Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
12.95 Mб
Скачать

150

 

 

 

 

 

Гл.

I. Локальная

теория

 

 

 

 

 

 

Тогда

либо

 

 

 

 

2

^2> Р в ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V=

 

 

 

 

 

 

либо

V содержит конечномерное

инвариантное

 

подпространство.

Примем

эти леммы

пока на веру,

и пусть

V—некоторое

инва­

риантное

подпространство

пространства

53 ((д^, ц2). Как и в случаях

неархимедовых

полей и вещественного

поля,

существует инвариант­

ная невырожденная

билинейная

форма

на

SB {\xlt p, 2 )xS (fxi- 1 ,

\x2l).

Ортогональное

дополнение

Vх- подпространства V в

Si (fifх ,

 

LX^1)

является

 

собственным

инвариантным

 

подпространством.

 

По

лемме 6.2.1 они не могут

одновременно

содержать

инвариантные

конечномерные

подпространства. Поэтому,

 

согласно лемме 6.2.2,

одно из них имеет

конечную коразмерность.

Другое

должно

 

быть

конечномерным.

Если

V

конечномерно,

то

р , ^ 1 (г) = z~pz~q

и

V = SSfdii,

 

Если V х конечномерно,

то LijLi^1

(2) = zpzq. Так как

ортогональное дополнение пространства 33f

{[лJX2)

равно 9ds{\i1,

 

LX2),

то V = 9Bs{\iu

| i s ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы

покажем

теперь,

что

^ ( [ i x ,

2)

инвариантно,

когда

Lijiir1 (z) = z~pz~q. Из соображений двойственности будет следовать, что ^ д.2) инвариантно, когда (2) = z^z?. Каждое неприводи­ мое конечномерное представление я алгебры И определяет некото­ рое представление я группы GQ. Е С Л И Я действует на X, то суще­ ствует ненулевой вектор v0£X, такой, что

для всех zgC* и всех

j t g C . Вектор

v0 определен с точностью до

скалярного множителя,

а т и п — неотрицательные целые числа.

Кроме того, существует

квазихарактер

со0 группы С*, такой, что

Таким образом

где сс^со"1 (z) — zmzn. Представление я определяется

с точностью до

эквивалентности

заданием

квазихарактеров

cOj и

со2, так что мы

пишем

я = и (со1(

со2).

Пока

а>1а>21(г) = гтгп

с

неотрицательными

целыми тип,

представление и (со^ со2) существует. По формуле Клеб-

ша — Гордана

ограничение

представления х (coj, со2) или контрагра-

диентного ему представления

на SU(2, С)

распадается в прямую

сумму

представлений

р,-, где \т — n\^.i^.m-\-n

и

1 = m + n(mod2).

§ 6.

Представления группы G L ^ , С)

151

Пусть л равно и(со1 (

со2) и я контраградиентное

представление,

действующее на X. Каждому вектору v£X мы сопоставим функцию

<P(g) = <0o. "(г)»>

на G c . Отображение v—ф линейно и инъективно. Кроме того, п (§)v —*• Р (§) Ф> тогда как

 

 

 

 

Ф (J^Q г * ) g ) = ЮГ1

(2 i) ^ Г 1 (*.) ф (g) •

 

 

 

 

 

Таким

образом,

если

ц1

= а>1~1а^1/2

 

и р ^ с о ^ а ^ / 2 ,

то

функция ф

принадлежит

S3(\i1,

р2 ). При изменении <ох

и со2 квазихарактеры p t

и р 2

пробегают

все такие

 

пары, что р ^ 1 (г) = z~pz~q,

р^

1, q~^t 1.

Докажем

теперь эти две леммы. Предположим,

что V—некото­

рое

собственное

конечномерное

 

подпространство

пространства

33 (Pi, р2 )- Представление

алгебры

Ц на V является, конечно,

пря­

мой

суммой

неприводимых

представлений,

каждое из которых

вхо­

дит

с

кратностью

1. Пусть V — некоторое

неприводимое

подпро­

странство пространства V, и пусть

V' — пространство,

двойственное

к V.

 

Пусть

К—линейный

 

функционал X: ф —* ц> (е) на V.

Если я

является представлением

IX или Gc на V, то

 

 

 

 

 

 

 

я 1 1 п

,

) ) ^ =

 

ИГ1 (21 2 -1 (22 )(21 г1 22 -1 22 -1 )-1/Ч.

 

 

 

Таким

образом,

если

= pj^a - 1 / 2

 

и со2 = р ^ а * / 2 ,

то

представле­

ние

я

совпадает

с

 

со2). Отсюда

немедленно следует, что р ^ 7 *

имеет

вид p ^ i f 1

(г) = z~pz~q,

где /? ^

1 и ^ ^ 1, и что V,

а

потому

и У совпадают с 33f(ixlt

р2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства второй леммы мы рассмотрим @ как веще­ ственную алгебру Ли комплексных квадратных матриц второго по­ рядка. Тогда

a

0N

% = ч 0

а) | а € С

является центром алгебры ® и

 

-ta

является алгеброй Ли группы SU (2, С). Если

И ( £ -a) a ^ R ' 6 € С

152

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гл.

I. Локальная

теория

 

 

 

 

 

 

то U 0 ^

 

будет

разложением

Картана

алгебры

Ли

специальной

линейной

 

группы. Пространство

®R С инвариантно

относительно

присоединенного

 

действия

алгебры

ц

 

на

©с • Кроме

того, и дей­

ствует

на

§)е согласно

представлению

р2 . Известно,

 

что р 2 ® р „

эквивалентно

р п

+

2

ф

р„ 0

р„_2 , если

 

п ^ 2 , что р 2

® р 1

эквива­

лентно

р 8

0 р г и, конечно,

что р 2 ® р 0

 

эквивалентно р2 . Отображе­

ние

произведения

 

§ ) c ® ^ ( P i ,

Н-г, Р«)в

-®(Pi. Ш). которое переводит

X ® /

в р ( Х ) / , коммутирует с действием и. Таким образом, р(Х) /

содержится в сумме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м-». рп+*)®£(Ри

и-1. Р » ) 0 # ( i * i .

м-«. Р»-«)-

 

Понятно,

что ^ ( р х

, р 2 , рг ) = 0,

если

/ < 0.

 

 

подпространство

Пусть

теперь

 

V—собственное

 

инвариантное

пространства

fB(\ilt

 

 

р2 )-

 

Пусть

п0 — наименьшее

неотрицательное

целое п, для которого V

содержит

9В{^и

р 2 , р„). Если

п^п0,

по­

ложим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ( n ) =

 

 

 

#

(f*i.

Р*)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л > k

> я

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft s

п0

(mod 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если V содержит

 

каждое V (п), то доказывать

нечего. Таким

обра­

зом,

предположим,

 

что существует

наибольшее

целое

пи

для кото­

рого

V

содержит

 

Vfa).

 

Все, что нам требуется,— это

показать,

что V' (nt)

инвариантно

 

относительно

 

®. Оно инвариантно

относи­

тельно

t

 

и

И по построению, так что требуется

лишь

проверить

следующее:

если

 

 

X g g j c . т

0

р №

 

переводит

V(щ) в себя. Ясно,

что р(Х) переводит

V (п1

2) в V (п^,

так что достаточно

показать,

что он переводит

 

 

 

 

р 2 , рД 1 ) в V (п^).

 

Возьмем / из Si(^t,

р 2 , рП ) ),

и пусть

р ( Х ) / = / 1

+ /2 ,

где

f^Vin^

 

 

и /2

£ 3Z х , р 2 , р„ 1 + г ) .

Заме­

тим, что /2 заведомо

лежит

в V. Так как пересечение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У п ж О ч , 14. Рл1 + 2 )

 

 

 

 

 

 

равно

либо 0, либо

ffi(\ilt

р 2 , р„1 + 2 )

и

 

так как по построению оно

отлично

от ^(ц

 

р 2 , р„ 1 + 2 ),

то / а = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первые три утверждения теоремы теперь доказаны, и мы перейдем

к остальным. Мы будем

 

использовать

тот факт, что Dlt

D2, Jt и J2

порождают центр алгебры Ц, а также один результат Хариш-Чандры, который мы сформулируем позднее. Предположим, что я и я ' — неприводимые представления алгебры Ц, которые являются состав­

ляющими

представлений

р(р,1 , р2 ) и p(pi, р2 ) соответственно. Пред­

положим,

что я и я ' содержат одни и те же представления

алгебры

Ли группы SU(2, С) и

ассоциированы с

тем же гомоморфизмом

центра алгебры 11 в С . Сравнивая

скаляры

я (/ J и я ( / 2 ) с я ' ( Л )

 

 

 

 

 

а+Ь

и я ' (/ 2 ), мы находим, что

= р'х р;. Пусть PiP^z) = (zz)

2 zazb,

 

_ ,

a' + b'

 

 

 

и пусть р , ^ - 1 (г) = {zzf

*~ za'zb\

Сравнивая n(D1) и

я (D8 ) с

§ 6. Представления группы GL(2, С)

153

я' (Dj) и л' (D2),

мы видим, что

 

 

 

a' Ь'У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

,

а Ьу

(

,

,

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

. b—ay

f

,

,

Ь' а'У

 

 

 

 

 

 

 

Эти соотношения будут иметь место,

если

p-iHi-1 = L I J L I J - 1 ИЛИ

цГУг = niLi;- 1 , и^ поэтому

так как р^ц.,, = ьцр,2,

то (ьц, (х2) == (itj, р4)

или

 

L I 2

) = ( L I 2 , HI)- Е С Л И НИ одна из этих

альтернатив не выпол

няется,

то мы должны

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а' — Ь'

 

s'

 

аЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь' а'

 

s'

 

Ь—а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

'

 

~~

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

^гМ^г»

целые

числа

а-\-Ь

и

а'-4-6'

должны

иметь

одну

и

ту же четность.

Пусть

 

 

 

1 2 1

и ц' = L I I L I

2 -

1

. В

первом

ii = LtLt"

 

 

случае

L I L I '

имеет вид LILI'(Z )

= z2^ и ц р / - 1

имеет в:\д гг < 7 ,

 

а во втором

LILI'(Z) =z 2 ^ и Liii'- 1 (z) = гэ д . Так

как

{jiij,

L I 2 } отлично

 

от

1ц},

то ни р, ни с/ не равны 0. В первом

случае

ц = гргя

и \и' =

zpz~q,

а во втором

р, = z? zp и ц' =

г~9гр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подводя

итог

изложенному, мы

видим,

что я

и л '

 

содержат

одни

и те же представления алгебры

Ли группы SU(2, С) и ассо­

циированы с тем же гомоморфизмом

 

центра

алгебры Ц в С в том

и только в том случае, если выполняется одна из следующих альтернатив:

(I) Для

некоторой

пары

квазихарактеров

vx

 

и v2 мы имеем

{Я, Я'} = {Я (v1 ( V2 ),

Я (Vx, V2)} ИЛИ {Я, Я'} = {Л (Vx, V2 ),

Я (V2 , Vj)}.

(II)

Для

некоторой

пары

квазихарактеров

v t

и

v2 мы имеем

{я, n'\ = {a(vlt

v2 ), a(vl f

v2 )}

или {я, n'} = {a(vlt

v2 ), <r(v2, vA}.

(III)

Для некоторой

пары

квазихарактеров

vx

 

и v2 , таких, что

v ^ r 1

(г) = zpz",

 

где

</> 1, _{я, я'} = {а(у1 ,

v2 ), л(у[,

v2 )},

где

v t v 2

= VjV2

и VjV2 _ 1

(г) равно

г^г - 9 , или

z~pzq.

 

 

 

(IV)

Для некоторой

пары

квазихарактеров

vx

 

и v2 , таких, что

V1VT1(Z)

= Z-P~Z-9,

где

q ^ \ , {я, я'} = (a (vl

t

v,), я (v[,

v'2)\,

где V J V ^ V I V J

и

ViV2 _ 1

(z) равно zpz~q или

z~pzq.

из одной георемы

Все

остальные

утверждения

следуют теперь

Хариш-Чандры,

которая в интересующем нас частном случае

может

быть сформулирована следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

6.2.3. Если

я—неприводимое допустимое

представление

алгебры

XX, то

существует

пара

квагихарактеров

 

щ

и р.2 ,

таких,

что

р (iij, Li2)

и

л

содержат

по меньшей мере

одно общег неприво-

154

 

 

 

 

 

 

 

Гл.

I. Локальная

теория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

димое

представление

 

алгебры

Ли группы

SU (2, С)

и

ассоциированы

с тем

же гомоморфизмом

центра

алгебры

XX в С.

 

В

этом

случае

л

является

составляющей

представления

 

 

 

u,2).

 

 

 

 

 

 

 

Как

и

прежде,

х ® п (Н-i. На) = п

(Xf-Ч. ХШ)

 

и

l

®

^

^

! 1

^

s = o r ( X I * i . XH-i)-

Е с л

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТО Л =

С071 ®

я .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

 

6.3.

Пусть

я — бесконечномерное

неприводимое

допус­

тимое

представление

алгебры

Же,

 

и

пусть

W — нетривиальный

ад­

дитивный

характер

поля С. Существует

единственное

пространство

W (я,

¥ )

функций

на

Gc,

которое

удовлетворяет

 

следующим

трем

условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(I)

Каждая

 

функция

W g W (я, ¥ )

удовлетворяет

соотношениям

 

 

 

 

 

 

 

^ ( ( °

l ) g ) =

 

¥ { * ) r ( g ) -

 

 

 

 

 

 

 

 

(II) Функции

из

 

W (я,

¥ )

непрерывны,

 

и

W (я,

¥ )

инвариантно

относительно

 

операторов

р (/)

для

/ £ j^?c •

Кроме

того,

представле­

ние алгебры

Же

на

 

W (я,

¥ )

эквивалентно

 

л.

 

 

 

 

 

 

 

 

(III) £сли

№ £ W (я, W),

то существует

такое

положительное

число

N,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При \ t\

 

 

 

 

 

 

* ( ( о

? ) )

=

°(1^Г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>- ОО .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как каждое я имеет вид

я = я (ьц, ц2 ),

то существование

доказывается

 

довольно

легко. Если

Ф € ^ ( С 2 ) ,

положим

 

 

 

 

 

 

 

9 0 i l f

щ, Ф) = j Ф (/,

Г 1 )

д.х

(0 цг1

(0

d*t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим W к,

L I 2 ,

¥ )

как пространство

функций

на

G c

вида

 

№ (g)

=

Ц7Ф (g) =

щ

(det g)

I det g / 2

9 (щ,

ц„

r (g) Ф),

 

 

 

где Ф принадлежит cS"(C2) и является SU(2, С)-конечной относи­

тельно

действия,

определяемого

представлением

г. Ясно,

что

W (щ, |д2, 4r ) = W(Li2, (Xj, Y) и что

W (LXJ,

L I 2 ,

¥ )

инвариантно отно­

сительно правых сдвигов на элементы из Же

и

из

It.

 

Существование

пространства

W (я, ¥ ) ,

как

и

прежде,

будет

вытекать

из следующего аналога

леммы 5.13.1:

 

 

 

а + Ь

Л е м м а

6.3.1.

Предположим, что

1 (t) = (tt)

2 ta'tb,

где

Res > — 1.

Тогда

существует биекция

А пространства

W(\iv

ц2, W)

на $ (щ, щ). которая коммутирует с действием Же •

 

 

 

§

6.

Представления

группы GL(2, С)

155

Как и раньше,

А

сопоставляет

функции № ф

функцию

/ Ф - te)

= P1 (detg)|detg|c/ 2 2(p1 p2 -1 ac, p(g)<D~).

Доказательство,

конечно, проводится так же, как и раньше. Однако

мы должны проверить, что А сюръективно. Теорема 6.2 показы­

вает,

что

в рассматриваемой

ситуации

не существует собственного

инвариантного подпространства пространства 33(ц

р2 ),

содержа­

щего

33

р2> Р0+ь)>

и

потому

нам достаточно

только

показать,

что по меньшей мере одна

ненулевая

функция

в

33 (pt , р 2 ,

ра+ь)

имеет

вид

/ ф ,

где Ф

содержится

в <S" (С2 ) и является SU (2, С)-ко-

нечной относительно

правых

сдвигов.

 

 

 

 

 

Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (х, у) = е-

(**+УУ) уауь,

 

 

 

 

то, поскольку

а + 0 = О,

Ф

преобразуется при правых сдвигах на

элементы из SU(2, С) согласно представлению ра+ь,

 

так

что доста­

точно

только

проверить,

что

/ ф не нуль. Действуя

согласно

опре­

делению,

мы

видим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

(е) = J

Ф (0, 0

(tt)S

Г

ta'tb

d*t =

J е-2"'7 (ft)'

+

S + ^ ~ d * t .

 

 

 

с*

 

 

 

 

с*

 

 

 

 

С точностью до константы, зависящей от выбора меры Хаара, это

выражение

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 я Г - ^ г ( 1 + 5 + ф )

 

 

и, таким образом, отлично от нуля.

W ( р и

 

 

 

Так

же

как и в предыдущем параграфе,

р 2 , ¥ )

натяги­

вается

на функции

где

Ф имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

Ф (х, у) =

е-2я(хх+иЪу~у)хРх9утуп

 

 

с

целыми

р, q, т и п,

а

и определяется

соотношением

¥ (г) =

_

e 4ni.Re uz

д!ы можем показать, что функция

 

 

 

экспоненциально убывает при |/|s-oo.

 

 

 

 

Для доказательства единственности мы, как и в предыдущем

параграфе,

будем использовать дифференциальные уравнения. На

этот

раз соответствующие

уравнения чуть сложнее.

Предположим,

что

W1(n,xV)

— некоторое

пространство функций, удовлетворяющее

первым двум условиям теоремы. Мы считаем, что р„ действует на

пространстве Vn бинарных

форм степени п по правилу

р " ( ( с d))(f'^x'

У) = У № + су, bx + dy),

156 Гл. I. Локальная теория

Если

 

 

 

 

 

п

k —

k

 

 

 

 

q>(x, у)*=

2

4>"xT+ x2 '

,

 

 

то ф* называется

k-й

координатой функции

ф.

На

двойственном

пространстве Vn мы введем двойственные

координаты.

А простран­

Если

р„ содержится

в я,

то

существует инъекция

ства Vn

в Wx (я,

¥ ) ,

которая

коммутирует

с

действием группы

SU(2, С). Пусть Ф(#)—функция на Gc со значениями в V„, определяемая соотношением

<Ф, ®(g)> = A<i>(g)-

Ясно, что Wt (я, ¥ ) определяется функцией Ф, которая в свою очередь определяется пространством Wt (я, ¥ ) с точностью до скалярного множителя. Функция Ф(^) определяется функцией

* < О = Ф ( ( Г ? - . , ) ) .

заданной на множестве положительных вещественных чисел. Если Ф*<7) является k-я координатой функции ф(/) и если я является составляющей представления р(цц2 ), то дифференциальные урав­ нения

Р ( О 1 ) Ф = 1 { ( 5 + ' ? = 5 ) ' - 1 } Ф ,

если наши вычисления

верны, могут

быть переписаны в виде

 

' ' а г + * -

 

ф*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" 4 - * -

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ Ф * - ( | - *

) ««,>*« =

l ( e

+ ^ ) y ' .

Мы

полагаем

ф* = 0, если | & | > л / 2 .

Напомним, что ¥

(г) = е Ш Я е и г .

Эти

уравнения

позволяют

выразить

все

ф* в

терминах ф п / 2

или

ф-"/г .

k — nl2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

второе

уравнение

может

быть

переписано

в

виде

1 a y ' 2

/

1

п\\ у 2

(

| Ц | «

( т + ' ) 2 |

 

/ й

 

 

2

dl' T

i

2

2 J t

dt

^ \

2

^

2*12

;

ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (s +

^ )

V 2

-

(•)

Если у нас есть два независимых решения этого уравнения, то их

§ б. Представления гриппы GL(2, С)

157

вронскиан W (t) является нетривиальным решением уравнения

dW

_

(n + \ ) w

dt

~

t

и потому ненулевым кратным функции tn+1. Так как мы уже до­ казали существование решения уравнения (*), которое экспонен­ циально убывает, то мы видим, что не может быть другого решения, которое было бы ограничено некоторой степенью t при / — ю о . Единственность пространства W (л, W) доказана.

Каждое неприводимое допустимое представление алгебры

Же

имеет вид

я = я ( ц 1 ,

д2 ).

Кроме того, я(ц,,

\12) = я(\х[,

ц2 ) в том и

только в том случае, если

{щ,

ц2 } =

{р,(,ц2}.

Таким

образом,

мы

можем положить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

rc)

= L(s,

р.,_) L (s,

2)

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(S,

я, T) =

e(s,

iilt

V)B(S,

ц„

V ) .

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(s,

jt) =

L(s,

р - Г 1 )^^,

М-Г1)-

 

 

 

Локальное

функциональное

уравнение,

которое доказывается

так

же, как и в вещественном случае, записывается следующим образом:

Т е о р е м а

6.4. Пусть

я — бесконечномерное

неприводимое

допу­

стимое

представление

алгебры

Же - Пусть

со— квазихарактер

группы

С*, определяемый

условием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для a g С*.

Если W £ W (я,

Ч"1), /по

интегралы

 

 

 

 

 

 

 

V(g,

s,

W) =

 

j

 

 

^ A a | c - 1 / a d * a ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s,

^ ) = |^((o

 

i)g)l «|c-1 / 8 co->(a)d*a

 

 

абсолютно

 

сходятся

в

некоторой

правой

полуплоскости.

Положим

 

 

 

 

4F{g,

s,

W) = L(s,

л ) Ф ( £ , s, №.),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s,

W) = L(s,

п)Ф(§,

s,

W).

 

 

 

Функции

0(g,

s,

W)

и

 

0(g,

 

s, W) могут

быть

аналитически

про­

должены

на

всю

комплексную

плоскость

 

как

голоморфные

функции

от s.

При

подходящем

выборе функции

W функция

Ф(е,

s, W) яв­

ляется

экспоненциальной

 

функцией

от s.

Справедливо

функциональное

158

 

 

 

 

 

 

Гл.

I. Локальная

теория

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0{wg,

1-s,

W) = e(s, я,

¥)<D(g,

s, W).

 

 

Кроме

того,

если

W

фиксирована,

функция

\ W (g, s,

W)\

остается

ограниченной,

когда

g

пробегает

какое-либо компактное множество

на

GQ, as

меняется

в некоторой

вертикальной

полосе конечной ши­

рины,

из

которой

удалены круги

с центрами

в полюсах

функции

L(s,

я).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующую лемму

можно

проверить

прямым

вычислением.

Первое утверждение может быть также доказано методом леммы 5.16.

Л е м м а 6.5. Если a = a(fi1 ,

LI2) и я = я(|л1 , (х2) определены, то

L (1 —s, g)e(s, а, 4Q _ L ( 1 — s , я) е (s, л, У)

L (s, a)

L (s, л)

и отношение

L(s, х ® я )

является произведением константы, полинома и экспоненты. Кроме того, этот полином имеет положительную степень при некотором выборе квазихарактера %.

Мы проверим последнее утверждение.

Не теряя

в общности,

мы можем

предполагать,

что a = n(vlt v2),

что

%\x1(z) =

za+Pzb+g,

%LI2 (г) = zazb, %v, (г) = za+pz6

и уу* (z) = zazb+q.

Числа

p ^ l

n q ^ \

являются

целыми. Варьирование % эквивалентно

изменению а и b

в множестве всех целых чисел. Если тх равно наибольшему из

чисел а-\-р и b-{-q, т2

равно наибольшему из чисел а и Ь, пг равно

наибольшему из чисел

а-\-р и b и п2 равно наибольшему

из чисел

а и b -\-q, то отношение

 

отличается от

 

 

 

Г(5 + П1 (5 + «А )

 

 

r(s+m 1 )r( s + ma )

 

множителем, равным произведению константы на экспоненту. Ясно,

что пх и п2 оба больше или равны т2 и что либо nlt либо п2

больше

или равно тх. Таким образом, указанное отношение является поли­

номом.

Если

p^'q,

выберем а и b так, что b-\- q>a^zb.

Тогда

п1 = т1

и n 2

> m 2 ,

а потому отношение имеет положительную сте­

пень.

Если

 

q~^p,

выберем а и b

так, что а-{-р^>Ь^а.

Тогда

п2 = mj и мх > т 2 .

 

 

 

 

Л е м м а

6.6. Пусть

я « я'—два

бесконечномерных неприводимых

представления

алгебры

ЖеПредположим, что существует

квазиха-

§ 6. Представления группы GL(2, С,)

159

рактер

со группы С*, такой,

что

 

 

 

 

О'

= со (а) I

 

 

 

О

а

 

 

 

 

 

 

 

а

О

— со (а) /

 

 

 

О

а

 

 

 

 

для

всех

a g С*, £слы

 

 

 

для

всех

квазихарактеров

%, то я и

л' эквивалентны.

 

Пусть я = я ( р 1 , р2 )

и я ' =

я(р.1,

р2 ). Положим

где а,-

и

а^- принадлежат Z.

По предположению

sx + s2

= si - f s2 и

ax -\-a2

— a\ \a'2.

Возьмем

 

 

 

 

 

где n g Z .

Отношение в правой

части

имеет

те же

нули

и полюсы,

что и

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

l - s - s , +

п-\-ау

'(1 — s— s2

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" + «1

Г

s + s ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторый полюс числителя может сократиться с некоторым полюсом знаменателя в том и только в том случае, если существуют два неотрицательных целых числа I и т, таких, что

st—s2 = l + / + m +

2

 

 

 

или

 

 

n-\-a1

s2 h—

1 +l

+ tn +

2

Это может случиться, только если

р ^ Г 1

или PiPj"1 (z) = z~pz~q,

где

p ^ l

и

+

n +

a2

2

 

+

n +

a2

2

 

имеет вид p1 pj"1 (г) = г^г? суть целые числа. Так

как представление

я (рг , р2 ) бесконечномерно,

то PtP^1 не может

иметь указанного

вида, и никакие полюсы не

сокращаются.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ