
книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)
.pdf268 |
|
|
|
|
|
|
Гл. |
It. |
Глобальная теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
для |
всех |
i |
и |
всех |
а£Ск. |
|
Заменяя |
|
о |
на |
а |
1 |
|
а | - а |
а (а) |
|
и |
р |
на |
||||||||||||
а |
|
| а \ ~ а |
р (а), |
мы в случае необходимости можем даже допустить, |
|||||||||||||||||||||||||||
что а = 0. |
Тогда р и о |
будут |
эквивалентны |
унитарным |
представле |
||||||||||||||||||||||||||
ниям, и теперь |
|
мы предположим, |
что |
|
они |
унитарны. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Если т |
|
неприводимо |
и р ~ т 0 р ' |
|
и а ~ т 0 а ' , |
то |
р„ |
эквива |
||||||||||||||||||||||
лентно а0 всякий раз, когда pv эквивалентно |
|
av. Поскольку мы |
|||||||||||||||||||||||||||||
можем |
использовать индукцию |
по |
d, |
|
достаточно |
|
показать, что |
если |
|||||||||||||||||||||||
т |
неприводимо, |
унитарно и содержится в р, то оно содержится в а. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
р и а — представления, контраградиентные представлениям |
р |
|||||||||||||||||||||||||||||
и |
а. |
Конечно, |
|
( р ® T)V |
= р 0 ® |
~zv |
эквивалентно |
( о ® ^ |
для |
всех |
v, |
||||||||||||||||||||
кроме конечного их числа. Кроме того, р ® т содержит |
т ® т , |
|
которое |
||||||||||||||||||||||||||||
содержит единичное |
представление. Если |
|
0 ® т |
содержит |
единичное |
||||||||||||||||||||||||||
представление, |
|
то, |
как |
|
хорошо известно и легко проверить, о со |
||||||||||||||||||||||||||
держит |
т. С другой стороны, порядки полюсов функций |
L0 (s, |
р ® т ) |
||||||||||||||||||||||||||||
и |
L0 (s, |
о @ т ) |
в точке |
s = l , |
|
очевидно, |
равны, |
|
так |
что |
по |
лемме |
|||||||||||||||||||
12.4 |
а ® т |
|
действительно |
содержит |
тривиальное |
представление |
из |
||||||||||||||||||||||||
представления |
|
р ® т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Возвратимся к доказательству |
теоремы |
12.2. |
Из |
леммы |
12.3 сле |
|||||||||||||||||||||||||
дует, что |
если |
|
предположения |
следствия |
11.6 |
не |
выполняются, |
то |
|||||||||||||||||||||||
а |
эквивалентно |
прямой |
сумме |
|
двух |
одномерных |
представлений, |
||||||||||||||||||||||||
ассоциированных с |
квазихарактерами |
ц |
и v |
|
группы |
Ср. |
Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L(s, |
со фо) |
|
= |
L(s, |
сор.) L (s, |
cov). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обе функции справа являются L-функциями Гекке. Функция слева |
|||||||||||||||||||||||||||||||
целая |
при |
любом |
выборе со. Беря |
CO = |
L I - |
1 |
И |
CO = V _ 1 |
, |
М Ы |
|
В И Д И М , |
|||||||||||||||||||
что |
L(s, |
L I - 1 V ) |
и |
L (s, |
V _ 1 L I ) |
|
имеют |
нуль |
|
в |
точке |
|
s = l . |
|
Пусть |
||||||||||||||||
jx _ 1 v (а) = | а \г |
% (а), где |
%—некоторый |
характер. |
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s, |
ц- Ч) |
= 1 (s + г, |
|
х), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s, |
v - V ) = L ( s - r , |
X"1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теперь ни L (s, |
х), ни L (s, х - 1 ) |
не имеют нулей в множестве |
R e s ^ |
1. |
|||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
1 + г < 1 |
и 1 — r < |
1. Это |
невозможно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Мы |
можем |
теперь |
применить |
|
следствие |
|
11.6, |
чтобы |
убедиться |
|||||||||||||||||||||
в существовании некоторой составляющей я' = |
J J |
(g) nv |
|
пространства |
|||||||||||||||||||||||||||
Л0, такой, что |
nv — n(ov) |
|
|
|
v <£S. |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для |
|
|
Для |
доказательства |
теоремы |
||||||||||||||||||||||||||
нам нужно лишь показать, что |
|
n'v = n(av) |
для |
u g 5 . |
Беря |
|
частное |
||||||||||||||||||||||||
двух |
функциональных |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
L(s, |
|
© ® а ) = Ш е ( « . |
« ^ ® ° * , |
^ ) U ( 1 — s , |
с о " ' ® а ) |
|
|
|
L(s, со@я') = | П е ( 8 , со,,®я;, Ч^)}, L ( 1 - s , со-*$л'),
§ |
12. |
Некоторые экстраординарные |
представления |
269 |
||
мы находим, |
что |
д |
L (s, |
ыь® о р ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v<-s |
L(s, |
со,®n'v ) |
|
|
равно |
|
|
|
|
|
|
Нам необходима еще одна |
лемма. Если |
v—неархимедова |
точка |
|||
и со,— некоторый |
квазихарактер |
группы FI, то пусть «(со,) — наи |
меньшее неотрицательное целое число, такое, что сор тривиален на
единицах кольца £)v , сравнимых |
с |
1 по модулю |
^ ( < й | , ) . |
|
|
|||||||||||||||
|
Л е м м а |
12.5. |
Пусть S—некоторое |
конечное |
множество |
неархи |
||||||||||||||
медовых точек и v0(tS. |
Пусть |
нам |
даны квазихарактер |
%v<> |
группы |
|||||||||||||||
FVo |
и для |
каждого ифи0 |
в S неотрицательное |
целое |
число mv. |
Тогда |
||||||||||||||
существует |
квазихарактер |
со |
группы |
О , |
такой, |
что |
a>v<1 |
= %v0 и |
||||||||||||
т (со,) ^ |
mv, |
если |
ифи0 |
принадлежит |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
ъЛа) |
= |
\а\щЪЛа)' |
Г |
Д Е |
Хщ — |
характер. Если |
со' —некото |
|||||||||||
рый характер |
группы |
CF |
и со^,0 |
= |
в то |
время |
как |
т (сои) ^ |
пц, |
|||||||||||
для |
юфи0 |
|
из S, |
то |
в |
качестве |
со мы можем |
взять |
обобщенный |
ха |
||||||||||
рактер |
а ->- fa. |гсо' (а) |
группы |
С>. Другими словами, мы можем с |
|||||||||||||||||
самого |
начала |
допустить, |
что |
Хо0 |
— характер. |
Пусть |
А — группа |
|||||||||||||
иделей, |
|
компонента |
которых |
для |
точек, |
не |
принадлежащих |
S, |
||||||||||||
равна |
1, |
компонента |
|
которых |
для |
точки |
v фьа |
в 5 сравнима |
с 1 |
|||||||||||
по |
модулю |
|
и компонента которых для v0 |
произвольна. Конечно, |
||||||||||||||||
F*f] |
Л = {1}. Мы |
утверждаем, |
что F*A замкнуто в /. В самом деле, |
|||||||||||||||||
если а £ / , |
то |
существует |
компактная |
окрестность X |
элемента |
а, |
на которой норма ограничена сверху величиной 1/е и снизу вели
чиной е, где |
е — некоторая положительная постоянная. Если Bg/7 * |
и у£А, то |
|PY| = |Y|. Кроме того, множество |
компактно. В силу дискретности F* множество F*AS замкнуто. Поскольку любая точка имеет компактную окрестность, пересече ние которой с F*A замкнуто, множество F*A само замкнуто.
Мы можем, конечно, найти характер группы А, который равен
Хо„ на Fl0 И Д Л Я |
любой |
ифу0 |
в 5 нетривиален на множестве |
еди |
|||||
ниц в £>„, сравнимых |
с |
1 по модулю |
Продолжим |
этот |
харак |
||||
тер |
на F*A, полагая |
его равным 1 на |
F*. Этот характер |
может |
|||||
быть |
продолжен |
до |
характера |
группы |
/,. который заведомо |
ра |
|||
вен |
1 на F*. Возьмем |
в |
качестве со этот |
характер. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Е с л и r | ( а ) = J J т ) „ ( а „ ) , |
т о т ] — |
н е - |
||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
который квазихарактер группы F*\I. Поскольку по построению
270 |
|
|
|
|
|
|
Гл. П. Глобальная |
|
теория |
|
|
|
|
|
|
||||||
T] = deta |
на |
1%, квазихарактеры |
т] и |
det а равны. |
Следовательно, |
||||||||||||||||
Tfo=detof„ |
для всех v. Мы знаем, что |
если m((ov) |
достаточно велико, |
||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
L(s, |
|
u>v(g)oz,) = L(s, |
с о „ ® я 0 ) = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ( l — s , |
a ) - 1 ® a „ ) = |
L ( l — s , |
^1®n'v) |
= |
l. |
|
|
|
||||||||||
Кроме того, по |
предложению |
3.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e(s, av(X)nv, |
|
yv) |
= |
e(s, |
avr\v, |
¥„) e (s, (OV, |
|
|
|
|
||||||||
В дополнении к работе Ленглендса |
[5] |
показано, |
что |
если |
/п(со„) |
||||||||||||||||
достаточно |
велико, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e(s, av®ov, |
|
Y„) = e(s, |
(ovdetov, |
Wv) e (s, |
a»„, |
|
|
|
|||||||||||
Применяя |
лемму |
12.5 и предшествующее ей равенство, мы видим, |
|||||||||||||||||||
что если v £ S |
и coP— любой квазихарактер группы |
FI, |
то |
|
|
||||||||||||||||
|
L(s, юр®стр) _ |
j |
e(s, ( o p ® a P |
, ¥ P ) |
) |
\L (l—S, cop1 |
® |
a p ) , |
|
|
|||||||||||
|
L(s, |
са^Яр) |
|
\ |
e (s, сор®Яр, |
|
j |
|Z.(l—s, |
сой1® Ли)J |
|
|
||||||||||
Вспоминая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
L(s, av(g)ev)=L(l—s, |
|
|
|
c o - 1 ® o j |
= |
l |
|
|
|
|
|||||||
для |
v£S, |
|
мы |
видим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L(l—s, |
С0р"'®Яр) ^e(s, cog®oP, 4V) |
|
|
|
|
(12 |
5 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
L |
(s, |
CO^ ® |
JTp) |
|
|
8 (s, |
COj, ® я 0 , Y^) |
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
будет доказана, если показать, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
L(s, |
co„(g)ji;) = L ( l — s, |
со0 "1 ®я;) = |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
при |
любом выборе со^. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В противном случае либо п'и является специальным представле |
|||||||||||||||||||||
нием, либо существуют два квазихарактера \iv |
и |
v„ |
группы |
FI, |
|||||||||||||||||
такие, что |
я 0 |
= |
я ( р „ , |
|
v„). В |
соответствии с (12.5.1) |
дробь |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (l — s , Шц1 ® я р ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z. (s, |
сощ ® |
я 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
является |
целой |
функцией |
от |
s |
при |
любом |
выборе |
со^. |
Если |
||||||||||||
Яо = |
л ( р „ , |
vv) |
и m(p„1 vt ,) |
положительно, |
то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L(l—s, |
fa®яр) |
|
___ |
|
1 — |<й Р 1 д . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
£(s, Hi"1 ® яа ) |
1 — |
I co^ I 1 - * |
' |
|
|
|
|
|
|||||||
эта |
функция |
имеет |
полюс |
в |
точке s = l . |
Если m ( p ^ v j = 0, |
то |
|
L ( l —s, ц 0 ® я 0 ) _ / 1 — |
\ с 1— faxvp(юр) | ю р | д 1 . |
§ 12. Некоторые экстраординарные представления |
271 |
эта функция |
|
имеет полюс |
в точке |
s = l , |
если не |
выполняется |
ра |
|||||||||||
венство Pj/vv1 |
(a>v) = I <й„ I. Но тогда |
она имеет |
полюс |
в точке |
s —2. |
|||||||||||||
Если |
л'а—специальное |
представление, |
ассоциированное |
с парой |
||||||||||||||
квазихарактеров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а — • ц „ ( а ) | а | 1 / » , |
ос-> ц „ (а) | а |
| " V* |
|
|
|
||||||||
группы F v , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
L ( l - s , ц „ ® ^ ) ^ 1 - |т р | ' + 1 / > . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
L ( s , L i ^ ® n ; ) |
|
l - j < ^ l 1 / 2 " " s ' |
|
|
|
|
||||||
эта функция имеет полюс в точке |
s == 1/2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Имеется |
одно |
следствие этой |
теоремы, |
которое |
мы хотим от |
||||||||||||
метить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П р е д л о ж е н и е 12.6. Пусть Е—глобальное |
поле, и пусть |
для |
|||||||||||||||
каждого |
сепарабельного |
расширения |
|
F поля |
Е , каждого |
расширения |
||||||||||||
Галуа |
К |
поля |
F и каждого неприводимого |
двумерного |
представления |
|||||||||||||
а |
группы |
W^/F |
функция |
|
L (s, а) |
является |
целой |
и |
ограниченной |
|||||||||
в |
вертикальных полосах. |
Тогда |
если |
Fx—пополнение |
|
поля |
Е в |
неко |
||||||||||
торой |
точке, |
K i — расширение |
Галуа |
поля |
F x и ах—двумерное |
пред |
||||||||||||
ставление |
группы |
WKI/F1 |
, |
то представление |
я (aj |
существует. |
|
|||||||||||
|
Начнем |
с |
простого |
замечания. |
|
Ограничение |
представления аг |
на CKi является прямой суммой двух одномерных представлений,
соответствующих |
обобщенным характерам |
Xi |
и |
%2 группы |
CKi. |
|||||||||||
Если |
т принадлежит |
G = ® (KJFJ, |
|
то либо Xi ( т |
|
= |
Xi ( а ) Д л я |
|||||||||
всех а £ Ск, |
либо |
Xi (т (а)) = Хг ( а ) |
Д л я в |
с е х а |
€ Ск. |
Если |
|
представ |
||||||||
ление аг неприводимо, то существует |
по крайней |
мере |
один эле |
|||||||||||||
мент т, для которого Хг ( т ( а ) ) = |
Хг ( а ) - |
Если |
Xi^=X2> т 0 |
неподвиж |
||||||||||||
ное поле Lj группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Я = |
{т<ЕО| |
X i ( * ( « ) ) ^ X i ( a ) } |
|
|
|
|
|
|||||
является квадратичным расширением поля F . Ограничение пред |
||||||||||||||||
ставления Gj на WnjLi |
является |
прямой суммой |
двух |
одномерных |
||||||||||||
представлений |
и, |
следовательно, |
тривиально |
на |
коммутаторной |
|||||||||||
подгруппе W K I / L , . которая |
есть |
ядро гомоморфизма |
TKJF,, |
LJF,- |
Без |
|||||||||||
уменьшения |
общности можно допустить, что Кг |
равно Ьх |
и является, |
|||||||||||||
таким |
образом, |
квадратичным |
расширением |
поля |
F v |
Тогда |
ах |
|||||||||
эквивалентно |
представлению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
\nd(WKl/Fi, |
WKl/Ki, |
Xl). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если Oj приводимо, то я (Oj) определено. Предыдущие |
замечания |
|||||||||||||||
показывают, |
что оно определено, |
если |
ах неприводимо |
|
и а1(а) |
не |
||||||||||
есть |
скалярная |
матрица |
для |
некоторого |
a(tCKi. |
|
Предложение |
будет, таким образом, вытекать из теоремы 12.2 и следующей леммы.
Л е м м а 12.7. Пусть |
F x — пополнение поля F в некоторой |
точке, |
К.х—расширение Галуа |
поля F x и аг—неприводимое двумерное |
пред- |
272 |
|
|
|
|
|
|
Гл. |
|
II. |
Глобальная |
теория |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ставление, |
такое, |
что о, (а) |
является |
скалярной |
матрицей |
для |
всех |
||||||||||||||||
а £ Ск. |
Тогда |
существуют |
сепарабельное |
расширение |
F поля Е, |
рас |
|||||||||||||||||
ширение |
Галуа |
К поля |
F, |
точка |
v поля |
К, |
изоморфизм ср поля |
Kv |
|||||||||||||||
с Ки |
который |
переводит |
|
Fv |
в F 1 ( |
и неприводимое |
|
двумерное пред |
|||||||||||||||
ставление |
а группы |
WK/F, |
|
такие, |
что ov |
эквивалентно |
о^оф. |
|
|||||||||||||||
Заметим, |
что |
из существования |
а, |
следует |
неархимедовость F. |
||||||||||||||||||
Мы установим еще несколько лемм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Л е м м а |
12.8. Пусть |
|
V — конечномерное |
вещественное |
векторное |
||||||||||||||||||
пространство, |
G—конечная |
группа |
линейных |
преобразований |
про |
||||||||||||||||||
странства |
V |
и |
L — решетка |
в V, |
инвариантная |
относительно |
G. |
||||||||||||||||
Если |
%—квазихарактер |
решетки |
L , инвариантный |
|
|
относительное, |
|||||||||||||||||
то существуют |
квазихарактер |
|
пространства |
V, |
инвариантный |
||||||||||||||||||
относительно |
|
G, и |
целое |
положительное |
число |
т, |
такие, |
что огра |
|||||||||||||||
ничения |
квазихарактеров |
|
%' и % на mL |
равны. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть |
V—пространство, |
|
|
двойственное |
V, |
и Vc— |
его комплекси- |
||||||||||||||||
фикация. |
Существует |
некоторый |
элемент |
у £ Vc |
с |
условием |
^(х) = егп1 <*• «> для всех x£L. Если г 6 Vc, то обобщенный харак
тер |
х—• е2Я< <*• г> тривиален на L тогда и только тогда, когда |
z € |
• Далее, /, есть решетка |
{v£V\<x, v>£Z для всех x£L}:
Пусть G— группа, контраградиентная G. Мы должны установить I
существование некоторых т и z в — , таких, что у — z не меняется
при действии G. Если a£G, то оу—y = w0 принадлежит L . Ясно,
ЧТО OWx-{-Wa = Wax. ПОЛОЖИМ
Если |
в качестве |
т взять |
[G:l], |
то мы получим требуемый элемент. |
||||||||
Л е м м а |
12.9. Пусть |
F — глобальное |
поле, К—расширение |
Галуа |
||||||||
этого поля и v—некоторая |
|
точка |
поля К- Предположим |
также, что |
||||||||
[KV'FV] |
— [K:F], |
и пусть |
% — некоторый |
квазихарактер |
группы С^., |
|||||||
инвариантный относительно |
G = © (Kv/Fv) |
= ® {КIF). |
Тогда |
сущест |
||||||||
вуют |
замкнутая |
подгруппа |
А |
конечного |
индекса |
в Ск, |
которая |
|||||
инвариантна |
относительно |
G и содержит |
CKl> и некоторый |
квази |
||||||||
характер |
х группы А, инвариантный относительно |
G, |
ограничение |
|||||||||
которого |
на CKv |
есть %v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала предположим, что рассматриваемые поля имеют поло жительную характеристику. Мы можем выбрать некоторое множе ство неотрицательных целых чисел nv, w=£*v, среди которых все,
§ 12. Некоторые экстраординарные представления |
273 |
кроме конечного их числа, равны нулю, такое, что группа
инвариантна относительно G и не содержит элементов из К*, за исклю чением 1. Группа UNKW есть группа единиц кольца £>K w , сравнимых с 1 по модулю $х£,- Мы продолжим квазихарактер %v на В, полагая его равным 1 на
Пи%,
изатем на А = К*В/К*, полагая его равным 1 на К*.
Пусть |
теперь |
поля |
имеют |
характеристику |
0. |
Разделим точки |
|||||||||||||||
поля |
К, |
отличные от |
v, |
на |
два |
множества: S, состоящее из архи |
|||||||||||||||
медовых |
точек, |
и Т, |
состоящее |
из |
неархимедовых |
точек. |
Выберем |
||||||||||||||
некоторую совокупность |
неотрицательных |
целых |
чисел |
n'w, |
w£T, |
||||||||||||||||
из которых все, кроме конечного |
их |
числа, |
равны |
нулю, такую, |
|||||||||||||||||
что группа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
в'-сКех |
|
|
п с « м х п ^ : |
|
|
|
|
|
|
|||||||
инвариантна |
относительно |
|
G и не |
содержит |
корней |
|
из |
единицы |
|||||||||||||
в К, |
за |
исключением |
1. |
Если w архимедова, |
то |
обозначим |
через |
||||||||||||||
(7/сш элементы |
|
нормы |
1 в Kw |
и |
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В ' / В [ |
изоморфна |
произведению |
группы |
СК„ |
и векторной |
группы |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wes |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спроектируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
М |
= |
В[ |
|
(В'(]К*)/В[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на V; |
получим |
решетку |
L |
в V, |
и эта проекция является изомор |
||||||||||||||||
физмом. |
Определим |
квазихарактер |
р. решетки |
L , такой, |
что |
если |
|||||||||||||||
/п£М |
проектируется |
на |
ш1 |
в C^V |
и на |
/п2 |
в V, |
то |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X0(m1)\i(mt)=\; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
\i инвариантен относительно G. Выберем |
квазихарактер |
ц' группы V |
|||||||||||||||||||
и целое п, такие, что ц' и (i равны на nL. Пусть |
v' — квазихарак |
||||||||||||||||||||
тер, полученный подъемом %VX\i' |
с CK„XV на В'. |
Из одной теоремы |
|||||||||||||||||||
Шевалле ([1], теорема 1) следует, |
что |
|
можно |
выбрать некоторую |
|||||||||||||||||
совокупность |
неотрицательных |
чисел |
{nw\w^T\, |
|
из |
которых |
все, |
||||||||||||||
кроме |
конечного |
их |
числа, |
|
равны |
нулю |
и np^n'w |
|
для |
всех |
w^T, |
274 |
|
|
|
|
|
|
|
Гл. |
II. |
Глобальная |
теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
таких, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
в=ск,хЦсКахТ[и%, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
инвариантна относительно G и каждый |
элемент из В Л К* является |
||||||||||||||||||||||||||||
n-й степенью некоторого элемента |
из |
В' Г\ К*. |
Ограничение |
v ква |
|||||||||||||||||||||||||
зихарактера v' |
на |
В |
тривиально |
на |
В Г) К*. |
Возьмем |
|
А — К*В/К* |
|||||||||||||||||||||
и пусть х—квазихарактер, |
равный |
1 на |
К* |
|
и |
v |
на |
В. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Л е м м а |
1 2 . 1 0 . |
Пусть |
Fx—пополнение |
|
|
глобального |
|
поля |
Е, |
|||||||||||||||||||
Kt—конечное |
расширение |
Галуа |
поля |
Ft |
с |
группой |
|
Галуа |
Gt |
и |
|||||||||||||||||||
1к1 |
— квазихарактер |
группы |
CKi, |
|
инвариантный |
|
относительно |
Gx . |
|||||||||||||||||||||
Тогда |
существуют |
сепарабельное |
расширение |
|
F |
поля |
Е, |
|
расширение |
||||||||||||||||||||
Галуа |
К |
|
поля |
Е, |
точка |
v |
поля |
К, |
такие, |
|
что |
[KV'FV] |
|
= |
[K-F]l |
||||||||||||||
изоморфизм |
ф поля |
Kv |
|
с Kt, |
который |
переводит |
|
Fv |
в |
Flt |
и |
квази |
|||||||||||||||||
характер |
|
х группы |
Ск, |
|
инвариантный |
|
относительно |
© (КIF), |
|
такие, |
|||||||||||||||||||
что %v = %Kl°4>- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Мы можем, кроме того, допустить, что Fi |
= Ew, |
где w — некото |
||||||||||||||||||||||||||
рая точка |
поля |
Е. |
Известно (см. Ленг |
[ |
1 ] |
) |
, |
что существует много |
|||||||||||||||||||||
член с коэффициентами из Е, такой, что если |
8 — некоторый |
|
корень |
||||||||||||||||||||||||||
этого |
многочлена, |
то расширения EW(Q)/EW |
|
|
и |
KJF1 |
|
изоморфны. |
|||||||||||||||||||||
Пусть |
L — поле |
разложения |
этого |
многочлена. |
Продолжим |
w |
до |
||||||||||||||||||||||
некоторой точки поля L . Последнюю точку |
мы также |
обозначим |
|||||||||||||||||||||||||||
через |
w. Заменяя |
в случае необходимости Е неподвижным полем |
|||||||||||||||||||||||||||
группы |
разложения |
точки |
w, |
мы |
можем |
допустить, |
что |
Fx |
— |
Ew, |
|||||||||||||||||||
KX |
= L W |
и |
[LW:EW] |
= |
[L:E]. |
Теперь |
положим |
|
X |
W |
= |
XK , и |
|
продолжи |
|||||||||||||||
X W |
до |
некоторого квазихарактера |
|
%' |
группы |
|
А, |
как |
в |
предыду |
|||||||||||||||||||
щей лемме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть |
К—абелево |
|
расширение |
поля |
L , ассоциированное |
с под |
||||||||||||||||||||||
группой |
|
А. |
Поскольку |
А инвариантна |
относительно ®(L/E), |
ЩЕ |
|||||||||||||||||||||||
является |
расширением |
Галуа. Пусть v—некоторая |
|
точка |
поля |
К, |
|||||||||||||||||||||||
делящая |
|
точку |
w |
поля L . Поскольку А содержит |
C L W , поля |
Kv |
и |
||||||||||||||||||||||
L W |
равны. |
Пусть |
F — неподвижное |
|
поле |
образа |
группы |
@ |
(Kv/Ew) |
||||||||||||||||||||
в |
&(К/Е). |
|
Пусть |
v также означает ограничение точки v |
на |
F. |
|||||||||||||||||||||||
Поля |
Fv |
|
и |
Ew |
совпадают. |
Отображение |
NK/L: |
|
Ск—>CL |
|
переводит |
||||||||||||||||||
Ск |
в |
А. |
|
Пусть |
х = х'0 |
Л^кд. • Очевидно, |
х |
инвариантен |
относительно |
||||||||||||||||||||
&(K/F). |
|
|
Поскольку |
NK/L, |
|
ограниченное |
на |
Kv, |
|
является |
изомор |
||||||||||||||||||
физмом |
Kv |
с L w , |
который отображает Fv на Ew, |
лемма |
доказана. |
||||||||||||||||||||||||
|
Для |
доказательства |
леммы |
1 2 . |
7 |
нам |
необходимо лишь |
показать, |
|||||||||||||||||||||
что если |
F — глобальное |
поле, |
К — расширение |
Галуа |
поля |
F, % — |
|||||||||||||||||||||||
квазихарактер группы Ск, |
инвариантный |
|
относительно |
|
© |
(K/F), |
|||||||||||||||||||||||
V—точка |
поля |
К, |
такая, |
что |
[K'-F] |
|
= [Kv-Fv], |
|
|
и ах — неприводимое |
|||||||||||||||||||
двумерное |
представление |
группы |
WKV/FV, |
|
такое, |
что |
av |
|
(а) = х^ (а) / |
для всех а£С/<с , то существует двумерное представление а группы WK/F, такое, что av эквивалентно at ; а неприводимо в силу непри водимости ог.
|
|
|
|
§ 12. |
Некоторые экстраординарные |
представления |
|
|
|
276 |
||||||||||||
Пусть |
Oj действует |
на |
X. |
Пусть |
р„ — правое |
регулярное |
пред |
|||||||||||||||
ставление |
группы |
WKD/F,, |
на |
пространстве |
VV |
функций / |
на |
|
W^V/FV |
|||||||||||||
с условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (ада) = lv |
(а ) / |
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для |
всех |
a£CKV |
и всех w^WKV/F0. |
|
Е С Л И |
X — ненулевой |
линейный |
|||||||||||||||
функционал |
на X, |
то отображение, |
переводящее |
х £ Х в функцию |
||||||||||||||||||
X(a1(w)x), |
есть |
И^/^-инвариантный |
изоморфизм |
пространства |
X |
|||||||||||||||||
с некоторым подпространством Y пространства |
Vv. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пусть |
V—пространство |
всех |
функций |
|
/ |
на |
WK/F, |
удовлетво |
||||||||||||||
ряющих |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (ада) = х («) / И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
всех |
а(ЦСк |
|
и |
всех |
w£WK/F. |
|
Поскольку |
[K-F] = |
|
[KV-FV], |
|||||||||||
группы |
© (K/F) |
и © (KJFV) |
равны. |
Следовательно, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
WK/F = CKW |
KV/FV- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кроме |
того, |
CKV |
= CK |
|
П WKV/FL,. |
Таким образом, |
ограничение |
функ |
||||||||||||||
ций |
в V на |
WK0/F„ |
|
является |
изоморфизмом |
пространства |
V |
с |
VV. |
|||||||||||||
Для |
простоты отождествим эти два пространства. Пусть |
р — правое |
||||||||||||||||||||
регулярное |
представление |
группы |
W^/F |
на V. Если а£Ск, |
то |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
/ (даа) = х (даоаег1) / (да) = |
X (а) / |
И . |
|
|
|
|
|||||||||||
ибо |
х является |
© (/С/^)-инвариантным. Следовательно, р(а) = х ( а ) / |
||||||||||||||||||||
и некоторое |
подпространство |
пространства |
V инвариантно |
относи |
||||||||||||||||||
тельно |
WK/F тогда |
и только |
тогда, |
когда |
оно инвариантно |
отно |
||||||||||||||||
сительно |
WKB/FV. |
Е С Л И |
М Ы В качестве а возьмем ограничение |
р на Y, |
||||||||||||||||||
то av |
будет |
эквивалентно |
ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава III
К В А Т Е Р Н И О Н Н Ы Е |
А Л Г Е Б Р Ы |
|
§ 1 3 . Дзета-функции алгебры |
М (2, |
F) |
|
|
|
|
|
||||||||||
В этом параграфе F— снова локальное |
поле и |
А = М(2, |
F) — ал |
|||||||||||||||
гебра (2х2)-матриц с |
элементами |
из F. |
Мультипликативная |
груп |
||||||||||||||
па А* алгебры А есть |
в |
точности |
G f |
= GL(2, |
F). |
Если |
g$GF, |
то |
||||||||||
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
\g\A |
= |
<*Aig) |
= |
\fetg\y |
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
я—некоторое |
допустимое |
представление |
алгебры SKF |
на |
|||||||||||||
пространстве |
V. |
Пусть |
контраградиентное |
представление |
ft |
дейст |
||||||||||||
вует |
на V. Если v£V |
и v£V, |
|
то |
функция |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
<я (g) v, |
v> = <у, я (g-1) |
v> |
|
|
|
|
|
||||||
характеризуется |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
l<n(gh)v, |
~v>f (h)dh=*<,n(g)n(f)v, |
|
v> |
|
|
|
|||||||||
для |
всех \$.ЖГ. |
Если Ф принадлежит пространству Шварца |
£Р(А), |
|||||||||||||||
v£V |
и vgV, |
то |
положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Z(n, |
Ф, |
v, |
o ) = j J $>(g)<n(g)v, |
v>d*g |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Z (я, |
Ф, |
v, |
v) = |
J Ф (g) <o, |
я (^) y> d*g. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор |
меры |
Хаара |
не |
имеет |
значения |
при |
условии, что |
она |
|
одна |
||||||||
и та же для обоих интегралов. |
|
|
|
|
F*, |
|
|
|
|
|||||||||
Если со — некоторый |
квазихарактер |
группы |
то |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Z ( c o ® n , |
Ф, v, |
»)= |
J |
Ф (g) со (det g)< |
я (g) у, y>d*g. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 13. Дзета-функции |
|
алгебры |
М (2, |
|
F) |
|
|
|
|
|
277 |
|||||||||
Цель данного параграфа состоит в доказательстве |
следующей |
тео |
|||||||||||||||||||||||
ремы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
13.1. Пусть |
я — некоторое |
неприводимое |
|
допустимое |
||||||||||||||||||||
представление |
алгебры |
ЖР |
и |
я—контраградиентное |
ему |
представ |
|||||||||||||||||||
ление. Пусть |
я |
действует |
на V и л на |
V. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(I) для любых v£V, |
|
v£V |
и |
Ф£аУ(А) |
|
интегралы, |
|
определяющие |
|||||||||||||||||
Z(aF®n, |
|
Ф, |
v, v) и Х(аР®)я, |
Ф, |
v, |
v), |
абсолютно |
сходятся |
при |
||||||||||||||||
достаточно |
большом |
Res; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(II) |
обе функции |
могут |
быть |
аналитически |
продолжены до |
функ |
|||||||||||||||||||
ций, |
которые |
мероморфны |
во всей |
плоскости |
и |
|
ограничены |
на |
бес |
||||||||||||||||
конечности |
в вертикальных |
полосах |
конечной |
ширины; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(III) |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Z (а/1/2 |
® я , |
Ф, |
v, |
v)^L(s, |
|
|
n)E(s, |
|
Ф, |
v, |
v) |
|
|
||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z{uF+1/* |
®п, |
Ф, |
v, |
y) = |
L(s, |
~я)~2 (s, |
Ф, v, |
v), |
|
|
|
|||||||||||
то |
функции |
|
Е (s, Ф, v, и) |
и |
S (s, Ф, |
v, |
v) |
целые; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(IV) |
существуют |
Ф, |
vu |
|
|
vn |
и |
vlt |
|
|
|
vn, |
такие, |
что |
функ- |
||||||||||
ция |
2 " (s> |
Ф> vh |
vt) |
имеет |
вид |
aebs, |
|
афО; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t—i |
|
Ф —преобразование |
|
Фурье |
функции |
|
Ф |
|
относительно |
|||||||||||||||
(V) |
если |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
характера |
ЧА |
(х) — WF |
(tr х), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
S (1—S, Ф', v, |
u) = |
e(s, |
я, |
4F)E(s, |
|
Ф, |
V, |
V). |
|
|
|
|||||||||||
Допустим |
сначала, |
что |
F неархимедово |
и |
я |
абсолютно |
каспи- |
||||||||||||||||||
дально. |
Тогда |
возьмем |
я |
в |
форме |
Кириллова, |
так |
что |
V |
есть |
|||||||||||||||
в точности |
|
(F*). |
Поскольку |
аддитивный |
характер ХРР=Х¥ |
задан, |
мы хотим, конечно, взять модель Кириллова относительно этого
характера. |
Следующая |
лемма |
является |
в рассматриваемом случае |
|||||||
ключом к |
теореме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
13.1.1. Если |
ч>€а?(Е*), |
v£V |
и v£V, |
то |
положим |
|||||
|
|
Ф (г) = |
ф (det§)<я, |
jr(g)iJ>|detg|-\ |
|
|
|||||
если g£GF, |
|
и положим |
Ф(^) = 0, |
если |
элемент, |
g£ |
А |
сингулярен. |
|||
Тогда Ф |
принадлежит |
|
о? (А) |
и |
ее |
преобразование Фурье |
задается |
||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф' |
(ё) = ф' (det g) <я (g) v, |
v> I det g I F V 1 |
(det |
g), |
|
|||||
если g£GF |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф'(£) = |
0, |
|
|
|
|
если элемент g сингулярен. Здесь г\ — квазихарактер группы F*, on-