Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

180	Гл. I. Локальная теория

Правая часть не зависит ни от г, ни от t.

Значение выражения 1

ор'г (h) совпадает с

Интегрирование производится по всем тем у и хх, для которых

y\ = \aF\m,

где 0 < m < 2 ( ^ —s) и

| со / ,|' - т / 2 . Конечно,

1—— =|coF |*. Так как мы теперь интересуемся таким множеством

элементов а и 8, на котором t принимает только конечное число значений, то вполне можем предполагать, что t — константа. Тогда интеграл берется по фиксированному компактному подмножеству в FxF*. Подинтегральное выражение равномерно сходится на этом множестве при г, стремящемся к бесконечности, причем равномерно относительно рассматриваемых а, В и х.

Нам остается еще доказать существование характера для тех представлений, которые не являются абсолютно каспидальными. Для большинства из них нужные результаты содержатся в следую щем предложении:


П р е д л о ж е н и е 7.6. Пусть			ц х и	\i2—два		квазихарактера
группы F*. Пусть	Хц„ ц,—функция,		которая		равна	нулю на GFf]GF,
не определена на	сингулярных	элементах		и	равна
	( а ) Иг (Р) +	Иг («) Hi (Р)} \| (-jzipji

на элементе g из А$ с собственными значениями а и В. Тогда Хм„д, непрерывна на GF и мажорируется по абсолютной величине некото рым кратным функции £. Кроме того, если я = р(ц1 , ц2), то

для всех f £ ЖР.

Только последнее утверждение требует проверки. Так как абсо

лютная	величина функции			^	ограничена	некоторым кратным
функции \|,		то Хи,, м,	локально		интегрируема.	Предположим, что
\§.Жр-	Примененное		к функции		Хн„иа / соотношение (7.2.1) пока
зывает,	что	интеграл
			5 X^^(g)f(g)dg			(7.6.1)
равен			Gp
равен
		- М б ( а ) \| J		x ^ ^ £ ~ l a £ ) / ( £ ~ l a £ ) d g \ d a '

Ар

\Ap\Gp

§ 7.

Характеры

181

Так

как

Хи„ ц,

зависит

только

от

класса

сопряженных

элементов,

то этот

интеграл может

быть переписан

виде

(Р)+М«)МР)}

ар

1/8

я»

П8-

8 dg} d a ,

Ap\Gp

где

' а

р.

Так

как

а сопряжено с

Р о

то

Ap\Gp

•

AF\Gp

Таким

образом,

интеграл (7.6.1) равен

^ М ° 0 М Р ) | Ц = ^ | 1 / 2 (

/ ( ^ ( о

p)^)dg]da.

(7.6.2)

Ар

[AF\GF

Поскольку

мера

на

AF\GP

является

фактором меры

на

GF по

мере

на

Ар,

выбор

меры Хаара

на АР

и GF

значения

не

имеет.

Таким

образом,

(7.6.2)

можно

переписать

в виде

14 ( « ) 14

(Р)

1/2

f[k-1n-l[Q

p ] n * ) d k d n j

da.

Внутренний интеграл берется по

GL(2,

>C,)xNF. Если

лЛ

О 1 Г

а 0 О Р.

Заменяя переменные в последнем интеграле, получаем

j M«)MP)\|f ( ^ { ^ ( ^ ( о	p ) « * ) d k d n } d a .	(7.6.3)
т Г ч к * Ч о	Р , , Я * I D K D N > D A -

182	Гл.	J. Локальная	теория
Для вычисления	Т г я ( / )	заметим,	что если ф € - @ ( Р 1 , р2 ) и
* 1 6 G L ( 2 , DF), то

Я ( / ) Ф ( Й 1 ) = S Ф (^^) / (ёГ) dg.

Заменяя g на ^Г1 ^ и переписывая интеграл в терминах выбранной меры Хаара, получаем

а О

1/2

da dn} dk9 .

\ \f

[ К1

[ о р )

я*. ) Им (а) Р2

(Р)

Внутренний интеграл берется по AFxNF.

Мы

использовали, ко

нечно, соотношение

1/2 ф(£2 ).

ФI I 0

р )

) = Их («) Иг (Р)

Если

*») = ^(*г1 (о р)я *.)ма)МР)

1/2 da dn,

то

" ( / ) ф ( ^ 1 ) =

^ " ( ^ 1 . £ 2 ^ ( £ 2 ) d k 2 .

GL(2,DF )

Пространство

^ ( p t ,

р2 )

можно

рассматривать

как

пространство

функций на GL(2, £)F).

Тогда

я(/)

является

интегральным опера

тором с ядром K(kt,

k2).

Легко видеть, что, когда этот оператор

действует

на

пространстве всех

GL (2,

©^-конечных

функций на

GL(2, £)F),

его область

значений

содержится

JJ(pj, р 2 ) . Таким

образом, след

оператора

я (/)

совпадает

со

следом указанного ин

тегрального оператора, который,

конечно,

равен

J K(k, k)dk.

Gb(2,DF)

Записывая этот интеграл полностью, получаем интеграл (7.6.3).

Т е о р е м а		7.7. Пусть	я—неприводимое допустимое			представ
ление	алгебры	&СР. Существует		функция	%п, которая	непрерывна
на GF	и локально ограничена по абсолютной				величине на	GF некото
рым кратным		функции £,	такая,	что
		Тгя(/)= J		%n(g)f(g)dg

для всех \$.&Ср.

Разное

183

Теорему

остается

проверить

только

для

одномерных

специ

альных

представлений.

Если

я — одномерное

представление,

отве

чающее

квазихарактеру %, то

можно

взять %„ (g) = х (detg). Далее,

Хя локально ограничена и поэтому,

согласно

лемме

7.3,

локально

ограничена некоторым кратным функции §.

Предположим, что

я 1 ( я 2

и я 3 — три

допустимых

представления

алгебры

ЖР

на

пространствах

У,, V2 и У3 соответственно. Предпо

ложим также, что имеет место точная последовательность

Жр-ио-

дулей

О — V \ — V , — К , — 0 .

Если

[£Жр,

то все операторы

я ^ / ) ,

я 2

(/) и я 3

(/) имеют

конечный

ранг,

так что

Т г я 2 (/) = Т г Я 1 ( / )

+ Т г я , ( / ) .

Таким

образом,

если

Хя, и

Хя, существуют,

то

существует

и Хя,-

Применяя

это

соображение

я 3

= a (u.l t LI2),

я 2

= р (ци

р,2) и

я 1 = я ( ц 1 , (А2 ). получаем утверждение теоремы.

Если в качестве F взять поле вещественных или комплексных чисел, то теорема 7.7 является частным случаем одной общей и трудной теоремы Хариш-Чандры. Этот частный случай доказывается, однако, довольно легко. Действительно, предложение 7.6, очевидно, справедливо и для архимедовых полей, а теорема 7.7 справедлива, очевидно, для архимедовых полей, если я конечномерно. Остаются только специальные представления, а они рассматриваются так же, как и прежде.

§8. Разное

Вэтом параграфе собраны различные факты, которые будут исполь зованы при рассмотрении постоянного члена в разложении Фурье автоморфной формы. Если Я—локально компактная абелева группа, то непрерывная комплекснозначная функция / на Я будет назы ваться Н-конечной или просто конечной, если пространство, натя нутое на сдвиги функции /, является конечномерным.

Пусть Я — группа вида

	H =	H0xZmxRn,
где Я 0 компактна. Мы рассматриваем ZmxR"			как подгруппу группы
Rm+n.	Проекцию
	h = (h0, xlt	..., хт+п)	• х{
можно рассматривать как функцию на Я со значениями в R. Если
Р\>	•••» Рт+ц—последовательность	неотрицательных целых чисел

184

Гл.

I. Локальная

теория

и х—квазихарактер, то мы можем

ввести функцию

HIT

на Я .

i=l

Для

любой

последовательности

Рг,---,рт+„

Л е м м а

8.1.

любого

квазихарактера

функция

т + п

непрерывна

конечна.

x l l i ? '

Эти функции

образуют

базис

пространства

непрерывных

конечных

функций

на

Н.

Если х—фиксированный квазихарактер

группы Я

р—неот

рицательное

целое

число, то обозначим

через V

р) пространство,

т+п

Q^Pi^P-

натянутое

на

функции

x l l

Поскольку

оно

t=i

конечномерно и инвариантно относительно сдвигов, первое утверж

дение леммы очевидно.
Чтобы доказать линейную независимость этих функций, мы
используем	следующую	простую		лемму:
Л е м м а 8.1.1. Пусть		Ех,	...,	Ег	суть	г множеств и		..., g>—
множества	линейно независимых				комплекснозначных			функций	на
ЕХ,...,ЕГ	соответственно.		Пусть			$ — множество		функций
(хх, ...,xr)-*f1	(хх) /2 (х2) ...		fr(xr)		на	Ех х . . . х Ег.	Здесь /,		при
надлежит %t. Тогда функции			из $		также линейно		независимы.
Любое соотношение

			2	а (Л,	...,/,)Mi)-.-Mr)«o
			ft	fr
приводит	к	соотношению
2	I	2			fr) /г	- 1	(*,-i)l /, (Xr) « 0.
fr	If,		/г-.			/
Из линейной			независимости		$ Г следует, что
			2	a(fx, . . . .	/г) / i ( * i ) • • • fr-i	( x r - i ) s	0.
		fl	f r - i

и лемма доказывается по индукции.

Для того чтобы показать, что пространство непрерывных конеч-

т + п

ных функций натянуто на функции х П 6Р, мы используем

другую	простую лемму:
Л е м м а		8.1.2.	Пусть Нх	и Я2 —локально компактные	абелевы
группы,	и	пусть	Н — НххНг.	Тогда каждая непрерывная	конечная

§ 8.

Разное

185

функция

на Н

является

конечной

линейной

комбинацией

вида

где <р{ и

—непрерывные

конечные

функции

на Я х

и Н2

соответ

ственно.

Пусть V—любое конечномерное пространство непрерывных функ

ций на Я . Мы

свяжем

каждой

точкой I

в Я

линейный

функ

ционал /—*-/(£)

на V.

Поскольку ни одна из функций, кроме

нуля, не аннигилируется

всеми

этими функционалами, мы можем

выбрать

| ц

. . . ,

\ р так, чтобы соответствующие функционалы

обра

зовывали

базис

пространства,

двойственного к

Тогда

можно

выбрать

базис fu

пространства V, такой,

что /,• (£/) = 6,у.

Предположим

теперь,

что V инвариантно

относительно

сдвигов.

В качестве примера можно взять пространство, натянутое на сдвиги

одной		конечной	непрерывной		функции. Пространство Vx			функций
Ф на Я х , определяемых				условием		ф (х) = / (х, 0) с / в V,		конечно
мерно		и инвариантно относительно				сдвигов. Следовательно,			функ
ции	в нем конечны и, разумеется, непрерывны. Определим V2								подоб
ным	же образом. Если / принадлежит V, то функция						h—*f(g-{-h)
для	любого g£H		также	принадлежит V. Таким образом,
			/ ( я + л ) = 5Л(*)МА).
					i
Поскольку b>i(g) = f (g + li),					функция К; принадлежит			V.	Если
Ф, (х) = Я, (х, 0) и V, (у) = fi (0, у), то
			f(x,	#) = 2Ф,-(*)¥,•(</).
что	и требовалось		доказать.

Эти две леммы показывают, что нам нужно доказать последнее утверждение леммы 8.1 лишь для компактных групп Я, Я = = Z или Я = К. Допустим, что Я компактна. Если мы имеем некоторое нетривиальное соотношение

2 > м ( Л ) - о ,

то для получения соотношения

2а, - Х,( £ ) Х,(Л)*0

мы можем заменить	h	t-i	такое	соотношение справед
		на g-\-h. Если
ливо, то мы должны	иметь г ^ 2 и		по крайней мере 2 коэффи
циента, скажем ах и а2,		должны быть отличны от нуля. Выберем
g так, чтобы Xi(g)¥=Xi{g).		Умножая	первое	соотношение на Xi(g)

и вычитая второе соотношение из полученного результата, мы получим некоторое соотношение вида

2>/Х/(А) - 0 .

186	Гл. I. Локальная теория
Поскольку	b2 = {%i (g) — Ха (&)}а а. новое соотношение является нетри

виальным. Независимость квазихарактеров может быть, таким обра зом, доказана индукцией по г.

Для доказательства того, что в случае компактной группы Я пространство конечных непрерывных функций натянуто на квази характеры, мы должны только показать, что любое конечномерное пространство V конечных непрерывных функций, которое инва риантно относительно сдвигов, натянуто на квазихарактеры, кото рые оно содержит. Выберем базис {/,•} пространства V, как и выше, и пусть

р ( * ) / , = 2 М * > / / -

Мы видели, что функции	Xyig) непрерывны.	Таким	образом, дей
ствие группы Я на V	правыми сдвигами	непрерывно и V есть
прямая сумма одномерных	пространств, инвариантных		относительно

сдвигов. Легко видеть, что каждое такое пространство содержит некоторый характер.

В применении к локально компактной абелевой группе рассуж

дение

предыдущего

абзаца

приводит

более слабому

заклю

чению. Мы можем тогда найти подпространства Vu

Я,

Vr про

странства

V и

квазихарактеры

Xi, • • •,

Хг группы

такие,

что

и для каждого h £ Я

1 = 1

{p(A)-X/(A)}d , m V '

аннигилирует

Vt.

Теперь

мы

хотим взять

группу

равной

или R. Тогда Я не является объединением

конечного числа

собст

венных

замкнутых

подгрупп. Пусть

\is — квазихарактеры

группы

Я,

и пусть

для каждого h в Я

оператор

П{Р(А) - МА)}

(8.1.3)

на V сингулярен. Тогда для каждого / г £ Я существуют i и /, такие, что Hi (h) = X/ (А). Если

Hlf = {h\

МА) = ху(А)},

то Нц есть замкнутая

подгруппа

группы Я . Поскольку

объедине

ние

этих

замкнутых

подгрупп

есть Я,

должны существовать

такие,

что

Я ( / = Я

и Hi = X/-

Если

бы

оператор

(8.1.3)

был

нулевым,

то

же рассуждение

показало

бы,

что для

каждого

существует i, такое, что д.(. = Х/-

(теперь Н = Х

или H = R),

Если

Ц. — квазихарактер

группы Я

то

пусть

У((х, р)— пространство,

натянутое на функции

С 0 ^

р . Далее, £ есть координатная функция на Я . Ясно, что V

р)

аннигилируется оператором

{р (п) — и ( П ) ) Р + Х Д Л Я всех п£Н.

Допус-

	§	8.	Разное	187
тим, что fx, ftj, ...,\is	различны		и пространство
	V = V(\i,	p)tv([Llt		P i )
не нулевое. Разлагая V, как и выше, мы видим, что, с одной сто
роны, Xi» • • •. Ъ в с е	Должны		равняться	р. и что, с другой сто

роны, каждый ц{ есть некоторый X/- Мы пришли к противоречию. Таким образом, если вообще существует какое-либо нетривиальное

соотношение			между функциями х£'« г Д е X—любой квазихарактер
и t — некоторое неотрицательное							целое	число, то имеется			соотно
шение		вида
					1<=0
					р
Поскольку			многочлен		2 алс	и м е л	бы	тогда	бесконечное		число
нулей,		это невозможно.			( = 0
нулей,		это невозможно.
Для		доказательства			того,	что пространство конечных непрерыв
ных	функций			натянуто	на функции х£'> м ы				должны	лишь	пока
зать,	что если			х—некоторый		заданный		квазихарактер		и V—конеч

номерное пространство непрерывных функций, которое инвариантно относительно сдвигов и аннигилируется оператором {р (К) — %(h)}dimV для всех hg#, то каждая функция в V есть произведение х и мно гочлена. Поскольку мы всегда имеем возможность умножить функ


ции в	V на х - 1 ,		можно,	кроме		того,	допустить,	что	квази
характер х тривиален. Следует					лишь заметить, что любая функ
ция /,	которая	аннигилируется			оператором		{р(к)—1}п	для всех h
в Я , является		многочленом степени самое большее п.						Это ясно при
л = 1 ,	так что по		индукции	мы		можем допустить,		что	p(h)f—/

rt-l

есть многочлен 2 a i(^) £ ' . Мы, конечно, можем найти многочлен /'

1=0

степени п, такой, что

р(1)Г-/'=2Х-(№

и можем, кроме того, заменить /							на / — Н о в а я		функция
удовлетворяет			соотношению		p{l)f	= f.	Следовательно, она		ограни
чена.		Кроме того,		p(h)f—f	является		ограниченной	полиномиаль
ной	функцией		и,	следовательно,		постоянной c(h).		Функция с (h)
есть	ограниченная			функция	от h	и	удовлетворяет	соотношению
с(h1Jrh2)		= с(ttx)	+ с(h2). Следовательно,				она является	нулем и новая
/ есть		постоянная.

Лемма 8.1 теперь полностью доказана. Хотя эта лемма три виальна, она важна для нашего исследования, и мы решили при-


188			Гл.	I. Локальная		теория
вести	ее	доказательство.		Кроме	того, тем же		путем	мы	можем
доказать		лемму	2.16.4.	Пусть	В — пространство		всех	функций /
на Z,	таких, что для некоторого п0,					зависящего	от /,	при	п < па
имеем	/(п) = 0.		Пусть Л 0 — пространство функций на Z,						которые
равны	нулю вне некоторого конечного множества. Далее, Z дейст

вует на В и на Л0 правыми сдвигами и, следовательно, также действует на В = В/Л0 . В частности, пусть D = p ( l ) . Мы должны

только показать, что если	Р—многочлен со старшим коэффициен
том 1, то ядро оператора	Р (D) на В конечномерно. Если

то ядро оператора Р (D) является прямой суммой ядер операторов (D — а,) р ' . Ядро оператора (D — а)* есть образ в В множества функ ций в В, которые равны нулю слева от 0 и имеют вид

п —»- anQ (я)

справа от 0. Многочлен Q имеет степень самое большее р.

Лемма 8.1, конечно, применима к прямому произведению конеч ного числа экземпляров мультипликативной группы локального

поля		F. Если H = (F*)n,			то любая конечная непрерывная функция
на	Я	является	линейной комбинацией функций вида
						п
		/ ( * !			* J = n u « ( * , ) ( b g \| x / \| F ) ' ' I } -
						1 = 1
GF,	Пусть 53 = 53F			есть	пространство			непрерывных функций	/ на
GF,	которые удовлетворяют					следующим трем условиям:			мак
	(I)	функция	/	конечна		справа	относительно стандартной		мак
симальной компактной					подгруппы		К	группы GF,

(II)функция / инвариантна слева относительно NF\

(III)функция / является Л^-конечной слева.

Пространство 53F инвариантно относительно левых сдвигов на эле


менты из AF.	Если f£!Bp, то пусть V—конечномерное		пространство,
порожденное	этими левыми сдвигами функции /. Выберем glt			..., gp
в GF так, чтобы линейные функционалы		ср—>-<p(g,-)	являлись	бази
сом пространства, двойственного к У, и		пусть Д,	fp—двойст
венный базис. Если а содержится в AF,		то мы можем написать

/ ( ц е ) - £ е , ( а ) Ш .

Тогда

(a) =

f{ag{),

так что

Woft)="J|ey (a)/y (fc,).

§ 8. Разное

189

Таким образом, функции 6, непрерывны и конечны. Мы можем за писать их в виде

9,- (а) = 2 с«. п. ц, v li («i) v (а.) (log | at \ ) т (log | а 2 | ) л ,

если

Ч 0N ,0 а.

Сумма берется по всем квазихарактерам ц и v группы F* и всем неотрицательным целым числам тип. Ясно, что лишь конечное число коэффициентов Cm, п, IX, v отлично от нуля.

Мы

можем

этой

сумме

заменить д на

apfi[i

и v на

a F x

l t \ .

Таким

образом,

если

fm,

п, ц,

я, д, v/i>

T O

/ (ag) = I

(«i)v («»)

I a

x D " ( l Q

g I a *

«. * v(8)-

(8-2)

Пусть

M — неотрицательное

целое

число

и 5—конечное

множество

пар квазихарактеров

группы F*. Пространство S3 (S, М)

будет мно

жеством функций

f в

S3, для которых сумма в (8.2) берется

лишь

по тем т, п, p., v, для которых

m - f ( i ^ M H ( ( i , v ) принадлежит

Заметим, что функции

f m < п< 1Х<

v определяются функцией /. Отметим,

что S3 есть

объединение

пространств S3 (S,

М);

если 5

состоит

из

одной пары (\ix, ц2),

то напишем $*(щ, р-2, М)

вместо

SB (S,

М).

Если /

принадлежит

33 ( \ J L V

f i 2 , М ) , то

/ (ОД) = 11|"Vx

И. («.) £

(bg I « T |)» (log I a21)» /я , „ (g).

Пространство

33(iiu

u g f

0) совпадает в точности

с .53 (д^,

Д 2 ) .

Функции

f m < л >

однозначно

определены и в силу их

построе

ния принадлежат пространству, натянутому на левые сдвиги функ

ции	f на	элементы из	Ар.	Таким образом, если /			принадлежит
$ ( S , М ) ,		то и функции	fm<n,n,v		принадлежат	этому	пространству.
Мы	хотим	проверить, что /		0 , о,'ц, v принадлежит		S3(\x,	v, М). Если
				Ь Л о	Р.

и в соотношении (8.2) мы заменим а на аЬ, то получим, что вы ражение

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб20Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб8Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб10Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб8Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб26Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf