Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
12.95 Mб
Скачать

268

 

 

 

 

 

 

Гл.

It.

Глобальная теория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

всех

i

и

всех

а£Ск.

 

Заменяя

 

о

на

а

1

 

а | - а

а (а)

 

и

р

на

а

 

| а \ ~ а

р (а),

мы в случае необходимости можем даже допустить,

что а = 0.

Тогда р и о

будут

эквивалентны

унитарным

представле­

ниям, и теперь

 

мы предположим,

что

 

они

унитарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если т

 

неприводимо

и р ~ т 0 р '

 

и а ~ т 0 а ' ,

то

р„

эквива­

лентно а0 всякий раз, когда pv эквивалентно

 

av. Поскольку мы

можем

использовать индукцию

по

d,

 

достаточно

 

показать, что

если

т

неприводимо,

унитарно и содержится в р, то оно содержится в а.

Пусть

р и а — представления, контраградиентные представлениям

р

и

а.

Конечно,

 

( р ® T)V

= р 0 ®

~zv

эквивалентно

( о ® ^

для

всех

v,

кроме конечного их числа. Кроме того, р ® т содержит

т ® т ,

 

которое

содержит единичное

представление. Если

 

0 ® т

содержит

единичное

представление,

 

то,

как

 

хорошо известно и легко проверить, о со­

держит

т. С другой стороны, порядки полюсов функций

L0 (s,

р ® т )

и

L0 (s,

о @ т )

в точке

s = l ,

 

очевидно,

равны,

 

так

что

по

лемме

12.4

а ® т

 

действительно

содержит

тривиальное

представление

из

представления

 

р ® т .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвратимся к доказательству

теоремы

12.2.

Из

леммы

12.3 сле­

дует, что

если

 

предположения

следствия

11.6

не

выполняются,

то

а

эквивалентно

прямой

сумме

 

двух

одномерных

представлений,

ассоциированных с

квазихарактерами

ц

и v

 

группы

Ср.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

со фо)

 

=

L(s,

сор.) L (s,

cov).

 

 

 

 

 

 

 

 

Обе функции справа являются L-функциями Гекке. Функция слева

целая

при

любом

выборе со. Беря

CO =

L I -

1

И

CO = V _ 1

,

М Ы

 

В И Д И М ,

что

L(s,

L I - 1 V )

и

L (s,

V _ 1 L I )

 

имеют

нуль

 

в

точке

 

s = l .

 

Пусть

jx _ 1 v (а) = | а \г

% (а), где

%—некоторый

характер.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

ц- Ч)

= 1 (s + г,

 

х),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

v - V ) = L ( s - r ,

X"1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь ни L (s,

х), ни L (s, х - 1 )

не имеют нулей в множестве

R e s ^

1.

Следовательно,

 

1 + г < 1

и 1 — r <

1. Это

невозможно.

 

 

 

 

 

 

 

Мы

можем

теперь

применить

 

следствие

 

11.6,

чтобы

убедиться

в существовании некоторой составляющей я' =

J J

(g) nv

 

пространства

Л0, такой, что

nv — n(ov)

 

 

 

v <£S.

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

 

 

Для

доказательства

теоремы

нам нужно лишь показать, что

 

n'v = n(av)

для

u g 5 .

Беря

 

частное

двух

функциональных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

 

© ® а ) = Ш е ( « .

« ^ ® ° * ,

^ ) U ( 1 — s ,

с о " ' ® а )

 

 

 

L(s, со@я') = | П е ( 8 , со,,®я;, Ч^)}, L ( 1 - s , со-*$л'),

§

12.

Некоторые экстраординарные

представления

269

мы находим,

что

д

L (s,

ыь® о р )

 

 

 

 

 

 

 

 

v<-s

L(s,

со,®n'v )

 

 

равно

 

 

 

 

 

 

Нам необходима еще одна

лемма. Если

v—неархимедова

точка

и со,— некоторый

квазихарактер

группы FI, то пусть «(со,) — наи­

меньшее неотрицательное целое число, такое, что сор тривиален на

единицах кольца £)v , сравнимых

с

1 по модулю

^ ( < й | , ) .

 

 

 

Л е м м а

12.5.

Пусть S—некоторое

конечное

множество

неархи­

медовых точек и v0(tS.

Пусть

нам

даны квазихарактер

%v<>

группы

FVo

и для

каждого ифи0

в S неотрицательное

целое

число mv.

Тогда

существует

квазихарактер

со

группы

О ,

такой,

что

a>v<1

= %v0 и

т (со,) ^

mv,

если

ифи0

принадлежит

S.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

ъЛа)

=

\а\щЪЛа)'

Г

Д Е

Хщ —

характер. Если

со' —некото­

рый характер

группы

CF

и со^,0

=

в то

время

как

т (сои) ^

пц,

для

юфи0

 

из S,

то

в

качестве

со мы можем

взять

обобщенный

ха­

рактер

а ->- fa. |гсо' (а)

группы

С>. Другими словами, мы можем с

самого

начала

допустить,

что

Хо0

характер.

Пусть

А — группа

иделей,

 

компонента

которых

для

точек,

не

принадлежащих

S,

равна

1,

компонента

 

которых

для

точки

v фьа

в 5 сравнима

с 1

по

модулю

 

и компонента которых для v0

произвольна. Конечно,

F*f]

Л = {1}. Мы

утверждаем,

что F*A замкнуто в /. В самом деле,

если а £ / ,

то

существует

компактная

окрестность X

элемента

а,

на которой норма ограничена сверху величиной 1/е и снизу вели­

чиной е, где

е — некоторая положительная постоянная. Если Bg/7 *

и у£А, то

|PY| = |Y|. Кроме того, множество

компактно. В силу дискретности F* множество F*AS замкнуто. Поскольку любая точка имеет компактную окрестность, пересече­ ние которой с F*A замкнуто, множество F*A само замкнуто.

Мы можем, конечно, найти характер группы А, который равен

Хо„ на Fl0 И Д Л Я

любой

ифу0

в 5 нетривиален на множестве

еди­

ниц в £>„, сравнимых

с

1 по модулю

Продолжим

этот

харак­

тер

на F*A, полагая

его равным 1 на

F*. Этот характер

может

быть

продолжен

до

характера

группы

/,. который заведомо

ра­

вен

1 на F*. Возьмем

в

качестве со этот

характер.

 

 

 

 

 

 

 

 

Е с л и r | ( а ) = J J т ) „ ( а „ ) ,

т о т ] —

н е -

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

который квазихарактер группы F*\I. Поскольку по построению

270

 

 

 

 

 

 

Гл. П. Глобальная

 

теория

 

 

 

 

 

 

T] = deta

на

1%, квазихарактеры

т] и

det а равны.

Следовательно,

Tfo=detof„

для всех v. Мы знаем, что

если m((ov)

достаточно велико,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

L(s,

 

u>v(g)oz,) = L(s,

с о „ ® я 0 ) = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L ( l — s ,

a ) - 1 ® a „ ) =

L ( l — s ,

^1®n'v)

=

l.

 

 

 

Кроме того, по

предложению

3.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e(s, av(X)nv,

 

yv)

=

e(s,

avr\v,

¥„) e (s, (OV,

 

 

 

 

В дополнении к работе Ленглендса

[5]

показано,

что

если

/п(со„)

достаточно

велико,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e(s, av®ov,

 

Y„) = e(s,

(ovdetov,

Wv) e (s,

a»„,

 

 

 

Применяя

лемму

12.5 и предшествующее ей равенство, мы видим,

что если v £ S

и coP— любой квазихарактер группы

FI,

то

 

 

 

L(s, юр®стр) _

j

e(s, ( o p ® a P

, ¥ P )

)

\L (l—S, cop1

®

a p ) ,

 

 

 

L(s,

са^Яр)

 

\

e (s, сор®Яр,

 

j

|Z.(l—s,

сой1® Ли)J

 

 

Вспоминая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s, av(g)ev)=L(l—s,

 

 

 

c o - 1 ® o j

=

l

 

 

 

 

для

v£S,

 

мы

видим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(l—s,

С0р"'®Яр) ^e(s, cog®oP, 4V)

 

 

 

 

(12

5 1)

 

 

 

 

 

L

(s,

CO^ ®

JTp)

 

 

8 (s,

COj, ® я 0 , Y^)

 

 

 

 

 

Теорема

будет доказана, если показать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

co„(g)ji;) = L ( l — s,

со0 "1 ®я;) =

1

 

 

 

 

при

любом выборе со^.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В противном случае либо п'и является специальным представле­

нием, либо существуют два квазихарактера \iv

и

v„

группы

FI,

такие, что

я 0

=

я ( р „ ,

 

v„). В

соответствии с (12.5.1)

дробь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L (l s , Шц1 ® я р )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z. (s,

сощ ®

я 0 )

 

 

 

 

 

 

 

является

целой

функцией

от

s

при

любом

выборе

со^.

Если

Яо =

л ( р „ ,

vv)

и m(p1 vt ,)

положительно,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(l—s,

fa®яр)

 

___

 

1 — |<й Р 1 д .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£(s, Hi"1 ® яа )

1

I co^ I 1 - *

'

 

 

 

 

 

эта

функция

имеет

полюс

в

точке s = l .

Если m ( p ^ v j = 0,

то

 

L ( l —s, ц 0 ® я 0 ) _ / 1

\ с 1— faxvpр) | ю р | д 1 .

§ 12. Некоторые экстраординарные представления

271

эта функция

 

имеет полюс

в точке

s = l ,

если не

выполняется

ра­

венство Pj/vv1

(a>v) = I <й„ I. Но тогда

она имеет

полюс

в точке

s 2.

Если

л'а—специальное

представление,

ассоциированное

с парой

квазихарактеров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а — • ц „ ( а ) | а | 1 / » ,

ос-> ц „ (а) | а

| " V*

 

 

 

группы F v , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L ( l - s , ц „ ® ^ ) ^ 1 - |т р | ' + 1 / > .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L ( s , L i ^ ® n ; )

 

l - j < ^ l 1 / 2 " " s '

 

 

 

 

эта функция имеет полюс в точке

s == 1/2.

 

 

 

 

 

 

 

Имеется

одно

следствие этой

теоремы,

которое

мы хотим от­

метить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е 12.6. Пусть Еглобальное

поле, и пусть

для

каждого

сепарабельного

расширения

 

F поля

Е , каждого

расширения

Галуа

К

поля

F и каждого неприводимого

двумерного

представления

а

группы

W^/F

функция

 

L (s, а)

является

целой

и

ограниченной

в

вертикальных полосах.

Тогда

если

Fxпополнение

 

поля

Е в

неко­

торой

точке,

K i расширение

Галуа

поля

F x и ахдвумерное

пред­

ставление

группы

WKI/F1

,

то представление

я (aj

существует.

 

 

Начнем

с

простого

замечания.

 

Ограничение

представления аг

на CKi является прямой суммой двух одномерных представлений,

соответствующих

обобщенным характерам

Xi

и

%2 группы

CKi.

Если

т принадлежит

G = ® (KJFJ,

 

то либо Xi ( т

 

=

Xi ( а ) Д л я

всех а £ Ск,

либо

Xi (т (а)) = Хг ( а )

Д л я в

с е х а

Ск.

Если

 

представ­

ление аг неприводимо, то существует

по крайней

мере

один эле­

мент т, для которого Хг ( т ( а ) ) =

Хг ( а ) -

Если

Xi^=X2> т 0

неподвиж­

ное поле Lj группы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я =

{т<ЕО|

X i ( * ( « ) ) ^ X i ( a ) }

 

 

 

 

 

является квадратичным расширением поля F . Ограничение пред­

ставления Gj на WnjLi

является

прямой суммой

двух

одномерных

представлений

и,

следовательно,

тривиально

на

коммутаторной

подгруппе W K I / L , . которая

есть

ядро гомоморфизма

TKJF,,

LJF,-

Без

уменьшения

общности можно допустить, что Кг

равно Ьх

и является,

таким

образом,

квадратичным

расширением

поля

F v

Тогда

ах

эквивалентно

представлению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\nd(WKl/Fi,

WKl/Ki,

Xl).

 

 

 

 

 

 

 

Если Oj приводимо, то я (Oj) определено. Предыдущие

замечания

показывают,

что оно определено,

если

ах неприводимо

 

и а1(а)

не

есть

скалярная

матрица

для

некоторого

a(tCKi.

 

Предложение

будет, таким образом, вытекать из теоремы 12.2 и следующей леммы.

Л е м м а 12.7. Пусть

F x пополнение поля F в некоторой

точке,

К.храсширение Галуа

поля F x и агнеприводимое двумерное

пред-

272

 

 

 

 

 

 

Гл.

 

II.

Глобальная

теория

 

 

 

 

 

 

 

ставление,

такое,

что о, (а)

является

скалярной

матрицей

для

всех

а £ Ск.

Тогда

существуют

сепарабельное

расширение

F поля Е,

рас­

ширение

Галуа

К поля

F,

точка

v поля

К,

изоморфизм ср поля

Kv

с Ки

который

переводит

 

Fv

в F 1 (

и неприводимое

 

двумерное пред­

ставление

а группы

WK/F,

 

такие,

что ov

эквивалентно

о^оф.

 

Заметим,

что

из существования

а,

следует

неархимедовость F.

Мы установим еще несколько лемм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

12.8. Пусть

 

V — конечномерное

вещественное

векторное

пространство,

G—конечная

группа

линейных

преобразований

про­

странства

V

и

L — решетка

в V,

инвариантная

относительно

G.

Если

%—квазихарактер

решетки

L , инвариантный

 

 

относительное,

то существуют

квазихарактер

 

пространства

V,

инвариантный

относительно

 

G, и

целое

положительное

число

т,

такие,

что огра­

ничения

квазихарактеров

 

%' и % на mL

равны.

 

 

 

 

 

 

Пусть

V—пространство,

 

 

двойственное

V,

и Vc

его комплекси-

фикация.

Существует

некоторый

элемент

у £ Vc

с

условием

^(х) = егп1 <*• «> для всех x£L. Если г 6 Vc, то обобщенный харак­

тер

х—• е< <*• г> тривиален на L тогда и только тогда, когда

z €

• Далее, /, есть решетка

{v£V\<x, v>£Z для всех x£L}:

Пусть Gгруппа, контраградиентная G. Мы должны установить I

существование некоторых т и z в — , таких, что у — z не меняется

при действии G. Если a£G, то оу—y = w0 принадлежит L . Ясно,

ЧТО OWx-{-Wa = Wax. ПОЛОЖИМ

Если

в качестве

т взять

[G:l],

то мы получим требуемый элемент.

Л е м м а

12.9. Пусть

F — глобальное

поле, К—расширение

Галуа

этого поля и v—некоторая

 

точка

поля К- Предположим

также, что

[KV'FV]

— [K:F],

и пусть

% — некоторый

квазихарактер

группы С^.,

инвариантный относительно

G = © (Kv/Fv)

= ® {КIF).

Тогда

сущест­

вуют

замкнутая

подгруппа

А

конечного

индекса

в Ск,

которая

инвариантна

относительно

G и содержит

CKl> и некоторый

квази­

характер

х группы А, инвариантный относительно

G,

ограничение

которого

на CKv

есть %v.

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала предположим, что рассматриваемые поля имеют поло­ жительную характеристику. Мы можем выбрать некоторое множе­ ство неотрицательных целых чисел nv, w=£*v, среди которых все,

§ 12. Некоторые экстраординарные представления

273

кроме конечного их числа, равны нулю, такое, что группа

инвариантна относительно G и не содержит элементов из К*, за исклю­ чением 1. Группа UNKW есть группа единиц кольца £>K w , сравнимых с 1 по модулю $х£,- Мы продолжим квазихарактер %v на В, полагая его равным 1 на

Пи%,

изатем на А = К*В/К*, полагая его равным 1 на К*.

Пусть

теперь

поля

имеют

характеристику

0.

Разделим точки

поля

К,

отличные от

v,

на

два

множества: S, состоящее из архи­

медовых

точек,

и Т,

состоящее

из

неархимедовых

точек.

Выберем

некоторую совокупность

неотрицательных

целых

чисел

n'w,

w£T,

из которых все, кроме конечного

их

числа,

равны

нулю, такую,

что группа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в'-сКех

 

 

п с « м х п ^ :

 

 

 

 

 

 

инвариантна

относительно

 

G и не

содержит

корней

 

из

единицы

в К,

за

исключением

1.

Если w архимедова,

то

обозначим

через

(7/сш элементы

 

нормы

1 в Kw

и

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

В ' / В [

изоморфна

произведению

группы

СК

и векторной

группы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спроектируем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М

=

В[

 

(В'(]К*)/В[

 

 

 

 

 

 

 

 

на V;

получим

решетку

L

в V,

и эта проекция является изомор­

физмом.

Определим

квазихарактер

р. решетки

L , такой,

что

если

/п£М

проектируется

на

ш1

в C^V

и на

/п2

в V,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X0(m1)\i(mt)=\;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\i инвариантен относительно G. Выберем

квазихарактер

ц' группы V

и целое п, такие, что ц' и (i равны на nL. Пусть

v' квазихарак­

тер, полученный подъемом %VX\i'

с CK„XV на В'.

Из одной теоремы

Шевалле ([1], теорема 1) следует,

что

 

можно

выбрать некоторую

совокупность

неотрицательных

чисел

{nw\w^T\,

 

из

которых

все,

кроме

конечного

их

числа,

 

равны

нулю

и np^n'w

 

для

всех

w^T,

274

 

 

 

 

 

 

 

Гл.

II.

Глобальная

теория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таких,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в=ск,хЦсКахТ[и%,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

инвариантна относительно G и каждый

элемент из В Л К* является

n-й степенью некоторого элемента

из

В' Г\ К*.

Ограничение

v ква­

зихарактера v'

на

В

тривиально

на

В Г) К*.

Возьмем

 

А — К*В/К*

и пусть хквазихарактер,

равный

1 на

К*

 

и

v

на

В.

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

1 2 . 1 0 .

Пусть

Fxпополнение

 

 

глобального

 

поля

Е,

Ktконечное

расширение

Галуа

поля

Ft

с

группой

 

Галуа

Gt

и

1

квазихарактер

группы

CKi,

 

инвариантный

 

относительно

Gx .

Тогда

существуют

сепарабельное

расширение

 

F

поля

Е,

 

расширение

Галуа

К

 

поля

Е,

точка

v

поля

К,

такие,

 

что

[KV'FV]

 

=

[K-F]l

изоморфизм

ф поля

Kv

 

с Kt,

который

переводит

 

Fv

в

Flt

и

квази­

характер

 

х группы

Ск,

 

инвариантный

 

относительно

© (КIF),

 

такие,

что %v = %Kl°4>-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы можем, кроме того, допустить, что Fi

= Ew,

где w — некото­

рая точка

поля

Е.

Известно (см. Ленг

[

1 ]

)

,

что существует много­

член с коэффициентами из Е, такой, что если

8 — некоторый

 

корень

этого

многочлена,

то расширения EW(Q)/EW

 

 

и

KJF1

 

изоморфны.

Пусть

L — поле

разложения

этого

многочлена.

Продолжим

w

до

некоторой точки поля L . Последнюю точку

мы также

обозначим

через

w. Заменяя

в случае необходимости Е неподвижным полем

группы

разложения

точки

w,

мы

можем

допустить,

что

Fx

Ew,

KX

= L W

и

[LW:EW]

=

[L:E].

Теперь

положим

 

X

W

=

XK , и

 

продолжи

X W

до

некоторого квазихарактера

 

%'

группы

 

А,

как

в

предыду­

щей лемме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

К—абелево

 

расширение

поля

L , ассоциированное

с под­

группой

 

А.

Поскольку

А инвариантна

относительно ®(L/E),

ЩЕ

является

расширением

Галуа. Пусть v—некоторая

 

точка

поля

К,

делящая

 

точку

w

поля L . Поскольку А содержит

C L W , поля

Kv

и

L W

равны.

Пусть

F — неподвижное

 

поле

образа

группы

@

(Kv/Ew)

в

&(К/Е).

 

Пусть

v также означает ограничение точки v

на

F.

Поля

Fv

 

и

Ew

совпадают.

Отображение

NK/L:

 

Ск—>CL

 

переводит

Ск

в

А.

 

Пусть

х = х'0

Л^кд. • Очевидно,

х

инвариантен

относительно

&(K/F).

 

 

Поскольку

NK/L,

 

ограниченное

на

Kv,

 

является

изомор­

физмом

Kv

с L w ,

который отображает Fv на Ew,

лемма

доказана.

 

Для

доказательства

леммы

1 2 .

7

нам

необходимо лишь

показать,

что если

F — глобальное

поле,

К — расширение

Галуа

поля

F, % —

квазихарактер группы Ск,

инвариантный

 

относительно

 

©

(K/F),

V—точка

поля

К,

такая,

что

[K'-F]

 

= [Kv-Fv],

 

 

и ах — неприводимое

двумерное

представление

группы

WKV/FV,

 

такое,

что

av

 

(а) = х^ (а) /

для всех а£С/<с , то существует двумерное представление а группы WK/F, такое, что av эквивалентно at ; а неприводимо в силу непри­ водимости ог.

 

 

 

 

§ 12.

Некоторые экстраординарные

представления

 

 

 

276

Пусть

Oj действует

на

X.

Пусть

р„ — правое

регулярное

пред­

ставление

группы

WKD/F,,

на

пространстве

VV

функций /

на

 

W^V/FV

с условием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (ада) = lv

(а ) /

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

всех

a£CKV

и всех w^WKV/F0.

 

Е С Л И

X — ненулевой

линейный

функционал

на X,

то отображение,

переводящее

х £ Х в функцию

X(a1(w)x),

есть

И^/^-инвариантный

изоморфизм

пространства

X

с некоторым подпространством Y пространства

Vv.

 

 

 

 

Пусть

V—пространство

всех

функций

 

/

на

WK/F,

удовлетво­

ряющих

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ (ада) = х («) / И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

всех

а(ЦСк

 

и

всех

w£WK/F.

 

Поскольку

[K-F] =

 

[KV-FV],

группы

© (K/F)

и © (KJFV)

равны.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WK/F = CKW

KV/FV-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме

того,

CKV

= CK

 

П WKV/FL,.

Таким образом,

ограничение

функ­

ций

в V на

WK0/F„

 

является

изоморфизмом

пространства

V

с

VV.

Для

простоты отождествим эти два пространства. Пусть

р — правое

регулярное

представление

группы

W^/F

на V. Если а£Ск,

то

 

 

 

 

 

 

/ (даа) = х (даоаег1) / (да) =

X (а) /

И .

 

 

 

 

ибо

х является

© (/С/^)-инвариантным. Следовательно, р(а) = х ( а ) /

и некоторое

подпространство

пространства

V инвариантно

относи­

тельно

WK/F тогда

и только

тогда,

когда

оно инвариантно

отно­

сительно

WKB/FV.

Е С Л И

М Ы В качестве а возьмем ограничение

р на Y,

то av

будет

эквивалентно

ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава III

К В А Т Е Р Н И О Н Н Ы Е

А Л Г Е Б Р Ы

 

§ 1 3 . Дзета-функции алгебры

М (2,

F)

 

 

 

 

 

В этом параграфе F— снова локальное

поле и

А = М(2,

F) — ал­

гебра (2х2)-матриц с

элементами

из F.

Мультипликативная

груп­

па А* алгебры А есть

в

точности

G f

= GL(2,

F).

Если

g$GF,

то

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\g\A

=

<*Aig)

=

\fetg\y

 

 

 

 

 

 

Пусть

я—некоторое

допустимое

представление

алгебры SKF

на

пространстве

V.

Пусть

контраградиентное

представление

ft

дейст­

вует

на V. Если v£V

и v£V,

 

то

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(g) v,

v> = <у, я (g-1)

v>

 

 

 

 

 

характеризуется

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l<n(gh)v,

~v>f (h)dh=*<,n(g)n(f)v,

 

v>

 

 

 

для

всех \$.ЖГ.

Если Ф принадлежит пространству Шварца

£Р(А),

v£V

и vgV,

то

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z(n,

Ф,

v,

o ) = j J $>(g)<n(g)v,

v>d*g

 

 

 

 

 

 

Z (я,

Ф,

v,

v) =

J Ф (g) <o,

я (^) y> d*g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбор

меры

Хаара

не

имеет

значения

при

условии, что

она

 

одна

и та же для обоих интегралов.

 

 

 

 

F*,

 

 

 

 

Если со — некоторый

квазихарактер

группы

то

 

 

 

 

 

Z ( c o ® n ,

Ф, v,

»)=

J

Ф (g) со (det g)<

я (g) у, y>d*g.

 

 

 

 

 

 

 

§ 13. Дзета-функции

 

алгебры

М (2,

 

F)

 

 

 

 

 

277

Цель данного параграфа состоит в доказательстве

следующей

тео­

ремы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

13.1. Пусть

я — некоторое

неприводимое

 

допустимое

представление

алгебры

ЖР

и

я—контраградиентное

ему

представ­

ление. Пусть

я

действует

на V и л на

V.

Тогда

 

 

 

 

 

 

(I) для любых v£V,

 

v£V

и

Ф£аУ(А)

 

интегралы,

 

определяющие

Z(aF®n,

 

Ф,

v, v) и Х(аР®)я,

Ф,

v,

v),

абсолютно

сходятся

при

достаточно

большом

Res;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(II)

обе функции

могут

быть

аналитически

продолжены до

функ­

ций,

которые

мероморфны

во всей

плоскости

и

 

ограничены

на

бес­

конечности

в вертикальных

полосах

конечной

ширины;

 

 

 

 

(III)

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (а/1/2

® я ,

Ф,

v,

v)^L(s,

 

 

n)E(s,

 

Ф,

v,

v)

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z{uF+1/*

®п,

Ф,

v,

y) =

L(s,

~я)~2 (s,

Ф, v,

v),

 

 

 

то

функции

 

Е (s, Ф, v, и)

и

S (s, Ф,

v,

v)

целые;

 

 

 

 

 

 

(IV)

существуют

Ф,

vu

 

 

vn

и

vlt

 

 

 

vn,

такие,

что

функ-

ция

2 " (s>

Ф> vh

vt)

имеет

вид

aebs,

 

афО;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t—i

 

Ф —преобразование

 

Фурье

функции

 

Ф

 

относительно

(V)

если

 

 

 

характера

ЧА

(х) — WF

(tr х),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (1—S, Ф', v,

u) =

e(s,

я,

4F)E(s,

 

Ф,

V,

V).

 

 

 

Допустим

сначала,

что

F неархимедово

и

я

абсолютно

каспи-

дально.

Тогда

возьмем

я

в

форме

Кириллова,

так

что

V

есть

в точности

 

(F*).

Поскольку

аддитивный

характер ХРР=Х¥

задан,

мы хотим, конечно, взять модель Кириллова относительно этого

характера.

Следующая

лемма

является

в рассматриваемом случае

ключом к

теореме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

13.1.1. Если

ч>€а?(Е*),

v£V

и v£V,

то

положим

 

 

Ф (г) =

ф (det§)<я,

jr(g)iJ>|detg|-\

 

 

если g£GF,

 

и положим

Ф(^) = 0,

если

элемент,

А

сингулярен.

Тогда Ф

принадлежит

 

о? (А)

и

ее

преобразование Фурье

задается

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф'

(ё) = ф' (det g) (g) v,

v> I det g I F V 1

(det

g),

 

если g£GF

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф'(£) =

0,

 

 

 

 

если элемент g сингулярен. Здесь г\ — квазихарактер группы F*, on-

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ