
книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)
.pdf150 |
|
|
|
|
|
Гл. |
I. Локальная |
теория |
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
либо |
|
|
|
|
2 |
^2> Р в ), |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V= |
|
|
|
|
|
|
|||||
либо |
V содержит конечномерное |
инвариантное |
|
подпространство. |
|||||||||||||
Примем |
эти леммы |
пока на веру, |
и пусть |
V—некоторое |
инва |
||||||||||||
риантное |
подпространство |
пространства |
53 ((д^, ц2). Как и в случаях |
||||||||||||||
неархимедовых |
полей и вещественного |
поля, |
существует инвариант |
||||||||||||||
ная невырожденная |
билинейная |
форма |
на |
SB {\xlt p, 2 )xS (fxi- 1 , |
\x2l). |
||||||||||||
Ортогональное |
дополнение |
Vх- подпространства V в |
Si (fifх , |
|
LX^1) |
||||||||||||
является |
|
собственным |
инвариантным |
|
подпространством. |
|
По |
||||||||||
лемме 6.2.1 они не могут |
одновременно |
содержать |
инвариантные |
||||||||||||||
конечномерные |
подпространства. Поэтому, |
|
согласно лемме 6.2.2, |
||||||||||||||
одно из них имеет |
конечную коразмерность. |
Другое |
должно |
|
быть |
||||||||||||
конечномерным. |
Если |
V |
конечномерно, |
то |
р , ^ 1 (г) = z~pz~q |
и |
|||||||||||
V = SSfdii, |
|
Если V х конечномерно, |
то LijLi^1 |
(2) = zpzq. Так как |
|||||||||||||
ортогональное дополнение пространства 33f |
{[л1У JX2) |
равно 9ds{\i1, |
|
LX2), |
|||||||||||||
то V = 9Bs{\iu |
| i s ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мы |
покажем |
теперь, |
что |
^ ( [ i x , |
(х2) |
инвариантно, |
когда |
Lijiir1 (z) = z~pz~q. Из соображений двойственности будет следовать, что ^ д.2) инвариантно, когда (2) = z^z?. Каждое неприводи мое конечномерное представление я алгебры И определяет некото рое представление я группы GQ. Е С Л И Я действует на X, то суще ствует ненулевой вектор v0£X, такой, что
для всех zgC* и всех |
j t g C . Вектор |
v0 определен с точностью до |
скалярного множителя, |
а т и п — неотрицательные целые числа. |
|
Кроме того, существует |
квазихарактер |
со0 группы С*, такой, что |
Таким образом
где сс^со"1 (z) — zmzn. Представление я определяется |
с точностью до |
||||||||
эквивалентности |
заданием |
квазихарактеров |
cOj и |
со2, так что мы |
|||||
пишем |
я = и (со1( |
со2). |
Пока |
а>1а>21(г) = гтгп |
с |
неотрицательными |
|||
целыми тип, |
представление и (со^ со2) существует. По формуле Клеб- |
||||||||
ша — Гордана |
ограничение |
представления х (coj, со2) или контрагра- |
|||||||
диентного ему представления |
на SU(2, С) |
распадается в прямую |
|||||||
сумму |
представлений |
р,-, где \т — n\^.i^.m-\-n |
и |
1 = m + n(mod2). |
§ 6. |
Представления группы G L ^ , С) |
151 |
Пусть л равно и(со1 ( |
со2) и я — контраградиентное |
представление, |
действующее на X. Каждому вектору v£X мы сопоставим функцию
<P(g) = <0o. "(г)»>
на G c . Отображение v—ф линейно и инъективно. Кроме того, п (§)v —*• Р (§) Ф> тогда как
|
|
|
|
Ф (J^Q г * ) g ) = ЮГ1 |
(2 i) ^ Г 1 (*.) ф (g) • |
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
если |
ц1 |
= а>1~1а^1/2 |
|
и р ^ с о ^ а ^ / 2 , |
то |
функция ф |
||||||||
принадлежит |
S3(\i1, |
р2 ). При изменении <ох |
и со2 квазихарактеры p t |
|||||||||||||
и р 2 |
пробегают |
все такие |
|
пары, что р ^ 1 (г) = z~pz~q, |
р^ |
1, q~^t 1. |
||||||||||
Докажем |
теперь эти две леммы. Предположим, |
что V—некото |
||||||||||||||
рое |
собственное |
конечномерное |
|
подпространство |
пространства |
|||||||||||
33 (Pi, р2 )- Представление |
алгебры |
Ц на V является, конечно, |
пря |
|||||||||||||
мой |
суммой |
неприводимых |
представлений, |
каждое из которых |
вхо |
|||||||||||
дит |
с |
кратностью |
1. Пусть V — некоторое |
неприводимое |
подпро |
|||||||||||
странство пространства V, и пусть |
V' — пространство, |
двойственное |
||||||||||||||
к V. |
|
Пусть |
К—линейный |
|
функционал X: ф —* ц> (е) на V. |
Если я |
||||||||||
является представлением |
IX или Gc на V, то |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
я 1 1 п |
, |
) ) ^ = |
|
ИГ1 (21 )р2 -1 (22 )(21 г1 22 -1 22 -1 )-1/Ч. |
|
|
|
|||||||
Таким |
образом, |
если |
= pj^a - 1 / 2 |
|
и со2 = р ^ а * / 2 , |
то |
представле |
|||||||||
ние |
я |
совпадает |
с |
|
со2). Отсюда |
немедленно следует, что р ^ 7 * |
||||||||||
имеет |
вид p ^ i f 1 |
(г) = z~pz~q, |
где /? ^ |
1 и ^ ^ 1, и что V, |
а |
потому |
||||||||||
и У совпадают с 33f(ixlt |
р2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства второй леммы мы рассмотрим @ как веще ственную алгебру Ли комплексных квадратных матриц второго по рядка. Тогда
a |
0N |
% = ч 0 |
а) | а € С |
является центром алгебры ® и |
|
-ta
является алгеброй Ли группы SU (2, С). Если
И ( £ -a) a ^ R ' 6 € С
152 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гл. |
I. Локальная |
теория |
|
|
|
|
|
|
||||||||
то U 0 ^ |
|
будет |
разложением |
Картана |
алгебры |
Ли |
специальной |
|||||||||||||||||||
линейной |
|
группы. Пространство |
®R С инвариантно |
относительно |
||||||||||||||||||||||
присоединенного |
|
действия |
алгебры |
ц |
|
на |
©с • Кроме |
того, и дей |
||||||||||||||||||
ствует |
на |
§)е согласно |
представлению |
р2 . Известно, |
|
что р 2 ® р „ |
||||||||||||||||||||
эквивалентно |
р п |
+ |
2 |
ф |
р„ 0 |
р„_2 , если |
|
п ^ 2 , что р 2 |
® р 1 |
эквива |
||||||||||||||||
лентно |
р 8 |
0 р г и, конечно, |
что р 2 ® р 0 |
|
эквивалентно р2 . Отображе |
|||||||||||||||||||||
ние |
произведения |
|
§ ) c ® ^ ( P i , |
Н-г, Р«)в |
-®(Pi. Ш). которое переводит |
|||||||||||||||||||||
X ® / |
в р ( Х ) / , коммутирует с действием и. Таким образом, р(Х) / |
|||||||||||||||||||||||||
содержится в сумме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
м-». рп+*)®£(Ри |
и-1. Р » ) 0 # ( i * i . |
м-«. Р»-«)- |
|
||||||||||||||||||
Понятно, |
что ^ ( р х |
, р 2 , рг ) = 0, |
если |
/ < 0. |
|
|
подпространство |
|||||||||||||||||||
Пусть |
теперь |
|
V—собственное |
|
инвариантное |
|||||||||||||||||||||
пространства |
fB(\ilt |
|
|
р2 )- |
|
Пусть |
п0 — наименьшее |
неотрицательное |
||||||||||||||||||
целое п, для которого V |
содержит |
9В{^и |
р 2 , р„). Если |
п^п0, |
по |
|||||||||||||||||||||
ложим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( n ) = |
|
|
|
# |
(f*i. |
Р*)- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л > k |
> я |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft s |
п0 |
(mod 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если V содержит |
|
каждое V (п), то доказывать |
нечего. Таким |
обра |
||||||||||||||||||||||
зом, |
предположим, |
|
что существует |
наибольшее |
целое |
пи |
для кото |
|||||||||||||||||||
рого |
V |
содержит |
|
Vfa). |
|
Все, что нам требуется,— это |
показать, |
|||||||||||||||||||
что V' (nt) |
инвариантно |
|
относительно |
|
®. Оно инвариантно |
относи |
||||||||||||||||||||
тельно |
t |
|
и |
И по построению, так что требуется |
лишь |
проверить |
||||||||||||||||||||
следующее: |
если |
|
|
X g g j c . т |
0 |
р № |
|
переводит |
V(щ) в себя. Ясно, |
|||||||||||||||||
что р(Х) переводит |
V (п1 |
— 2) в V (п^, |
так что достаточно |
показать, |
||||||||||||||||||||||
что он переводит |
|
|
|
|
р 2 , рД 1 ) в V (п^). |
|
Возьмем / из Si(^t, |
р 2 , рП ) ), |
||||||||||||||||||
и пусть |
р ( Х ) / = / 1 |
+ /2 , |
где |
f^Vin^ |
|
|
и /2 |
£ 3Z (рх , р 2 , р„ 1 + г ) . |
Заме |
|||||||||||||||||
тим, что /2 заведомо |
лежит |
в V. Так как пересечение |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У п ж О ч , 14. Рл1 + 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
равно |
либо 0, либо |
ffi(\ilt |
р 2 , р„1 + 2 ) |
и |
|
так как по построению оно |
||||||||||||||||||||
отлично |
от ^(ц1У |
|
р 2 , р„ 1 + 2 ), |
то / а = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Первые три утверждения теоремы теперь доказаны, и мы перейдем |
||||||||||||||||||||||||||
к остальным. Мы будем |
|
использовать |
тот факт, что Dlt |
D2, Jt и J2 |
порождают центр алгебры Ц, а также один результат Хариш-Чандры, который мы сформулируем позднее. Предположим, что я и я ' — неприводимые представления алгебры Ц, которые являются состав
ляющими |
представлений |
р(р,1 , р2 ) и p(pi, р2 ) соответственно. Пред |
|||
положим, |
что я и я ' содержат одни и те же представления |
алгебры |
|||
Ли группы SU(2, С) и |
ассоциированы с |
тем же гомоморфизмом |
|||
центра алгебры 11 в С . Сравнивая |
скаляры |
я (/ J и я ( / 2 ) с я ' ( Л ) |
|||
|
|
|
|
|
а+Ь |
и я ' (/ 2 ), мы находим, что |
= р'х р;. Пусть PiP^z) = (zz) |
2 zazb, |
|||
|
_ , |
a' + b' |
|
|
|
и пусть р , ^ - 1 (г) = {zzf |
*~ za'zb\ |
Сравнивая n(D1) и |
я (D8 ) с |
§ 6. Представления группы GL(2, С) |
153 |
я' (Dj) и л' (D2), |
мы видим, что |
|
|
|
a' —Ь'У |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
/ |
, |
а —Ьу |
( |
, |
, |
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
. b—ay |
f |
, |
, |
Ь' — а'У |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти соотношения будут иметь место, |
если |
p-iHi-1 = L I J L I J - 1 ИЛИ |
|||||||||||||||||
цГУг = niLi;- 1 , и^ поэтому |
так как р^ц.,, = ьцр,2, |
то (ьц, (х2) == (itj, р4) |
|||||||||||||||||
или |
|
L I 2 |
) = ( L I 2 , HI)- Е С Л И НИ одна из этих |
альтернатив не выпол |
|||||||||||||||
няется, |
то мы должны |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
а' — Ь' |
|
s' |
|
а—Ь |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ь' — а' |
|
s' |
|
Ь—а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
' |
|
~~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
— ^гМ^г» |
целые |
числа |
а-\-Ь |
и |
а'-4-6' |
должны |
иметь |
||||||||||
одну |
и |
ту же четность. |
Пусть |
|
|
|
1 2 1 |
и ц' = L I I L I |
2 - |
1 |
. В |
первом |
|||||||
ii = LtLt" |
|
|
|||||||||||||||||
случае |
L I L I ' |
имеет вид LILI'(Z ) |
= z2^ и ц р / - 1 |
имеет в:\д гг < 7 , |
|
а во втором |
|||||||||||||
LILI'(Z) =z 2 ^ и Liii'- 1 (z) = гэ д . Так |
как |
{jiij, |
L I 2 } отлично |
|
от |
1ц}, |
|||||||||||||
то ни р, ни с/ не равны 0. В первом |
случае |
ц = гргя |
и \и' = |
zpz~q, |
|||||||||||||||
а во втором |
р, = z? zp и ц' = |
г~9гр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подводя |
итог |
изложенному, мы |
видим, |
что я |
и л ' |
|
содержат |
||||||||||||
одни |
и те же представления алгебры |
Ли группы SU(2, С) и ассо |
|||||||||||||||||
циированы с тем же гомоморфизмом |
|
центра |
алгебры Ц в С в том |
и только в том случае, если выполняется одна из следующих альтернатив:
(I) Для |
некоторой |
пары |
квазихарактеров |
vx |
|
и v2 мы имеем |
|||||||||
{Я, Я'} = {Я (v1 ( V2 ), |
Я (Vx, V2)} ИЛИ {Я, Я'} = {Л (Vx, V2 ), |
Я (V2 , Vj)}. |
|||||||||||||
(II) |
Для |
некоторой |
пары |
квазихарактеров |
v t |
и |
v2 мы имеем |
||||||||
{я, n'\ = {a(vlt |
v2 ), a(vl f |
v2 )} |
или {я, n'} = {a(vlt |
v2 ), <r(v2, vA}. |
|||||||||||
(III) |
Для некоторой |
пары |
квазихарактеров |
vx |
|
и v2 , таких, что |
|||||||||
v ^ r 1 |
(г) = zpz", |
|
где |
</> 1, _{я, я'} = {а(у1 , |
v2 ), л(у[, |
v2 )}, |
|||||||||
где |
v t v 2 |
= VjV2 |
и VjV2 _ 1 |
(г) равно |
г^г - 9 , или |
z~pzq. |
|
|
|
||||||
(IV) |
Для некоторой |
пары |
квазихарактеров |
vx |
|
и v2 , таких, что |
|||||||||
V1VT1(Z) |
= Z-P~Z-9, |
где |
q ^ \ , {я, я'} = (a (vl |
t |
v,), я (v[, |
v'2)\, |
|||||||||
где V J V ^ V I V J |
и |
ViV2 _ 1 |
(z) равно zpz~q или |
z~pzq. |
из одной георемы |
||||||||||
Все |
остальные |
утверждения |
следуют теперь |
||||||||||||
Хариш-Чандры, |
которая в интересующем нас частном случае |
может |
|||||||||||||
быть сформулирована следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Л е м м а |
6.2.3. Если |
я—неприводимое допустимое |
представление |
||||||||||||
алгебры |
XX, то |
существует |
пара |
квагихарактеров |
|
щ |
и р.2 , |
таких, |
|||||||
что |
р (iij, Li2) |
и |
л |
содержат |
по меньшей мере |
одно общег неприво- |
154 |
|
|
|
|
|
|
|
Гл. |
I. Локальная |
теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
димое |
представление |
|
алгебры |
Ли группы |
SU (2, С) |
и |
ассоциированы |
|||||||||||||||||
с тем |
же гомоморфизмом |
центра |
алгебры |
XX в С. |
|
В |
этом |
случае |
л |
|||||||||||||||
является |
составляющей |
представления |
|
|
|
u,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Как |
и |
прежде, |
х ® п (Н-i. На) = п |
(Xf-Ч. ХШ) |
|
и |
l |
® |
^ |
^ |
! 1 |
^ |
||||||||||||
s = o r ( X I * i . XH-i)- |
Е с л |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ТО Л = |
С071 ® |
я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
|
6.3. |
Пусть |
я — бесконечномерное |
неприводимое |
допус |
||||||||||||||||||
тимое |
представление |
алгебры |
Же, |
|
и |
пусть |
W — нетривиальный |
ад |
||||||||||||||||
дитивный |
характер |
поля С. Существует |
единственное |
пространство |
||||||||||||||||||||
W (я, |
¥ ) |
функций |
на |
Gc, |
которое |
удовлетворяет |
|
следующим |
трем |
|||||||||||||||
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(I) |
Каждая |
|
функция |
W g W (я, ¥ ) |
удовлетворяет |
соотношениям |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ ( ( ° |
l ) g ) = |
|
¥ { * ) r ( g ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(II) Функции |
из |
|
W (я, |
¥ ) |
непрерывны, |
|
и |
W (я, |
¥ ) |
инвариантно |
||||||||||||||
относительно |
|
операторов |
р (/) |
для |
/ £ j^?c • |
Кроме |
того, |
представле |
||||||||||||||||
ние алгебры |
Же |
на |
|
W (я, |
¥ ) |
эквивалентно |
|
л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(III) £сли |
№ £ W (я, W), |
то существует |
такое |
положительное |
||||||||||||||||||||
число |
N, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При \ t\ |
|
|
|
|
|
|
* ( ( о |
? ) ) |
= |
°(1^Г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
>- ОО . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как каждое я имеет вид |
я = я (ьц, ц2 ), |
то существование |
||||||||||||||||||||||
доказывается |
|
довольно |
легко. Если |
Ф € ^ ( С 2 ) , |
положим |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
9 0 i l f |
щ, Ф) = j Ф (/, |
Г 1 ) |
д.х |
(0 цг1 |
(0 |
d*t. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим W (цк, |
L I 2 , |
¥ ) |
как пространство |
функций |
на |
G c |
вида |
|||||||||||||||||
|
№ (g) |
= |
Ц7Ф (g) = |
щ |
(det g) |
I det g |Ь/ 2 |
9 (щ, |
ц„ |
r (g) Ф), |
|
|
|
где Ф принадлежит cS"(C2) и является SU(2, С)-конечной относи
тельно |
действия, |
определяемого |
представлением |
г. Ясно, |
что |
|||
W (щ, |д2, 4r ) = W(Li2, (Xj, Y) и что |
W (LXJ, |
L I 2 , |
¥ ) |
инвариантно отно |
||||
сительно правых сдвигов на элементы из Же |
и |
из |
It. |
|
||||
Существование |
пространства |
W (я, ¥ ) , |
как |
и |
прежде, |
будет |
||
вытекать |
из следующего аналога |
леммы 5.13.1: |
|
|
|
а + Ь
Л е м м а |
6.3.1. |
Предположим, что |
1 (t) = (tt) |
2 ta'tb, |
где |
Res > — 1. |
Тогда |
существует биекция |
А пространства |
W(\iv |
ц2, W) |
на $ (щ, щ). которая коммутирует с действием Же • |
|
|
|
§ |
6. |
Представления |
группы GL(2, С) |
155 |
Как и раньше, |
А |
сопоставляет |
функции № ф |
функцию |
|
/ Ф - te) |
= P1 (detg)|detg|c/ 2 2(p1 p2 -1 ac, p(g)<D~). |
||||
Доказательство, |
конечно, проводится так же, как и раньше. Однако |
мы должны проверить, что А сюръективно. Теорема 6.2 показы
вает, |
что |
в рассматриваемой |
ситуации |
не существует собственного |
||||||||
инвариантного подпространства пространства 33(ц1У |
р2 ), |
содержа |
||||||||||
щего |
33 |
р2> Р0+ь)> |
и |
потому |
нам достаточно |
только |
показать, |
|||||
что по меньшей мере одна |
ненулевая |
функция |
в |
33 (pt , р 2 , |
ра+ь) |
|||||||
имеет |
вид |
/ ф , |
где Ф |
содержится |
в <S" (С2 ) и является SU (2, С)-ко- |
|||||||
нечной относительно |
правых |
сдвигов. |
|
|
|
|
|
|||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (х, у) = е-2я |
(**+УУ) уауь, |
|
|
|
|
|||
то, поскольку |
а + 0 = О, |
Ф |
преобразуется при правых сдвигах на |
|||||||||
элементы из SU(2, С) согласно представлению ра+ь, |
|
так |
что доста |
|||||||||
точно |
только |
проверить, |
что |
/ ф не нуль. Действуя |
согласно |
опре |
||||||
делению, |
мы |
видим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Ф (е) = J |
Ф (0, 0 |
(tt)S |
Г |
ta'tb |
d*t = |
J е-2"'7 (ft)' |
+ |
S + ^ ~ d * t . |
|
|||
|
|
с* |
|
|
|
|
с* |
|
|
|
|
С точностью до константы, зависящей от выбора меры Хаара, это
выражение |
равно |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( 2 я Г - ^ г ( 1 + 5 + ф ) |
|
|
|||
и, таким образом, отлично от нуля. |
W ( р и |
|
|
||||||
|
Так |
же |
как и в предыдущем параграфе, |
р 2 , ¥ ) |
натяги |
||||
вается |
на функции |
где |
Ф имеет вид |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ф (х, у) = |
е-2я(хх+иЪу~у)хРх9утуп |
|
|
||
с |
целыми |
р, q, т и п, |
а |
и определяется |
соотношением |
¥ (г) = |
|||
_ |
e 4ni.Re uz |
д!ы можем показать, что функция |
|
|
|
||||
экспоненциально убывает при |/|—s-oo. |
|
|
|
||||||
|
Для доказательства единственности мы, как и в предыдущем |
||||||||
параграфе, |
будем использовать дифференциальные уравнения. На |
||||||||
этот |
раз соответствующие |
уравнения чуть сложнее. |
Предположим, |
||||||
что |
W1(n,xV) |
— некоторое |
пространство функций, удовлетворяющее |
первым двум условиям теоремы. Мы считаем, что р„ действует на
пространстве Vn бинарных |
форм степени п по правилу |
р " ( ( с d))(f'^x' |
У) = У № + су, bx + dy), |
156 Гл. I. Локальная теория
Если
|
|
|
|
|
п |
k — |
k |
|
|
|
|
q>(x, у)*= |
2 |
4>"xT+ x2 ' |
, |
|
|
||
то ф* называется |
k-й |
координатой функции |
ф. |
На |
двойственном |
||||
пространстве Vn мы введем двойственные |
координаты. |
А простран |
|||||||
Если |
р„ содержится |
в я, |
то |
существует инъекция |
|||||
ства Vn |
в Wx (я, |
¥ ) , |
которая |
коммутирует |
с |
действием группы |
SU(2, С). Пусть Ф(#)—функция на Gc со значениями в V„, определяемая соотношением
<Ф, ®(g)> = A<i>(g)-
Ясно, что Wt (я, ¥ ) определяется функцией Ф, которая в свою очередь определяется пространством Wt (я, ¥ ) с точностью до скалярного множителя. Функция Ф(^) определяется функцией
* < О = Ф ( ( Г ? - . , ) ) .
заданной на множестве положительных вещественных чисел. Если Ф*<7) является k-я координатой функции ф(/) и если я является составляющей представления р(ц1У ц2 ), то дифференциальные урав нения
Р ( О 1 ) Ф = 1 { ( 5 + ' ? = 5 ) ' - 1 } Ф ,
если наши вычисления |
верны, могут |
быть переписаны в виде |
|
|||||||||||
' ' а г + * - |
|
ф* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
" 4 - * - |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
^ Ф * - ( | - * |
) ««,>*« = |
l ( e |
+ ^ ) y ' . |
|||||||
Мы |
полагаем |
ф* = 0, если | & | > л / 2 . |
Напомним, что ¥ |
(г) = е Ш Я е и г . |
||||||||||
Эти |
уравнения |
позволяют |
выразить |
все |
ф* в |
терминах ф п / 2 |
или |
|||||||
ф-"/г . |
k — nl2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
второе |
уравнение |
может |
быть |
переписано |
в |
виде |
||||||
1 a y ' 2 |
/ |
1 |
п\\ у 2 |
( |
| Ц | « |
( т + ' ) 2 | |
|
/ й |
|
|
||||
2 |
dl' T |
i |
2 |
2 J t |
dt |
^ \ |
2 |
^ |
2*12 |
; |
ф |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (s + |
^ ) |
V 2 |
- |
(•) |
Если у нас есть два независимых решения этого уравнения, то их
§ б. Представления гриппы GL(2, С) |
157 |
вронскиан W (t) является нетривиальным решением уравнения
dW |
_ |
(n + \ ) w |
dt |
~ |
t |
и потому ненулевым кратным функции tn+1. Так как мы уже до казали существование решения уравнения (*), которое экспонен циально убывает, то мы видим, что не может быть другого решения, которое было бы ограничено некоторой степенью t при / — ю о . Единственность пространства W (л, W) доказана.
Каждое неприводимое допустимое представление алгебры |
Же |
||||||||||
имеет вид |
я = я ( ц 1 , |
д2 ). |
Кроме того, я(ц,, |
\12) = я(\х[, |
ц2 ) в том и |
||||||
только в том случае, если |
{щ, |
ц2 } = |
{р,(,ц2}. |
Таким |
образом, |
мы |
|||||
можем положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s, |
rc) |
= L(s, |
р.,_) L (s, |
|л2) |
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(S, |
я, T) = |
e(s, |
iilt |
V)B(S, |
ц„ |
V ) . |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s, |
jt) = |
L(s, |
р - Г 1 )^^, |
М-Г1)- |
|
|
|
||
Локальное |
функциональное |
уравнение, |
которое доказывается |
так |
же, как и в вещественном случае, записывается следующим образом:
Т е о р е м а |
6.4. Пусть |
я — бесконечномерное |
неприводимое |
допу |
||||||||||||||
стимое |
представление |
алгебры |
Же - Пусть |
со— квазихарактер |
группы |
|||||||||||||
С*, определяемый |
условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для a g С*. |
Если W £ W (я, |
Ч"1), /по |
интегралы |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
V(g, |
s, |
W) = |
|
j |
|
|
^ A a | c - 1 / a d * a , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s, |
^ ) = |^((o |
|
i)g)l «|c-1 / 8 co->(a)d*a |
|
|
|||||||||
абсолютно |
|
сходятся |
в |
некоторой |
правой |
полуплоскости. |
Положим |
|||||||||||
|
|
|
|
4F{g, |
s, |
W) = L(s, |
л ) Ф ( £ , s, №.), |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s, |
W) = L(s, |
п)Ф(§, |
s, |
W). |
|
|
|
||||
Функции |
0(g, |
s, |
W) |
и |
|
0(g, |
|
s, W) могут |
быть |
аналитически |
про |
|||||||
должены |
на |
всю |
комплексную |
плоскость |
|
как |
голоморфные |
функции |
||||||||||
от s. |
При |
подходящем |
выборе функции |
W функция |
Ф(е, |
s, W) яв |
||||||||||||
ляется |
экспоненциальной |
|
функцией |
от s. |
Справедливо |
функциональное |
158 |
|
|
|
|
|
|
Гл. |
I. Локальная |
теория |
|
|
|
|
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0{wg, |
1-s, |
W) = e(s, я, |
¥)<D(g, |
s, W). |
|
|
||||
Кроме |
того, |
если |
W |
фиксирована, |
функция |
\ W (g, s, |
W)\ |
остается |
||||||
ограниченной, |
когда |
g |
пробегает |
какое-либо компактное множество |
||||||||||
на |
GQ, as |
меняется |
в некоторой |
вертикальной |
полосе конечной ши |
|||||||||
рины, |
из |
которой |
удалены круги |
с центрами |
в полюсах |
функции |
||||||||
L(s, |
я). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующую лемму |
можно |
проверить |
прямым |
вычислением. |
Первое утверждение может быть также доказано методом леммы 5.16.
Л е м м а 6.5. Если a = a(fi1 , |
LI2) и я = я(|л1 , (х2) определены, то |
L (1 —s, g)e(s, а, 4Q _ L ( 1 — s , я) е (s, л, У) |
|
L (s, a) |
L (s, л) |
и отношение
L(s, х ® я )
является произведением константы, полинома и экспоненты. Кроме того, этот полином имеет положительную степень при некотором выборе квазихарактера %.
Мы проверим последнее утверждение. |
Не теряя |
в общности, |
||||
мы можем |
предполагать, |
что a = n(vlt v2), |
что |
%\x1(z) = |
za+Pzb+g, |
|
%LI2 (г) = zazb, %v, (г) = za+pz6 |
и уу* (z) = zazb+q. |
Числа |
p ^ l |
n q ^ \ |
||
являются |
целыми. Варьирование % эквивалентно |
изменению а и b |
в множестве всех целых чисел. Если тх равно наибольшему из
чисел а-\-р и b-{-q, т2 |
равно наибольшему из чисел а и Ь, пг равно |
|
наибольшему из чисел |
а-\-р и b и п2 равно наибольшему |
из чисел |
а и b -\-q, то отношение |
|
|
отличается от |
|
|
|
Г(5 + П1 )Г(5 + «А ) |
|
|
r(s+m 1 )r( s + ma ) |
|
множителем, равным произведению константы на экспоненту. Ясно, |
||
что пх и п2 оба больше или равны т2 и что либо nlt либо п2 |
больше |
или равно тх. Таким образом, указанное отношение является поли
номом. |
Если |
p^'q, |
выберем а и b так, что b-\- q>a^zb. |
Тогда |
|||
п1 = т1 |
и n 2 |
> m 2 , |
а потому отношение имеет положительную сте |
||||
пень. |
Если |
|
q~^p, |
выберем а и b |
так, что а-{-р^>Ь^а. |
Тогда |
|
п2 = mj и мх > т 2 . |
|
|
|
|
|||
Л е м м а |
6.6. Пусть |
я « я'—два |
бесконечномерных неприводимых |
||||
представления |
алгебры |
ЖеПредположим, что существует |
квазиха- |
§ 6. Представления группы GL(2, С,) |
159 |
рактер |
со группы С*, такой, |
что |
|
||
|
|
|
'а |
О' |
= со (а) I |
|
|
|
О |
а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
О |
— со (а) / |
|
|
|
О |
а |
|
|
|
|
|
||
для |
всех |
a g С*, £слы |
|
|
|
для |
всех |
квазихарактеров |
%, то я и |
л' эквивалентны. |
|
|
Пусть я = я ( р 1 , р2 ) |
и я ' = |
я(р.1, |
р2 ). Положим |
где а,- |
и |
а^- принадлежат Z. |
По предположению |
sx + s2 |
= si - f s2 и |
||||
ax -\-a2 |
— a\ \a'2. |
Возьмем |
|
|
|
|
|
||
где n g Z . |
Отношение в правой |
части |
имеет |
те же |
нули |
и полюсы, |
|||
что и |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
l - s - s , + |
п-\-ау |
'(1 — s— s2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
" + «1 |
Г |
s + s , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Некоторый полюс числителя может сократиться с некоторым полюсом знаменателя в том и только в том случае, если существуют два неотрицательных целых числа I и т, таких, что
st—s2 = l + / + m + |
2 |
|||
|
|
|
||
или |
|
|
n-\-a1 |
|
s2 — h— |
1 +l |
+ tn + |
||
2 |
||||
Это может случиться, только если |
р ^ Г 1 |
|||
или PiPj"1 (z) = z~pz~q, |
где |
p ^ l |
и |
+ |
n + |
a2 |
2 |
|
|
+ |
n + |
a2 |
2 |
|
имеет вид p1 pj"1 (г) = г^г? суть целые числа. Так
как представление |
я (рг , р2 ) бесконечномерно, |
то PtP^1 не может |
иметь указанного |
вида, и никакие полюсы не |
сокращаются. |