Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

240 Гл. 11. Глобальная теория

Если а£/*"*, то правая часть есть в точности cp(g). Таким образом,

Ф инвариантна относительно левых						сдвигов на элементы из группы
РР	верхних треугольных			матриц в GF. Поскольку					GP	порождается
				/	0	1\
группой Рр и элементом w = [					^ 0 / ' Т ° Д Л Я			т о г о ' ч т 0 ^ ы		показать,
что ф—функция на GF\GA,				нужно		лишь доказать			равенство
				(f(wg)	=	(f(g).
	Из соображений		линейности		нам		нужно	установить			его лишь
для	случая,	когда	<рх имеет вид (11.1.2). Как и в						прямой		теореме,
из	сделанных	предположений следует, что интегралы
					а		0

абсолютно сходятся при достаточно больших Re s. Кроме того,

ЧГ(£, s, Ф 1 ) = П ^ ( ^ , s, %) = L{s,	я ) П Ф ( г „ s, Ф„).
a	v

Почти все множители в произведении справа являются тождествен

ными

единицами,

так

что произведение,

следовательно, и

^ (gt s'

Ф1) является

целой

функцией

от s.

Аналогично,

(g>s>

Ф1) = L(s,

я) П

s, ф„)

является

целой

функцией.

Поскольку

Ф(и£„,

1—s,

9„) = e(s,

nv,

4 ' J O ( g O I

s, ф„),

функция

4T(wg,

1—s, ф 1 )

равна

L(l

— s,

n)e(s,

n)Jl<b(gv,

s, ф 0 ) ,

которая в силу функционального

уравнения,

принятого для L (s, я),

равна

функции

(g,

s, ф х ) .

представления следует, что

функция

Из

ее

интегрального

^ ( g , s .

Ф1)

ограничена

любой

вертикальной

полосе

конечной

ширины, содержащейся в некоторой правой полуплоскости. Только

что установленное равенство показывает, что она ограничена				также
в вертикальных полосах	некоторой	левой полуплоскости. Для про
верки ее ограниченности	в любой	вертикальной	полосе мы только
должны проверить, что	она растет достаточно		медленно,	чтобы

§11.

Теория Гекке

241

можно было применить принцип Фрагмена — Линделёфа. Имеем

^ (g, s> Ф1) = L(s, я) П Ф (gv, s, ф„).

Первый член ограничен в любой вертикальной полосе по предпо: ложению. Почти все множители в бесконечном произведении тож дественно равны 1. Если точка v неархимедова, то Ф (gv, s, <pv) является функцией от \a>v\s и, следовательно, ограничена в любой вертикальной полосе. Если v архимедова, то

Мы должны показать, что	числитель ограничен на	бесконечности
в вертикальных полосах.	Знаменатель, с точностью	до экспонен

циального множителя, является некоторой Г-функцией. Из формулы Стирлинга следует, что на бесконечности он стремится к нулю достаточно медленно. При достаточно большом Re s

	V(g,			j	£	^ ( ( o °		? ) я ) М 8 - 1 / 2 с 1 * а ,
				F*\i	aeF*
что	равно
				j ф ( о ? ) ^ ) k l s - 1 / 2 d * a .
				F*\l
Этот	интеграл		абсолютно		сходится		при	достаточно	большом Res.
Если Res		велико и отрицательно,					то
	W(wg,		l — s,	ф 1 ) =	j Ф ( ( 2		? ) oiff) Л - 1 («) I « l 1		/ , _ e d*a,
					F*\l
что	равно
			I	ф ( ш ( о			a)g)r\-1(a)\a\v>-°d*a.
			F * \ I
Используя		соотношение
				ч 0	а)~\0		а)\0	1

и заменяя переменные, мы видим, что этот интеграл равен

Ф ( Ш ( о J V V l s " 1 / > d * a -

242	Гл. //. Глобальная теория

Положим

'•">-*((о »

Попытаемся показать, что для любого g функции fx и / 2 равны. Предыдущее рассуждение применимо к с о ® я так же, как к я . Если ф 1 ^и ^(я, Ш), то функция

Ф1 te) = «(detg) Ф! (g)

принадлежит № (со (£) я, У). При замене ф на ф^ функция ф заме няется на

Ф' (g) = w(detg)<p(g),

а—на

/;(a) = ©(detg)©(fl)// (a).

Таким образом, для любого квазихарактера со группы F*\I ин теграл

S / х (а) ш («) | a Is-i/s d*a

F * \ I

абсолютно сходится при достаточно больших Res и интеграл

S /2 (a)co(a)|a[s -i/2 d*a

F'\l

абсолютно сходится при больших и отрицательных Res. Оба ин теграла представляют собой функции, которые могут быть анали тически продолжены до одной и той же целой функции. Эта целая функция ограничена в вертикальных полосах конечной ширины.

Равенство функций fx и / 2 вытекает из следующей леммы:

Л е м м а	11.3.1.	Пусть	fx	и /2—непрерывные функции на	F*\I.
Предположим, что существует				постоянная с, такая, что для	всех
характеров	со группы	F*\I	интеграл
		S	(а) со (а) М« d*a
		F * \ I
абсолютно	сходится	при Re s > с и интеграл
		S		ft(a)®(a)\a\'d*a
		F'\l

абсолютно сходится	при Res < — с . Предположим, что функции,
представимые этими	интегралами, могут быть аналитически про-

			§11. Теория Гекке							243
должены до одной и той же целой					функции	и что эта целая				функ
ция	ограничена в вертикальных			полосах конечной ширины.					Тогда ft
и /2	равны.
	Пусть	/ 0 — группа	иделей	с	нормой	1.	Тогда	группа		F*\I0
компактна.		Достаточно	показать,		что для	каждого		b^l	функции
/ j (ab) и /2		(ab) на F*\I0	равны.	Они равны,			если имеют		одинако
вые разложения Фурье. Поскольку любой						характер		группы		F*\I0
может быть продолжен до характера группы F*\I, мы должны
только показать, что для каждого					характера		со группы F*\I			функ
ция
		f,(co,	b) = a(b)	J	fx (ab) со (a) d*a

равна

f2(co, Ь) = со (b) J /2 (ab)co(a)d*a.

Эти	две функции			являются		функциями		на группе / 0 \ / , которая
изоморфна R, если				F — числовое			поле, и Z, если		F—функциональ
ное	поле.
	Если F—функциональное					поле, то мы должны лишь проверить
следующую лемму:
Л е м м а			11.3.2.	Пусть		{at(n)\n^.Z}		и { a 2 ( n ) \| n £ Z } — две			по
следовательности и				q> 1—некоторое вещественное число. Пусть							ряд
						п
сходится		при	достаточно		больших		Res,	а ряд
					2 ^		(n)g-ns
					п
абсолютно		сходится		при	больших		и отрицательных		Re s. Если	функ
ции,	которые		они представляют,				могут	быть аналитически		продол
жены до одной и той же целой функции								от s, то эти две последо
вательности			равны.

Ясно, что сформулированная лемма равносильна единственности разложения Лорана. Если F—числовое поле, то лемма, которую следует доказать, несколько сложнее:

Л е м м а	11.3.3. Пусть	gx и g2—непрерывные		функции на R.
Допустим,	что существует	постоянная с, такая,		что интеграл
	k	(s) = S gi (х) esx dx
абсолютно	сходится при Res>c , а		интеграл
	gi (s) = S g2		(х) esx dx
		к

244			Гл.	II.	Глобальная	теория
абсолютно	сходится		при	Res < — с.		Если gx	и g2	представляют
собой одну	и	ту же целую			функцию	и эта	функция	ограничена в
вертикальных		полосах,	то	g±	= g2.

Достаточно показать, что для каждой бесконечно дифференци руемой функции g с компактным носителем функции g*gx и g*g2 равны. Если

		g (s) =	J g (x) esx		dx
			a
есть	преобразование Лапласа		функции		g,	то	преобразование Лап
ласа	функции g*gj	равно g(s)gi(s).		По	формуле обращения
		b + I оо
		b-i оо
где	b > с, если i	= l , и fe<—с,		если	t =	2.	Интеграл сходится,

ибо g стремится к нулю в некоторой вертикальной полосе быстрее, чем величина, обратная любому полиному. Из интегральной теоремы Коши следует, что интеграл не зависит от Ь. Лемма доказана.

Для завершения доказательства теорем 11.1 и 11.3 мы должны показать, что для любой функции ф 1 ^ й 7 ( я , ¥ ) ряд

сходится равномерно и абсолютно по g из некоторого компактного

подмножества		группы		GA И	ЧТО, если <p(g) — сумма этого ряда					и
F — числовое		поле, то для любого компактного подмножества Q
группы	GA И любого		с > 0 существуют постоянные МГ и М2, такие,
что
					^Мг\а\м'
для g£	& и \| а \| ^ с .		Мы предпочитаем доказать эти факты в не
сколько более общей ситуации, которую сейчас и опишем.
Под дивизором мы				понимаем формальное произведение вида
				£> = П*>>
Оно берется по всем			неархимедовым точкам. Целые т$ неотрица
тельны	и все,	кроме	конечного их			числа,	равны 0. Пусть S — не
которое	конечное множество				неархимедовых точек,			содержащее все
точки, делящие D, т. е. все					точки	р, для	которых	т$>0.
Если	а£1,	мы можем единственным образом записать							а в виде
произведения		asas, где		компоненты		множителя as		вне S	равны	1,
а компоненты		множителя as			равны	1 для точек из S. Множитель				as

ф 11. Теория Теккё

245

принадлежит

Is = Y\.F*v. Пусть

1% — множество

иделей

а,

таких,

что для

любого p £ S

компонента а$ есть некоторая единица с усло

вием

аРЕ=\

(modp'"V). Тогда I =

F*lE

группа

F * \ I изоморфна

F*D(MD\ID.

p£S,

пусть Кр—подгруппа

Если

то

всех

матриц

'а

*Л

кс

из /Ср , для которых

с =

(modi)"1*')-

Пусть Кр—подгруппа

таких

матриц, для

которых

a =

d=\

(modpm »). Положим

pes

t>6S

Заметим,

что

является

нормальным

делителем

группы

Ks и

факторгруппа

Ks/Ks

абелева.

Пусть Сд —множество

всех

^ б б д ,

таких,

что gp

принадлежит

группе Кр для всех p£;S. Любой

элемент g^G-A

может быть

запи

сан

как

произведение

gsgs,

где gs

имеет

компоненту

для

точек

вне

S и

имеет

компоненту

1 для

точек из

S. Через GS обозна

чено

множество всех gs, а через GS—множество

всех gs.

В частности,

GD =

GS.

Легко видеть, что

GFG%-

Допустим, что, кроме D и 5, нам

даны

некоторый

нетривиальный

характер

группы

F\/k,

характеры

е и е

группы Ks/Ks,

ком-

плекснозначные функции а—>-аа и а—>аа на/7 *, некоторое непри

водимое представление	я	алгебры	$ S	= ®HS&?V		и некоторый ква
зихарактер т) группы	F*\I.
Имеется несколько	условий, которые				должны	удовлетворяться.
Если
		,0	b,
принадлежит Ks, то
	'а 0 \ \ _		ПЬ		0
	,0	b ) ~ в	\ \	0	а

246

Гл. //.

Глобальная

теория

Если

а £ F* и р € F* Г) /о,

то

а а р =

е ^ 0

J 5

Функции а — *а а

и а—*- аа

ограничены.

Кроме того,

fla

= fla = 0,

если

для некоторой v£S

число а,

рассматриваемое

как

элемент

из Fv,

не

лежит

наибольшем

идеале,

на

котором Wv

тривиален.

Если

0 ^ 5

и а—некоторая

единица

£)„,

то

0 \ \

О а)) = Г>Ла)-

Пусть

n = ® H s n v

Тогда

для

a£FZ

'а

0 \ \

А0 a ) r ^ { a ) L

Всилу этих двух условий т] определяется заданием л и е. Суще

ствует

вещественное

число

г, такое,

что если nv

— n(\iv,

vv), то

К Г < | р * К ) К К 1 ~ Г

К Г < К

К ) | < к | - ' .

Наконец, мы предположим,

что nv

бесконечномерно для

всех

v^S.

Эти

условия

довольно

сложны.

Тем

не

менее

несколько

позже

мы окажемся

в ситуации,

которой

они

удовлетворяются.

Когда

S пусто,

D = 0

и аа

= аа = 1 для всех а, они сводятся к усло

виям теоремы 11.3.

частности,

вместе со

следующей

леммой

бу

дет завершено доказательство этой теоремы. Мы используем эти условия для построения некоторого пространства U автоморфных форм на бд, такого, что U преобразуется при действии §ts согласно представлению л, тогда как каждая форма србСУ удовлетворяет условию

Ф (gh) = е (h) ф (g)

для h$Ks-	Если U—такое пространство, то для любой ф £ £ / и
любого а £	/

Ф ( ( о а ) 0 = Т , ( а ) ф { 5 ) -

Это ясно, если а^1%, а в общем случае следует из соотношения / = £ */! .

£ //. Теория Гекке

247

Напомним, что W (я, W) есть пространство функций на Gs, на тянутое на функции вида

q>ite) = IIq>*(&,),

где q>v£W (nv, ¥„) для всех у и равна ф£ для почти всех у.

Л е м м а	11.4. Допустим, что ф х £ № (я, Ф").
(I) Для	любого g£GD	ряд
	ф(Я) = а 2	а - в

абсолютно сходится. Сходимость равномерна на компактных под множествах в Go.

(II) Функция ф, определяемая этим рядом, инвариантна отно сительно левых сдвигов на матрицы из GF Г\ Go вида

ар\

Об)'

(III) Пусть	F — числовое поле.	Пусть	Q—некоторое	компактное
подмножество	в G%. Тогда существуют		положительные	постоянные
М1 и М2, такие, что
	W(g)\<M1{\a\	+	\a\^}«;
если

о 1 Д о \ )

с h£ Q, а£ ID и

оi ) € 0 £ "

Достаточно доказать эти утверждения для случая, когда ф1 имеет вид

о 4 S

Для проверки первого и третьего утверждений			нам нужно лишь
рассмотреть ряд
2	a	О
2	6(a) П Ф - U Q	1	(11.4.1)

248

Гл.

П.

Глобальная

теория

где

б (а) = 0,

если для некоторой

v (; S

число

а, рассматриваемое

как элемент из Fv,

не лежит

в наибольшем идеале, на котором

тривиален, и б(а) =

1 в противном

случае.

Q вида

Нам

нужно лишь

рассмотреть

компактные

множества

v $ S

(11.4.2)

где

Qv — некоторое

компактное

подмножество

в Qv

и QV = KV

для

почти

всех v.

Л е м м а

11.4.3.

Пусть

имеет вид (11.4.2). Существует

неко

торое

положительное

число р, такое,

что для каждой

неархимедовой

точки

которая не

принадлежит

найдется

постоянная

Mv,

та

кая,

что

<Mv\a\

для

a£FZ

h£Qv,

постоянная

с„, такая, что

4>v

если

| a | > c „

и h£Q.

Кроме

того,

для

почти

всех

v можно

взять

Mv =

cv=\.

Так как <pv инвариантна относительно некоторой открытой под группы группы Kv для всех v и инвариантна относительно Kv для почти всех v и Qv — Kv для почти всех v, то достаточно доказать существование Mv, cv и р, таких, что эти соотношения удовлетво ряются при h = 1. Поскольку функция

а 0

Ф* 0 1

принадлежит пространству модели Кириллова, существование по стоянной cv очевидно. Ее можно взять равной 1, когда £>„ есть наибольший идеал поля Fv, на котором Wv тривиален, и ФС = Ф„.

Существование постоянной Mv для заданной точки v и доста точно большого р следует из абсолютной сходимости интеграла, определяющего W (е, s, фг,). Таким образом, все, что нам нужно сделать, — это доказать существование некоторого фиксированного р, такого, что неравенство

с 0

Ф* 0 1

справедливо для почти всех v. Для почти всех v представление nv имеет вид я (\iv, vv) с неразветвленными jxv и vv, £)„ есть наиболь-

§11, Теория Гекке

249

щий идеал поля Fv,

на

котором

"Vv

тривиален, и yv — y0-

Таким

образом,

для таких у

'га

а О

*'\\0

Ф»

О 1

если

е — некоторая

единица

в £)„ и

со2 О

2Ф<, Ло

1 у ) ; | ^ 1 л ( 8 - 1 / 2 ) = ^ ( 8 . ^ )

Если

pv =

\iv((ov)

(1 — Р« I

5 „ р) (1 — a e

1 Si„ |*)'

Поскольку | pv | ^

| со0

|~г

и к\av и

то

't»S О

П+1

Ф*

Pv — а в

< ( П + 1 ) К | -

Pv —

Так

как | cOj, | ^

1/2, существует постоянная е > 0,

такая, что

( д + 1 ) < К | - * «

для всех v и всех

п ^

Если

у—архимедова

точка,

то

интегральные

представления

функций из W ( J T „ ,

С )

показывают, что

существуют положитель

ные

постоянные

cv, dv

и Mv,

такие, что

М „ | а | - е

» е х р ( —

dv\av\*»)

Ф*

О 1

для a^Fl

и / i £ Qv. Далее,

= l для вещественных

у и е^, = 1/2 для

комплексных

у.

Поскольку мы хотим

доказать

не только

первое утверждение,

но также и третье, рассмотрим сумму

(Ь

S «(«)П

6» a

\)8)=

где g лежит

множестве

(11.4.2)

б — некоторый идель,

такой,

что bv=\

для всех

неархимедовых

у.

Допустим

также, что суще

ствует положительное

число

/, такое,

что bv

— t для всех архиме

довых у. Если Л—множество элементов a £ F, для которых | a |„ ^ cv для всех неархимедовых у (jfS, и б (а) Ф О, то

'((о 1

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб21Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб9Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб11Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб9Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб27Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб56Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf