Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

190	Гл. I. Локальная теория
равно
«iPi 1/2	„
а 2 Р г	£ Р («хРО v («2 P2 ) (log \| ах \| + log \| р\ \|)- X
	X(log\|a 2 \| + l o g \| P 2 \| ) » / m , „ i ( i i V ( g ) .

Зафиксируем 6 и g и будем рассматривать это равенство как тож

дество

относительно

переменной

а. В силу

леммы

8.1

мы

можем

сравнить

коэффициенты

при базисных конечных функциях. Коэф

фициент при р (ах ) v (а2 ), с одной стороны, равен

/ 0 i 0 , ц,v (bg)-

С дру

гой стороны,

он

равен

IPi

1 /

f * ( P i ) v ( P J ) ( l 0 g | P 1 | ) « ( l 0 g | P 1 | ) » / l f l i e i M , v ( f i r ) .

Получающееся тождество мы как раз и хотели

проверить.

Беря

а = 1

в (8.2),

мы видим, что

f(g)=

/ o , o , n , v ( £ ) .

(И. v)eS

Следовательно,

33 (S,

М)=*

«(|* . v, Af).

Сумма

прямая.

(d, V)eS

счастью, 33 можно

охарактеризовать

весьма

просто.

П р е д л о ж е н и е

8.3. Пусть

ср—непрерывная

функция

на

GF.

Допустим,

что ср является

К-конечной

справа

и инвариантной

слева

относительно

NF.

Функция

ср принадлежит

93 в том и только

в том

случае,

когда

пространство

{р(£/)<р|/еад

конечномерно

для

каждого элементарного

идемпотента

ЖР.

Мы должны сначала

показать, что

если

ср принадлежит

33, то

пространство

{Р(6/)Ф1 / е а д

конечномерно. Функция

ср принадлежит

некоторому

33 (S,

М). Как

33, так и 33 (S, М) инвариантны

относительно

правых

сдвигов на

элементы из ЖР.

Таким образом, мы должны лишь показать, что

область

значений

оператора р(£), рассматриваемого как

оператор

на 33 (S,

М),

конечномерна. Это равносильно

утверждению,

что

любое неприводимое представление группы К входит с

конечной

кратностью

в представление на 33 (S,

М).

Пусть or—такое представление, и пусть V—пространство

непре

рывных функций

на К,

которые

преобразуются

согласно

а,

отно

сительно

правых

сдвигов.

Пространство

конечномерно.

Если

§ 8.	Разное	191
/€.@(S, М), то можно написать
/(ag) = 11\|1/2^м, (a,) v (о,) (log\| а х \|)» (log\|а2 1)" /„, „, M i v(g).
Ограничение функции f m i „t l l i v	на /( лежит в V. Обозначим	это

ограничение через fm< Пу ll> v . Кроме того, / определяется своим огра ничением на АрК- Таким образом, отображение

/—*•(ц, 2v)eS ф ? т , л, ц, v m + л< М

является вложением пространства рассматриваемых функций в пря мую сумму конечного числа экземпляров пространства V.

Обратное утверждение более сложно. Пусть ср является /(-ко нечной справа и инвариантной относительно Nр слева и пространство

{Р(5/)Ф / е а д

конечномерно для каждого элементарного идемпотента | . Выберем £


так, чтобы р(\|)ср = ф. В действительности в \ЖР\				существует	функ
ция /, такая,	что р (/) ф = ф. Если	F неархимедово, то такой			функ
цией является £. Если F архимедово, то заметим, что если						f1
является некоторым приближением		к б-функции,		то р (/г ) ф	близка
к ф. Тогда если fl = %fl%, то		функция	f[ лежит в %ЖР\		и р(/ х )ф
также близка к ф. Существование		функции / следует теперь			из	ко
нечномерности	р ЦЖр1) ф. Это рассуждение		использовалось		в § 5.

Рассмотрим архимедово F. Тогда ф должна быть бесконечно дифференцируемой функцией на GF. Пусть 3—центр универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли группы GF. Если Z лежит в 3» то

р (Z) ф = р (Z) р (/) ф = р (Z * /) ф

и Z * f опять лежит в \ЖР\. Таким образом, ф также 3 _ к о н е ч н а . По поводу оставшейся части доказательства в архимедовом случае мы отсылаем к гл. 1 книги Хариш-Чандры [3].

Рассмотрим теперь неархимедово F. Мы можем заменить \ лю

бым элементарным идемпотентом	для к о т о р о г о =		В частности,
если в качестве п выбрать достаточно большое целое			положительное
число и если К'—множество элементов из К,		сравнимых с единич
ным элементом по модулю	то мы можем	взять

где сумма берется по всем элементарным идемпотентам, соответ ствующим неприводимым представлениям группы К, ядра которых содержат К'- Заметим, что п^1. Тогда \ЖР\ есть пространство функций на GP, которые постоянны на двойных классах по под группе /С'.

192			Гл.	I. Локальная	теория
	Пусть V—пространство,			натянутое на функции p(k)q> с				k£K.
Оно конечномерно, и все функции в V удовлетворяют тем же условиям,
что и ф. Пусть ф,-,			1 ^ i ^.р, есть базис			пространства V. Если		k(tK,
то мы можем написать
и	ф	определяется	функциями 9,- и ограничениями функций					ф(.
на	АР. Для того		чтобы	показать,	что	ф является	АР-конечной
слева,		мы должны	лишь	показать, что		ограничение	каждой Ф /	на

Ар конечно. Кроме того, мы можем показать, что ограничение


функции Ф		на	Ар	конечно.
Пусть		/ лежит		в	\ЖрЪ, и		р(/)ф = Ф . Если		a£ZP,	то
				X (а) Ф =		р ( а - 1 ) Ф =		р (6e -j # f) ф,
где ба -1		есть	б-функция,			соответствующая			точке	а - 1 . Поскольку
6 a - i * /	все еще принадлежит						\ЖР\,	функция Ф ,		очевидно, Z ^ - K O -
нечна	и таково же и ее ограничение ф на Ар. Если а и р являются
единицами		и а = р =			1 (mod		то

' ( ( о р ) ) * = *"


Таким образом, пространство, натянутое на	сдвиги	функции Ф на
элементы из Ар[)К, конечномерно, и если	со — некоторый		порож
дающий элемент идеала ty, то мы должны лишь		показать, что
пространство, натянутое на сдвиги функции	ф на элементы		группы

н={(Г?)1piZ

конечномерно. Допустим, что пространство W, натянутое на

	с>	0 \ \ -
	0	1 " ф
конечномерно. Тогда	отображение
		'со-1	О
		О	1
переводит W в себя	и не аннигилирует ни один из векторов, кро
ме 0, так что на W	существует		обратное отображение, которое
равно

Таким образом, W инвариантно относительно Н и Ф конечна.

Разное

193

Для доказательства

конечномерности W мы

покажем, что

если

с р >

О, то существует

функция fa

\ЖР\,

такая,

что

Я,(а)ф =

ф',

если

ф' = р(/а)ф. Существует

функция

f в \ЖР\,

такая,

что

ф ( г ) =

S Ф (ff^) / (A) dh

для

всех

g в GF . Таким

образом,

если b £ АР,

то

к (а) ф (6) =

ф ( а - 1 6 ) = S Ф фа~Щ / (A) dh.

Если

fl(h)

f(ah), то этот

интеграл

равен

S Ф (ЬА)МЛ)<"1.

Если

бы

принадлежала

\fflP\,

то

все

было

бы

доказано.

К сожалению,

это может быть и не так. Однако f1(hk)=^f1(h),

если

k 6 К'.

Если

то

Таким образом, ft

(kh) =

f1(h),

еслиа2=б = 1 (mod ф"),

Y = 0 ( m o d $ n )

и p =

0(mod $ n + '') . Положим

Ш=

h (( о

i ) A ) d x -

где

мера

Хаара

выбрана

так,

что

мера

пространства

<$п/9$"+Р

равна

единице. Поскольку ф (bnh) = ф (bh) для

всех п в Л^, то

Я,(а)ф(6) = S ф (6А)/, (A) dh.

Покажем, что Д, лежит в				\ЖР\.
Конечно,	f2\hk)	=	f2(h),	если	k£K'. Кроме того, согласно по
строению, / а	(/гЛ) =	/ е	(А), если
				\0	б,
7 А 435

194			Гл. I. Локальная теория
с а =	б == 1 (mod	и Р Е=0 (mod ф"). Поскольку каждый элемент
из К'	есть некоторое		произведение	вида
			'1 0 \ / а	Р
			кУ 1 Д 0	б,
где оба члена лежат			в К', мы должны лишь показать, что /2 инва
риантна относительно			первого множителя. Если

/1 О

*Ч т .

с y s O (mod		и
		kt (х) =
то					l+xy
то
		м ^ 1	^0	x)k=(l	l+f
			^0	1/	М)	1
			\0	1/	\о	1
Кроме	того,	если x££>Ff	то
			M M * ) g ) = /ite)-
Таким	образом, функция		f2(kg),		которая	задается интегралом

равна


Поскольку отображение х —>t				является	взаимно	однозначным
отображением конечного множества <$п/1$п+р					на себя, оно сохра
няет меру		и указанный выше		интеграл равен /2 (Л).
	Анализируя		приведенное	выше доказательство, можно увидеть,
что в неархимедовом случае				левые сдвиги	функции	ср содержатся
в	пространстве		X, полученном ограничением функций из р (£>ЖРЪ) ср
на	АР. Таким образом, если Y есть пространство функций на К/К',
то левые		сдвиги функции ср на элементы из АР содержатся в про
странстве		функций на Np\GF		вида

Ф ' (aA) = 2M*)<Mf l )

с в, € У и Ф, € X.

		§ 8. Разное		195
В архимедовом	случае	Y является	пространством непрерывных
функций 8 на К,	Для которых 6£ = £9 = 8.			Оно снова конечно
мерно. Пространство X		определяется	таким	же образом. В этом

случае существует конечное число инвариантных дифференциаль

ных

операторов DLT

D R на

AF,

таких,

что левые сдвиги

функ

ции

ср на элементы

из

A F содержатся

пространстве

функций на

NF\GF

вида

Ф ' ( о А )

2М*)

Ф/(а)

с е , € У и ф,е 2 D /x -

Из

предыдущих

рассмотрений

вытекает

одно

следствие. Пусть

F T ,

...,FN—конечная

совокупность

локальных

полей.

Пусть

G, = Gf;, Ni — NFi,

AI = AFI, и пусть К; — стандартная

максималь-

ная

компактная

подгруппа

группы

G-. Положим

G, =

Ц G h N =

£=1

= П^/

и т. д. Если

S^i = S^Fi,

то пусть Ж = ®;Ж[.

Мы

можем

рассматривать Ж как алгебру мер на G.

С л е д с т в и е

8.4. Пусть

ф—непрерывная

функция

на G, кото

рая

К-конечна

справа.

Если

для

каждого

элементарного

идемпо-

тента

\ в Ж

пространство

{р (6/)Ф|/€Я?}

конечномерно,

то

ф является

А-конечной

слева.

Если Ф удовлетворяет условиям леммы, то этим же условиям удовлетворяет любой ее левый сдвиг на элементы из А. Таким об разом, нам нужно лишь показать, что для каждого i функция ф является Л,-конечной слева. Если g лежит в G, то мы напишем

g=(ghh)>	r№gi£Gi		и i,-€ G,-= ПG/-	Мы можем допустить, что
существует	\| '	вида	1Ф1	— элементарный идемпотент
			£ ' = (&),•£/, где
алгебры Ж;,		такой,	что р ( \| ' ) Ф = Ф .	Посредством вложения /—•
—+f®J\l'l	алгебра		Ж{ становится подалгеброй алгебры Ж. Левые

сдвиги функции ф на элементы из А{ все лежат в пространстве функций вида

Ф (aA. gi) = 2 6/ (*/) Ф;- (ah gi), i

где 6;- лежат в некотором конечномерном пространстве, определяе

мом элементами	и ф^ лежат в	пространстве, полученном огра
ничением функций	из р (£,•$?,•) Ф на	А;х6[, или, в архимедовом слу

чае, в пространстве, полученном из этого пространства применением некоторых инвариантных дифференциальных операторов. Заметим,

196 Гл. I. Локальная теория

что

есть

некоторый элементарный

идемпотент,

который

может

быть

отличен

от

Покончив

с одной

стороной

дела,

займемся другой.

П р е д л о ж е н и е

8.5.

Пусть

33 (р, v, оо) =

М).

м >

Если

неприводимое

допустимое

представление л алгебры ЖР

являет

ся составляющей

представления

р(р, v, оо)

на .53 (р,

оо),

то

оно

является составляющей

представления

р(р,

v).

Существуют

инвариантные

подпространства

УХ

и У% простран

ства

33 (р, v, оо),

такие,

что

VT содержит V2

эквивалентно

представлению

алгебры

ЖР

на

VJV^.

Выберем

так,

чтобы

^ i D ^ ( p , v, М)

не

содержалось

в V2 . Поскольку

неприводимо, то

. Н

. + ^ Л Ж ц ,

v, Л1))}/К,

как

Жр-модулъ

изоморфно

УГГ\33 (р, V,

П S3 (р, v,

7W),

так

что

мы

можем,

кроме

того,

допустить,

что

содержится

33 (р,

М).

выберем М сколь возможно малым. Если

При

заданном

М — 0,

то доказывать

нечего. Поэтому предположим, что М поло

жительно. Если ф лежит

в 33 (р, v, М ) , то мы можем

представить

' а х

виде

а,

| l / 2! p ( « i ) v ( a 2

)

(log

I об11)» • (log J 06,|)»Ф

в .

„ (ff).

p ( a j

v (a,)

m+n< M

Мы можем представить

функцию

Л\0

а , Д О

6 2

двумя

способами,

ибо

второй множитель

может

быть

объединен

первым

или

третьим.

С одной стороны, мы получаем

V ( « i ) v ( « . )

(log 1 « г

|)« - (log | « , |)» ф л , „ (('Р 1

0 > ) Д

a 2

другой

C C l P l I 1

(bglaJ + loglPjrx

йФ|

V(«iPi)v(atp,)

К (log | а, | + log | Р, | ) и ФЖ . я (g).

Разное

197

Сравнивая

коэффициенты, мы видим, что если

т-\-п

= М,

то

фя"" ( ( о 1

Р ! )g)=I к г

^ ( p j v ((3г) ф -

- ^

так что ф т , „

принадлежит

53 ( L L ,

V ) .

Рассмотрим

отображение

Ф — * 0 т + л = М Фи. „

пространства

Его ядро

есть V t

П 53 ( L I ,

V , М—1).

Так

как V2 +

(Ух Г) 53 ( L I ,

V ,

Af—1

не может

совпадать

Vlt

образ пространства

не совпадает

с об

разом пространства Vt.

Так как это отображение, очевидно, ком

мутирует

действием

алгебры ЖР,

представление

является

со

ставляющей

представления

ф т + л = м

р(ц. v).

следующей

про

Предложение

8.5

является

теперь

следствием

стой леммы:

Л е м м а

8.6.

Пусть

л — неприводимое

представление

алгебры

Я .

Допустим,

что

есть

представление

алгебры

Я ,

для

которого

является

составляющей,

что

есть

прямая

сумма

представле

ний рх , Х^А.

Тогда

является

составляющей

по

крайней

мере

одного из рх .

Пусть

рх

действует

на

Хх,

пусть

р действует

на

(прямая

сумма Хх ). Допустим,

что

и У 2 — инвариантные

подпространства

пространства

что

представление

на

YjYt

эквивалентно л.

Существует

конечное

подмножество

Л0

множества

Л,

такое,

что

УгП(

ХЛ

\я.бл„

не содержится

У2 .

Мы

можем,

кроме

того,

заменить

Ух

на

Yiftf

2 ХЛ

^*н а

^ 0

Д° П У С Т И Т Ь >

ч т

конечно.

Если Л = { \ ,

Хр\,

то

мы

должны лишь доказать, что л яв

ляется

составляющей

представления

или

представления

ибо тогда

мы можем использовать

индукцию. Кроме

того, мы можем

взять

р = 2.

Если

проекции

пространств

Ух

У4

на Х%1 не равны, то

мы можем заменить Yx

У2

их

проекци

ями, для того чтобы убедиться

том,

что

является

составляю

щей представления р^ . Если они

равны,

то

У\ = У2

(У1

Г)

Х\г),

мы можем

заменить

У,

У2

на

Ух П Х\,

и У2

П Хх2

убедиться

в том,

что

является

составляющей

представления

р^ .

Глава I I

ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

§ 9. Глобальная алгебра Гекке

Пусть F — глобальное поле, т. е. поле алгебраических чисел конеч ной степени над полем рациональных чисел или поле алгебраиче

ских

функций

от одной переменной над конечным

полем

констант.

Обозначим через А кольцо аделей поля F. Прежде чем начать

изучение

представлений группы

GL (2,

А ) или,

точнее, представле

ний

некоторой

подходящей

групповой

алгебры

группы

GL (2, А ) ,

мы введем несколько простых алгебраических

понятий.

Пусть

{Vx | ^ £ Л

} — семейство

комплексных

векторных

прост

ранств. Допустим, что для всех к, кроме конечного их числа,

задан

ненулевой

вектор

ex£Vx.

Пусть

V — множество

всех

^ =

J J x x

что хх = ех

К, кроме

в J J V X

, таких,

для всех

конечного

их числа.

С—векторное

пространство

над С с базисом V0 и D — под

Пусть

пространство,

порожденное

векторами

вида

HaYv + bZJx

П ХЛ — aiy^X

* 4 — Ь Ых

П ХЛ -

где а и Ъ принадлежат С и р, — любой

элемент

из Л . Факторпро-

странство С по D называется тензорным

произведением

пространств Vx

относительно

семейства ех

и обозначается через

V =

®exVX

или

просто

через

®VX -

Оно обладает

очевидным

универсальным

свойством, которое характеризует его с точностью до изоморфизма. Образ элемента YLxx в V обозначается через ®хх.

Если Л' — некоторое подмножество множества Л с конечным дополнением, то мы можем образовать обычное тензорное произ ведение

§ 9. Глобальная алгебра	Гекке	193
и произведение
относительно семейства ех. Тогда ®\eAV\	канонически	изоморфно
произведению

{ ® ^ Л - Л Л М ® { $ ^ Л ' У Х } -

Если 5—некоторое конечное подмножество множества Л, положим

Если

столь велико, что векторы ех

определены для

то

пусть

ср5 —отображение

в V,

которое

переводит

®х€5 *х в

{®ieSxx}®{®Hsex}.

Если

содержит

то

существует

единственное

отображение

ffs.S'

пространства

в W .

которое

делает

диаграмму

коммутативной. Используя

эти отображения для образования

индук

тивного

предела

пространств

Vs,

получим

пространство, которое

неспециалист будет не в состоянии отличить от V.

Предположим,

что для

каждого

X задано линейное

отображение

Вх пространства

себя. Если Вхех = ех для всех X, кроме

конеч

ного числа, то существует в точности однолинейное преобразование В

произведения С® Vx,	такое, что
	В:	®хх-+®Вххх.
Преобразование В	обозначается	через ®ВХ.
Например, если	Ах, Х£А,—	некоторое семейство ассоциативных

алгебр, которые могут иметь или не иметь единицу, и если £х —задан

ный идемпотент алгебры Ах				для	почти всех X, то можно превратить
				A =			®hAx
в алгебру,	полагая
			(®^)(®bx)		=		®(axbx).
Пусть	Vx, Х£А,—		некоторый		Лх -модуль. Если для				почти	всех
X задан вектор ех,		такой,		что	1хех		= ех, то мы	можем	превратить
^ = ® г х ^ х в А = ®^Ах-молулъ,					полагая
			(®лх ) (®*х) =				®(%*х)-
Предположим,		что	семейство			{ех\ заменено		некоторым семей
ством \е[},	таким,	что для		всех	X,	кроме конечного числа, е{ =				ахех,

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб21Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб9Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб11Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб9Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб27Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf