книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

§ 5. Представления группы GL(2, R)

131

Lis,

rc)

= L(s,

ii1)L{s, LI2)

и

e(s, я, ¥ R )

=

e(s, ц^,

¥R ) 8 ( S , р 2 , ^FR).

L (s, я) =L(s,

со)

е (s, я, ¥R ) = I (C/R,

) е (s,

со,

¥C /R),

где ¥ С /р(2) = г Рк (2 + г). Множитель X(C/R,

YR)

был определен в § 1.

если

я(со) = я(р.1 , р.2 ).Это сразу же следует из формулы

удвоения1 ).

Т е о р е м а

5.15.

Пусть

я — бесконечномерное

неприводимое до­

пустимое

представление

алгебры

Жу>. Пусть

со—квазихарактер

группы

R*, определяемый

соотношением

л

( ( о

°))=

( 0 (

а ) /

-

Если

W £ W (я, ¥ ) , положим

R*

s, ^ ) =

j "

W ('(Q

j ) ^ ( o - 4 f l ) | a | * - l /

, d - a t

и пусть

R*

4

W(g,

s, W) = L(s,

п)Ф(§,

s,

W),

Тогда

W(g,

s, W) = L(s,

n)0(g,

s,

W).

(I) Интегралы,

определяющие W(g, s, W) uW(g,

s, W),

абсолютно

сходятся

в некоторой

правой

полуплоскости.

(II)

Функции

Ф^,

s, W) и Ф(§,

s, W) аналитически продолжимы

как

мероморфные

функции

на всю комплексную

плоскость. Кроме

того,

существует

W,

для

которой

Ф(е,

s, W)

является

экспоненци­

альной

функцией

от s.

(III)

Имеет

место

уравнение

U>(wg, 1-s,

W) = e(s,

я,

Ч)Ф&8,

W).

§

5.

Представления

группы

GL(2,

R)

133

Первое из этих выражений равно

JФ (х,

у) V

(и,

v) р, ( £ )

р 2

(i.) |£ |s<

I£

| " d * x

d'y du

dv,

если мы

предположим

(это

возможно),

что

d*x = | x | _ 1 d x .

Заменяя

переменные,

получаем

5 M-i (*) V-2 (У) I * h IУ | S

j

{ J

Ф

£f) Y '

(и, v) du dv} dx* d*y.

Второе

выражение

равно

J РГ1 (х)Pi"1

{у)\х\1-*\у\1-°>{

J Ф' (ди,

г/у) ¥

(«, о) du dv} d*x d*y,

что в свою

очередь

равно

^1(Х)\1,(У)\Х\'ЛУ\$'

[^ху^Ф'

(х~ги, y~lv)^(u,

y)dudv}d*xd»«/.

Так как преобразование Фурье функции

(и,

v) ->- Ф (л;и, yv) равно

|лтг/ [~1 Ф' {x~lu,

y~xv),

то из

теоремы

Планшереля

следует,

что

$ Ф (хи,

yv) W

(и,

V) du dv =

J | лгг/1 - 1

Ф' ( х _ 1 « , г/-Ч>) V (и, у) du dv.

Искомое

равенство

доказано.

Выберем

Ф х

и Ф2

в gf(R)

так,

что

L(s,

p,) = Z(p,aR ,

Ф{),

и возьмем 4я (я,

у) = Ф1 (л;)Ф2

(у). Функциональное уравнение леммы

получается

немедленно, если

0 < Sj <

1 и 0 < s 2 <

1. Выражение

в

правой

части

этого уравнения

голоморфно

в области

0 <

Re sx

и

О < Res2 . Выражение в левой части

голоморфно в области Rest <

1

и R e s 2 < l .

Стандартные

и

легко проверяемые

теоремы

теории

определяемая ими функция является на

самом деле

целой

функ­

цией от

st

и 52. Лемма полностью доказана.

Для

я = = я ( р 1 , р2 ) последнее утверждение

теоремы

вытекает

из

следующей

леммы:

Л е м м а

5.15.2. Пусть

Q—компактное

подмножество в

(Ra)

и

С—некоторая

область в

С 2 ,

получаемая

удалением кругов с

цент­

рами в

полюсах

функции

L(slt

p J L t a , р2 )

из

некоторой

трубчатой

области

вида a j ^ R e s ! ^ ^ ,

a2

< : Re s2 ^

b2.

Тогда

функция

Zin^fi,

p2 aR ", Ф)

остается

ограниченной, если

Ф

меняется

в Q,

a (su

s2) меняется в С.

134

Гл. 1. Локальная теория

г № + ' ч \ №Г'Т:

Ф)=-О((Х\+Т1Г»)

при х\ + т|

оо равномерно для Ф g Q

и a1^.o1^.b1,

а2^.о2^.Ь2

—

это гораздо

более сильная оценка,

чем требуется.

Для области

полученных оценок

с

функциональным уравнением

и известным

асимптотическим поведением гамма-функции.

Пусть теперь

со — квазихарактер

группы С*, который не

имеет

вида со (z) = %(zz),

где

% — некоторый

квазихарактер

группы

R*, и

пусть

я = я(со). Далее,

W (я, ¥ ) равно сумме пространства W^n,

¥)

и

его

правого сдвига

на е. Легко видеть, что

Ф(§,

s,

р(е)№) = с о ( - 1 ) Ф ( 8 - ^ е ,

s,

W)

и

что

0(wg,

s,

p(e)W) = ca(— 1) Ф (юе-^е,

s,

W).

то мы можем также взять g£G+.

Пространство Wx (я, ¥ )

состоит

из функций

№ ф ,

где Фб<^о(С, со). Мы докажем

утверждение для

функций

вида № ф ,

г д е Ф ( с ^ ( С ,

со). Так как

этот класс

функций

инвариантен

относительно

правых сдвигов

на

элементы из

G + , мы

можем взять g = e.

Как

уже

отмечалось в § 1, в

некоторой

правой

полуплоскости

будут иметь

место

соотношения

ЧГ(е, s,

№) = Z(coc£,

Ф),

¥ > ,

1-s,

Я7) = Ц С / К ,

¥ ) Z ( c o - i a i - s ,

Ф'),

и доказательство

проводится

так

же,

как

прежде.

Если

co(z) =

= {zz)rzmzn

и p — q — n — m,

то

функция

Ф(г) =

е-2п1и]г'ггР~г9

принадлежит

^ „ ( С ,

со) и

со

Z (соас, Ф) =

2я $ е -

2 " 1 "

I

(s+^+p+m) dt

=

о

=

Я (2я | U |) " l* + r+P+m) Г (s - j - /- +р - f m)

138

Гл. I. Локальная

теория

абсолютно

сходится

в области

R e s > — 1 .

В общем случае

мы по­

ложим

Ф (х,

у) = {Ф (х, у)-Ф

(х, 0) е-"'}

+ Ф (х, 0)е-У = Ф, (х, у)+Ф2

(х, у).

Так

как Фх (х,

0) = 0, нам требуется

лишь

рассмотреть интеграл

\ф2(х, 0)e-y'\x\s+1\y\sd*x

d*y,

который равен

произведению некоторой константы на

Г ( | ) §Ф2(х,

0)|x|*dx.

Последний

интеграл

определяет

функцию,

голоморфную в

области

то функция Z^JCCR, (x2 aR l Ф) голоморфна

в точке — / . При этих

предположениях

функция Zd ^aR,

[х2а|->, Ф)

равна

интегралу

J г)(х)т'Г) {у)т'\х\т+п\х\$\у\$Ф(х,

#)d*xd*y,

который равен

.

\ y]{x)m>\x\s+m+n\y\s+J^(x,

«/)d*xd*y.

И

(s+0

1 = 0

Множитель

перед

интегралом голоморфен при s = — /. Если

У(х,

y) = x^"-J-^{x,

dyJ

у),

то сам интеграл

равен

J \x\s+J+1\y\s+'4

(х,

#)d*xd*y.

Так как по

предположению

J W(x, 0)dx = 0,

то он голоморфен при s~ — /.

Отметим,

что если т-\-п

четно,

то

функция

Ф (х, у)

= е - л 1*'+У"> хут+п

удовлетворяет условиям

леммы, а

если г = 0 и т2

= 0, то функция

ZimaR, n*ai?> ф)

равна

интегралу

j

+

| xjm + n + s + l j

+ « + 5 d*X

d*y,

§ 5. Представления

группы

GL(2,

R)

139

который

отличается

на

экспоненту от

Г (s + m +

n)

и L (s,

я (со)).

Если

т 2

= 1 ,

мы

возьмем

Ф (х,

у) = е~п(*2+У2)

ym+"+i и

получим

тот

же результат.

Если

т-\-п

нечетно

и т 2

= 0,

полиномиальный мно­

житель

будет

равен

ym+n+i-t

если

же

т-\-п

нечетно

и т 2 = 1 ,

он

снова

будет равен

хут+п.

П р е д л о ж е н и е

5.18. Предположим,

что

я

ы я'—такие

два

бесконечномерных

неприводимых

допустимых

представления

алгебры

Жк,

что для

некоторого

квазихарактера

со группы

R*

имеют место

соотношения

я ( ( о !))

=

С

й ( а ) /

'

"'((о

! ) ) =

^

7

-

Если

Зля всех квазихарактеров

%, то

п

и

я '

эквивалентны.

Предположим,

что

я = я(р.1 ,

р2 )

или

а (р^,

р,2 ). Из

леммы

5.16

и определений следует,

что выражение

в

левой

части

равно

г

i

JL_-S

— г 1 + т

Л

г Z' 1—s—'2 +

^2

(t Sgnu)m i + m * I U |2s + s1 + S j - l

n

2 s +S l + s 2 - l

_

I s + ri + тЛ г

/ s + л,

-т,

г

2

/

V

2

если х тривиален и iii(x)

f

= \x\r'(sgnx)mK

Если

х (*) = sgn л: и я , = 0

или 1, тогда как m , -

-

1 (mod2),

это отношение

равно

I .

„

„ / l _ s — Л 2 + П5

(i Sgn « ) m ' + m » j И jZs + Si + s,- 1 j^s + s. + s• 1

S - f / i + п Л

/ S + Г

Если положить я ' равным

я(сц,

р2 )

и л и а ^ ,

сц), мы получим ана­

логичные формулы,

где

rt

заменены

на

г\, а

т,-

на

mj..

Рассмотрим сначала эти отношения для я . Первое имеет беско­

нечное число нулей вида

— г х — т х — 2 р ,

где

р — некоторое

неотри­

где р — некоторое неотрицательное целое

число, и не имеет других

нулей. Аналогично,

нули

второго отношения расположены в точках

— гх — пх—2р

или — г 2 — пг

— 2р. Таким

образом, если эти отноше­

ния равны,

то гх +

=

г2

+ п2 = r2 + т 2

+ 1 (mod 2). Кроме того,

если r1-\-m1

= ra4-m2+l

(mod2), то я = а ( р 1 , ц2 ) и, как мы видели

в теореме 5.11, ог(щт],

ц2т]) = о (р 1 (

р.2), так что эти два

отношения

равны. Следовательно,

либо гг + тх

= r2 + т2 + 1 (mod 2)

и r[ + т[ ==

= r2 + m 2 + l

(mod 2), либо ни одно из этих сравнений не выполняется.