книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

150

Гл.

I. Локальная

теория

Тогда

либо

2

^2> Р в ),

V=

либо

V содержит конечномерное

инвариантное

подпространство.

Примем

эти леммы

пока на веру,

и пусть

V—некоторое

инва­

риантное

подпространство

пространства

53 ((д^, ц2). Как и в случаях

неархимедовых

полей и вещественного

поля,

существует инвариант­

ная невырожденная

билинейная

форма

на

SB {\xlt p, 2 )xS (fxi- 1 ,

\x2l).

Ортогональное

дополнение

Vх- подпространства V в

Si (fifх ,

LX^1)

является

собственным

инвариантным

подпространством.

По

лемме 6.2.1 они не могут

одновременно

содержать

инвариантные

конечномерные

подпространства. Поэтому,

согласно лемме 6.2.2,

одно из них имеет

конечную коразмерность.

Другое

должно

быть

конечномерным.

Если

V

конечномерно,

то

р , ^ 1 (г) = z~pz~q

и

V = SSfdii,

Если V х конечномерно,

то LijLi^1

(2) = zpzq. Так как

ортогональное дополнение пространства 33f

{[л1У JX2)

равно 9ds{\i1,

LX2),

то V = 9Bs{\iu

| i s ) .

Мы

покажем

теперь,

что

^ ( [ i x ,

(х2)

инвариантно,

когда

для всех zgC* и всех

j t g C . Вектор

v0 определен с точностью до

скалярного множителя,

а т и п — неотрицательные целые числа.

Кроме того, существует

квазихарактер

со0 группы С*, такой, что

где сс^со"1 (z) — zmzn. Представление я определяется

с точностью до

эквивалентности

заданием

квазихарактеров

cOj и

со2, так что мы

пишем

я = и (со1(

со2).

Пока

а>1а>21(г) = гтгп

с

неотрицательными

целыми тип,

представление и (со^ со2) существует. По формуле Клеб-

ша — Гордана

ограничение

представления х (coj, со2) или контрагра-

диентного ему представления

на SU(2, С)

распадается в прямую

сумму

представлений

р,-, где \т — n\^.i^.m-\-n

и

1 = m + n(mod2).

152

Гл.

I. Локальная

теория

то U 0 ^

будет

разложением

Картана

алгебры

Ли

специальной

линейной

группы. Пространство

®R С инвариантно

относительно

присоединенного

действия

алгебры

ц

на

©с • Кроме

того, и дей­

ствует

на

§)е согласно

представлению

р2 . Известно,

что р 2 ® р „

эквивалентно

р п

+

2

ф

р„ 0

р„_2 , если

п ^ 2 , что р 2

® р 1

эквива­

лентно

р 8

0 р г и, конечно,

что р 2 ® р 0

эквивалентно р2 . Отображе­

ние

произведения

§ ) c ® ^ ( P i ,

Н-г, Р«)в

-®(Pi. Ш). которое переводит

X ® /

в р ( Х ) / , коммутирует с действием и. Таким образом, р(Х) /

содержится в сумме

м-». рп+*)®£(Ри

и-1. Р » ) 0 # ( i * i .

м-«. Р»-«)-

Понятно,

что ^ ( р х

, р 2 , рг ) = 0,

если

/ < 0.

подпространство

Пусть

теперь

V—собственное

инвариантное

пространства

fB(\ilt

р2 )-

Пусть

п0 — наименьшее

неотрицательное

целое п, для которого V

содержит

9В{^и

р 2 , р„). Если

п^п0,

по­

ложим

2

V ( n ) =

#

(f*i.

Р*)-

л > k

> я

0

ft s

п0

(mod 2)

Если V содержит

каждое V (п), то доказывать

нечего. Таким

обра­

зом,

предположим,

что существует

наибольшее

целое

пи

для кото­

рого

V

содержит

Vfa).

Все, что нам требуется,— это

показать,

что V' (nt)

инвариантно

относительно

®. Оно инвариантно

относи­

тельно

t

и

И по построению, так что требуется

лишь

проверить

следующее:

если

X g g j c . т

0

р №

переводит

V(щ) в себя. Ясно,

что р(Х) переводит

V (п1

— 2) в V (п^,

так что достаточно

показать,

что он переводит

р 2 , рД 1 ) в V (п^).

Возьмем / из Si(^t,

р 2 , рП ) ),

и пусть

р ( Х ) / = / 1

+ /2 ,

где

f^Vin^

и /2

£ 3Z (рх , р 2 , р„ 1 + г ) .

Заме­

тим, что /2 заведомо

лежит

в V. Так как пересечение

У п ж О ч , 14. Рл1 + 2 )

равно

либо 0, либо

ffi(\ilt

р 2 , р„1 + 2 )

и

так как по построению оно

отлично

от ^(ц1У

р 2 , р„ 1 + 2 ),

то / а = 0.

Первые три утверждения теоремы теперь доказаны, и мы перейдем

к остальным. Мы будем

использовать

тот факт, что Dlt

D2, Jt и J2

ляющими

представлений

р(р,1 , р2 ) и p(pi, р2 ) соответственно. Пред­

положим,

что я и я ' содержат одни и те же представления

алгебры

Ли группы SU(2, С) и

ассоциированы с

тем же гомоморфизмом

центра алгебры 11 в С . Сравнивая

скаляры

я (/ J и я ( / 2 ) с я ' ( Л )

а+Ь

и я ' (/ 2 ), мы находим, что

= р'х р;. Пусть PiP^z) = (zz)

2 zazb,

_ ,

a' + b'

и пусть р , ^ - 1 (г) = {zzf

*~ za'zb\

Сравнивая n(D1) и

я (D8 ) с

§ 6. Представления группы GL(2, С)

153

я' (Dj) и л' (D2),

мы видим, что

a' —Ь'У

/

,

а —Ьу

(

,

,

и

/

. b—ay

f

,

,

Ь' — а'У

Эти соотношения будут иметь место,

если

p-iHi-1 = L I J L I J - 1 ИЛИ

цГУг = niLi;- 1 , и^ поэтому

так как р^ц.,, = ьцр,2,

то (ьц, (х2) == (itj, р4)

или

L I 2

) = ( L I 2 , HI)- Е С Л И НИ одна из этих

альтернатив не выпол

няется,

то мы должны

иметь

а' — Ь'

s'

а—Ь

2

'

Ь' — а'

s'

Ь—а

2

'

~~

2

Так

как

— ^гМ^г»

целые

числа

а-\-Ь

и

а'-4-6'

должны

иметь

одну

и

ту же четность.

Пусть

1 2 1

и ц' = L I I L I

2 -

1

. В

первом

ii = LtLt"

случае

L I L I '

имеет вид LILI'(Z )

= z2^ и ц р / - 1

имеет в:\д гг < 7 ,

а во втором

LILI'(Z) =z 2 ^ и Liii'- 1 (z) = гэ д . Так

как

{jiij,

L I 2 } отлично

от

1ц},

то ни р, ни с/ не равны 0. В первом

случае

ц = гргя

и \и' =

zpz~q,

а во втором

р, = z? zp и ц' =

г~9гр.

Подводя

итог

изложенному, мы

видим,

что я

и л '

содержат

одни

и те же представления алгебры

Ли группы SU(2, С) и ассо­

циированы с тем же гомоморфизмом

центра

алгебры Ц в С в том

(I) Для

некоторой

пары

квазихарактеров

vx

и v2 мы имеем

{Я, Я'} = {Я (v1 ( V2 ),

Я (Vx, V2)} ИЛИ {Я, Я'} = {Л (Vx, V2 ),

Я (V2 , Vj)}.

(II)

Для

некоторой

пары

квазихарактеров

v t

и

v2 мы имеем

{я, n'\ = {a(vlt

v2 ), a(vl f

v2 )}

или {я, n'} = {a(vlt

v2 ), <r(v2, vA}.

(III)

Для некоторой

пары

квазихарактеров

vx

и v2 , таких, что

v ^ r 1

(г) = zpz",

где

</> 1, _{я, я'} = {а(у1 ,

v2 ), л(у[,

v2 )},

где

v t v 2

= VjV2

и VjV2 _ 1

(г) равно

г^г - 9 , или

z~pzq.

(IV)

Для некоторой

пары

квазихарактеров

vx

и v2 , таких, что

V1VT1(Z)

= Z-P~Z-9,

где

q ^ \ , {я, я'} = (a (vl

t

v,), я (v[,

v'2)\,

где V J V ^ V I V J

и

ViV2 _ 1

(z) равно zpz~q или

z~pzq.

из одной георемы

Все

остальные

утверждения

следуют теперь

Хариш-Чандры,

которая в интересующем нас частном случае

может

быть сформулирована следующим

образом:

Л е м м а

6.2.3. Если

я—неприводимое допустимое

представление

алгебры

XX, то

существует

пара

квагихарактеров

щ

и р.2 ,

таких,

что

р (iij, Li2)

и

л

содержат

по меньшей мере

одно общег неприво-

§

6.

Представления

группы GL(2, С)

155

Как и раньше,

А

сопоставляет

функции № ф

функцию

/ Ф - te)

= P1 (detg)|detg|c/ 2 2(p1 p2 -1 ac, p(g)<D~).

Доказательство,

конечно, проводится так же, как и раньше. Однако

вает,

что

в рассматриваемой

ситуации

не существует собственного

инвариантного подпространства пространства 33(ц1У

р2 ),

содержа­

щего

33

р2> Р0+ь)>

и

потому

нам достаточно

только

показать,

что по меньшей мере одна

ненулевая

функция

в

33 (pt , р 2 ,

ра+ь)

имеет

вид

/ ф ,

где Ф

содержится

в <S" (С2 ) и является SU (2, С)-ко-

нечной относительно

правых

сдвигов.

Если

Ф (х, у) = е-2я

(**+УУ) уауь,

то, поскольку

а + 0 = О,

Ф

преобразуется при правых сдвигах на

элементы из SU(2, С) согласно представлению ра+ь,

так

что доста­

точно

только

проверить,

что

/ ф не нуль. Действуя

согласно

опре­

делению,

мы

видим,

что

/Ф (е) = J

Ф (0, 0

(tt)S

Г

ta'tb

d*t =

J е-2"'7 (ft)'

+

S + ^ ~ d * t .

с*

с*

выражение

равно

( 2 я Г - ^ г ( 1 + 5 + ф )

и, таким образом, отлично от нуля.

W ( р и

Так

же

как и в предыдущем параграфе,

р 2 , ¥ )

натяги­

вается

на функции

где

Ф имеет вид

Ф (х, у) =

е-2я(хх+иЪу~у)хРх9утуп

с

целыми

р, q, т и п,

а

и определяется

соотношением

¥ (г) =

_

e 4ni.Re uz

д!ы можем показать, что функция

экспоненциально убывает при |/|—s-oo.

Для доказательства единственности мы, как и в предыдущем

параграфе,

будем использовать дифференциальные уравнения. На

этот

раз соответствующие

уравнения чуть сложнее.

Предположим,

что

W1(n,xV)

— некоторое

пространство функций, удовлетворяющее

пространстве Vn бинарных

форм степени п по правилу

р " ( ( с d))(f'^x'

У) = У № + су, bx + dy),

п

k —

k

q>(x, у)*=

2

4>"xT+ x2 '

,

то ф* называется

k-й

координатой функции

ф.

На

двойственном

пространстве Vn мы введем двойственные

координаты.

А простран­

Если

р„ содержится

в я,

то

существует инъекция

ства Vn

в Wx (я,

¥ ) ,

которая

коммутирует

с

действием группы

если наши вычисления

верны, могут

быть переписаны в виде

' ' а г + * -

ф*

" 4 - * -

Л

^ Ф * - ( | - *

) ««,>*« =

l ( e

+ ^ ) y ' .

Мы

полагаем

ф* = 0, если | & | > л / 2 .

Напомним, что ¥

(г) = е Ш Я е и г .

Эти

уравнения

позволяют

выразить

все

ф* в

терминах ф п / 2

или

ф-"/г .

k — nl2

Для

второе

уравнение

может

быть

переписано

в

виде

1 a y ' 2

/

1

п\\ у 2

(

| Ц | «

( т + ' ) 2 |

/ й

2

dl' T

i

2

2 J t

dt

^ \

2

^

2*12

;

ф

—

= (s +

^ )

V 2

-

(•)

§ б. Представления гриппы GL(2, С)

157

dW

_

(n + \ ) w

dt

~

t

Каждое неприводимое допустимое представление алгебры

Же

имеет вид

я = я ( ц 1 ,

д2 ).

Кроме того, я(ц,,

\12) = я(\х[,

ц2 ) в том и

только в том случае, если

{щ,

ц2 } =

{р,(,ц2}.

Таким

образом,

мы

можем положить

L(s,

rc)

= L(s,

р.,_) L (s,

|л2)

и

B(S,

я, T) =

e(s,

iilt

V)B(S,

ц„

V ) .

Тогда

L(s,

jt) =

L(s,

р - Г 1 )^^,

М-Г1)-

Локальное

функциональное

уравнение,

которое доказывается

так

Т е о р е м а

6.4. Пусть

я — бесконечномерное

неприводимое

допу­

стимое

представление

алгебры

Же - Пусть

со— квазихарактер

группы

С*, определяемый

условием

для a g С*.

Если W £ W (я,

Ч"1), /по

интегралы

V(g,

s,

W) =

j

^ A a | c - 1 / a d * a ,

с»

s,

^ ) = |^((o

i)g)l «|c-1 / 8 co->(a)d*a

абсолютно

сходятся

в

некоторой

правой

полуплоскости.

Положим

4F{g,

s,

W) = L(s,

л ) Ф ( £ , s, №.),

s,

W) = L(s,

п)Ф(§,

s,

W).

Функции

0(g,

s,

W)

и

0(g,

s, W) могут

быть

аналитически

про­

должены

на

всю

комплексную

плоскость

как

голоморфные

функции

от s.

При

подходящем

выборе функции

W функция

Ф(е,

s, W) яв­

ляется

экспоненциальной

функцией

от s.

Справедливо

функциональное

158

Гл.

I. Локальная

теория

уравнение

0{wg,

1-s,

W) = e(s, я,

¥)<D(g,

s, W).

Кроме

того,

если

W

фиксирована,

функция

\ W (g, s,

W)\

остается

ограниченной,

когда

g

пробегает

какое-либо компактное множество

на

GQ, as

меняется

в некоторой

вертикальной

полосе конечной ши­

рины,

из

которой

удалены круги

с центрами

в полюсах

функции

L(s,

я).

Следующую лемму

можно

проверить

прямым

вычислением.

Л е м м а 6.5. Если a = a(fi1 ,

LI2) и я = я(|л1 , (х2) определены, то

L (1 —s, g)e(s, а, 4Q _ L ( 1 — s , я) е (s, л, У)

L (s, a)

L (s, л)

Мы проверим последнее утверждение.

Не теряя

в общности,

мы можем

предполагать,

что a = n(vlt v2),

что

%\x1(z) =

za+Pzb+g,

%LI2 (г) = zazb, %v, (г) = za+pz6

и уу* (z) = zazb+q.

Числа

p ^ l

n q ^ \

являются

целыми. Варьирование % эквивалентно

изменению а и b

чисел а-\-р и b-{-q, т2

равно наибольшему из чисел а и Ь, пг равно

наибольшему из чисел

а-\-р и b и п2 равно наибольшему

из чисел

а и b -\-q, то отношение

отличается от

Г(5 + П1 )Г(5 + «А )

r(s+m 1 )r( s + ma )

множителем, равным произведению константы на экспоненту. Ясно,

что пх и п2 оба больше или равны т2 и что либо nlt либо п2

больше

номом.

Если

p^'q,

выберем а и b так, что b-\- q>a^zb.

Тогда

п1 = т1

и n 2

> m 2 ,

а потому отношение имеет положительную сте­

пень.

Если

q~^p,

выберем а и b

так, что а-{-р^>Ь^а.

Тогда

п2 = mj и мх > т 2 .

Л е м м а

6.6. Пусть

я « я'—два

бесконечномерных неприводимых

представления

алгебры

ЖеПредположим, что существует

квазиха-