книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

§ 13. Дзета-функции алгебры М (2, F)

279

Ф'(е) = ф'(1 )<0, х>>.

(13.1.3)

Если

h£Gp,

то положим

Ф, (g) = Ф (h~1g).

Если a — deth, у, (х) =

— \a\(f>(а~гх)

и v1 = n(h)v,

то

$ i (g) = Ф1 (detg) <vv n {g)~v>

\detg\F\

Тогда

Ф^ (e) = q>[ (e) <plt

v>. С другой стороны,

<pj = я (w) ф = I a I я (ш) я ( Y ^

j Y ) ф,

что равно

'а-1

0 \ \

(Га

О

Таким

образом,

функция

Ф' (Л), которая

равна

ф х (е) | det/г | _ г ,

есть

ф'

(det

К) <я

(/г)

v, 1> п - 1

(det

/1) | det

/7 1 " 1 .

Формула

(12.1.3)

будет вытекать

из

следующей

леммы:

Л е м м а

13.1.4.

Пусть

de—нормализованная мера Хаара на

группе

U = UF.

Если

v—некоторый

характер

группы

0,

то положим

ц (v,

х) = ^ v (е) W (ex)

de,

с/

если x£F.

Пусть

dx—мера

Хаара

на

F,

которая

самодуальна

от­

носительно

Y .

Тогда

Sх\ (v,

лгсо")^ (ax)

dx

= 0 ,

F

если | а | = ^ | ш | " ,

если

же a =

l;co",

где bgtV,

mo

\

п (v,

xco") ¥

{ах) dx =

v(— h) | to

{-"с-1;

F

здесь с—мера

группы

U относительно

dx.

Общий

случай вытекает

из случая

п — 0 заменой

переменной,

поэтому мы

положим п = 0.

В этом

случае

формулы

равносильны

ной нулю вне

U

и равной c - 1 v (е) на

U.

Допустим, что

мы

смогли

бы доказать существование

некоторой

положительной

постоянной d,

которая

не

зависит от

я,

такой, что

для всех

ф, v

и v

Ф' (e) =

<V (е)<у, Ъ>.

Тогда

мы имели

бы

Ф' (g) =

dq>' (det

g) <я (g) v, u> | det

g | - J n " 1 (detg).

Меняя

ролями

я

и

я

и вспоминая,

что

я = г ) - 1 ® я ,

мы

видим)

что Ф", преобразование Фурье функции

Ф', задается

соотношением

<b"(g)=dY(detg)<v,

n(g)~v>\detg\F1r](detg),

где ф" =

й(ш)ф1 ,

если

фх (а) = ф' (а) т р 1

(а).

В

соответствии

с заме­

чаниями,

сделанными

перед

теоремой

2.18,

ф"

есть

произведение

функций

я(&у)ф' = т](—1)ф и

r]~1 (detg'). Таким

образом,

0"(g)

= y](-\)d\(detg)<v,

~n(g)v>\detg\J1.

§ 13. Дзета-функции

алгебры М (2,

Р)

281

норировать все положительные

постоянные и,

в частности,

нам

которых они должны лежать. Короче

говоря, пространства одни и

те же и равны of (F*). Допустим, что

y1 = v,

ф2 = и и ф имеют соот­

ветственно носители со"'с7, a>"'U и

и что, для всех е £ U, фх (йЛ 1 е) =

= vf1 (e )>

ф2 (со"»е) — v 2 1 (е)

и ф (со"е) =

v - 1 (е); v, v,

и va — харак­

теры группы

U.

Формальные преобразования Меллина этих трех функций суть

Ф^Р, 0 =

6 (pvr1 )/"-,

ф,(И,

0 = в (Jivr1 )

и ф(ц,

0 - S O i v - 1 ) * " .

Напомним,

что, например,

Ф(Р-.

0 =

2 ' »

S Ф (wn e) ^ (е) de.

с а и Ь в Р ' и х и г / в / 7

. Аддитивная мера Хаара

dg на А может

быть

записана

в

виде

dg

= | det g |« d*g = I b* I d*b dx | a | d*a

dy,

и для

любого

g

такого

вида

282

Гл. Ill.

Кватернионные алгебры

тогда

как Ф (g) равна

у\~1ф)\Ь2а\-1Х

Х Ф ( Л О < Я ( ( °

°)(* ;))Ф,Я((О * ) ) Ф А > .

f\ (И, 0 = v„ ( - 1 ) С (u, t) т) (H^vo^vr1 ,

l-i-Ч-1 ft) го1 -»»/-'-».,

если а = \)а>г, и

I >

2Н ^ ^>е ''9 ) £ о*-1» е ~ / е ) d e -

д

О

Общий интеграл равен произведению

v0 (—1) u " " 1 ^ 1 (I]) z^-"1

и

2л

J С (ц, е '9)е-'( г + "'+"а > в г, ( j i - i v ^ v f 1 , wn , x) х\ ( ц - 1

^ 1 ,

d9;

о

последнее выражение

равно

2 л С г + „ 1 + „ а

(ц)

Ti (ц'^о-Чг1 ,

©"«*) т) ( ц - Ч „

со">г/).

Кроме того,

если

a = lj(o/',

то

т г 1 (6) | Ь2Й I " 1

ф (£>2а) = ф (Ь2аУ) v" 1 (I)) тг 1 (6) | ft21"11

а

Если мы соберем всю эту информацию вместе, то придем к до­

вольно сложной формуле для Ф(^),

которую

мы должны

исполь­

зовать для

вычисления

Ф' (ё).

Ф' (е)

выражается

как

интеграл по

а, Ь, х и у. Мы не будем пытаться выписать

подинтегральное

выражение. В интеграле по а интегрирование

ведется

по I; (с под-

интегральным

выражением—суммой

по р.); затем этот интеграл

суммируется

по г.

Интегрирование по 1) аннигилирует

все

члены,

кроме одного,

у

которого

f i v v 0 = l .

Теперь

мы

можем

записать

получающееся

подинтегральное

выражение, которое затем

должно

быть проинтегрировано

по

b,

х и у

и просуммировано

по

г. Оно

§ 13. Дзета-функции

алгебры М (2,

F)

283

является произведением

и

гг 1

(Ь) | Ь |2

v (-1) z0-'-».Ф

Сг+Щ+П2

(v-ivo"1)

r ) ( w r \

со"'*) т] (WpV"1 ,

со"*г/)

(х—у)).

Второе выражение может быть проинтегрировано

по х и у.

Лемма 13.1.4

показывает,

что в результате

получится

0, если не

выполняются

равенства j b j = | со |"' = J со | V

В

частности, Ф'(е) = 0,

если п1фп%.

Если п1=^пг,

интегрирование по b нужно брать лишь

по соп,с7. Тогда суммирование по г

исчезает

и остается

лишь член,

для

которого

r-f-2n1

= n. С точностью до положительной постоян­

ной,

которая

зависит

лишь

от выбора меры Хаара, величина Ф' (е)

равна

гГ^х

(-1) Сп (v-Чо"1 ) $ vfW,-1

(е) de.

Поскольку

и

$

(е) de = 6(v1 va ),

с/

Л е м м а

13.1.5. Пусть

Ф^^(А),

v£V и

v£V.

Если я абсо­

лютно

каспидально,

то

интеграл

\®(g)<n

(g)v, y > | d e t g | s + T d * g

абсолютно

сходится

при достаточно

большом

Re s и функция,

ко­

торую

он

определяет,

может быть

аналитически

продолжена

до

целой

функции.

GL (2, SDp)

Поскольку я

абсолютно

каспидально, оно не содержит тривиаль­

ного представления группы GL(2, jDf ) и мы можем выбрать

£ ор.

тогональным

к постоянной функции на GL(2, £ ) Р ) . Тогда Ф1 (0) = 0.

Таким образом, при доказательстве второго

утверждения

леммы

мы можем допустить,

что Ф (0) = 0.

Носитель

функции

<n(g)v, и> содержится

в множестве

ZFC

с компактным С. Более

того, существует открытая подгруппа К'

$ 13. Дзета-функции

алгебры М (2, F)

285

ние не меняется при замене g на

(Ь

0\

\0

bjg'

мы имеем F (b2a) = F (а)

и F(a) = F(a~1).

Те же соотношения

спра­

ведливы для F. Далее,

F (а) = F ( а - 1

) ,

так

что

F =

F.

Напомним,

что теперь мы

стараемся показать,

что

интеграл

J Ф ' ( а ) / ? ( а ) т ] - 1 ( а ) | а | 2

d*a

равен

F*

e(s,

я,

Ч) \

<f(a)F(a)\a\

2

d»a.

F*

Если (7' — открытая

подгруппа

UF,

такая,

что

и

для е g V,

то

F и F

постоянны

на

классах

смежности по

под­

группе F*2

U',

индекс

которой в

F* конечен. Напишем

Р

F ( a ) = 2J

c,X,-(a),

где х,-—характеры факторгруппы

F*/F*2U'.

Можно

считать,

что

все с,- отличны

от 0.

Тогда

Все, что нужно сделать,— это

показать,

что я и X j ® n эквива­

лентны, так что

e(s, Х | - ® я ,

W) = e(s, я,

Т) .

286

Гл. III. Кватернионные

алгебры

Некоторый

характер % совпадает с одним из х,- в том и только

в том случае,

когда % тривиален на F*2

и

Этот

интеграл не меняется при замене я на с о ® я . Таким

образом,

из соотношений ортогональности

Шура следует,

что он отличен от

нуля

лишь в том случае, если я

и х ® л эквивалентны.

Если Ф£<?У0 (Л), то 0 ( g ) | d e t g | s + 1 / a € . % V , и м ы

можем

образо­

вать

оператор

7 ( 1 — s, <D') =

e(s, я, ¥ ) T ( s ,

Ф).

Л е м м а

13.1.7. /7ри заданном

ненулевом w£V

пространство V

натянуто

на

множество

всех

и g V,

таких,

что

для

некоторой

функии

Ф вида

Ф (g) = Ф

(det g) <о, я (g) о> | det g {F1

вектор

Т (s, Ф) w вида ebsu порождает

V.

Если функция Ф имеет такой

вид, то такой

же вид имеет и

функция Ф' (g) = Ф (hg) и

Т

(s, Ф')ге; =

| detA|

~ ( s +

1 / 2 )

„ (ft-i)

Г (s, Ф)а>.

Поскольку

я

неприводимо, нам нужно лишь

показать,

что в рас­

левой

вектор. Кроме

того, существует

г, такое, что

а

^ ® я уни­

тарно, и мы можем, кроме того, допустить, что я само

унитарно.

Пусть

(и, v)—некоторая

положительная

инвариантная

форма на V.

§ 13. Дзета-функции алгебры М (2, F)

287

Ф ( £ ) = Ф ,

n(g)w),

если | d e t g | = l ,

и

равна нулю в противном случае. Если

то

ff =

te€Gf| |detg| = l } ,

Т

(s, Ф)да= J

(до, я (g)до)я (g)доd*g

я

не зависит от s

и

отлична

от

нуля,

ибо

Л е м м а 13.1.8. Пусть

Ф^^(А)

и

¥ ^ < ^ 0 ( Л ) . Существует не­

которая вертикальная полоса, в которой интегралы

J \ Ф (g) Ч" (А) <я (g) v,

я (А) Ъ> | det

g | s + 1 / 2 1 det A |»/»-» d*g d*h

u

g - + <л (g) У ,

я (А) о>

содержится в Z f C \ Кроме того, эти

функции равномерно ограни­