книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

222

Гл.

//.

Глобальная

теория

нутое подпространство пространства

L 2 (л), которое состоит исклю­

чительно из ограниченных функций, конечномерно.

Теперь

мы покажем,

что если

| — некоторый элементарный

идемпотент

алгебры

Ж,

то

пространство

v=\p(m<f\

содержится

в таком

замкнутом подпространстве. Функции в V сами,

тельно,

ограничены в

Ь2(ц).

Заменяя, в

случае необходимости,

£ некоторым

большим

идемпотентом,

мы

можем

допустить,

что

£ = 5e ®ia> г Д е

—некоторый

элементарный

идемпотент в

Жа.

Су­

ществует некоторый двусторонний идеал Ш. в 1аЖа1а,

такой, что

р(/)ср = 0,

если f £ 9t .

Элементы идеала Щ продолжают аннигили­

ровать

V

и

его замыкание

в L 2 (т]).

Приближая, как

обычно,

б-функцию,

мы видим,

что существуют

некоторая

функция

]х^Жа

что Р

£ 31.

Следовательно,

существует некоторая функция

!ч£Жа,

такая,

что / 2 — 1 £ Ж.

Для завершения доказательства

Для числового поля аналог предложения

10.4 таков:

П р е д л о ж е н и е

10.7. Допустим,

что ф — параболическая фор­

ма и для некоторого

квазихарактера

г\ группы

F * \ I

при

всех а £ / .

Тогда

для любого вещественного числа Мх

найдется

вещественное число М2, такое, что

для

всех а£1.

Кроме

того,

абсолютное

значение функции

ц> квадра­

тично интегрируемо

на

GFZA\GA-

Нам необходимо

другое

следствие

предложения 10.6. Для его

ными формами на бд и GR, которая обычно

предполагается обще­

известной, и затем сослаться на первую

главу

книги

Хариш-

Чандры [3]. Вероятно, лучше было бы

обойтись без

доказательства

и целиком положиться

на инициативу

читателя.

Мы, однако, не

пойдем столь далеко

и хотя

бы сформулируем

это

предложение:

П р е д л о ж е н и е

10.8. Пусть Qv—центр

алгебры Wv,

и пусть

Щ—некоторый

идеал конечной

коразмерности

в & = ®vesaQv-

Пусть

I—элементарный

идемпотент

алгебры

76 и

ц—некоторый

квази-

§ 10.

Автоморфные формы

223

характер группы F*\I. Тогда пространство бесконечно дифферен­

цируемых

функций

ф на GP\GA,

которые удовлетворяют

следующим

пяти

условиям,

конечномерно:

(I)

ф

каспидальна;

(II)

р ( | ) ф = ф;

(III)

если

а£

I ,

то

ф ( ( о

« ) ^ ) = Г 1 ^ < Р ^ ;

(IV)

р (X)

Ф =

0

для

всех

X

в 91;

(V)

ф медленно

возрастает.

П р е д л о ж е н и е

10.9.

Пусть

г\ — некоторый

квазихарактер

группы

F*\I,

и

пусть

Лй{ц)—

пространство

параболических

форм ф,

для

которых

'((о

° ) ' ) в ф ( в )

для

всех а £ I .

Представление

алгебры

Ж на

Ла (г\) является

прямой

вхождения

каждого из них

конечна.

Каждый элемент пространства Лй (ц) аннигилируется некоторым

идеалом

конечной

коразмерности

в

Если §1—такой

идеал, то

будем обозначать

через

Л0(ц, 31)

пространство функций

в

Л0(ц),

аннигилируемых идеалом 9L Первую часть предложения достаточно

доказать

для

пространства Ла(ц,

St). Тогда можно использовать

предыдущее

предложение

и рассуждать,

как в доказательстве

пред­

жение

с

замечанием, что две функции,

преобразующиеся согласно

одному

и тому

же

представлению

алгебры Ж,

аннигилируются

одним

и

тем же идеалом в 3- Алгебра Ж действует на простран­

стве

Л.

Неприводимое допустимое представление я алгебры Ж

является

составляющей

представления

на Л или, короче, состав-1

ляющей

пространства Л, если существуют два инвариантных под­

пространства

U

и

V пространства

Л,

такие, что U содержит V и

действие на факторпространстве U/V эквивалентно я. Составляющая

пространства

Л0

определяется сходным образом.

Составляющие

пространства

Лъ

более

интересны,

чем

составляющие пространства

Л, которые не

являются составляющими пространства

Л0.

Т е о р е м а

10.10. Пусть я = (^)я„ — неприводимое

допустимое

представление

алгебры

Ж,

которое

является

составляющей

прост­

ранства

Л, но

не Л0.

Тогда существуют два

квазихарактера

р

и v

группы

F*\I,

такие,

что

для каждой точки v представление

я„

является

составляющей

представления

р (р„, v„).

224

Гл. II. Глобальная теория

ф ( ( о

i ) g ) =

( p ( g ) ;

конечномерно.

Л е м м а

10.10.1. Непрерывная функция ф на Од,

удовлетворяющая

первым трем условиям, удовлетворяет четвертому

тогда и только

тогда, когда

она А\-конечна слева.

ф(а£) = 2 М а ) Ф/(£).

i

где X; — конечные непрерывные

функции на ЛДЛд. Поскольку

группа ЛДЛд изоморфна прямому

произведению группы F * \ I на

образом,

существует единственное

семейство

ф ш , я > ц , v функций

на

GA , таких, что

Ф 0

а. S

=

2 Ц (аЛ v (а2)

(log | а,

\ ) т

(log | а2 \)"Ф т , „. „, v

(g).

Функции

ф т >л ,

р,,v

также удовлетворяют

первым трем условиям.

Кроме того, существуют некоторое конечное множество 5 пар

(p., v)

и некоторое неотрицательное

целое

число М,

такие, что ф т „, ^ v

есть 0, если (р., v)(£S или т-\-п>

М.

При заданных S н М пусть

53(5,

7И) есть

пространство

непре­

226

Гл. //. Глобальная теория

Л е м м а

10.10.2.

Если,

я — некоторая

составляющая

простран­

ства

Л,

но

не

Л0,

то п является

составляющей

пространства

33.

Если ф£</£,

то функции

<*о(ё)=

^(ЛА)

J

ф ((о

l ) ^ ^

F\А

принадлежит

33.

Отображение

ф—>-ф0

коммутирует

с

действием

алгебры Ж,

и его ядром является

Л0.

Допустим,

что U, V — инва­

риантные

подпространства

пространства

Л и л реализуется на

факторпространстве

U

по

V. Пусть

U0 — образ пространства

U и

V0 — образ

пространства

V в S3. В силу

неприводимости

л имеются

две возможности. Либо сУ0 =£У0 ,

и в этом

случае

я

эквивалентно

представлению на U0/V0

и является составляющей

пространства S3,

либо

U0 = V0. В последнем

случае

и =

у+ипл0

и я эквивалентно представлению на

U Г\Л0/У

[)Л0,

а

это как раз

та возможность, которую мы исключили.

Л е м м а

10.10.3.

Если

я—некоторая

составляющая

простран­

ства

S3,

то

существуют

пара

квазихарактеров

р, v

и

неотрица­

тельное

целое

число

М,

такие,

что

л

является

составляющей

пространства

S3 ( L I ,

М).

v,

Если

5

состоит

из

одной

пары

(ц,

v),

то

по

определению

33

v,

M) = 33(S,

М).

Предположим, что л

реализуется на

фак­

торпространстве U по V. Выберем конечное множество S пар

квазихарактеров

и

неотрицательное

М,

такие,

что U П 33 (S, М)

отлично

от

V[)33{S,

М).

Тогда

я

реализуется

на

факторпрост­

ранстве

U nS3(S,

М)

по

У Г) 53(5, М),

и мы можем с таким же

успехом допустить, что U содержится

в S3 (S,

М).

Рассуждение,

использованное

в § 8 почти

в таком

же контексте,

показывает, что

33 (S,

Ла) = ф ( ( Х , v) e s'#(n,

v,

М),

так что лемма является следствием леммы 8.6.

Следующая лемма доказывается в точности

так же, как

пред­

ложение

8.5.

Л е м м а

10.10.4. Если л—составляющая

пространства

33 (u., v, М)

для

некоторого

М,

то

л

является

составляющей

пространства

33 {у., \)

= 33{\х,

v,

0).

§ 10. Автоморфные

формы

227

Пусть

\iv

и vv — ограничения

квазихарактеров ц и v на FI. Для

почти всех v квазихарактеры \iv и

v„ не разветвлены и имеется

единственная

функция ф° в 33(\iv,

vv),

такая, что yl{gvkv) =

yl{gv)

для всех

kv(iKv,

тогда как Ф 2(е) = 1. Мы можем образовать

про­

изведение

странства

в .53 (p., v), которое переводит ® Ф г , в функцию

Ф (£) = П ФгД£*)-

v

Оно,

как

легко видеть, сюръективно и в действительности, хотя

для

наших

целей это не очень существенно, является изоморфизмом.

Вместе

со

следующей

леммой

завершается

доказательство

теоремы

10.10.

Л е м м а

10.10.5.

Если

неприводимое

допустимое

представление

n — (X)vnv

является

составляющей произведения p = (X}pv

(тензорного

произведения

допустимых

представлений,

которые

не

обязательно

неприводимы),

то

для каждой

точки

v представление

nv

является

составляющей

представления

pv.

Как

и

в

§

9,

я

и

р

определяют представления л и р алгеб­

ры Жъ.

Новое

л

будет

составляющей

нового р. По лемме 9.12

представление

я алгебры

SfCv

является

прямой суммой

представ­

представления я

и, следовательно, представления р. Поскольку р

является прямой

суммой представлений, эквивалентных pj,, лемма

8.6 показывает,

что лг, является составляющей представления pv.

П р е д л о ж е н и е

10.11.

Если я — неприводимая

составляющая

пространства

А0, то я для некоторого

квазихарактера

ц является

составляющей

пространства

Л0 (г\).

Заметим,

что если

я — составляющая

пространства

Лй(гу), то