Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120	Гл. I. Локальная теория
пространства	^ „ ( С , со). Положим, как обычно, ^ = ^ЪЧ^ЖЩ	и

^= ~2~<1ё~~~2Тс1/' Тогда преобразование Фурье Ф'р функции

равно

^		1	г)"+Р	дт"+Р
f 1 '	(2niu)m +n+*P dzn+P				fom+p	*
последнее выражение	является		функцией		вида
(isgnu)m+n+ipе~гп		1 u ' z z z n + p z m + p		+ 2	Й Г М \| " ' " 2 п + 9 г т + У .
Нас интересует только		коэффициент		ар_х.	Он равен
(7 sgnu)m	+	n+iP-1 {р (n +		m + l + p - J ) } .
2лш

Поскольку

г ш (a»)0(z) = (isgnu)0 ' (г)

		га (X.)		=	( - 1 ) " + » г ш ( » г ш ( Х + ) г (ш),
тогда как
			г ш ( Х +			) Ф . = (2яш - )Ф . + 1 ,
то мы видим, что
г» ( X . ) Ф , = (2яш) Ф + ! - ( i sgn и) (л + m + 2р +										1) Ф + ^	W
Поскольку U =Х +—Х_,					то					<7 = 0
Поскольку U =Х +—Х_,					то
	г ш	(*/) Ф , = (»' sgn и) (п + т + 2р + 1) Фр-								"2 Ь9 Ф? .
и мы можем		найти	функции Wp, р = 0,					1,	такие, что
							4 = 0
и
		(U)	VP	=	sgn и) (п + т + 2р + 1)
Эти функции образуют					базис		пространства		<5"0	(С, со). Следова
тельно,	г ш допустимо.				неприводимым, то существовало бы собст
Если бы оно не было					неприводимым, то существовало бы собст
венное	инвариантное			подпространство,				которое		бы либо	содер
жало Ф0 , либо нет. Во всяком							случае, если		£fx обозначает		пересе
чение	всех	инвариантных				подпространств,			которые содержат Ф0 ,

Представления группы

GL(2, R)

12}

и Sf2 — сумму

всех

инвариантных

подпространств,

которые

Ф 0

не содержат, то £Рг

<5% оба инвариантны и

представление

я г

алгебры

11 на

<SV<5"2 Л <5"]

неприводимо. Если

ограничение

пред

ставления я х

на алгебру

Ли группы

SO (2, R) содержит кр,

то оно

не содержит •к_р. Таким образом, лг не эквивалентно

представле

нию

X —* лх

(Ad е (X)). Следовательно,

неприводимое

представле

ние я системы

{11, е}, ограничение

которого на 11 равно я х , должно

быть одним из специальных представлений a(jilt

fxJ

или некото

рым

представлением

я ( щ , ц ^ ) . Рассматривая

эти случаи,

мы

видим, что так как я содержит х ? с ^ = sgnu(n + m + 1 ) , то оно

содержит

все

представления

кд

q = sgnu(n-\-m

2p-{-l),

р = 0, 1,2, . . . . Таким

образом, af1 содержит все функции Wp,

a cS"2

не содержит ни одной

из них. Так как это противоречит

предпо

ложению,

что £Р0

(С,

со) содержит

собственное

инвариантное

под

пространство, то представление гш

неприводимо.

По только

что изложенным

причинам

представление

я 1 ) систе

мы

{11, е}, ограничение

которого

на 11 содержит

гт,

совпадает

с некоторым

a(\ilt

|л2) или я(ц х , ^т]). Оно совпадает

я(|д.г ,

fiji)

в том и только в том случае,

если

n - f m = 0. Так как

Я (( о а ) ) = W ^ S g n а / = и

^ (а )7>

то мы должны

иметь

1 ц ^ 2

= со0г1 в

первом случае

L I 2 =

CO0 во вто

ром,

где со0 — ограничение со на R*. Так как два решения

уравне

ния

(х^ = со0 отличаются

на

ц,

они приводят к тому

же представ

лению. Если

п-{-т — 0, то

(х? = со0

в том и только

в том случае,

если

со(z) — n1(v(г))

для всех г £ С * ,

где, конечно, v(г) = гг.

Предположим,

что n - f - m > 0 , так что я совпадает

с некоторым

o(nlt

ц2 ). Пусть

(t) = 11 ^'(TTJ)7 "''

^ С И Л ^ т е о

Р е

м ы

^.11 м ы

м о "

жем

предполагать,

что т 1 = 0.

Пусть

s = S!— s2. Мы можем

пред

полагать также, что s неотрицательно. Если m = |m 1 — m 2 |, то s—т


является	нечетным целым числом, так что т и т 2							определяются
заданием	s. Мы знаем,			какие	представления		алгебры Ли группы
SO (2, R) содержатся			в	я. Используя		лемму	5.7, мы видим, что
s = n-\-m.	Так как м-г^г = т1о:>о' т о s1 -j-ss					= 2r. Таким		образом, st =
= r^~Y~	и s 2= r — ~Y~'			^ ° в	с е х с л У ч а	я х представление я опре
деляется	только	квазихарактером со и не зависит от ¥ . Мы будем
обозначать его		через	я (со).		Каждое	специальное		представление
o(\ilt ц2)	эквивалентно		некоторому я (со), и я (со) эквивалентно я (со')

в том и только в том случае, если со = со' или со' (г) = со (г).

х )	Имеется в виду, конечно, неприводимое допустимое представление.—
Прим.	ред.

122 Гл. I. Локальная теория

Мы можем теперь сделать первый шаг в доказательстве локаль

ного функционального уравнения.

Т е о р е м а

6.13.

Пусть

л — бесконечномерное

неприводимое

допус

тимое

представление

алгебры

Ж к .

Если

W — нетривиальный

адди

тивный

характер

поля

то

существует

единственное

простран

ство W (я,

функций

на G R , обладающее

следующими

свой

ствами:

(I)

Если W£W(n,

W), то

для всех

x£F.

(II)

Функции

непрерывны,

W (я,

W) инвариантно

относи

тельно

р (/) для

всех f £ Жк.

Кроме

того,

представление алгебры Ж%

на W (я,

эквивалентно

я.

(III)

Если

W £W

(я,

¥ ) ,

то существует

положительное

число N,

такое,

что при

\ t\

—>• оо

Ч ( о i))^°<!'l">-

Докажем сначала существование такого пространства. Предпо

ложим, что я = я(со) является			представлением,				отвечающим квази
характеру со группы С*. При			заданном			аддитивном характере		Ч
ограничение	представления	я	на	I I	содержит		представление	гю,
определяемое	заданием со на		Для		любой Ф б ^ С , со) опреде
лим функцию	W& на G + , полагая
		{£) = гш (g) Ф(1).
Так как р (g)W0 = WГт(е)Ф,		пространство				таких	функций инвари
антно относительно правых		сдвигов. Кроме того,
	Г ф ( ( о	0 ^ ) =		¥ ( x ) W M g ) '

Каждый вектор из ^ ( С , со) бесконечно дифференцируем для пред ставления гш. Поэтому все функции № ф бесконечно дифференци руемы, и если X € И, то

р ( Х ) ^ ф = Г Л ш ( Х ) ф .

В частности, подпространство Wx (я, W), состоящее из тех № ф , для

которых Ф £ £Р0 (С, со), инвариантно относительно Ц. Мы продолжим
каждую функцию № ф			нулем	вне	G + и будем рассматривать ее как
функцию на	GR.		W (я,			подпространства № х ( я , Ч?)
Возьмем	в	качестве		¥ )	сумму
и его правого		сдвига	на е.	Тогда оно		будет инвариантно относи-

§ 5.	Представления	группы GLf2, R)	123
тельно {U, е} и будет	при этом преобразовываться согласно		пред
ставлению я системы	{И, е}. Для	проверки второго условия	тре

буется показать, что оно инвариантно относительно Ж% . Для этого достаточно показать, что Sf0 (С, со) инвариантно относительно тех


элементов из ЖR , носители					которых содержатся в G+.				Эти	эле
менты	заведомо переводят				в себя		подпространство	пространства
£f (С,	со), натянутое на функции, преобразующиеся согласно неко
торому одномерному представлению группы SO (2, R). Любая функ
ция из of (С, со)			может	быть		равномерно аппроксимирована				на
компактных		множествах		некоторой			функцией из af0(C,		со). Если,
кроме	того, она преобразуется согласно представлению х„ группы
SO (2,	R), то	она	может	быть		аппроксимирована		функцией		из

(5% (С, со), преобразующейся согласно тому же представлению. Иными

словами, она	может	быть	аппроксимирована кратными одной и той
же функции	из ^ 0 ( С , со),		и поэтому сама	принадлежит	<У0 (С, со).
Условие	роста	необходимо проверить		только для	функций

Wq>£W1(n, Ч). Если а отрицательно, то

			Ч ( о	\| ) ) = 0 '
а если а положительно			и
		( p ( 2 ) = e - 2 I t l " l 2 ~ z P ( z ,				1),
то
№ф	(J^0	j ^	= е~2ЯI"	I а Р (а1 /",		а1 /») со (а) \| а				I 1 "
и, конечно, удовлетворяет требуемому условию.
Нам остается		еще доказать		существование				W (я,		Ш) в случае,
когда Я = Я ( [ А 1 ,		ц2 ) и	бесконечномерно. Как				и в §		1,	положим
8 0*1, ц„			Ф) = $ М О		М ( 0 Ф ( < -			f-Od't
			R«
для Ф£&(№)	и
W<J,(g) = ii1(ueig)\detg\v*			в{ци	ц2 ,	г (g) Ф) =		9 (щ,		щ,	Гщ. д , (g)Ф).
Представление	Гц,, Д 4 является			представлением,				отвечающим квази
характеру (а,	Ь ) — * М а ) М & ) группы RxR. Если								X £ U , то
		Р(Х)	^ ф ( в )	= ^ г Д 1 , й 4 ( Х ) ф ( Я ) .

Обозначим	через	(ц^ Ц 2 ;	пространство тех	функций
которые отвечают 0(2, Р)-конечным функциям ф .				Пространство
№(iij, L I 2 ;	Y) инвариантно		относительно {Ц, е} и относительно Жя-

124

Гл.

I. Локальная

теория

Л е м м а

5.13.1. Предположим, что jx±

(х) д.^1 (х) — \ х \s

[j~

j ,

где Res > — 1

и m = 0 или

Тогда

существует

биекция

про

странства

W (д^,

р,2 ;

.53 (ц^,

Цг),

которая

коммутирует

с действием системы {XX, е}.

Мы уже доказали аналогичную лемму в неархимедовом случае.

Если O^aPiR*)

и со — квазихарактер группы R*,

положим

г (со, Ф) =

$ Ф(0 ,

t)(x>(t)d*t.

Интеграл

сходится, если

со (t)

= | / | r

(sgn t)n

0. В частности,

в предположениях

леммы

определена функция

/Ф (^) =

Hi (det^) | det^l 1 / 2

z (д^ д ^ а р ,

р(#)Ф).

Как обычно, аъ(х) = \х\. Простое вычисление показывает, что

Если		Ф~—частичное преобразование Фурье функции Ф, введенное
в §	1,	то
				9(g) / Ф - = / Ф ~ .
где	Фх = гй 1 >		д, (g) Ф. Аналогичное		соотношение будет справедливо
и для		функции fZfflR,		т. е.
				Р Ш Ф ~ = / Ф Г .
где	Ф ^ Г д , ,		в	частности,	если	является 0(2, Р)-конеч-


ной, то существует элементарный				идемпотент \| , такой, что р (\|) /ф~ =
= /Ф~. Таким образом,			если Фг	= Гд„ д , (\|) Ф, то	/ ф ~ = / :	ф - - и		ФГ
является	0(2, К)-конечной. Разумеется, / ф ~ будет 0(2, К)-конечной
в том и только		в том	случае, если она принадлежит 33(\ilt					д2 ).
Мы покажем		теперь,	что для	любой функции	f ^ . ©(щ ,		щ)	су
ществует	0(2, К)-конечная функция Ф£(5"(К2 ), такая, что						/ =	/ Ф ~ .
Согласно	предыдущему		рассмотрению и самодуальности			простран

ства Of (R2) относительно преобразования Фурье, достаточно показать,

что / =	/Ф для	некоторой	© ( ^ ( R 2 ) . Фактически из			соображений
линейности достаточно рассмотреть функции фл€-53(р-1.						h), опреде
ленные	ранее	условием
		//	cose	s i n е \ \
		Ф Ч \ — s i n e		cosey;	•

§ 5. Представления группы QL("2, R)

125

где ft должно быть той же четности, что и т. Положим Ф(х, у)=-«-я <*, +", >(* + % Ж

где 6 = sgnn. Тогда

	cos 9	sin 8N
	sin 9	cos 8/
Так	как р (g) / Ф = fр ( g ) ф , если detg = 1, то функция / Ф				кратна функ
ции	ф„. Поскольку
	»		_ ( \| n \| + s + 1 )		,
	/Ф (е ) = (/)М \ e-n<^\|/i[+e+i d*t = (f)"-\|-"		2	Г f'w i + s + 1

—0

иэто выражение отлично от 0, то функция / ф не равна 0.

Определим А как

отображение,

переводящее № ф в

/ Ф ~ . Оно,

конечно,

коммутирует с действием

{11, е}. То, что

отображение А

существует и инъективно,

следует

из одной леммы,

которая

вместе

с ее доказательством

почти

совпадает с формулировкой

доказа

тельством

леммы

3.2.1.

То же доказательство, что и в неархимедовом

случае, показывает

также, что W ( i i l f

i i 2

;

W) = W (ii 2 ,

для всех

4Г . Для

доказа

тельства

существования

W (я, %) в случае, когда

я = я (\ilt

ц2 ) и

является

бесконечномерным, нам требуется

лишь показать, что если

Hi и Li2 удовлетворяют

условию

предыдущей леммы, то функции W

из W (nlt

р,2 ;

удовлетворяют

приведенному

в теореме

условию

роста. Мы видели, что можно взять W = № ф , где

ф - (х,

y) = e-"<x'+y') Р (х, у)

и Р (х, у) — полином

от х и у. Тогда

Ф(х,

y) = e-*V+uWQ(x,

у),

где Q{x,

у)—другой

полином. Напомним,

что

(х) = егл1их.

Тогда

Г ф ( ( о

i ) ) e M a ) | a | 1 / e

e-*( e , ', + ", '", ) Q(fl<.«'"1 )UI'(sgn/)"dt.

Множитель перед интегралом ничего не портит. Если б > 0, то интегралы от —оо до —б и от б до оо чрезвычайно быстро убывают при \а\ —>- оо, так что достаточно рассмотреть только интегралы вида

где г — любое вещественное число, а и фиксировано и положительно. Положим У = -^-; тогда ы2 = и2 + ^ и функция е ( _ 8 / 4 > я "''~'^'ограни чена в интервале [0, б]. Таким образом, мы можем заменить и на у

126 Гл. I. Локальная теория

и считать г равным		0. Мы можем также			предполагать,		что а и у
положительны, и переписать интеграл				в	виде
		6
		g- tnav
		0
Подинтегральное		выражение	ограничено единицей,			так что ин
теграл равен 0(1). В любом случае				условие роста			заведомо
удовлетвор яетс я.
Нам остается	еще доказать единственность. Предположим, что
некоторое пространство функций			Wt(я,	¥ ) удовлетворяет первым
двум условиям	теоремы. Пусть		х„ — представление			алгебры Ли
группы SO(2, R),. входящее в я, и пусть Wx— функция из							W),
удовлетворяющая	соотношению

cosG sin 0'

Сsin 0 cos0

Если

то функция Wx полностью	определяется функцией ф г Легко ви
деть1 ), что
/	т 1 / г	\ \
P(V)WA	,	= / п ф 1 ( 0 ,

9(X + )W

= Ш/фх (/).

1 ) См. Годеман [4], стр. 2: \9. — Прим. ред.

§ 5.

Представления

группы

QL(2,

Таким

образом, если ср+ и срг соответствует

р(У + ) Wx

и p(V_) Wv

то

dtpi

( 0

q>? (t)^2t^l-(2ut-n)

ф 1

Ф Г ( 0 =

( 2 ^ - я ) Ф 1

(/).

Так

как

л —

lv_V+-iU-±U*,

D =

то р (D) Wx

соответствует

dt \

dt ,

Наконец, P(B)W1

соответствует

фх (—f).

Предположим,

что

it равно

n(\ilt

р2 )

или с т ^ , р2 ).

Пусть

ШРГ1 (0 — I

( s g n

0m -

Если

s—m

равно

нечетному

целому

числу,

мы

можем

взять

n = |,sj +

l . Из

леммы

5.6

имеем

p(V_)W1

так

что

ф! удовлетворяет уравнению

2 ^ + ( 2 и / - л ) ф 1 = 0.

Если

выполняется

условие

роста,

то

фх

должна быть равна 0 для

к ( < 0

и быть кратной функции

11 \"/2e~ut

для ut > 0. Таким обра

зом,

определяется

с точностью до скалярного множителя и про

странство W (я, 4я ) единственно.

Предположим,

что

s—т

не

равно

нечетному

целому

числу.

Так

как

р (D) W\ = —g— Wlt

то функция фх

удовлетворяет уравнению

Мы	уже	построили		пространство, которое может быть кандидатом
на	роль	пространства			W (я, ¥ ) .	Обозначим его через W2			(я, ¥ ) .
В №2 (я, 1 Р) найдется				ненулевая функция ф2 , удовлетворяющая тому
же уравнению, что и ф^ Далее, фх						и все ее производные при t—-»-оо
стремятся к бесконечности не быстрее некоторой степени \t\,									тогда
как	мы видели, что			ф2	и ее производные по меньшей мере				экспо-
ненциально стремятся к нулю при						\ t\—•	со. Таким	образом,	вронс
киан
					ф 1 dt	Фа dt
стремится		к 0	при	\| / \| — • « > . По		виду	уравнения	можно сказать,
что	вронскиан		равен	константе. Поэтому он тождественно равен 0,
а Ф, (0 = « ф 2 ( 0			Д Л Я	ty-О и Ф1(0 = РФа(0 Д л я ^ <				0, где а	и J3 —

128						Гл. I.	Локальная		теория
некоторые константы. Единственность будет доказана,											если мы смо
жем	показать, что				при подходящем выборе п имеет место равенство
а =	р\	Если т == 0,			мы можем взять п = 0. Если					(0 =	1* I' ( s § n )m'>
то n(e)W1			= (—l)n*Wl,			так	что <рх (—/) = (— 1)"'фг (0				и ф2 (—0 =
= (—1)^ф2 (0- Таким						образом, а = [3. Если т = 1 ,				мы	можем взять
п = 1 .		Из	леммы	5.5		имеем
так	что				n{V^)W1		=	(—\)^sn(e)W1,
так	что
			2	^	+	(2ut -	1)Ф 1	(0 =	( - 1 Г «Рх ( ~	0 •

Так как ф2 удовлетворяет тому же уравнению, то а = р\

Если и.—квазихарактер группы R*H со— квазихарактер группы С*,

определяемый

соотношением

со (2) =

LI (ZZ), ТО Я (СО) =

я (ц,

fxrj).

Мы

определили

№(я(со),¥),

равно как и

W (fi 1 ;

f i 2 ; Y), в

терминах

со.

В силу единственности два эти

пространства

должны

быть

равны.

С л е д с т в и е

5.14.

Пусть

п—два

целых числа, одно из ко

торых положительно,

а другое

равно

нулю.

Пусть

со—квазихарактер

группы

С *

вида

co(z) =

( z i ) r ~ 2

гтгп,

и пусть

LIX и

LI2 — два квазихарактера

группы

R*,

удовлетворяющие

соотношениям

ix1(x2 (л:) =

\x\*r

(sgnx) m + " + 1

fiip.^1 (х) — хт+п

sgnл:,

ma/с что я (со) =

a(fi1 (

ix2 ). Тогда

подпространство

53, (fij,

^прост

ранства

33 (fij, ix2)

определено и существует

изоморфизм

пространства

53 (щ, ц2 )

на

W (Lil t

LI;

¥ ) ,

который коммутирует

действием

системы

{XX, е}. Образ ^ ( ( i j ,

LI2; ^ )

пространства 33s(nlt

fi2 )

равен

/гри дапол W (я (со),

Y) . Если

Ф €

(R2 )

ы № Ф

€ № (Их, Ц«; Т), то

принадлежит

(\ilt

f i 2 ; W)

том

и только

том случае,

если

со

— Ф{х,

= 0

х!

0)dx

dyJ

для любых двух

неотрицательных

целых

i и

удовлетворяющих

соот

ношению

t' + \ =

т-\-п—1.

Только

последнее

утверждение не

является

переформулировкой

проверенных ранее

фактов. Для

его доказательства надо

показать,

что / Ф -

в том и только в том случае

принадлежит 53, (ьц, ц2 ), если Ф

удовлетворяет приведенным соотношениям. Пусть / = / ф ~ . Функция /
содержится в	53, (ьц, LI2)		в	том	и только в	том случае, если		она
ортогональна	к	функциям		из 53/(fii~\ р.71).		Так как	53/(fir1,	fii"1)
конечномерно,	то	в нем	найдется		ненулевой	вектор	/0 , такой,	что
р ( Х + ) / о = 0.	Тогда

'("(J i))='-w

	§	5.	Представления группы		GL(2, R)				129
и / ортогональна к		/0	в том и только в		том случае,		когда
			f{wCo i ) ) d y = 0 ,						( 5 Л
			R		равна т + п.
Размерность	пространства			^/(м-Г1 . ^Г1 )			Из	лемм 5.6
и 5.7 сразу же следует, что векторы р					p(w) f0 , O^p^m			+	n—l,
образуют его	базис. Таким			образом, / содержится в 3Bs([ilt				ц2)	в том
и только в том случае, если каждая из функций р						р (w) f		удовлет

воряет соотношению (5.14.1). Для самой функции / левая часть соотношения (5.14.1) равна

\ Ф~ ((0, t) w Q fj^j ii, (t) ^ (t)\t\ d*t} dx.

С точностью до некоторой положительной константы, которая свя зывает аддитивную и мультипликативную меры Хаара, это равно выражению

	$ $ ф ~ ( _ t,	—	tx)tm+nsgntdtdx,
которое равно
	J	J ф~	у, х)	dt	dx,
или,	в терминах ф,
	(—l)»+»-i$<D(f, 0 ) d t			.	(5.14.2)
По	определению,
	Ч , и , И ф ( * >		У) = Ф'(У,	х)

и легкое вычисление, основанное на определении, показывает, что

	/V,,Ц в (Х%) Ф (х,		у) = (2тиху)РФ			(х, у).
Таким образом, г^, n,(XJ) rM j i			й а (ш) Ф		является ненулевым		скаляр
ным кратным	функции
			Ф (у,		х).
		дхР дуР		*
Для этой функции интеграл (5.14.2)					равен	произведению	ненуле
вого скаляра	на
	\\\	дгР •Ф'(0,			x)xm+n~1dx.
	дхР дуР

Интегрируя по частям, получаем с точностью до знака

Г — Ф'(0,	x)xm+n-P-*dx.
J дУр

5 № 435

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20233.63 Mб20Ефремов Л.В. Приближенный расчет крутильных колебаний валопроводов судовых дизельных установок учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.17 Mб9Ефремов С.А. Внутризаводской хозяйственный расчет.pdf
#
20.10.20237.65 Mб8Ефремов, С. А. Рационализация управления в объединениях.pdf
#
24.10.20239.37 Mб33Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания.pdf
#
29.10.20234.33 Mб10Жадов В.П. Планирование себестоимости промышленной продукции по факторам.pdf
#
22.10.202312.95 Mб8Жаке, Э. Автоморфные формы на GL(2).pdf
#
23.10.20235.58 Mб8Жангериев Ю.А. Кредиты по обороту и в основные фонды.pdf
#
29.10.20231.23 Mб23Жариков А.Д. Противоатомная защита.pdf
#
25.10.202317.85 Mб26Жаров Г.Г. Судовые высокотемпературные газотурбинные установки.pdf
#
19.10.20236.05 Mб53Жаров, А. П. Предупреждение аварий подшипников паровых турбин.pdf
#
29.10.20236.06 Mб10Жданов В.С. Сборные железобетонные конструкции (учебное пособие).pdf