книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

Следовательно,

для

каждого

целого

п имеет

место

соотношение

п-\-а1

S2

+ п + а2

+

П + а^ , s'2 + п + а2

Это

может

случиться,

только

если

s1 = s'1,

а1 = а[, s2

— s2

и а2 =

а2

или

s1 = s2,

а1

= а'2,

s2

— s[

и

а2

= а[.

Таким

образом,

я

и

я '

экви­

валентны.

Следующее

предложение

легко

выводится

из этих

двух

лемм.

П р е д л о ж е н и е

6.7.

Предположим,

что я

и п'—

неприводимые

допустимые

представления

алгебры

Же-

Предположим,

что

суще­

ствует квазихарактер

со группы

С ,

такой,

что

я

а

0

=

со (а) I

0

а

я

а

0

• со (а)

I .

0

а

Если

L(s,

%®n)

= L(s,

х ® " ' ) ,

A(s,

x _ 1 ® t t )

= L(s,

X _ 1 ® < )

и

e ( s -

X ® n .

40 =

e(s,

x ® 1 1 ' .

40 ^ля

всех

квазихарактеров

%, то

представления nun'

эквивалентны.

Т г я ( / ) = J

f(g)%n(g)dg.

Л е м м а

7.1. Если

{ли

пр)—некоторое

множество неэквива­

лентных допустимых

представлений алгебры

Жр,

то линейные

формы

Т г я 1 ( Тгл 2 ,

Тгл^

линейно

независимы.

Пусть л,- действует

на Vt, и пусть

\—такой

элементарный

идем-

потент,

что

все пространства

nt{g)Vh

l ^ i ^ p , отличны

от 0.

Пусть

я,-—представление подалгебры

\Жр\

на конечномерном про­

Тогда

существует обратимое линейное отображение А

из Vt (£)

в

которое коммутирует с действием \Жр\. Выберем

ненуле-

§

7.

Характеры

161

вой

вектор

v^ViiX)

и положим Vj==Avt.

Мы собираемся

доказать,

что

я,- и

nt

эквивалентны. Достаточно

показать,

что

для любого

/ € SKF

равенство

я,- (/) и,- = 0 имеет

место

в

том

и

только

в

том

случае, если я / ( / ) и /

= 0.

Но

я,-(/)у,- = 0

в

том

и

только в том

слу­

чае,

когда

я,- (| * А) я,- (/) V/ =

0

для

всех

h£fflF.

то

Так

как

я,- ( | * п) я,- (/) Vj — я,- ( | * /г * / * £) У,- и |

* / i * / * I g

I ,

требуемое

утверждение доказано.

Таким

образом,

представления

я х ,

. . . , лр

не

эквивалентны.

Используя

это, мы

покажем,

что

линейные формы Тг лх,

. . . ,

Тг

лр

на

%$CF\ линейно

независимы. Тем

самым

лемма

будет

доказана.

Возьмем

A £ \SKF\-

Так как я,- неприводимо и

конечномерно,

то

Тгя,(А/) = 0 для всех \(Z\SKF\

В

том и только

в

том случае,

если

я,(А) = 0.

Предположим,

что

в

%&€F\

имеются

такие hlt...t

hp,

что по крайней мере для одного i

оператор я,-(А,) отличен

от

нуля,

тогда

как

2 Т Г М Й , / ) = О

1 = 1

для всех \£.\&CF\-

Значит,

должны

существовать

по крайней

мере

два

целых

/' и k,

такие,

что

я;- (fy) Ф0

и лк(Нк)

ФО.

Так

как

я;- и

я Л

не

эквивалентны,

мы можем

найти элемент h^,\SfCp\,

такой,

что

Яу(Л) = 0,

а

я А (А)

обратим. Заменяя

А,- на

АД

мы

получаем

соот­

Выберем нетривиальный

аддитивный

характер

¥

поля F. Если

X — аналитическое

многообразие над

F

и

со—дифференциальная

форма старшей степени на X, мы

можем

сопоставить форме

со

некоторую меру на X, которая обозначается

через

| со \р или иногда

просто через

со. Если

X = F

и co =

dx

является

дифференциалом

тождественного

отображения,

то мера

| со

=

dx равна

по определе­

нию той

мере

Хаара

на

F,

которая

самодуальна

относительно

W.

В

общем

случае, если

р £ Х

и х1,

х"—локальные

координаты

в

окрестности точки

р ,

так

что

со =

а {х1,...,

хп) dx1

Л

• • • Л

dx",

6

М 435

162

Гл. I.

Локальная

теория

то для

любой

непрерывной

вещественной

функции /

с носителем

в некоторой

малой окрестности точки р имеем

J/|co|f= ^/(л:1 , . . . .

хп)\а(х1,

x ^ l d x ^ . - d x " .

х

Абсолютная

величина

\а{хг,

хп)\

является

нормализованной

абсолютной величиной в поле F. Для доказательства существования

меры со требуется установить обычные формулы замены

переменных

в кратном

интеграле. По поводу этого

и других

фактов

о

таких

мерах мы отсылаем читателя к лекциям Вейля [2].

Если

G— алгебраическая

группа

над

F,

то

GP—аналитическое

пространство. Если со — левоинвариантная

форма

старшей

степени

на GF, то мера |со|/? является мерой Хаара на GF- Эта мера назы­

вается мерой

Тамагавы.

Она

зависит

от

ш и

от

?.

Если

М — алгебра

(2х2)-матриц

над

F,

то

аддитивная

группа

алгебры

М

является

алгебраической

группой.

Если

общий

эле­

мент из

М имеет вид

'а

гл

то

|А = da Л db Л dc Л

dd

и | ц | = dx

является инвариантной

формой старшей

степени

будет

рактера

WM М = ^ ( Т М ) ,

где

т—след

матрицы х.

На мультипликативной

группе

G алгебры М мы возьмем форму

со (х) = (detx) - 2

(л (х).

Соответствующая

мера

Хаара равна

| со(х)

| =

| det

л; j j 2

dx =

| д; l ^ 1

dx.

Элемент из G называется регулярным,

если его собственные

зна­

чения различны. Централизатор

в GF

регулярного элемента из

GF—

это подгруппа

Картана

группы

GF. Таким образом, любая под­

группа

Картана ВР является, конечно,

абелевой. По-видимому, не

существует

канонического

выбора

для

инвариантной

формы на

ВР.

Однако

централизатор подгруппы

ВР

в

МР

равен некоторой

алгеб­

ре Е степени 2

над

F. Она либо

изоморфна

прямой

сумме

двух

экземпляров F, либо является сепарабельным квадратичным рас­

ширением

поля

F.

Подгруппа

ВР

совпадает с

мультипликативной

группой

алгебры

Е.

В §

1 мы

ввели

отображение v из Е в F.

Выбрав

на

Е некоторую форму \iE,

инвариантную относительно

ад­

следует также

напомнить, что две подгруппы Картана ВР и В'Р со­

пряжены в

GP

в том и только в том случае, если соответствующие

им алгебры

изоморфны.

164

Гл.

I. Локальная

теория

где /—интегрируемая

функция

на GF

или на ZF\GF.

Отметим, что

суммы в правых

частях

необязательно

конечны. Пусть

ВР=

BPC\GP,

и пусть

BF

= {g-1bg\b£BF,

g<tGF).

Тогда GF

равно

объединению непересекающихся множеств

U

в1

BFes

Докажем

простую

лемму.

Л е м м а

7.2.

(I)

Для

любой

подгруппы

Картана

ВР

множе­

ство В$

открыто.

(II) Множество

GP

открыто.

( I I I ) Множество

GP

тех g€.GP,

собственные

значения которых не

принадлежат

F,

открыто.

Л е м м а

7.2.1.

Пусть

Е—сепарабельное

квадратичное

расшире­

ние поля

F.

Предположим,

что

уравнение

XP + aiXP~i+...

+ар

= 0

с коэффициентами

в F имеет

простой

корень К^Е.

Тогда

по

любому

заданному

е > 0 можно найти

б >

0, такое,

что для любых

bt,

..., bp

из F, удовлетворяющих

неравенствам

\bt — a , | f < 6

для

\ ^ i ^ . p ,

уравнение

ХР

+

Ь . Х Р - 1

- } -

...+bp

= 0

имеет корень ii£E,

для

которого

\

%—р|я<е.

Нет необходимости доказывать эту лемму. Для

доказательства

ные

значения

которых

принадлежат

F,

замкнуто.

Предположим,

что gn—+g

и собственные значения Кп

и р„ элементов

g„ принадле­

жат

F. Тогда

X,„ + p„—*t(g) и Кп\х,п—+\

(g).

Если

бы ХП и р„ не

оставались

при

этом в

некотором компактном

подмножестве в F*,

§

7.

Характеры

165

|А,„|—• 0,

|ц„|—• оо

или

\Кп\—•

оо,

|ц„|—>-0.

В обоих

случаях

по­

следовательность ^п + М-п н е

сходится. Таким образом, снова

переходя

к некоторой подпоследовательности, мы получаем, что

Х„—>к

и

ja„—>-\х,

а Я, и

(л являются

собственными

значениями

элемента

g.

Если

характеристика

поля

F отлична

от 2,

то

множества

GF и

GF совпадают. Мы введем теперь некоторую функцию на GF, кото­

рая играет важную роль при рассмотрении характеров. Если

ВР^—

расщепимая подгруппа Картана, мы положим c(BF)

=

1; если же

ВР

не

расщепима

и соответствует

квадратичному

расширению Е,

по­

ложим

c ( £ F ) = | » r i ) / 2 .

где

со — образующая

идеала

tyF

и ^р/?+ 1 —дискриминант

поля

Е

над F. Если g из GF принадлежит подгруппе Картана BF,

мы

положим

t(g)

=

c(BF)6-u*(g).

Если g сингулярен, мы положим

1(g) = оо. Множитель

c(BF)

ва­

жен только в случае характеристики 2, когда

существует бес­

конечное

число классов сопряженных подгрупп

Картана.

Л е м м а

7.3.

Функция

£ локально

постоянна

на

GF

и

на

каждом

компактном

подмножестве

группы

GP ограничена

снизу

некоторой

положительной

константой.

Она

локально

интегрируема

на

ZF\GP

и на

GF.

В

лемме,

конечно,

неявно

утверждается,

что

§

постоянна

на классах смежности по ZF.

Две

предыдущие

леммы

показывают,

что

£

локально

постоянна

на

GF.

Для доказательства

остальных

утверждений

мы напомним некоторые факты о порядках

и

модулях

Если

Е—сепарабельное

квадратичное

расширение

поля

F,

то

порядок R поля Е—это

некоторое

подкольцо кольца £)Е , которое

содержит £ ) Р и некоторый

базис

поля

Е.

Модуль

I

в

Е—это

ко­

нечно порожденный £уподмодуль

поля

Е,

который

содержит

не­

который

базис Е.

Если /—модуль, то множество

{a£E\aI

s

/ }

является порядком, который мы будем

обозначать через

Rr.

Ясно,

что порядок является модулем и что /?# =

R. Два модуля /

и J назы­

ваются эквивалентными,

если

существует

а(Е £ * , такое,

что J =

а / .

Тогда

Rt=Rj.

Предположим,

что

модуль

/

содержится в £5Я

и

содержит

1.

Так как

1/£)Р является

©/-модулем без

кручения,

модуль

/

имеет

базис вида { 1 , б}. Поскольку

б целое,

6 2 £ / . Поэтому

/

является

порядком

и

Rj—I.

Так

как

любой

модуль эквивалентен

некото­

рому модулю,

который

содержит

1 и содержится в

£>в,

то

множе-

166

Гл. I. Локальная

теория

ство модулей /, для которых

Rt=R,

образует

для

данного по­

рядка R один класс эквивалентных модулей.

Как отмечалось,

любой порядок имеет базис над £ ) F вида { 1 , 6}.

Абсолютная

величина чисел

б,

встречающихся

в этих

базисах,

ограничена

снизу.

Базис { 1 ,

6}

называется

нормальным,

если б

имеет наименьшую

возможную абсолютную величину. Легко видеть,

рассматривая отдельно разветвленные и неразветвленные

расшире­

ния, что если { 1 , 6} — нормальный базис, то

R =

£>F+8£>E.

Таким образом, R

определяет

и

определяется

числом

| б | £ .

Легко

видеть, что если E/F не разветвлено,

то | б \Е

может

быть

любым

числом вида

| с о £ | £ ,

где п^О,

а со£ —образующая

идеала

9$Б. Мы

положим

тогда n = (o(R). Если

E/F разветвлено,

| б | £ может

быть

любым числом вида

| (ОЕ\ЕП+1,

где п ^

0. Мы положим тогда со (R)

— п.

В

случае

разветвленности

[£•: F4UEr)R)]

=

2\wF\F-a(R).

В

случае

неразветвленности

[£*: F*(UEnR)]^\^F\?a{R)(l

+

\^F\F),

если со (R) Ф 0; если

же со (R) = 0, то

[£•: F*(UEnR)]

= l.

Ясно,

что

R'

содержит

R

в

том и только

в том случае,

если

со (R') ^ со (R).

Таким

образом,

число

порядков,

содержащих

R,

равно <a(R)-i-l.

Если

у££)Е,

но y^£lF,

обозначим

через R(y)

по­

рядок

с базисом

{ 1 , у}

и положим

со (у) = со (R (у)).

Л е м м а 7.3.1.

Пусть

у—число,

сопряженное

с у, в Е, и

пусть

Если

—дискриминант

Е и Y 6 © £ ,

но y^£>F,

то

ш(7) = со(7) +

Щ .

Пусть

{ 1 , 6} — нормальный базис порядка R (у). Тогда у =

а-\-ЬЬ,

где a, b££)F.

Кроме

того,

8 = c + dy,

где с, d£DF.

Таким образом,

у = (а + bc)-\-bdy,_raK

что а + Ьс = 0

и

bd=\.

Поэтому b является

единицей и | v — v | = |6 — б|. Мы можем,

таким

образом, заменить у

на

8.

Предположим

сначала,

что

E/F

не разветвлено, так что

/ + 1=0 . Мы возьмем

б = есо£,

где п = со (R (у)) и е — некоторая еди­

ница в £>£ . Так как

б — б = (в — е)со£,

§ 7.

Характеры

167

нам

требуется

лишь показать,

что е — е

является единицей. Заме­

тим,

что

е

не

сравнима по

модулю tyE ни с

одним из элементов £)F ,

и поэтому

{ 1 , е}

определяет

некоторый

базис

поля

£)Е№Е-

Так

как

группа

Галуа

нетривиально

действует

на &E/tyE,

то

е — е не

принадлежит %$Е.

Если

E/F

разветвлено,

мы можем взять б = соF(oE,

где

/г = со(8).

Хорошо

известно,

что

Ы=

I «л |н + 1 .

Таким

образом,

I /X

Я\2 11/г

1С

| ,~ \П \ ~

|(*+1)/2

I ~

|П + (< + 1)/2

| ( 0

—

О ) 2

| /

= | 0 — 0 \Е

—\<UF\F\(X)E\E

=\(OF\F

Лемма

доказана.

Прежде

чем

вернуться

к

доказательству

леммы

7.3,

докажем

еще две

леммы.

Л е м м а

7.3.2.

Пусть

С—компактное

подмножество

в ZF\GFt

и пусть

%с—характеристическая

функция

множества

С и

его

про­

образа

в

GF.

Существует

такая

константа

с,

что

для

каждого

Ь £ GF,

содержащегося в некоторой

анизотропной

подгруппе

Картана,

имеет

место

неравенство

Предположим

теперь, что

его

собственные

значения

различны

и

не принадлежат

F.

Любое

h

из

GF

можно

записать

в

виде

Усо£

0 \

где gu

g 2 £ G L ( 2 ,

£)F)

и

p^q.

Числа

со£ и a>F являются

элемен­

тарными

делителями

элемента

п.

Пусть

Тг

обозначает

множество

всех тех п, для которых

q—р^г.

Множество

Тг

является про­

образом

некоторого

компактного

подмножества T'rczZF\GF.

Если г

достаточно

велико,

С

содержится

в Т'г.

Таким

образом,

мы

можем

заменить %с на характеристическую функцию %г множества

Т'г.

Если ft£GL(2, £>F),

то h-1g-1bgh£TГ

в том и только в том

случае,

если

g^bg^T,..

Таким

образом,

рассматриваемый интеграл

равен

произведению

меры множества

GL (2,

£)F)

Л ZF\QL

(2,

£lp)

на

число тех

правых классов смежности

по

ZFQL

(2, £>F),

элементы

g

которых таковы, что g~1bg^Tr.

Если

Н—такой

класс

и

BF—со­

держащая

элемент

b

подгруппа

Картана,

то

для

любого

b' g

BF

класс

b'H

обладает

тем

же свойством.

Таким

образом, интеграл

168

Гл. / .

Локальная

теория

равен

мера

(GL (2,

DF) П ZF \GL (2,

DF)) 2

[BFg GL (2, D f ) : Z f

GL (2,

Сумма распространяется на множество представителей

из

классов

смежности

в

BF\GF/GL (2,

Пусть

BF

соответствует сепарабельному

квадратичному

расши­

рению

Е.

Выберем некоторый базис

кольца

DB над Dp.

Это будет

ства Е над F. Далее,

GL (2,

DF)

является

стабилизатором

множе­

ства DB. Каждое

у£Е*

определяет

линейное

преобразование

by х—*ух

пространства Е. Множество всех

таких линейных преобра­

зований

является

подгруппой

Картана,

сопряженной

с

ВР,

и

без

потери общности мы можем предполагать, что она совпадает с

ВР.

Выберем

такое

у,

что

b =

bv

Каждый модуль имеет вид gDB,

где g&GF.

Кроме

того,

gxDB

и

g2DB

эквивалентны

в том и только в том

случае,

если gly

g2

при­

надлежат

одному

и

тому

же двойному классу

в

BF\GF/GL

(2, DF).

Таким

образом,

существует

взаимно

однозначное

соответствие

между

множеством

этих двойных

классов

и

множеством

порядков

в Е.

Пусть класс

BFgQL(2,

DF)

соответствует

порядку R.

Индекс

равен

[ B ^ G L ( 2 ,

Dp):

Z F GL(2,

DF)]

[BF:

BpftZpgGL

(2,

DF)g-x].

Два

элемента

bt

и b2 из BF

принадлежат

одному

и

тому

же

классу по BFV\ ZFgGL

(2, DF)g~x

в

том и только

в

том

случае, если

существует z£ZF

и /zgGL(2,

DF),

такие,

что

Kg = b2zgh.

Это может случиться тогда и только тогда,

когда

Пусть

I=gDB,

и

пусть Ь{

= ЬУг

Если

мы

отождествим

ZF

с F*, так

что z можно будет рассматривать как элемент из F*, то

последнее

соотношение эквивалентно

соотношению

или

включению yT*y2z g R Л UB.

Таким

образом,

[BFgGL

(2,

Dp): Z f G L ( 2 ,

DF)]

=

[£*:

F*(Rr\UB)].

Пусть \detb\F=\y\B

= \aF\F.

Пусть

co£

и

со??,

где /?< q, — эле ­

ментарные делители

элемента

g~xbg.

Конечно,

p-\-q

= m.

Матрица

g-1bg

принадлежит

Тг

в том

и только

в том

случае,

если

q—р

=

— т—2р

^ г. Если s есть целая часть числа г ~ о

т , то

это

имеет

место

§ 7.

Характеры.

169

циенты, а

это условие

эквивалентно включению

iaFg-4)gDBs£>B,

или copy £

Наш интеграл

поэтому равен

мера

(GL(2,

£)F)

Г) ZF\GL

(2,

[£*:

Р ( Я П £ / £ ) ] .

(*)

Сумма распространяется на

все

порядки

в Е,

которые содержат

ограничено величиной

2

2 мера (GL(2, £>F) Л ZF\GL (2, DF))

| < 4 F * .

Мы имеем c(5F ) = \ыР\^ + 1 ) / 2 , т((аРу) = s +т(у) ^.^^--{-т(у)

и

— ю (Y) + т

+ НГ" +

ю

ограничено

сверху

некоторой

константой, зависящей

только

от г.

По

предыдущей

лемме

со (сору) =

т (сору)—Цг-1

•

так

что

, ч .

т

. /4-1

,

/">

\

т—m

,

m

г

— m(Y) +

T

+ - ^ - +

c o ( c o f Y X - 2 — r - g - ^ T *

Предположим, что подгруппа КартанаБ^ соответствует алгебре Е.

Выбрав

меру цЕ

на

Е,

мы можем

определить

меру [д.в на BF и меру

соя

на

BF\GF.

Когда

меры

цБ,

а значит,

\iB

и

сов

выбраны, мы

обозначим через п (BF)

такую

константу,

что

мера п (BF) \iB

само-

дуальна

относительно

характера х—>-у¥(х(х))

на

Е.

Л е м м а

7.3.3. Если

г — некоторое

неотрицательное

целое

число,

то существует

такая

константа

dp

что

для

любой подгруппы

Кар-