книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

няют

пространство

W (nv,

4?v).

В

обоих

случаях

отображение

Фг,—+ фа е с т ь

отображение

пространства

W (nv, Wv)

в себя,

которое

коммутирует

с

действием

алгебры

Жъ

и

потому

состоит

лишь в

умножении на

некоторый

скаляр cs(h,

ср).

присоединением

точки w

Предположим теперь,

что S'

получено

к

S и что наше утверждение верно для S. Возьмем h £ Gs> и

<p£Ws'.

Если

/ =

7'({®ь6 5'Фв }®Ф),

то для g £ Gs

и gw € Gw

имеем

f i§§wh)

= CS (&Л

Фш ® Ф) П Ф* (gv)•

ties

Ранее

использованное

рассуждение

показывает, что для

заданных

h

и ф функция

gw~^cs(gwh,

ф ш ® ф )

кратна

функции фш (с коэффициентом

cs> (h, ф)).

что если

S

Для

доказательства

существования

с заметим сначала,

есть

объединение

непересекающихся множеств

5t

и

52 , то мы

можем

любой

элемент hx

из Gs

записать

в

виде

Лх = Л XI К> г Д е

h(zGs.

ves,

Пусть

функция ф1

= { ® „ б 5 2 ф г , } ® Ф ,

г д е ф € # 5

,

принадле­

жит WSi.

Тогда

<P1) = {U<Pv(K)}cs(h,

Ф),

(9.2.1)

необходимыми для левой части. Если Sx

достаточно

велико,

так

что ф£ существует для v^Sx,

то в силу определения

cSi(h, ®o $ s ^o)

имеет постоянное значение c(Sj) на

UKV.

Формула (9.2.1) показывает,

что c(S) = c(Sj),

если

5

содержит

St .

заданных

ф = ® ф „ и g = Jlgv выберем 5 так, что Фг, = ф£ и

gV£KV

для v <£S.

Тогда

Тц> (g) = с ( П

®>1вф*) П ф„ Ы

= с П фв (&,)•

\о $ S

/ об S

и

Заметим, что если

nv конечномерно, пространство W (nv,

¥v) не

может

существовать,

если

точка v неархимедова или вещественна.

Хотя

комплексный случай

не упоминался,

рассуждения,

исполь-

§

9. Глобальная

алгебра

Гекке

211

зованные для вещественного

поля,

показывают, что W (nv,

¥ г ) ) не

может существовать и

для

комплексной

v. Доказательство

пред­

ложения 9.2 можно, следовательно,! с

небольшими

изменениями

использовать для проверки

следующего

предложения:

П р е д л о ж е н и е 9.3. Если

я = @я1 )

задано

и одно из представ­

лений

nv конечномерно, то

не

может существовать

пространства

W (я,

W), удовлетворяющего

первым двум

условиям

предыдущего пред­

/ • ( g ) = f ( g - 1 ) - то

(я (/) vlt

v2) = К ,

vt)

я (/*)

для

всех

/

в

Ж.

Л е м м а

9.4.

Если я унитарно

и

допустимо,

то V

есть

прямая

сумма взаимно

ортогональных

инвариантных

неприводимых

подпро­

странств.

Прямая

сумма в лемме должна

браться в алгебраическом смысле.

Сначала проверим,

что

если V\—некоторое инвариантное подпрост­

ранство

и

У2 —его ортогональное дополнение, то

V =

V1@VS.

Действительно, Vlf\V2

= 0.

Пусть

% — некоторый

элементарный

идемпотент,

и

пусть V(£),

^i(£),

^а ( i ) — области значений

опера­

тора

я (|)

в

V,

Vt

и V2.

Пусть Vid)—область

значений оператора

1—я(£),

действующего

на

Vv

Тогда V (£) и Vi (g) ортогональны и

f i

=

iME)®W - (6) .

Таким образом,

V2

(|)

есть

в точности

ортогональное дополнение

подпространства

V\(|)

в V(%). Поскольку

V(g)

конечномерно,

К(&) = М 6 ) ® М Е ) .

Так как каждый элемент пространства V содержится

в некотором

V(l),

имеем

V = V1

+ V2.

Для завершения доказательства мы используем следующую

лемму:

' Л е м м а

9.4.1. Если я—унитарное допустимое

представление

алгебры Ж на

пространстве

V, то V содержит минимальное

нену­

левое

инвариантное

подпространство.

212

Гл. II. Глобальная теория

так что одно из пространств M1(\V(|)

и M 2 n V ( £ )

равно Л/.

Тогда

Afj или УИ2 содержит М. Мы пришли к противоречию.

ортого­

Пусть А — множество, состоящее

из семейств

взаимно

ства V. Каждый член такого семейства

должен

быть

отличен

от

нуля.

Пусть

{Vx\ — некоторое

максимальное

семейство. Тогда

V = ©xV\. В

противном случае

пусть Vj = 0x^x- Ортогональное

дополнение пространства У4 тогда было

бы отлично

от нуля

и,

следовательно,

содержало

бы

некоторое

минимальное

ненулевое

инвариантное

подпространство,

которое,

будучи

присоединенным

к {V x },

увеличило бы это

семейство.

чала мы напомним один простой

результат

теории

приведения.

Если v—точка

F

и

а £ А ,

Т О

\a\v

е с т

ь

абсолютное

значение

у-й

компоненты

av

аделя

а. Если

а £ /,

то

М = П М * -

V

Л е м м а

10.1.

Существует

постоянная

с0 ,

такая,

что

если g

принадлежит

бд,

то

существует

некоторый

элемент

у в

GF,

для

которого

П т а х { | с | „ | d | , } < c 0 | d e t g | i / « ,

если

Если

F—числовое

поле, пусть

DF означает кольцо целых чи­

сел в F. Если же F—функциональное

поле,

возьмем

любой

транс­

цендентный элемент x£F,

над которым

F

сепарабельно,

и

пусть

DF—целое

замыкание

в F

кольца,

порожденного

1 и х.

Точка v

будет называться

конечной,

если | а | „ ^ 1

для

всех

а

в

DF;

в

про-

§ 10. Автоморфные формы

213

A(S) = { « 6 A |

| a | 0 < l ,

если

v$5},

I(S)

= {a£l\

\a\v=l,

если

v|S}.

Тогда A = F + A(S), и если

S

достаточно

велико, то I =

F*I(S).

Сначала проверим, что если I = F*I(S),

то

GA

=

GFGA

(S),

где GA(S) = GL(2,

А(5)). Если

v(£S,

то точка v неархимедова

и мы

можем говорить об идеалах поля Fv. Любой

элемент из GA можно

записать в виде произведения

(а

В \ / я Ь\

§ Л °

у)\с

а)-

в котором второй

множитель

принадлежит

группе

V

и, следовательно,

группе

GA(S).

Достаточно

будет

показать, что

первый

множитель

принадлежит

GFGA(S).

ЕСЛИ а = а г а 2

и Y = YiY2>

где а1г

y^F*

и а2 , y2£l(S),

то

/ а P W « i 0 \ / 1 Р / а ^ Л / а , 0\

V.0

у)

\0

yj\0

1 Д о

yj-

Первый

множитель

принадлежит

GF,

а третий — GA{S).

Поскольку

B/ajY2

принадлежит F-\-\(S),

второй

множитель

принадлежит

GFGA

(S),

И утверждение

доказано.

Заведомо

существует

некоторый

элемент

u^DF,

такой, что

| и \v <

1 во всех конечных точках из

S. Увеличивая

в

случае

необходимости S, мы можем

допустить,

что некоторая

конечная

точка

v принадлежит 5 тогда

и только

тогда, когда | ы | „ <

1. Тогда

/ ? П А ( 5 ) = { ^ |

xZDF,

m^ZJ.

Мы отождествляем простые идеалы кольца DF

с точками,

которые

им соответствуют.

По теории

колец

частных

собственные

идеалы

кольца

F Л A (S) есть идеалы

вида

( £ ЛА(5)) П Рт" •

Поскольку I = F*I(S),

каждый

такой

идеал

является

главным.

Таким

образом, F Л A (S) есть область

главных идеалов.

Для доказательства леммы покажем, что существует постоянная с,

такая,

что если g

принадлежит

GA<S),

ТО В GP^A^)

существует

элемент

у, обладающий следующим свойством:

П

max{|c|„ I d l J O J d e t t f l 1 ' * ,

если

(а

^

y 8 = s [ c

d

Фиксируем меру Хаара на аддитивной группе

А (5). Это

опре­

деляет

некоторую

меру

на

А ( 5 ) 0 Д ( 5 ) .

Группа

L = (F П А (5)) 0

0 ( £ П А ( 5 ) )

является дискретной

подгруппой

группы

A (S)0A (5);

факторпространство

A ( S ) 0 A ( S ) / L

компактно

и

имеет

конечную

меру q . Если g принадлежит

GA(S>, ТО решетка Lg также

дискретна

и факторпространство A (S) 0

A (S)/Lg

имеет

меру

cjdetgl.

Допустим,

что

(т, га) = (р, v)g

принадлежит

Lg.

Если

адель

афО принадлежит

Fr\\(S),

то

П

max {\am\v,

\an\v)

=

(Л

\ а\Л

(Л

max{|c|P ,

\d\v)

Поскольку

1 = П М „ = ( П

| a | „ U n i f l

ses'

J \v$s

произведение

Ц

| a \v не меньше чем 1 и

П

max{\am\v,

\an\v}^

JJ

max{\m\v,

\n\v).

V 6 S

a 6 S

Пусть R — некоторое

положительное

число;

рассмотрим

мно­

жество

£ = | ( m ,

n)£Lg\

П я т а х { | т | „ ,

| n | J < t f J .

рый

ненулевой

элемент

решетки

Lg,

то оно

содержит элемент

(т,

п) = (\к, v)g,

для которого р

и v

взаимно

просты. Тогда мы

можем выбрать

и и Я в

F n А (5)

так, что xv — А,р=1 . Если

у:

к

ЯЛ

чР

V

§ 10. Автоморфные формы

215

l(m, n ) € A ( 5 ) © A ( 5 ) | s u p m a x { | m | „ , | л Ц < / ? \

I

oes

I

при любом выборе числа R,

которое не меньше чем c3R2S.

Выберем

с2 так, чтобы

|(m, n ) € A 5 0 A 5 |

supmax{|m|e ,

\п |Л <

|

detg|i/<")|

не пересекалось

бы ни с одним из своих сдвигов на элементы из

Lg.

Следовательно, его мера не изменилась

бы

при проектировании

на

A (S) 0 A (S)/Lg

и мы бы имели

неравенство

с,

что невозможно.

точку v поля F,

Выберем

некоторую

которая

должна быть

архи­

медовой в случае, если F—числовое

поле.

Если

с—любая

поло­

жительная

постоянная,

то существует

некоторое

компактное

мно­

жество С в

I , такое, что

содержится

в

{а6 /1

| а | > с }

{ab\

a£F0,

\а\^с,

Ь$С}.

/ 1

х\(а

0\/7 *1

0\

* = \ 0

1 Д 0

а)\

0

\ ) к -

где х^сйр

а £ / , Ь£ы2

bx^F*

с | й, | >

с

и к £ К.

Тогда Z A © = ©.

Используя

для вычисления интегралов

разложения

Ивасавы (в слу-

216

Гл.

II.

Глобальная

теория

чае группы GA),

мы

видим,

что

проекция

области

©

на

ZA\QA

имеет конечную меру. Кроме того, из

предыдущей

леммы

сразу

же

следует, что при

подходящем

выборе

множеств <й1г соа и с

GA

=

GF&.

Таким

образом,

ZAGF\GA

имеет конечную

меру.

Пусть

ср — непрерывная

функция

на

GF\GA. Если

она

2д-ко-

нечна, то пространство V, натянутое

на

функции

р (а) ср,

a£ZA,

конечномерно.

Мы

можем

выбрать

конечное

множество

точек

gj,

. . . , g„

и

некоторый базис

cpj,

. . . ,

q>p

пространства

V,

такие,

что

q>i(g/) = Sij.

Тогда

р

р(а)ср=

2

Ма)ф*-

Поскольку

%i (а) = ср [agt),

функции

Xt

непрерывны и конечны

как

функции на ZA

или ZF\ZA.

В силу того

что ZF\ZA

и F*\I изоморфны,

выполняются

предположения

леммы

8.1,

и А,,- является

линейной

комбинацией

функций вида

^ ( ( о

=

(«) (log | а

| ) - ,

где

х — некоторый

квазихарактер

группы

F*\I.

ZA-конечной,

Непрерывная

функция

ср на

GF\GA,

являющаяся

будет

называться

медленно

возрастающей,

если

для

любого ком­

пактного множества

Q в GA

и

любого

с > 0 существуют постоян­

ные

Мг

и

Мъ,

такие,

что

а

О

< М , | а | Л

«

ф ^ 0

1

для

g(t&,

а£1

и

\а\~^с.

Если такое неравенство справедливо

при

подходящем выборе М2 для любого

Mlt

мы будем

говорить,

за

отсутствием лучшей

терминологии,

что

ср быстро

убывает.

Допустим,

что ср — непрерывная

функция

на

GF\GA.

Предполо­

жим, что она /("-конечна справа и что

для

каждого

элементарного

идемпотента £ в

Ж пространство

ранее,

показывает,

что существуют | и \£.\ЖХ\,

такие, что

р(/)ср =

ср. Если a£ZA,

то

Р (а) Ф = Р (бе*/) Ф.

§ 10. Автоморфные формы

217

О п р е д е л е н и е

10.2.

Непрерывная функция ср

на GF\GA на­

зывается автоморфной

формой,

если

(I)

она

К-конечна

справа;

\ъ&С

(II)

для каждого элементарного идемпотента

пространство

{р (if)

\

fem

конечномерно;

(III) если F—числовое

поле,

то

ср медленно

возрастает.

Заметим

кстати,

что

в

последнее

время, к

сожалению, появи­

функции. Если это не результат,

то, безусловно, причина

многих

недоразумений—факт, достойный сожаления1 ).

Пусть Л— векторное пространство

автоморфных

форм.

Если

(р£<А и \(^Ж,

то р(/)ф(Е<^. так

что

Ж действует на Л.

Непре­

рывная функция

ф на GF\GA называется каспидальной2),

если

П р е д л о ж е н и е

10.3.

Пусть

F—функциональное

поле, и

пусть

ф—функция

на

GF\GA.

Если

ф удовлетворяет

следующим

трем

условиям, то

она

является параболической формой:

(III)

существует

некоторый

квазихарактер

ч\

группы

F*\f,

такой,

что

для всех

а£1.

Если

£ — элементарный идемпотент алгебры Ж,

то существует

открытая

подгруппа

К' группы

К, такая, что

£ инвариантен отно­

сительно

правых и левых сдвигов на элементы из К'.

Следователь­

но, функции р(|/)ф инвариантны справа.

Для

доказательства

предложения мы покажем, что если К'—некоторая

заданная

откры­

тая подгруппа группы К и ц — некоторый заданный

квазихарактер

группы

F*\I, то пространство V

всех непрерывных

функций

ф на

GF\GA,

которые

каспидальны

и удовлетворяют условию

q>(gk) =

х ) С другой стороны, некоторые специалисты (например, А. Вейль) не пони­

мают,

почему надо

различать эти понятия, когда используется язык

аделей.-^

Прим.

ред.

cuspidal. — Прим.

перев.

2 )

В оригинале

3 )

В оригинале

cusp form. — Прим.

перев.

218

Гл.

11. Глобальная

теория

=4>(g)

для

всех

k£K',

а

также

ф ((о

а ) * ) =

Т , ( в ) ф ( й

для всех a£F*\I,

конечномерно.

Мы покажем, что существует компактное

множество

С в бд,

такое,

что

носитель каждой ц>£У содержится в

GFZAC.

Тогда

функции

в V

будут определены их ограничениями на

С. Поскольку

С содержится

в

объединении

некоторого конечного

множества ле­

вых сдвигов

группы

К',

на самом деле они будут определяться их

значениями

на некотором

конечном

множестве

и V будет

конечно­

мерным.

с,

v) так, чтобы

Выберем

область

Зигеля

© =

со2,

GA = GF<&.

ЕСЛИ

®' =

{(о

l X c f 1

* € c d l ' 6 €

c ° 2 '

b^F°<

\ЬЛ>С

'1

х\/ЬЬ,

0N

ч 0

1 Д 0

1,

как только \Ьх\~>сх.

Пусть

k^, ...,kn—множество

представителей

классов

смежности

К/К',

и

пусть

ф,- (g) = ц> (gkt).

Если k

принадле­

жит ktK',

то ф (gk)

=

ф,- (g),

и

достаточно будет показать, что имеет­

ся некоторая

постоянная

сг,

такая, что

для

l ^ t ^ n

1

х\ (а

О

" Ч , о

1 Д о

I . ' ' - 0 '

если х

принадлежит

А

и | а | > с 2 .

Достаточно доказать

это

для

одной,

но

произвольной

функции

ф,-. Поскольку ц>1 удовлетворяет

тем же предположениям,

что

и ф, возможно, с другой группой

К',

мы должны доказать соответствующий факт для ф.

Мы используем следующую лемму, которая,

как указано в книге

Вейля

[4], является

непосредственным

следствием теоремы Рима-

на—Роха.

Л е м м а

10.3.1.

Пусть

X — некоторая

открытая

подгруппа

кольца

А. Существует постоянная

с2,

такая,

что

A = F-^aX,

если

а £ / и

\а | >

с2 .

Пусть

X—множество

всех у, для

которых