР. Для каждого			1^ЖГ	существует
элементарный	идемпотент	\,	такой,	что	=	и поэтому ограни
чение я представления я*		на V удовлетворяет условию					(2.3). Легко

видеть, что если \ является элементарным идемпотентом, то и £v тоже является элементарным идемпотентом. Чтобы доказать допустимость

Я,	требуется проверить, что						пространство
					V (6) = я (i)			(g) V*
имеет		конечную			размерность. Положим V (£v ) = я (£v ) V						и Vc=
=	( 1 — n(lv))V.			Очевидно,		V	является	прямой	суммой простран
ства		V(lv),	которое конечномерно, и Vc.					Кроме	того,	V (g)	ортого
нально к			Vc ,	так	как
			< i > — я n { l ) v >				= <n(V)v—n{lv)o,		v> =	0.
Из	сказанного			немедленно		следует, что V(g) изоморфно				некоторому

подпространству пространства, двойственного к F(gv ), и поэтому конечномерно. На самом деле оно изоморфно пространству, двойст

венному к F(gv ), так

как

если v* обращается

в нуль на

Vс ,

то для

всех

v£V

мы

имеем

<у, я*(g)v*> — <у, и*> =

— < У — я (gv) у,

у*> =

откуда

я*(|)у* = о*.

Мы

будем

называть

представлением,

контраградиентным

я.

Легко

видеть,

что

естественное

отображение

пространства

К в V*

является

изоморфизмом

и что образ V при этом отображении

равен

n*($tfF)V*, так

что я может быть отождествлено с представлением,

контраградиентным

я.

Если

— инвариантное

подпространство

пространства

= УДУ,

мы

можем

ассоциировать с я

представления

я г и я 2

на

Vx и V2.

Легко

видеть, что они допустимы. Ясно также, что сущест

вует

естественное

вложение

пространства

Кроме

того, лю

бой

элемент

из

лежит в

V1 (g)

для

некоторого g,

а поэтому

определяется

его

действием

на

V1(^'v).

Элемент vt

обращается в О

на

(/ — n(lv))Vt.

Поэтому существует линейная функция v на V,

которая

равна

нулю

на

(/ —jt(gv ))V

совпадает

с v±

на

V1(lv).

Функция

обязательно

принадлежит

V, и, таким образом, Vl

может

быть отождествлено cVt\V.

Так как каждое представление является

контраградиентным

представлению, контраградиентному исходному,

мы сразу же получаем следующую лемму:

Л е м м а

2.5. (а)

Предположим,

чтоУ^ — инвариантное

подпрост

ранство пространства V. ЕслиУг—аннигилятор1)

подпространства

то

V1—аннигилятор

подпространства

V2 в


1 ) Если Vi с V — векторные	пространства и Уг содержится в пространстве,
двойственном к V, то аннигилятором		в V2	называется множество всех функций
из Vj, которые равны нулю на	Vt.—Прим.		ред.

§	2.	Представления			группы GL(2, F)		ч неархимедовом			случае	27
(Ь) Представление				л	неприводимо	в	том	и только		в том	случае,
если неприводимо			я .
Отметим,		что	<n(g)y,		у> = <и, n(g~1)v~>			для	всех	g£GF.
Если	я — одномерное				представление, ассоциированное с						квази
характером		х,	то	я = %- 1 - Кроме		того,		если	%—квазихарактер

и я—любое допустимое представление, то представлением, контра-

градиентным х ® л > будет	х - 1 ® " .
Пусть V—сепарабельное	полное локально выпуклое простран

ство и я — непрерывное представление группы GFna V. Пространство


V0 = я {ЖР)		V инвариантно		относительно GF				и	ограничение я 0 пред
ставления я на VQ удовлетворяет условию (2.1). Предположим, что
оно также		удовлетворяет		условию (2.2). Тогда, если я неприводимо
в топологическом			смысле,	то я 0		алгебраически			неприводимо. Чтобы
убедиться		в этом,	возьмем любые два вектора v и w в V0							и выберем
элементарный идемпотент				\| ,	такой, что n(l)v				= v. Элемент и лежит
в замыкании множества n(fflF)w						и поэтому содержится в замыкании
множества		ji(fflF)wftn{%)V.			Так как, по предположению, прост
ранство	я (g) V конечномерно,					то	v на самом		деле должен лежать
в я {ЖГ) Но.				представления я, вообще говоря, не опре
Класс	эквивалентности
деляется		классом	представления				я 0 . Это,	однако, так,		если пред
ставление		л унитарно. Для			доказательства			достаточно		проверить,

что неприводимое допустимое представление допускает, с точностью

до скалярного множителя,

самое большее одну инвариантную эрми

тову

форму.

Л е м м а

2.6. Предположим,

что л1

и я 2

— неприводимые

допусти

мые представления

группы

GF на Vx

соответственно.

Предпо

ложим,

что

A(vlt

v2)

В (vlt

v2) —невырожденные формы на

V1xV2,

которые

линейны

по

первой

переменной и либо

обе линейны,

либо обе

сопряженно

линейны

по

второй

переменной.

Предположим,

кроме

того,

что для всех g£GF

имеют

место

соотношения

А (ях (g) vlt

я 2

(g) v2) =

A (vt,

vt)

В (ях

(g) vlt

я 2

(g) vt)

= В (t>lt

vt).

Тогда

существует

комплексное

число К, такое,

что

B(vu

и2) = Ы

(vlt

v2).

Определим два отображения S и Т

пространства V2 в Vlt

полагая

A{vu

о,) =

Sv2>

B{vlt

о,) = <о1 >

Tv2>.

Так как S и Т оба линейны или сопряженно линейны и их ядра равны 0, то они являются вложениями. Оба отображают Vt на не-

28	Гл. I. Локальная теория
которые	инвариантные подпространства пространства	Так как

V1 не имеет нетривиальных инвариантных подпространств, оба они являются изоморфизмами. Таким образом, S - 1 !' является линейным автоморфизмом пространства V2, который коммутирует с действием GF

и поэтому

равен

скалярному автоморфизму KI. Лемма доказана.

Допустимое

представление

будет

называться

унитарным,

если

оно

допускает

инвариантную положительно определенную эрмитову

форму.

Мы приступим теперь всерьез к изучению неприводимых до

пустимых представлений группы GP. Основные идеи здесь принад

лежат Кириллову.

П р е д л о ж е н и е

2.7.

Пусть

л — неприводимое

допустимое

пред

ставление

группы

на

векторном

пространстве

квази

(a) Если

конечномерно,

то

одномерно

существует

характер

группы

F*,

такой,

что

я (g) = % (detg).

(b) Если

бесконечномерно,

то

не

существует

ненулевых

векто-

ров, инвариантных

относительно

всех

матриц

х^

x$F.

^J,

Если л конечномерно, его ядро Я является открытой подгруп

пой. В частности, существует положительное

число е,

такое, что

х\

j j

принадлежит

Н,

если

| * | < е .

Для

любого

элемента х

из

F существует

a£F*,

такое,

что

| ш с | < е . Так

как

а-1

0 \ / 1

ах\(а

/ 1

т о

то

матрицы

принадлежат Я для всех x£F.

То

же, по аналогичным

причинам,

можно сказать

про

матрицы

		1	°\
Поскольку эти матрицы порождают группу SL (2, F), то Я					содержит
SL(2,	F).	Таким образом, я ( g j л (g2) = я (g2) л		(gj) для	всех gt и
g2 из	GF.	Следовательно, каждая	матрица я (g)	является скаляр

ной и я(§) одномерно. Фактически

n(g) =	x(detg)I,
где х — некоторый гомоморфизм	группы F* в С*. Для доказатель-

§ 2. Представления группы GL(2, F) в неархимедовом случае

ства непрерывности % достаточно лишь заметить, что

Предположим, что V содержит ненулевой вектор v, инвариант ный относительно всех операторов


Обозначим		через Н стабилизатор пространства						С У . Д Л Я доказатель
ства второй		части		предложения	достаточно		только проверить,		что
Н имеет	конечный			индекс в GF. Так как			Н содержит скалярные
матрицы и некоторую открытую подгруппу группы GP, то будет
достаточно		доказать, что Н содержит				SL (2,	F). На самом деле		мы
покажем,	что		уже	стабилизатор	Я 0	вектора	v	содержит SL(2,	F).
Стабилизатор			Н0	открыт и поэтому		содержит		некоторую матрицу
с сФО.	Он	содержит также элемент

снова принадлежит Н0.			Как	и раньше, мы	видим, что Н0	содер
жит SL(2,		F).
Ввиду		этого предложения		мы можем сосредоточить наше вни
мание	на	бесконечномерных		представлениях.	Пусть 4r = WP—не
тривиальный аддитивный			характер F. Обозначим через ВР			группу
матриц	вида

где a£F* и x£F. Если X— комплексное векторное пространство, определим представление £>р группы ВР на пространстве всех функ ций на F* со значениями в X, полагая

(1чг (Ь) ф) (а) = W (ах) ц> (аа).

Пространство ef (F*, X) локально постоянных функций с ком пактным носителем инвариантно относительно Представление Ъч? непрерывно относительно стандартной топологии на <£Р (F*, X)

<<< < Предыдущая 1 23 / 383 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб20Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб8Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб10Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб8Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб26Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf